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1 CHAPITRE ES FONCTIONS D UNE SEUE VARIABE eerle So I ue pre o vde de R Ue pplco de I ds R es ue correspodce ere les élémes de I e ceu de R elle que ou éléme de I dme ue e ue seule me ds R Déos Ue oco réelle d ue vrle réelle es ue pplco d ue pre de R ds R es dée e s correspodre à ue e ue seule vleur réelle R O oe D l esemle de déo de e le rphe de es l esemle O oe Eemples : C So ue oco dée pr D M / D : D R R Alors R/ R ; So ue oco dée pr l R / D Alors Pré d ue oco Déo : O d qu ue pre D de R es smérque pr rppor à s e seuleme s : Pour ou réel s D lors D Esemles smérques pr rppor à Eemples o smérques pr rppor à R-{} R-{} R-{-; } R-{-; } ; 4; 4 4 Déos : Soe ue oco e D so esemle de déo O d que es pre s e seuleme s

2 D es smérque pr rppor à e pour ou réel de D o : - = O d que es mpre s e seuleme s D es smérque pr rppor à e pour ou réel de D o : - = - Foco pre C es smérque pr rppor à o oco mpre C es smérque pr rppor à O Eemples - es ocos - es ocos cos ; s ; so pres so mpres Pérodcé Déo O d qu ue oco es pérodque s e seuleme s l ese u réel T srceme pos el que : D o : T D e T O ppelle pérode de l oco le plus pe réel T vér l propréé c-dessus Eemples de ocos pérodques Rppelos les résuls e cous sur les ocos pérodques clssques : Foco D Pérode s R cos R R k / k Z

3 s+ ; R cos+ ; R Composée de deu ocos So ue oco dée sur u ervlle I à vleurs ds u ervlle J e ue oco dée sur J oco composée de suve de es l oco oée o dée pour ou de I pr : o Eemple : : e : lors o CONTINUITE Soe ue oco dée sur u ervlle ouver I e Déo O d que es coue e Eemple So ue oco dée pr : dée pr : o : I s e seuleme s 5 s O Alors es ps coue e Coué à uche e coué à droe Ue oco es coue à droe e s e coue à uche s Coué sur u ervlle O d qu'ue oco es coue sur u ervlle s elle es coue e ou po de l'ervlle Au erémés de l'ervlle l u compredre coue pr coue à droe ou coue à uche Eemples - es ocos cos ; s polomles so coues sur R - l ; es coue sur ; - es coue sur ou ervlle e e les ocos I R k / k Z Opéros sur les ocos coues Soe e deu ocos dées sur u ervlle I ; S les ocos e so coues sur I lors es coue sur I R

4 es coue sur I es coue sur I 4 S sur I lors es coue sur I 5 S es coue sur I e es coue sur I lors o es coue sur I DERIVABIITE Soe ue oco dée sur u ervlle ouver I e Déo O d que es dérvle e s e seuleme s I O écr l ' es l dérvée de e Eemple So ue oco dée pr l R 4 O R Alors es dérvle e e ' Ierpréo rphque Théorème : orsque es dérvle e lors coure représeve dme u po A ue ee de coece dreceur ' T : ' C de l oco Eemple : : O 4 e ' lors l équo de l ee T u po A4 es : ' lors T : Déo ; So ue oco dée sur ; 4

5 O d que es dérvle à droe e ' O écr l es l dérvée à droe de e Déo d So ue oco dée sur ; O d que es dérvle à uche e l l s e seuleme s R ; ' O écr es l dérvée à uche de e Ierpréo rphque orsque es dérvle à droe e dme u po A ue dem-ee T d s e seuleme sr : lors l coure représeve d ' T d l C de coece dreceur de l oco d ' orsque es dérvle à uche e dme u po A ue dem-ee T : lors l coure représeve ' T C de l oco de coece dreceur ' Remrques 5

6 es dérvle e d ' ' es dérvle e Eemple So s e seuleme s es dérvle à droe e à uche e e lors es coue e ue oco dée pr : 5 ; ; 4 O Alors es dérvle à droe e e A;4 ue dem-ee T d d ' e C l coure de l oco dme u po de coece dreceur E o 5 Alors es dérvle à uche e e e l coure de l oco dme u po A;4 ue dem-ee O T ' 5 C de coece dreceur 5 ' ' Alors es ps dérvle e d Dérvlé sur u ervlle e oco dérvée O d qu'ue oco es dérvle sur u ervlle I s elle es dérvle e ou po de l'ervlle I Au erémés de l'ervlle l u compredre dérvle pr dérvle à droe ou dérvle à uche O dé l oco dérvée pr ': I R ' Eemples - es ocos cos ; s polomles so dérvles sur R - l ; ; es dérvle sur - es dérvle sur ou ervlle e e les ocos I R k / k Z Opéros sur les ocos dérvées Soe e deu ocos dées sur u ervlle I ; S les ocos e so dérvles sur I lors es dérvle sur I ; R e I; ' ' es dérvle sur I e I; ' ' ' es dérvle sur I e I; ' ' ' 4 S sur I lors es dérvle sur I e 6

