TS Exercices sur la géométrie dans l espace (niveau 1)

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1 TS Exercices sur la géomérie dans l espace (niveau ) Dans ous les exercices, l espace E es muni d un repère orhonormé O, i, j, k. Aucune figure n es demandée dans ces exercices sauf pour l exercice 5. Donner dans la colonne de droie les coordonnées d un veceur u normal à P. Équaion de P x 6y z 7 0 z x = 0 x y 5 z Coordonnées d un veceur u normal à P On considère le plan P d équaion carésienne x + y 4z + = 0. ) Déerminer un veceur n normal à P. ) Déerminer une équaion carésienne du plan Q parallèle à P passan par le poin A( ; ; 0). On considère le plan P d équaion carésienne x + y z + 5 = 0 ainsi que les poins A( 5 ; 4 ; 4) e B( ; ; 8). La droie (AB) es-elle orhogonale au plan P? 4 On considère les poins A( ; ; ), B( ; 0 ; ), C(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0) e E( ; ; ). ) Les poins C, D, E son-ils alignés? ) Démonrer que (AB) (CDE). 5 On considère le plan P d équaion carésienne x + y + z 6 = 0. ) Déerminer les poins d inersecion de P avec les axes du repère. ) Représener P. 6 On donne le poin A( ; 5 ; 4). Donner sans calcul une équaion du plan P passan par A e parallèle au plan (xoy) ; une équaion du plan P passan par A e parallèle au plan (yoz) ; une équaion du plan P passan par A e parallèle au plan (zox). 7 Déerminer la posiion relaive des plans P e Q d équaions carésiennes respecives : x y + z = 0 e x 4y + z = 0. 8 On considère la droie D de repère (A ; u ) avec A( ; ; 4) e u ) Donner un sysème d équaions paramériques de D. ) Calculer les coordonnées du poin d inersecion de D avec le plan (xoy). ; ;. 9 On considère la droie D admean pour sysème d équaions paramériques ) Donner un repère de D. ) Le poin E(6 ; ; ) apparien-il à D? Le poin F( ; ; ) apparien-il à D? x y 4 z ( ). 0 On considère les droies D e D précisées chacune par un sysème d équaions paramériques 9 x x 9 ' D y ( ) D y 5 ' ( ). z z ' Les droies D e D son-elles parallèles? x 5 On considère la droie D admean pour sysème d équaions paramériques y 4 ( ). z ) Démonrer que D es parallèle à l un des plans de coordonnées. ) Déerminer un sysème d équaions paramériques de la droie D parallèle à D passan par le poin A( ; 7 ; 0). On considère la droie D admean pour sysème d équaions paramériques x y z ( ). ) Déerminer une équaion carésienne du plan P passan par le poin A( ; ; 0) e orhogonal à D. ) Déerminer les coordonnées du poin d inersecion de D e P. On considère le plan P d équaion x + y z = ainsi que le poin A( ; ; ). ) Déerminer un sysème d équaions paramériques de la droie D passan par le poin A e orhogonale à P. ) En déduire les coordonnées du poin A, projeé orhogonal de A sur le plan P. 4 On considère le plan P d équaion carésienne x + y + z 5 = 0. ) Calculer la disance du poin A( ; ; ) au plan P. ) Déerminer une équaion de la sphère S de cenre A e angene à P. 5 On considère les poins A( ; ; ) e B(0 ; ; ). Le bu de l exercice es de déerminer une équaion carésienne du plan médiaeur P du segmen [AB] par deux méhodes indépendanes (il fau faire les deux méhodes). ère méhode : en uilisan la définiion du plan médiaeur d un segmen Rappeler la définiion de P : «P es le plan». Calculer les coordonnées du milieu de [AB] e déerminer une équaion carésienne de P en rédigean convenablemen. e méhode : en uilisan la caracérisaion du plan médiaeur d un segmen Rappeler la propriéé : «Un poin apparien à P si e seulemen si».

