DS de Sciences de l Ingénieur, MPSI1, octobre 14. Corrigé sur le site : et donner sa transformée de Laplace.

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1 DS de Sciences de l Ingénieur, MPSI1, ocobre 14 Durée : 1h orrigé sur le sie : h://erso.numericable.fr/sarnaud/ Quesions de cours 1. Donner la srucure d une chaine d énergie.. Exliquer ce qu es SysML (en quelques mos). 3. Dans un sysème asservi, donner le rôle du correceur. Exercice Tracer la foncion e ( u( 1) ( ). u( ) ( 3). u( 3) e donner sa ransformée de Lalace.. Tracer la foncion e( sin(. u( sin( ). u( ) e donner sa ransformée de Lalace. 3. Soi le sysème défini ar la foncion de ransfer H, déerminer la réonse emorelle de ce sysème à une imulsion. 4. Soi la foncion S, déerminer s(0), s( ) e s (0) en uilisan les héorèmes des valeurs iniiales e finales. Exercice. Soi le sysème don le comoremen es défini ar l équaion différenielle : 1. Déerminer sa foncion de ransfer d s( ds( s( 4. e(. d d H S( ) E( ). Déerminer la réonse de ce sysème à un échelon uniaire. Exercice 3 Saion d éuraion Une saion d'éuraion raie les eaux usées collecées ar le réseau d'égous des aggloméraions. Elle a our foncion de les débarrasser de la olluion liée à l'acivié humaine. Les eaux urifiées son ensuie rejeées dans le milieu naurel (fleuve, rivière, ). 1/8

2 Éude de la filière boue Les boues son consiuées d eau e de maière sèche. La siccié es le ourcenage massique de maière sèche. Ainsi, une boue avec une siccié de 10 % résene une humidié de 90 %. Afin d incinérer les boues, il fau les déshydraer our aeindre une siccié de 0 %. La déshydraaion mécanique ar cenrifugaion erme de séarer l eau des maières sèches dans les boues. La cenrifugaion se base sur la différence de densié enre les maières sèches e l eau résene dans cee boue. La boue arrive avec une ceraine viesse horizonale ar un coé de la cenrifugeuse. L eau raverse alors oue la cenrifugeuse dans sa zone cenrale andis que les maières en susension son laquées conre le ambour exérieur du fai de sa viesse de roaion. Une vis inérieure, ournan dans le même sens que le ambour mais à une viesse lus imorane, vien alors récuérer les boues e les évacuer en sens inverse de l eau jus- qu à la sorie laérale. La comréhension du foncionnemen des flux d eau e de boue dans la cenrifugeuse n es as nécessaire à la suie de l éude. La boue visqueuse es cisaillée ar la différence de viesse enre la vis e le ambour (Bol exérieur). La siccié de la boue es direcemen liée à cee différence de viesse don l asservissemen es l obje de l éude suivane. La séquence de lancemen de la cenrifugeuse se déroule en rois hases : Mise en marche du remier moeur Mambour jusqu à ce que le ambour 1 aeigne sa viesse de consigne de 000 ours/min. Le moeur Mrel es à l arrê. /8

3 Mise en marche du deuxième moeur Mrel jusqu à ce que la viesse différenielle de ours/min soi aeine enre le ambour 1 e la vis 3. La vis 3 ourne ainsi lus vie que le ambour 1. La boue liquide es ensuie inroduie. Première hase : Mise en marche du remier moeur M ambour Um( r( Moeur M ambour ω 10 ( 3/8

4 d ( d Son équaion de foncionnemen es : 10 T J.( u (. ( ) ( ) R. m e 10 Avec : Um( Tension d alimenaion (en Vol. ω 10 ( Viesse de roaion du moeur (en rad/s). r( oule résisan sur l'arbre de sorie du moeur (en mn). J eq1 = J Inerie équivalene ramenée à l axe de roaion de l arbre. e = T oefficiens de coulage. R Résisance de l'indui. On considère le coule résisan nul, l équaion devien : J d ( 10 T.( u (. ( )) m e d R. 10 On donne : e = T = 3 ( T en N.m/A, e en V.s/rad) R = 0,3 Ω J = 500 kg.m Quesions 1. Déerminer la foncion de ransfer H m 10 U m. Faire l alicaion numérique.. Déerminer ( ), la réonse emorelle de ce sysème à un échelon de 150 Vols Mere H m sous forme canonique, idenifier ses aramères caracérisiques. En déduire la courbe de réonse à un échelon de 150 Vols, ses erformances en raidié e la valeur finale de la viesse de roaion (à rerésener sur la courbe). r Le comoremen du moeur eu se rerésener sous la forme du schéma bloc suivan : Quesion 4 alculer H m à arir de ce schéma bloc e rerouver le résula de la quesion 1. 4/8

5 On asservi ce moeur, la srucure de l asservissemen es donnée ci-dessous. Avec : N 10c ( onsigne de viesse de roaion en our ar minue du moeur M ambour. N 10 ( Viesse de roaion en our ar minue du moeur M ambour. e( Force conre-élecromorice. m( oule moeur. mt oefficien de ransfer de la générarice achymérique. Quesion 5 Quels élémens jusifien le fai qu on a affaire à un sysème asservi. On considère le coule résisan nul, arès calcul, la srucure de l asservissemen devien : Quesion 6 Déerminer la foncion de ransfer H T, e. N N 10 Avec 0,01 0s 10 en foncion de. On choisi dans un remier ems un correceur roorionnel : T, déerminer la foncion de ransfer H Quesion 7 Avec 300, faire l alicaion numérique e la mere sous forme canonique En déduire la réonse à un échelon de viesse N 10c ( = 000 ours/min. Donner les erformances de ce asservissemen (sabilié, déassemen, récision, raidié). 5/8

6 On donne dans le documen réonse la réonse à un échelon de viesse de N 10c ( = 000 ours/min avec un correceur roorionnel : T 500 (abscisse : ems en seconde, ordonnée : viesse de roaion en our/min). Quesion 8 Déerminer les erformances de l asservissemen en viesse avec ce correceur roorionnel T 500. On choisi dans un deuxième ems un correceur roorionnel inégral : T On donne dans le documen réonse la réonse à un échelon de viesse de N 10c ( = 000 ours/min avec un correceur roorionnel inégral (abscisse : ems en seconde, ordonnée : viesse de roaion en our/min). i Quesion 9 Quesion 10 Déerminer les erformances de l asservissemen en viesse avec ce correceur roorionnel inégral. Faire un bilan des erformances en remlissan le ableau du documen réonse. onclure sur l effe des différenes correcions. Transformées usuelles. Domaine emorel 1 Domaine de Lalace. a e n Domaine emorel Domaine de Lalace 1 sin cos sh 1 a ch n! n1 / e 1 e a. n n1 1 n! a e a.sin e a.cos a a a 1 a. 1 a.. e a. a e e a. b a. b. b a 6/8

7 Quesion 8 1 e a a.. a a b a. a b. 1. e a b. e a b. a. b a. b Quesion 9 Quesion 10 orreceur Sabilié Déassemen Précision Raidié 300 T 7/8

8 T 500 T i 8/8

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