7 ' ' ' I; I I; o ' ' ' 5 S es dérvle sur I e es dérvle sur lors o es dérvle sur Dérvées de quelques ocos ' c; c R c; c R c cos s s u u' cos u cos cos u s u' s u cos / R u / R u' u e e u' u e l l u u' u ; R l ; R l u' u e u I e C Dérvées successves oco de clsse E doé u ervlle ouver o d que es dérvle sur ' s elle es dérvle e ou po de So ue oco dérvle sur S dérvée peu êre elle-même dérvle O ppelle lors dérvée secode ou l dérvée d ordre l dérvée de ' e o l oe '' Cee k oco peu êre elle-même dérvle ec S es k os dérvle o oe s dérvée d ordre k k ou dérvée -ème Pr déo l dérvée d'ordre es l oco elle-même S ' so dérvles e es coue sur I lors sur I Foco déme dérvle es de de clsse C S es de clsse Eemples C IN es de de clsse C ou déme dérvle sur I 7

8 4 : ; ': 4 ; '': 6 ; : 4 6 ; 4 : 4 ; e 5 : C sur R Alors es de clsse : cos : es de clsse C sur R e k R k IN cos s k k k o : 4 DIFFERENTIEE D UNE FONCTION Déo : S es dérvle sur I elle es dérele sur I O oe l déreelle de : d ' d d dése ue pee vro de l vrle d ' d O dédu lors l écrure déreelle de l dérvée : Opéros sur les déreelles Soe e deu ocos dées sur u ervlle I ; S les ocos e so déreles sur I lors es dérele sur I ; R e d d d d d d es dérele sur I e d es dérele sur I e d 4 S sur I lors es dérele sur I e 8 d I 5 S es dérele sur I e es dérele sur lors o es dérele sur I e d o ' o d Eemples : s es dérele sur R e d cos d : es dérele sur ; e d d s s : e es dérele sur R e d e cos d 4 : es dérele sur R e d d 5 : l es dérele sur ; e d d 5 APPICATION DE A DERIVEE A ETUDE GOBAE DES FONCTIONS Rèle de l Hôpl Soe I u ervlle de R e dérvles sur I vec pour ou I lors I d d ou ue erémé de I e ou o S e so e s e ' ou

9 ' l ' l l e ou e Remrque rèle de l Hôpl es u moe pour lever l déermo ds le clcul des es qu présee les ormes déermées de pe Eemples : l F I Posos l e ' l O lors ' e ' e ' rèle de l Hôpl peu êre ulsée pluseurs os ds le clcul de l e : l F I l ' l e ' l ' l O ' l de l Hôpl à ' e ' l l Théorème de Rolle Posos l e l E clcul les dérvées secodes de Théorème : So ue oco coue sur l ese u mos ; el que : ' FI E ue ouvelle os o pplque l rèle l l Alors ; dérvle sur e o rouver : ; e lors Ierpréo éomérque ee à u mos u po de l coure de o es horzole c es-à-dre prllèle à l e 9

10 : 4 4 s ule u mos ue os sur ; Eercce : Morer que ' ; Soluo : es coue sur dérvle sur lors d près le héorème de Rolle ; ; Théorème des Accrossemes Fs TAF Théorème : So ue oco coue sur mos ; el que : ' ; es ue oco polômle e ' s ule u mos ue os sur ; dérvle sur lors l ese u Ierpréo éomérque ee à u mos u po de l coure de B es prllèle à AB vec A e * Eercce : : R R e R Morer que pour ou l ese c; el que e c c