2 Déerminer alors une équaion carésienne de P en rédigean ainsi : «Soi (x ; y ; z) un poin quelconque de l espace. P A = B A B» 6 On considère les poins A( ; ; ) e B( ; 0 ; ). Le bu de l exercice es de déerminer une équaion carésienne de la sphère S de diamère [AB] par deux méhodes indépendanes (il fau faire les deux méhodes). ère méhode : en uilisan l orhogonalié Déerminer alors une équaion carésienne de S en rédigean ainsi : «Soi (x ; y ; z) un poin quelconque de l espace. S A B 0» e méhode : en uilisan le cenre e le rayon de S Calculer la disance AB e les coordonnées du milieu de [AB]. Déerminer une équaion carésienne de S. 7 On considère les droies D e D ' précisées chacune par un sysème d équaions paramériques x D y z ( ) e D ' x ' y ' z ' ( ). Démonrer qu il exise un poin de D e un poin de D el que le poin ( ; ; ) soi le milieu de [ ]. 8 On considère les poins A( ; ; ) e B( ; ; 0). Déerminer une équaion de l ensemble S des poins (x ; y ; z) de E els que A B = 8. En déduire la naure de S. 9 On donne le poin A(0 ; 4 ; 0). Donner une équaion du plan médiaeur P du segmen [OA]. 0 On considère le demi-espace fermé E défini par l inéquaion : x y + z 5 0. Préciser parmi les poins suivans ceux s ils appariennen ou non à E : A( ; ; ), B(0 ; 4 ; ), C( ; ; ), D( ; 0 ; ). Donner une inéquaion caracérisan le demi-espace ouver E admean le plan P d équaion carésienne x y z + 6 = 0 pour fronière e qui conien le poin A( ; 4 ; ).

3 Veceur normal à un plan Rappel de cours : Corrigé Si P es un plan d équaion carésienne ax + by + cz + d = 0 ((a, b, c) (0, 0, 0)), alors le veceur de coordonnées (a, b, c) es un veceur normal à P. P : x + y z + 5 = 0 A( 5 ; 4 ; 4) B( ; ; 8) Déerminons si la droie (AB) es orhogonale au plan P. On sai que le veceur n ; ; AB6 ; 6 ; On observe que AB 6n. On en dédui que n e AB son colinéaires. Par suie AB P. es un veceur normal à P. Équaion de P Coordonnées d un veceur u normal à P N.B. : On ne peu pas uiliser de veceur direceur pour un plan. En effe, il n y a pas de veceur direceur pour un plan. l fau deux veceurs non colinéaires pour diriger un plan. P : x + y 4z + = 0 x 6y z 7 0 u ( ; 6 ; ) z x = 0 u ( ; 0 ; ) x y 5 z u ( ; ; ) ) Déerminons un veceur n normal à P. D après la formule du cours donnan les coordonnées d un veceur normal à un plan don on connaî une n ; ; 4 es un veceur normal à P. équaion carésienne, on peu dire que le veceur ) Déerminons une équaion carésienne du plan Q parallèle à P passan par le poin A( ; ; 0). P // Q donc n es aussi un veceur normal à Q. Si deux plans son parallèles, alors ou veceur normal à l un es normal à l aure. Q adme donc une équaion carésienne de la forme x y 4z d 0. Or A Q donc xa ya 4zA d 0 soi d = 0 donc d = 5. On en dédui que Q a pour équaion carésienne x + y 4z 5 = 0. Aure méhode : on peu aussi uiliser un poin (x, y, z). 4 A( ; ; ), B( ; 0 ; ), C(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0), E( ; ; ) ) Déerminons si les poins C, D, E son alignés. CD ( 4 ; 4 ; 0) CE ( ; ; ) Les veceurs CD e CE ne son pas colinéaires car leurs coordonnées ne son pas proporionnelles donc les poins C, D, E ne son pas alignés. ) Démonrons que (AB) (CDE). Poin-méhode : Pour démoner qu une droie es orhogonale à un plan, il suffi de démonrer qu elle es orhogonale à deux droies sécanes de ce plan. l suffi de démonrer que AB CD e que ABCE (en effe, (CD) e (CE) son deux droies sécanes du plan (CDE) ; on uilise la propriéé «si une droie es orhogonale à deux droies sécanes d un plan, alors elle es orhogonale à ce plan»). AB ( ; ; 4) AB CD x x y y z z Donc AB CD AB CD AB CD AB CD d où AB CD. AB CE AB CE AB CE AB CE x x y y z z Donc AB CE d où AB CE. On a donc AB CD e ABCE.

