Problème 1 : Vibrations dans un verre.

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1 Problème 1 : Vibrations dans un verre. Partie A : Analyse expérimentale des vibrations du verre. 1) Le signal enregistré a une fréquence :. Le mode correspondant à cette fréquence est le mode fondamental. Les autres modes propres sont appelés les harmoniques. 2) On note. On lit sur le graphique :. Les différents modes propres sont reliés par la relation : 3) Pour obtenir des interférences constructives, il faut que la différence de marche au point M, soit un multiple entier de la longueur d onde. 4) La condition précédente, appliquée au fondamental donne : AN : 5) Sur le chronogramme de la figure 2, on observe une décroissance exponentielle de l amplitude des vibrations du verre. C est cohérent avec l enregistrement de l amplitude des oscillations d un oscillateur amorti en régime pseudopériodique. Pour obtenir un oscillateur amorti, on prend en compte les frottements fluides. 6) Sur le spectre de la figure 1, on a pu observer que l amplitude du fondamental était beaucoup plus importante que celle des harmoniques. on peut choisis de travailler en ne prenant en compte que le fondamental, ce qui donne un modèle simplifié à une seule fréquence. 7) Système : { }. Référentiel terrestre supposé galiléen. BDF : Poids : Réaction du support (sans frottements solides) : 1

2 Force de rappel élastique : ( ) Force de frottement fluide : PFD en projection selon : Par identification on obtient : 8) est la pulsation propre du système qui correspond à la pulsation de l oscillateur harmonique associé (= lorsque l on ne prend pas en compte les frottements). Elle s exprime en. est le facteur de qualité. Il est sans unité. Il permet de quantifier l amortissement du système : plus Q est grand, moins le système est amorti. 9) L énoncé précise que le facteur de qualité est grand, donc on a. Le régime obtenu est alors un régime pseudopériodique. On cherche d abord la solution homogène. Calculons le discriminant : Il y aura donc deux racines complexes : On pose et La solution homogène est alors de la forme : On choisit une solution particulière constante :. Détermination des constantes à l aide des conditions initiales. A, donc. 2

3 A, Allure de la courbe : 10) On sait que plus le facteur de qualité est grand, plus on se rapproche d un oscillateur harmonique, le terme devant la dérivée première devient négligeable. plus l amortissement sera faible et le régime transitoire sera long. On sait que la durée d un régime transitoire est d environ. Thériquement, au bout de, on a atteint 1% de l amplitude initiale. On trouve ici, donc on peut estimer. Ce régime transitoire semble plutôt long, ce qui est en accord avec l hypothèse que est très grand. C est également en accord avec l expression trouvée précédemment car on avait :, donc plus le facteur de qualité est grand, plus le régime transitoire est long. 11) La durée du régime transitoire étant de, il faudra environ 5 à 7 secondes pour mettre le système en régime sinusoïal forcé. Partie B : Etude de la résonance en amplitude du verre en régime sinusoïdal forcé. 12) La grandeur est l amplitude complexe. Son argument représente le déphasage entre les vibrations observées et le signal sonore d entrée. 13) Calculons le module. 3

4 Il faut d abord écrire l équation différentielle obtenue auparavant en complexe. [ ] ( ) ( ) 14) En BF, donc. En HF, donc. Le seul graphe compatible est le graphe n 2. 15) Pour envisager une résonance en amplitude, il faut que l amplitude passe par un maximum, c est-à-dire que le dénominateur passe par un minimum. On pose ( ) et on cherche pour quelle(s) valeur(s) de cette fonction admet un minimum. ( ) La fonction admet un minimum pour ou pour ( ), c est-à-dire si ( ). Ceci n est possible que si ( ) c est-à-dire si. 16) On a alors (cf calcul ci-dessus). 17) Si, on a alors et donc. 18) Pour, on obtient 19) Les pulsations de coupure sont telles que 20) Pour une résonance en intensité dans un circuit RLC série, on a : 4