11 Eremums e ses de vro Soe ue oco dée sur Déo : O d que dme u mmum lol e O d que I R dme u mmum lol e e I s s I; I ; Déo : O d que dme u mmum locl ou rel e coe el que : J; O d que dme u mmum locl ou rel e s l ese u ervlle ouver coe el que : J ; s l ese u ervlle ouver J I J I Eemple : dme u mmum lol e mmum locl e u mmum locl e u mmum lol e e u Théorème : So S ue oco dérvle sur u ervlle ouver I dme u eremum mmum ou mmum locl e ' lors Remrque : récproque de ce héorème es usse Core eemple : : ; ': o ms dme ps u eremum e ème Théorème Codo suse ou du ordre So : I R deu os dérvle sur I elle que ' o : S '' lors dme u mmum locl e S '' lors dme u mmum locl e

12 Remrque : Ds le cs où ' e '' o e peu re coclure Il u procéder pr d ures méhodes Focos moooes Soe I u ervlle de R e : I R ue oco es crosse sur s I es décrosse sur I I c es cose sur I s I d I s es moooe sur I s elle es crosse ou décrosse sur I Remrque : srce moooe se dé vec des élés srces : es srceme crosse sur I resp srceme décrosse sur I s I resp I Théorème: S es dérvle sur l ervlle I lors : es crosse sur I I; ' es décrosse sur I I; ' c I; ' es cose sur I Eercce: dée pr Euder l vro de Déermer les eremums de Coveé cocvé e po d leo Foco covee oco cocve : So : I R ue oco es covee sur I s I; : es cocve sur I s I; : Remrque : srce coveé e l srce cocvé so dées vec les élés srces Théorème: So es deu os dérvle sur I es covee sur I I; '' es cocve sur I I; '' Propréés: S es de clsse C e covee sur I lors l coure de es u dessus de chcue de ses ees : ' I C e cocve sur I lors l coure de es u dessous de chcue S es de clsse de ses ees : ' I

13 Remrque : S es de clsse C e covee resp cocve sur e u mmum resp mmum lol e elle que ' lors Po d leo : Tou po I où l cocvé che es u po d leo de l coure de Eemple : E doée l oco : qu es coue oco polomle e dérvle sur R S dérvée es ': Tleu de vro : D près ce leu ces pos ' dme u mmum locl e - e u mmum locl e pusque e s ule e che de se e '': es deu os dérvle sur R coure de dme u po d leo e A ; Démrche prque pour l éude lole des ocos - Smpler s possle l epresso de l oco - Déermer le dome de déo de - Rerder s elle es pre mpre ou pérodque pour rédure so dome d éude - Euder l coué de e les pos de dscoué éveuels - Euder l dérvlé de e clculer s oco dérvée - Euder les rches es s l e - Euder le ses de vro de e cosrure le leu de vro - Euder l coveé e l cocvé de - Cosrure l coure représeve de sur u pl crése o:

14 es rches es : Ds oue l éude e so des réels C dme uesmpoe horzole : C dme uesmpoe vercle : C dme ue rche C dme ue rche prolque d' e o prolque d' e o R C dme uesmpoe C dme ue rche olque : prolque d' e : Remrque : S lors C dme ue smpoe olque d équo Proloeme pr coué : So I u ervlle de R I O d qu ue oco : I R es proloele pr coué e s dme ue e e l e oco : I R dée pr : 4

15 I l es ppelée proloeme pr coué de e 4 Eemple : : D R 4 Alors es proloele pr coué e ; l oco O 4 R es le proloeme pr coué de 4 4 e R : R R dée pr : Pr El-Mekkou Jelmekkw@mlcom Jwdmekkou@mlcom 5

16 CHAPITRE Iérles dées e Iérles éérlsées ES FONCTIONS PRIMITIVES Déo : So ue oco réelle dée sur u ervlle I O d que dme ue oco prmve F sur I s : F es dérvle sur I I; F' O oe F d Eemple: F : s es ue oco prmve de : cos sur R cr F es dérvle sur R e R; F' Théorème : S F es ue oco prmve sur I s écr : G F ce lors oue ure prmve G de Théorème : Toue oco coue sur I dme des prmves de clsse Prmves de quelques ocos C sur I F d c c R c ce N ce R e R * u' u s cos u' u R 6 prmve ce e ce l ce l u ce cos ce s ce u ce

17 c u' e u R e c c l c ce e u ce Eemples : A prr du leu clculos les prmves des ocos suves : 5 4 ; F ce; 5 4 ; F l ce e e ; F e ce l l l ' ; l F l l ce ES INTEGRAES DEFINIES Déo So R ere prmve sur : ue oco coue sur e es le omre réel d F F érle dée de Avec F es ue oco Eemples d d l l 4 cos d s Ierpréo éomérque So R : ue oco coue sur d es l re de l réo déée pr C O : e : 7