4 (aure rédacion : «Donc (AB) es orhogonale à (CE) e à (CD)») Par suie, (AB) (CDE). z C 5 P : x + y + z 6 = 0 ) Déerminons les poins d inersecion de P avec les axes du repère. k i O j B y Soi A le poin d inersecion de P avec l axe (Ox). A (Ox) donc ya 0 e za 0. A P donc xa ya za 6 0 d où xa soi xa 6 0 donc xa 6. x 65 A Soi B le poin d inersecion de P avec l axe (Oy). B (Oy) donc xb 0 e zb 0. B P donc xb yb zb 6 0 d où 0 yb soi yb 6 0 donc yb. Soi C le poin d inersecion de P avec l axe (Oz). C (Oz) donc xc 0 e yc 0. C P donc xc yc zc 6 0 d où 0 0 zc 6 0 soi zc 6 0 donc zc. Conclusion : P Ox A avec A(6 ; 0 ; 0) ; P Oy B avec B(0 ; ; 0) ; P Oz C ) Le plan es représené par le riangle ABC. avec C(0 ; 0 ; ) N.B. En général, on représene un plan par un parallélogramme ; c es l un des rares cas où l on représene un plan par un riangle. l fau cependan garder à l espri qu un plan es infini dans oues les direcions. On di l on a représené le plan P par ses races sur les plans de base. 6 Applicaion direce du cours : équaions de plans parallèles aux plans de coordonnées P : z = 4 P : x = P : y = 5 Soluion déaillée : A( ; 5 ; 4) P : plan passan par A e parallèle au plan (xoy) P : plan passan par A e parallèle au plan (yoz) P : plan passan par A e parallèle au plan (zox) (l n es pas rès aisé ni rès uile de faire une figure.) Déerminons une équaions des plans P, P, P. Le plan P passe par A e es parallèle au plan (xoy) donc P a pour équaion Le plan P passe par A e es parallèle au plan (yoz) donc P a pour équaion Le plan P passe par A e es parallèle au plan (zox) donc P a pour équaion z z soi z = 4. A x x soi x =. A y y soi y = 5. A

5 7 Trouver la posiion relaive de deux plans dans l espace P e Q son sricemen parallèles. Soluion déaillée : P : x y + z = 0 Q : x 4y + z = 0 Éudions les posiions relaives de P e Q. Posiion de deux plans dans l espace : - plans parallèles (sricemen ou confondus) - plans sécans selon une droie l s agi de déerminer les posiions relaives de deux plans dans l espace c es-à-dire de déerminer si les plans son parallèles (sricemen ou confondus) ou s ils son sécans (sécans selon une droie). Pour répondre à la quesion, on uilise un veceur normal à chacun des deux plans. x Un sysème d équaions paramériques de D s écri y. z 4 N.B. : l n y a pas d équaions paramériques de droies dans l espace. ) Calculons les coordonnées du poin d inersecion de D avec le plan (xoy). Le plan (xoy) a pour équaion z = 0 donc z 0. On uilise ensuie le sysème d équaions paramériques de la droie D. Le paramère du poin sur la droie D vérifie l équaion 4 + = 0. Donc =. Grâce au sysème d équaions paramériques de D, on obien : x e y. D où ( ; ; 0). 9 D x y 4 z ( ). ) Donnons un repère de D. D après l équaion carésienne de P, on peu dire que le veceur n; ; D après l équaion carésienne de Q, on peu dire que le veceur n' ; 4 ; On remarque que n' n donc n e n' son colinéaires. Par suie, P e Q son parallèles. Q a aussi pour équaion carésienne x y z 0. Or P a pour équaion carésienne x y + z = 0. es un veceur normal à P. es un veceur normal à Q. En comparan ces deux équaions carésiennes, on peu dire que les plans P e Q ne son pas confondus (car les équaions on le même débu : x y + z mais le dernier erme qui diffère). On peu donc en déduire que P e Q son sricemen parallèles (c es-à-dire non confondus). 8 D : droie de repère (A ; u ) avec A( ; ; 4) e u ; ;. ) Donnons un sysème d équaions paramériques de D. On applique la formule du cours sur les équaions paramériques de droies. On choisi soi-même la lere pour désigner le paramère (pas de lere imposée). Ce paramère es souven noé ou. Repère d une droie : On appelle repère d une droie (dans le plan ou dans l espace) un couple formé d un poin de la droie e d un veceur direceur de la droie. Une droie adme une infinié de repères. Convenionnellemen, un repère es désigné en écrivan d abord le poin puis le veceur direceur. Lorsque l on demande un repère d une droie, on doi donner un poin e un veceur direceur de cee droie. Un repère de la droie D es (A ; u ) avec A( ; 4 ; ) e u ( ; ; ). ) Déerminons si les poins E(6 ; ; ) e F( ; ; ) appariennen à D. Pour savoir si le poin E apparien ou non à D, on cherche s il exise un réel el que xe ye 4 ze 6 Ce sysème équivau à 4.

