Étude d un lac de montagne

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1 Université Paris Saclay année 015/016 Université Paris Sud faculté des sciences Licence de physique L3 PAPP & MECA Physique Statistique Examen du 7 janvier 016 Durée : 3h Seuls documents autorisés : le polycopié de cours; calculatrices collège autorisées. On note k B et h les constantes de Boltzmann et de Planck, β = 1/(k B T) et = h/(π). Attention, les sujets pour les étudiants de PAPP et de MECA diffèrent; la partie A est à traiter par tous les étudiants; la partie B par les seuls étudiants de MECA; la partie C par les seuls étudiants de PAPP. Ces trois parties peuvent être traitées de façon indépendante en utilisant les résultats intermédiaires. Étude d un lac de montagne On considère un lac, dont la surface horizontale forme un disque parfait D(R), centré autour de l origine O et de rayon R. On munit le plan horizontal d un repère Oxy. Autour du point ( R,0) situé en amont débouche un ruisseau qui alimente le lac en eau, tandis que, symétriquement, le surplus du lac se déverse au point (R,0) dans le ruisseau d aval. Lorsqu il sera nécessaire, 0z représente l axe vertical. A Étude dans l ensemble grand-canonique On étudie l eau du lac, considéré comme un ensemble de molécules de masse m. On négligera les mouvements de vibrations et on assimile ces molécules à des particules indiscernables et sans interaction. Le hamiltonien total s écrit donc N ( p xi +pyi H(N) = +p zi + L xi +L yi +L ) zi m I i=1 où N est le nombre de molécules, p i la quantité de mouvement de la molécule i, I son moment d inertie 1 et L i son moment cinétique, traité classiquement. N est indéterminé et on fixe le potentiel chimique µ correspondant à une valeur de N donnée. Le volume du lac est déterminé, ainsi que la température du ruisseau, notée T r. La température 1. On néglige les différences entre I x, I y et I z. 1

2 dans le lac dépend de la position (q x,q y ). La température moyenne du lac est notée T l. L expression de la température en un point de coordonnées (x x,q y ) s écrit où T dépend de T l, T r et R. T(q x,q y ) = T r + T ( 1+ q x R ) ( qy ) + (1) R 1. question bonus Donner l expression intégrale définissant implicitement T.. Justifier l expression de la grande fonction de partition Ξ = N=0 1 h 6N N! N i=1 d 3 q i ( d 3 p i e µ p i /(m) k B T(qx,qy)) 4π 3 en particulier, la disparition du facteur N devant µ. d 3 L i e L i /(I) ) k B T(qx,qy)) 3. On supposera que la profondeur du lac est uniforme et vaut V/(πR ). Montrer que Ξ = z(µ) N N=0 où l expression de z(µ) est donnée par N! z(µ) = κ dxdye µ/(kbt(x,y)) T(x,y) 3 D(R) où vous préciserez l expression de κ en fonction de m, I, k B, h et V. 4. Dans l expression du grand potentiel thermodynamique J = k B T lnξ, il faut remplacer T par T l. Donner l expression de J en fonction de z(µ). 5. On admettra l expression approximative z(µ) Ae µ/(k BT l ). Calculer N en fonction de µ, A et de constantes physiques. 6. La densité massique de l eau est d à peu près 1 kg par litre. Sachant que sa masse molaire est m mol = 18 g/mol, le nombre d Avogadro N A = 6,0 10 3, calculer n le nombre de molécules par m On donne le volume du lac V = m 3, en déduire N le nombre moyen de molécules dans le lac. 8. Finalement, sachant que A = 9, , k B = 1, et T l = 84 K, calculer le potentiel chimique µ dans ces conditions physiques. ; B Analyse des mécanismes de diffusion Deux mécanismes de diffusion de chaleur s opposent. D une part, le ruisseau a une température plus petite que celle du lac, de sorte qu une température plus froide se diffuse selon la loi (1). Le débit D d eau entrant à la température T r est égal au débit d eau déversée par le lac en aval, à la température T m. Voici une représentation des isothermes sur le lac :. Le facteur 4π 3 provient de l intégration des angles associés à L x, L y et L z.

3 D autre part, le soleil chauffe superficiellement le lac grâce aux rayons lumineux. La dépendance de la température en fonction de la profondeur est un phénomène très remarquable, qu on ne prendra cependant pas en compte car l ensemble des mécanismes qui nous intéressent se déroulent dans la couche superficielle (appelée épilimnion) et on négligera, pour simplifier, cette dépendance. a Refroidissement par le ruisseau 1. Donner l expression de T m et de la différence T m T r.. Montrer que la variation de température moyenne du lac par seconde due au ruisseau s écrit η 1 = D T. V 3. La molécule d eau possède trois degrés de liberté de rotation; par contre, à ces températures, les degrés de liberté de vibration sont gelés. En appliquant le théorème d équipartition, montrer que l énergie de chaque molécule s écrit ε = pk B T où vous préciserez la valeur du nombre p. 4. Dans ces conditions, montrer que ν 1, la variation d énergie par seconde due au ruisseau s écrit ν 1 δu/δt = Dnpk B T, préciser son signe et la calculer, sachant D = 3,5 m 3 /s et T = 8,84 K. b Échauffement par le soleil 1. La puissance reçu par unité de surface ensoleillé vaut P 3000 W/m. On tiendra compte d un coefficient d albédo 3 de 0,5. Calculer ν,lavariationd énergiereçuedusoleil parseconde, sachant quelasurface du lac s écrit S = πr. En déduire le flux d énergie j q, c est à dire l énergie par unité de temps et par unité de surface, en fonction de ν et S. 3. Cela signifie que seule la moitié de l énergie solaire reçue est effectivement absorbée par le lac. 3