5 21) Le phénomène de résonance a lieu pour ce qui est en accord avec la valeur du fondamental étudié dans la partie 1. On trace la droite horizontale correspondant à fréquences de coupure aux intersections de cette droite avec la courbe.. On relève les Et AN :. On a bien un facteur de qualité très grand. 22) Le verre de rayon cassera si la déformation relative est au moins de 10%, c est-à-dire si si AN : D après le tableau, la Castafiore doit chanter un Do/Do # de l octave 4 pour être au plus proche de la fréquence de résonance et espérer casser le verre (la résonance est très aigüe, il va falloir chanter très juste). Problème 2 : Modélisation et analyse d un filtrage. 1) On raisonne sur la fonction de transfert : ( ) ( ) En BF, donc. En HF,, donc. il s agit d un filtre basse bande. 2) ( ) ( ( ) ) En BF, donc ( ) donc il y aura une asymptote d équation :. 5

6 En HF, donc ( ) donc il y aura une asymptote d équation : ( ). Les asymptotes se croisent lorsque : ( ) 3) est la pulsation propre. est le facteur de qualité. En analysant la fonction de transfert, on remarque que la pulsation de résonance est, en effet pour, le dénominateur est minimal donc le gain est maximale. Graphiquement, on trouve Hz. AN :. AN:. 4) Pour déterminer un éventuel comportement intégrateur ou dérivateur, il faut raisonner avec un équivalent de la fonction de transfert. En BF : en BF le filtre présente un comportement dérivateur. En HF : en HF, le filtre présente un comportement intégrateur. 5) donc. Fondamental à puis des harmoniques à. 6

7 6) Analyse qualitative : Seule l harmonique à appartient à la bande passante donc on peut s attendre à avoir en sortie un signal harmonique de pulsation. 7) On voit sur le graphique que pour l harmonique de rang 3, donc donc on aura. On vérifie que l amplitude du fondamental sera bien négligeable. donc. L amplitude du signal ne sera pas négligeable en sortie. on n aura pas un signal quasi sinusoïdal. 8) En régime permanent, donc le condensateur est en parallèle avec un autre dipôle. 9) On raisonne sur le schéma équivalent en BF, qui correspond au régime continu Loi d Ohm : 7

8 Calculons la fonction de transfert : ( ) On identifie maintenant les paramètres en posant un système : { { { Problème 3 : Stockage de l hélium. 1) Point critique C : C est le point au-delà duquel on ne distingue plus les phases liquide et gazeuse : phase fluide (= fluide supercritique). 2) Il est difficile d obtenir de l hélium liquide car on voit sur le diagramme PT qu il faudrait. 3) On note la densité particulaire ; c est le nombre de particules par unité de volume. La loi de GP donne et on a aussi :. L application numérique donne : 4) Pour que le stockage soit sécurisé, il faut. En effet, à volume constant, un chauffage accidentel conduit à une pression beaucoup plus élevée si, initialement, car le fluide peut devenir liquide et qu un liquide est nettement moins compressible qu un gaz. 8

9 Pour l hélium, on atteindra du fluide supercritique (plus compressible qu un liquide si (ce qui sera le cas le plus souvent). 5) Dans le modèle du gaz parfait, on suppose que les particules sont ponctuelles et n ont aucune interaction entre elle. 6) Système air dans le cylindre. On choisit comme état initial le moment où le cylindre est rempli, l air aspiré est à la pression. On choisit comme état final le moment où la soupape s s ouvre, le volume est alors et l air est à la pression du réservoir c est-à-dire. L intérêt de ce système est qu entre les deux états choisis, la quantité de matière est constante EI : { et EF{ La loi des GP donne 7) Système {gaz dans le réservoir et le cylindre une fois que la soupape s s ouvre} L intérêt de ce système est que la quantité de matière est constante et que la pression est la même pour le gaz dans le cylindre et le réservoir. EI{ et EF{ La loi des GP donne 9

10 8) Pour que la soupape s s ouvre, il faut que soit atteint avant. il faut : 9) On commence par raisonner sur le deuxième aller retour du piston. La soupape s s ouvrira lorsque On choisit comme système l air dans le cylindre et le réservoir entre le moment où la soupape s s ouvre (pression ) et le moment où le volume est atteint. EI{ EF{ La loi des GP donne: ( ) ( ) ( ) Par récurrence, on en déduit la formule demandée. 10