6 Ce sysème es pléhorique (du mo pléhore = excès) en équaions par rappor au nombre d inconnues. éhode : Prendre chaque équaion e résoudre. Si la valeur de es la même pour les rois équaions, alors le sysème adme une unique soluion e l on pourra dire que le poin apparien bien à la droie D. Si les valeurs de son différenes pour les rois équaions, alors on pourra dire que le sysème d adme pas de soluion. Aenion : e ' On pourrai uiliser le même paramère mais on aurai un problème dans le raisonnemen (problème d inersecion de droies). On peu dire que le veceur u ( ; ; ) es un veceur direceur de D e que le veceur v ( 9 veceur direceur de D '. ; ; ) es un ci, on obien la même valeur pour les rois équaions : = 5. Le sysème adme bien un unique nombre soluion donc E D ( = 5). De même pour le poin F, on cherche s il exise un réel soluion du sysème Ce sysème équivau à. On remarque qu il n exise pas de nombre soluion donc F D. Ou variane : Le sysème n adme pas de soluion donc le poin F n apparien pas à D. 4. Aenion : On ne peu pas parler de veceur normal à une droie dans l espace. Une droie dans l espace pourrai admere une infinié de veceurs normaux au sens où il y a une infinié de veceurs orhogonaux. ais ces veceurs ne son pas ous colinéaires enre eux (dans l espace). On ne parle donc pas de veceur normal à une droie de l espace. On observe que v u. Les veceurs u e v son donc colinéaires. Par suie, D // D '. On peu se demander si les deux droies son sricemen parallèles ou confondues. l y a pour cela deux méhodes pour répondre à la quesion. l n y a pas d équaion carésienne de droie dans l espace. On peu définir une droie par un sysème de deux équaions carésiennes de plans (selon la propriéé «deux plans sécans de l espace se coupen selon une droie») ou par un sysème d équaions paramériques. La méhode la plus saisfaisane consise à déerminer un poin de D e à voir s il apparien à D '. On voi alors si D e D ' son confondues ou sricemen parallèles. ère méhode : 0 D // D ' (déerminer un veceur direceur de chacune des deux droies e démonrer qu ils son colinéaires) Soluion déaillée : Déerminer un poin de D e voir s il apparien à D '. Le poin O(0 ; 0 ; 0) obenu pour = 0 apparien à D. x D y z ( ) D ' 9 x 9 ' y 5 ' z ' ( ) On peu démonrer que O D'. On voi qu il n apparien pas à D ' (car on n obiendrai pas la même valeur de en résolvan le sysème formé par chacune des équaions paramériques égale à 0). Donc les droies D e D ' son sricemen parallèles.

7 e méhode : Éudier l inersecion de D e de D '. On rouve une inersecion vide (ensemble vide). En conséquence de quoi, les droies D e D son sricemen parallèles (sinon on rouverai D D ' = D = D '). Aure façon : Un veceur direceur de D es u ( ; ; ). Un veceur direceur de D es v ( 9 ; ; ). v u donc les veceurs u e v son colinéaires. Par conséquen, D // D. x 5 D : y 4 z ( ) ) Démonrons que D es parallèle à l un des plans de coordonnées. D après la roisième équaion du sysème d équaions paramériques, on remarque que la droie D es incluse dans le plan P d équaion z =. D aure par, P es parallèle au plan (xoy) (en effe, un plan parallèle au plan (xoy) adme une équaion de la forme z = a où a es un réel fixé). Or si deux plans son parallèles, alors oue droie incluse dans l un es parallèle à l aure. Donc D // (xoy). ) Déerminons un sysème d équaions paramériques de la droie D ' parallèle à D passan par le poin A( ; 7 ; 0). Le veceur u ( ; 4 ; 0) es un veceur direceur de D. Or D // D donc u es aussi un veceur direceur de D. Si deux droies son parallèles, alors oue veceur direceur de l une es veceur direceur de l aure. Aure façon : ) Un veceur direceur de D es u ( ; 4 ; 0) donc la droie D es parallèle au plan (xoy). x ) Un sysème d équaions paramériques de D s écri y 7 4 z 0 Faire une figure assez soignée pour se représener la siuaion. D A 5 7 ) P : x y z 0 ) On rouve ; ; ; Soluion déaillée : x D : y z ( ) P ( ). ) Déerminons une équaion carésienne du plan P passan par le poin A( ; ; 0) e orhogonal à D. D après le sysème d équaions paramériques de D donné dans l énoncé, on peu dire que le veceur u ; ; es un veceur direceur de D. Or D P donc le veceur u es un veceur normal à P. Par conséquen, P adme une équaion carésienne de la forme x y z d 0 avec d. Or le poin A apparien à P donc d 0 d où d =. Une équaion carésienne de P s écri donc x y z 0. Donc D ' x y 7 4 z 0. ) Déerminons les coordonnées du poin d inersecion de D e P. Le poin es le poin d inersecion de D e de P donc son paramère vérifie l équaion suivane (obenues en uilisan l équaion carésienne de P rouvée dans la quesion précédene) : 0 () () = 6