4 . Utiliser la loi de Fourier, avec un coefficient de conduction thermique λ, afin de déterminer T/ z en fonction de ν et des autres paramètres utiles. 3. L équation de la chaleur s écrit η T/ t = d T/ z, où d est la diffusivité thermique del eau.onvaécrireici T/ z = (1/L) T/ z, oùlest laprofondeur de pénétration moyenne des rayons lumineux. 4 Donner la relation entre η et ν. 4. Pour calculer L, on utilise le principe suivant : ν 1 /η 1 = ν /η ainsi que la relation empirique V = (1, )S + 1,313S. Sachant que d = 1, m /s et λ = 0,6 Wm 1 K 1, calculer L, pour R = 50 m et pour R = 50 m; vérifier que L est à peu près constant pour ces dimensions. c Équilibre thermodynamique 1. On constate que, pour R plus grand qu une certaine valeur R c, que vous calculerez, l énergie reçue par le soleil (et l augmentation de température conséquente) ne peut être compensée par le refroidissement dû au ruisseau). Calculer R c.. Pour R < R c, le soleil ne peut compenser l apport de froid dû au ruisseau. Dans ce cas, on a la température du lac est inférieure à la valeur T l donnée et peut être déterminée par la courbe suivante : Sachant que cette courbe peut s écrire T l (R) = T r + ar, calculer a à partir de l équation T l = T r +ar c et en déduire T l(r) pour R = 50 m. 3. Pour R > R c, la courbe précédente ne s applique pas car le lac ne peut atteindre un état d équilibre. Imaginer et décrire en quelques mots le mécanisme d alternance diurne/nocturne de température du lac. C Lampe à filament On étudie une lampe à incandescence, avec un filament de Tungstène de 1 g porté à 873 K. On va comparer le nombre d électrons libres et de photons. 4. Dans un régime transitoire, L sera plutôt la frontière de l onde thermique, dépendant du temps, mais on se place ici dans un régime permanent. 4

5 a Étude des électrons Les électrons libres forment un gaz de fermions sans interaction. Le hamiltonien à une particule qui régit leurs énergies est H = p m où m = 9, kg est la masse des électrons, p = p x +p p y +p z et on rappelle la valeur de leur spin s = 1/. On donne h = 6, On pose µ leur potentiel chimique et on veut déterminer N en fonction de µ. 1. Les particules sont dans une boîte de bords L et de volume V = L 3. Retrouver la densité d état en énergie D e (ε) en fonction de constantes physiques et de V.. Donner l expression intégrale de la densité électronique N e /V en fonction de µ et de constantes physiques, où N e est le nombre d électrons. 3. On verra plus loin que l approximation T = 0 est valable dans ce système. Donner l expression de N e /V dans cette approximation, en fonction de ε F, l énergie de Fermi que vous redéfinirez. 4. Avec la même approximation, calculer la densité d énergie électronique par volume, E e /V, en fonction de ε F. 5. Sachant que la masse molaire du Tungstène est de 183,84 g/mol, calculer le nombre d atome de Tungstène N W. 6. On peut déterminer V de la façon suivante : V est le volume du filament de Tungstène. Le calculer, connaissant sa masse volumique kg/m Calculer le potentiel chimique µ, sachant qu il y a deux électrons libres par atome, c est-à-dire N e = N W. Vous exprimerez µ en ev, sachant 1 ev= 1, J. 8. Déterminer à quelle température µ correspond. On note T f cette température. Vérifier que T/T f 1, ce qui justifie l utilisation de l approximation précédente. 5 b Étude des photons 1. Déterminer la densité d état en énergie D p (ε) en fonction de constantes physiques.. Calculer la densité photonique N p /V, où N p est le nombre de photons. On donne 0 t /(e t 1)dt = ζ(3), Calculer la densité d énergie photonique par unité de volume E p /V. On donne 0 t 3 /(e t 1)dt = 6ζ(4) = π 4 / Calculer le nombre de photons émis par électrons (ce nombre est-il > 1 ou < 1?). 5. Comparer l énergie photonique et l énergie électronique? Conclure en ce qui concerne le chauffage thermique. 5. La valeur exacte donnée par l expression trouvée en b donne une erreur relative < 1/