18 Eemples re de l réo déée pr d d C : e : es : O d d Propréés Soe e deu ocos coues sur d d d d c d c 4 d 5 Relo de Chles d d d d R 5 S sur E prculer : S S sur sur d lors d d lors d lors d d 6 Iélé de Cuch-Schwrz : d d d 8

19 Eercce : Morer que : cos d vleur moee : Déo : so ue oco coue sur vleur moee de l oco sur es le omre : sur Eemple : vleur moee de l oco m d Techques de clcul des érles Clcul drece Eemples : d d 9 m d es : 4 d d 4 Iéro pr pres Théorème : Soe u e v deu ocos de clsse Eemples : Clculos l d O pose I I u' v d C sur lors o : u v u v' d u' e v l lors u e l d u' v d u v l d v' u v' d l d l 4 5

20 Clculos J e d O pose u' e e v lors u e e v' E lors : J e e d e e d Applquos ue deuème os ue éro pr pres à l érle e d O pose u' e e v lors u e e v' E lors : e d e e d e e d E com e o : J e Iéro pr cheme de vrle Théorème : Soe el que e ue oco dérvle sur lors o : [ ] :[ ] [ e ] dérvle sur [ ] ' d d Eemples : l I d l l ' d O pose l lors : d d e l I l d l J d l l O pose d d d lors : J d e lors lors o :

21 J l l ES INTEGRAES GENERAISEES orsque l oo de l érle dée sur u ervlle ermé oré [ ] es éedue à u ervlle ouver ou sem-ouver oré ou o c es à-dre que les erémés peuve uss êre de pe d érle éérlsée ou o prle E d ure ermes l érle es ue érle éérlsée s es ps dée e ue u mos de ses ores ou u mos ue de ses ores es e Iérle coveree érle dveree S es ue oco coue sur l ervlle érle e o écr es coveree ou covere s l R S es ue oco coue sur l ervlle érle e o écr es coveree ou covere s l R S resp resp ed vers l érle dme ps de e ou ue e e qud es de dveree ou dvere ed vers Remrque : ure d ue érle éérlsée es le qu elle covere ou dvere Eemples: :

22 Doc l érle éérlsée es coveree e e : e e e Doc l érle éérlsée : e e es coveree e Doc l érle éérlsée es dveree Iérle éérlsée u deu ores So ue oco coue sur l ervlle u deu ores es dée pr l relo prs rrreme érle éérlsée c où c c es es coveree s e seuleme s les deu érles c coverees Eemple : e c so c c c c c c c c c c c

23 Pr coséque covere e Théorème cs des ocos posves Soe S e deu ocos coues e posves sur l ervlle I de l orme I - - S Ercce lors : d covere d d dvere d lors les deu érles covere dvere ou ou e so des équvlees u vose de d e Euder l coverece de l érle s Dédure l ure de Soluo : d s R; e so de même ure Doc es coveree O : Eercce coveree Euder l coverece de l érle Dédure l ure de Soluo : s es coveree lors s es

24 Doc es coveree s s Pusque e s covere lors l e es de même pour Théorème cs de ocos quelcoques So ue oco coue sur l ervlle I de l orme ou S covere es de solume coveree lors covere e o : Eemple cos cos : O ; cos es coveree d près l erccelors l e es de même pour coséque cos Eemples odmeu érle érle es érle es solume coveree 4 érle E prculer e es coveree es coveree e es coveree so coverees e pr 4

25 e dvere e covere e dvere e e covere e e dvere es coveree covere Pr El-Mekkou Jelmekkw@mlcom Jwdmekkou@mlcom 5

26 Chpre es ocos umérques de pluseurs vrles -déos Noo R / R R R R os U éléme R es u -uple ppelé veceur posséd composes réelles Boule ouvere : Soe R e r oule ouvere de cere e de ro r es l esemle : R B O r R / m r r r r r r r Eemples : Ds l oule ouvere de cere O= e de ro es : R B O O / m Ds B O R l oule ouvere de cere = e de ro es : z R / m z ; ; ; ; ; 5 ; 4 Ouver de B O r D R : So D R O d que D es u ouver de R s : D r ; 6