8 x 6 D où y 6 z 6 5 x 6 7 Donc y 6 z 5 7 ; ; 6 6 ) Déduisons-en les coordonnées du poin A', projeé orhogonal de A sur le plan P. Le poin A ' es le projeé orhogonal de A sur le plan P donc A ' es le poin d inersecion de D e P. Le paramère du poin A ' vérifie l équaion : () () = = x D où y z A' A' A' x Donc y z A' A' A' 0 Aure version : ) Un veceur direceur de D es le veceur u ; ; Une équaion carésienne du plan P es x y z d 0 avec d. Or A( ; ; 0) es un poin de P donc 0 d 0 d où d =. Donc P : x y z 0.. x ) y ) Rédacion ype : «Le paramère du poin A vérifie l équaion». z A' ; ; 0. On rouve = ; Conclusion : A' ( ; ; 0) 4 P : x + y + z 5 = 0 ) A( ; ; ) Calcul de d(a, P) d A, P ) S : sphère de cenre A angene à P Équaion de S (formule du cours de disance d un poin à un plan) Soluion déaillée : P : x + y z = A( ; ; ) ) Déerminons un sysème d équaions paramériques de la droie D passan par le poin A e orhogonale à P. D après l équaion du plan P donnée dans l énoncé, on peu dire que le veceur u ;; normal à P. Or D P donc le veceur u es un veceur direceur de D. x Or A D donc un sysème d équaions paramériques de D s écri : y. z es un veceur La sphère S a pour rayon 4. 4 Une équaion de S s écri : x y z soi x y z l n es pas uile de développer cee équaion pour la mere sous forme carésienne.. 4

9 5 Équaion d un plan médiaeur ; 0 ; Rappel : coordonnées du milieu d un segmen A B A B A B Le milieu du segmen [AB] a pour coordonnées x x ; y y ; z z. P : x 8y 8z 7 0 Soluion déaillée : A( ; ; ) e B(0 ; ; ). P : plan médiaeur de [AB]. Déerminons une équaion carésienne de P. ère méhode : P es le plan perpendiculaire à (AB) passan par le milieu de [AB]. xa xb x y y za zb z A B y 0 AB 4 4 P (AB) donc le veceur AB es un veceur normal à P. Par conséquen, P adme une équaion carésienne de la forme x 4y 4z d 0 avec d. 7 P donc x 4y 4z d 0 soi 4 d 0 d où d. 7 P adme donc pour équaion carésienne x 4y 4z 0. En muliplian les deux membres de l équaion par, on en dédui que P a pour équaion carésienne x 8y 8z 7 0. Aure version : P es plan médiaeur de [AB] donc P es le plan perpendiculaire à (AB) passan par le milieu de [AB]. ; 0 ; Soi (x ; y ; z) un poin quelconque de l espace. P AB 0 x 4 y 4 z x 4y 4z 0 e méhode : Soi (x, y, z) un poin quelconque de l espace. P A = B A = B A B A A A B B B x x y y z z x x y y z z x y z x 0 y z x + 8y 8z + 7 = 0 Aure version : P A = B A B A A A B B B x x y y z z x x y y z z x y z x y z x 8y + 8z 7 = 0