27 Eemples ; ; 5 es u ouver de ; ; 5 ; 4 es u ouver de R R Focos de pluseurs vrles Déo Ue oco réelle de vrles es ue pplco d ue pre R O oe : : D R R D de R Eemples : : 5² es ue oco réelle de vrles 5 ² 4 : z z es ue oco umérque de vrles qu peu représeer le volume d u récpe où s lreur s loueur e z s hueur ds Dome ou esemle de déo : So dome de déo de D es l esemle : ese D/ Eemples : D l z z z R / e : D : D R R es ue oco de R / R * e z R R vrles e Focos prelles d ue oco de pluseurs vrles So : D R R ue oco de vrles e D oco : R R elle que R es l oco prelle de e Eemples s s 5 es ocos prelles de e ; 5 so : : e : 5 9 E prculer pour z l e z : R ; * D zr / e - z R R Pour e ème 7

28 les ocos prelles de e so : : l : e : 4-IMITE ET CONTINUITE : me e : So D R R : es ue oco de vrles e l D B Cs de deu vrles : So l 8 o ; l D D R : R ue oco e Que l o peu uss écrre : D el que e Eemples l e l e z z 7 z z z R D B ; l o l l 5 6 z 7 me e : So D R R A D B R ; A : es ue oco de vrles e A D B o o ; A Remrque: es mêmes propréés e opéros usuelles sommes produ quoe sur les es pour les ocos d ue seule vrle se éérlse u cs des ocos de pluseurs vrles Eemples " 5 " 4 " " Coué Soe D R R es coue e s : ue oco de vrles e es coue sur D s elle es coue e ou po D D

29 Cs de deu vrles es coue e Eemple : So l oco de vrles dée pr : s O s Alors es coue e Théorème : S l ème oco prelle : es ue oco coue e D R R es coue e pour ou lors D Remrque : récproque es usse so l oco : s e : e : so coues e Ms es ps coue e cr 4-Dérvées prelles e déreelle Dérvées prelles premères ou du er ordre E doé D u ouver de R Dérvées prelles premères pr rppor à So : D R R e D dme ue dérvée prelle premère ou d ordre pr rppor à e ème ou es dérvle pr rppor à s l oco prelle e es dérvle e e : O oe : l R l ' es l dérvée prelle premère pr rppor à Eemple : ; e de 9

30 O ; Alors es dérvle pr rppor à e ; e ; 4 ; 4 6 Alors es dérvle pr rppor à e ; e ; E Remrque : S dme ue dérvée prelle premère pr rppor à dérvle pr rppor à e ou po de D o d que sur D e o oe lors ue oco dérvée prelle oée : S es dérvle pr rppor à ' S e plus les ocos dérvées prelles clsse Eemples : C sur D 5² - : D R ' sur D o d que es dérvle sur D es so coues sur D es de de oco es dérvle pr rppor à e pr rppor à sur sur R e R ; e z 5 ² 7z oco es dérvle sur R oco polômle sur R z R ; z 5 7z z 7 z 7 z R z oco polômle Opéros sur les dérvées prelles : Soe : D R R deu ocos dérvles pr rppor à sur D lors : e

31 es dérvle pr rppor à R es dérvle pr rppor à es dérvle pr rppor à S sur D lors e sur D e sur D e sur D e so dérvles pr rppor à sur D e e S : D R R es dérvle pr rppor à sur D e : D R R es dérvle sur lors o : D R R es dérvle pr rppor à sur D e o ' o Eemples : D e u : es dérvle pr rppor à sur e v : e es dérvle sur R lors vou es dérvle pr rppor à sur ou R o : R oco polômle sur vou u z s5 z z es dérvle sur R e pour ou z R o : 5z z z cos5 z z 5z cos5 z z 5z z z cos5 z z zcos5 z z 5z z z cos5 z z z cos5 z z z z R R e pour ' v ou e e Déreelle d ue oco de pluseurs vrles Déo : Soe D R : R de clsse C sur D e D déreelle de e oée d d d d

32 d es l pplco dée pr : d : R R h h d h h h Eemples : e h h 6 e e déreelle de e es d d d 6d d h h R o : d h h 6h h z z z e z déreelle de e es : d d d dz z 4d d 6dz h h h R o : d h h h 4h h 6 h Grde : Soe D R : R de clsse C sur D e D e rde de e rd es le veceur Eemples : e rd ; 7

33 z z z z z z z e z z rd z ;;6 Dérvées prelles secodes ou du secod ordre Dérvées prelles secodes pr rppor à Soe : D R R D ouver de ese e es dérvle pr rppor à S j o oe : Théorème: S coues sur D lors Eemple: j j e j : R ue oco de vrles e e j O oe cee dérvée : ' ' j '' j '' j : D R R dme des dérvées prelles secodes = j j l D ; ; j D S e j 5-Focos homoèe Déo : Ue oco : D R R es homoèe de deré k R s : k k es le deré d'homoééé de Remrque: Ds cee déo l u vor : D