10 6 Équaion d une sphère définie par un diamère Les deux méhodes donnen une équaion carésienne de S : x y z y 4z 0. Soluion déaillée : A( ; ; ) B( ; 0 ; ) 7 S a pour équaion x y z 7 () x y y z 4z x y z y 4z 0 (). S : sphère de diamère [AB] ère méhode : Soi x ; y ; z un poin quelconque de l espace. S A B 0 x A x B y A y B z A z B 0 x x y y z z 0 0 x y z y 4z 0 Une équaion carésienne de S s écri : x y z y 4z 0. Aure version : Soi x ; y ; z un poin quelconque de l espace. S A B 0 A ( x ; y ; z) x x y y z z 0 0 x y z y 4z 0 e méhode : en uilisan le cenre e le rayon de S On calcule la disance AB. AB = x x y y z z B A B A B A 4 0 = = 7 On calcule les coordonnées du milieu de [AB]. B( x ; y ; z) 7 On résou le problème à l aide d un sysème. e '. Donc ( ; 4 ; ) e ' ( ; 5 ; 0). Soluion déaillée : Soi un poin de D associé au paramère e ' un poin de x y milieu de [ '] z x y z ' ' ' x y z x x' x y y' y z z' z ' ' ' On considère le sysème formé de la ère e de la e équaion. On le résou (méhode au choix) ; on rouve. ' On vérifie que la e équaion es saisfaie. ou D ' associé au paramère. ' ' ' xa xb x 0 ya yb y za zb z Conclusion : x 4. Pour =, on obien y z

11 Pour ' =, on obien x' y' 5. z' 0 On en dédui que ( ; 4 ; ) e ' ( ; 5 ; 0). Aure façon de rédiger : x y milieu de [ '] z x y z ' ' ' x y z S A B 8 x x y y z z x x y y z x y z 6y 4z 0 * x y z x y z On en dédui que S es la sphère de cenre (0 ; ; ) e de rayon 4. * On ombe sur une équaion du ype «équaion de sphère». Pour reconnaîre si l ensemble es bien un équaion de sphère, on doi la mere sous forme canonique. 9 A(0 ; 4 ; 0) Déerminons une équaion du plan médiaeur P du segmen [OA]. ' () ' () ' () () = 4 ' (') A B Compe enu de ('), () donne alors + ( 4 ' ) ' = soi ' =. P L égalié (') donne alors =. L égalié () es vérifiée pour = e ' =. 8 Recherche d un ensemble de poins x y z y z L ensemble S es la sphère de cenre (0 ; ; ) e de rayon 4. Soluion déaillée : Soi (x, y, z) un poin quelconque de l espace. x y z A x x y y z z 4 6 x y z B 0 x x y y z 4 5 On a ou inérê à faire une figure dans l espace. ère méhode : méhode la plus simple, la plus élégane Par définiion, P es le plan passan par le milieu de [OA] e orhogonal à la droie (OA). (0 ; ; 0) A (Oy) donc la droie (OA) es confondue avec l axe (Oy). Donc P (Oy) donc comme le repère es orhonormé, on en dédui que P // (xoz). Par conséquen, P adme une équaion carésienne de la forme y = a. Comme P, P adme donc pour équaion carésienne y =. e méhode : plus maladroie ici On noe le milieu de [OA]. Calculons les coordonnées de.

12 x 0 4 y z 0 0 E : x y + z 5 0 L ensemble E es un demi-espace fermé ayan pour fronière le plan d équaion x y + z 5 = 0. Calculons les coordonnées de OA. 0 OA 4 0 Soi (x ; y ; z) un poin quelconque de l espace. P OA 0 0 (x 0) + 4 (y ) + 0 (z 0) = 0 4 (y ) = 0 y = 0 y = e méhode : plus maladroi ici Soi (x ; y ; z) un poin quelconque de l espace. P O A Déerminons si le poin A( ; ; ) apparien à E. 5 ; < 0 donc A E. Déerminons si le poin B(0 ; 4 ; ) apparien à E ; 6 0 donc B E. Déerminons si le poin C( ; ; ) apparien à E. 5 6 ; 6 < 0 donc C E. Déerminons si le poin D( ; 0 ; ) apparien à E. 0 5 ; < 0 donc D E. Aure façon de rédiger pour le poin A : On a : xa ya za 5 5 Donc xa ya za 5 0. Par suie, A E. P : x y z + 6 = 0 A( ; 4 ; ) Le plan P parage l espace en deux demi-espaces caracérisés par les inéquaions x y z + 6 > 0 e x y z + 6 < 0. P On ne peu préciser davanage la posiion des deux demi-espaces par rappor aux axes du repère.

13 On a : x y z A A A x y z 6 0 donc le demi-espace ouver E es défini par l inéquaion x y z 6 0. A A A E es le demi-espace défini par l inéquaion x y z 6 0.