34 Eemples: : es homoèe de deré : es homoèe de deré h : es homoèe de deré Théorème d Euler: So : D R R ue oco de clsse deré k Alors e so homoèes de deré k k Formule d Euler e o : C sur D e homoèe de Pr El-Mekkou Jelmekkw@mlcom Jwdmekkou@mlcom 4

35 Chpre 4 Opmso des ocos umérques de pluseurs vrles 4 Opmso ss cores Eremums d ue oco de pluseurs vrles Déos: So : ue oco umérque de vrles réelles D R R O d que s : D resp O d que dme u mmum resp u mmum lol ou solu e u po D : m D D D : m dme u mmum resp u mmum locl ou rel e u po D s l ese r el que B r D Bo r B r r r r r e es l oule ouvere de cere e de ror ds Eemple : 4 mmum lol e R R D E o : R doc dme u Déo : Soe D u ouver de R e : D R R ue oco dérvle sur D Tou po soluo du ssème s : s es ppelé u po crque ou sore de 5

36 Théorème: S lors : D R R es dérvle e possède u eremum locl e D es u po crque de Remrque : récproque de ce héorème es usse Core eemple : : : e Doc le seul po crque es E oue oule ouvere de cere e de ro r o : r r r 4 r r r 4 lors dmere mmum mmum locl e Théorème: che de se Doc e peu : D R R dérvle posséd des dérvées prelles secodes e u po crque E so le réel : Alors : - S e S lors - S dme u eremum locl e e plus précséme : e S lors de S o e peu re coclure Noo de Moe: lors lors dme u mmum locl e dme u mmum locl e dme ps d eremum locl e c es u po selle r s e s r Remrque: e réel s ppel le Hesse de e représee le déerm de l mrce Hessee de u po : 6

37 7 s s r H de s r H S lors e so de même se : Eemple: O : Cherchos s dme des eremums locu 4 ou As les deu pos crques de so : e E s r R r s Alors : 9 doc dme ps d eremum e es u po selle de E o : 7 doc dme u eremum locl e e comme 6 c es plus précséme u mmum locl

38 4 Opmso vec ue core d élé Eremum lol vec core d élé Déo : po : dme u mmum resp u mmum lol ou solu e u D R R D sous l core s : e D/ resp Eremum locl vec ue core d élé Déo : D R R : dme u mmum resp u mmum locl ou rel e u po D sous l core s l ese e B r/ resp Eemples écoomques r B o r e el que D o E héore mcro-écoomque le cosommeur cherche à mmser s oco d ulé U ou s ssco pr l ch de deu es e qués posves à des pr ures e respecs e ms l es cor pr ue o de so reveu l équo de l droe udére d équo: R U sous l core R d ulé R eprmée pr O lors à mmser l oco De même le produceur à prr d u per de deu pus e qulés e e à des pr ures respecs p e p cherche à mmser le coû du per les dépeses e pus ou e vs à produre ue qué ée d oupus Il s lors de mmser l oco coû de produco q core echque où ulsée echqueme q C p p sous l eprme l oco de produco Foco de re oco de re ou le lre de es l oco à ros vrles réelles dée pr : sous l core Théorème Soe locl e e : D R R deu ocos dérvles S dme u eremum sous l core lors l ese u réel uque el que : 8

39 9 Ce réel es le mulplceur de re du prolème à opmser Remrque mpore Sous l core le ssème S es équvle à u ssème à ermes des dérvées prelles premères du lre : Ceu so les codos écessres d opmlé sous core E oue soluo de ce ssème es u po crque de cd à êre eremum locl vec core Mrce Hessee du lre e Hesse ordé mrce Hessee es l mrce d ordre composée pr les dérvées prelles secodes de u po : H e Hesse ordé de u po es le déerm de H :

40 4 Noo : S o oe r s u e v lors : u suv rv v u v s u s r Théorème So u po crque de sous l core e le mulplceur de re ssocé lors : - S lors dme u mmum locl e - S lors dme u mmum locl e - S lors o e peu re coclure Eemple Cherchos les eremums locu de sous l core : e lre ssocé es : As l u seul po crque do le mulplceur de re

41 r s u v r s u s u v v rv suv u Doc : e pr coséque dme u mmum locl e sous l core Pr El-Mekkou Jelmekkw@mlcom Jwdmekkou@mlcom 4