INITIATION A LA DEMONSTRATION
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- Joel Leblanc
- il y a 5 ans
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1 Exercice : Calcul de A : A A ( priorité de la multiplication ) A 8 A A Calcul de : ) ( ( le calcul entre parenthèses est prioritaire ) ) ( ) ( Calcul de C : 8 : C Exercice : revet Grenoble Septembre 99 c et 0 b ; a Calcul de a + b : a + b = DEVOIR : INITIATION A LA DEMONSTRATION THEOREME DES MILIEUX ET SA RECIPROQUE Correction
2 Calcul de b a c 0 b a : c 0 : 0 0 Exercice : C et C sont deux cercles de centres O et O sécants en A et. La droite (AO) recoupe le cercle C en M. La droite (AO ) recoupe le cercle C en M Montrer que les droites (MM ) et (OO ) sont parallèles. Positions relatives des droites (MM ) et (OO ) : Dans le triangle AMM', O milieu de [AM] cercle de centre O ) O' milieu de [AM'] cercle de centre O') ( [AM] est un diamètre du ( [AM'] est un diamètre du donc, d'après le théorème des milieux, les droites (OO') et (MM') sont parallèles. (OO') ( MM' ) Exercice 7 : ACD est un parallélogramme tel que A = cm et AD = cm. Soit E le symétrique du point C par rapport à et soit F le milieu du segment [CD]. Le segment [EF] coupe le segment [A] en un point G. a) Faire la figure. b) Démontrer que G est le milieu de [EF]. c) Calculer G. a) Dessin : b) Milieu de [EF] : Recherche :
3 Pour démontrer que G est milieu de [EF], nous allons utiliser la réciproque du théorème des milieux. (Pour rappel, le théorème des milieux permet de démontrer que deux droites sont parallèles et la réciproque du théorème des milieux permet de démontrer qu un point est milieu d un segment. ) Mais pour utiliser cette réciproque, il faut choisir un triangle. Comme nous voulons démontrer que G est milieu de [EF], un des côtés du triangle doit être ce segment [EF]. Il faut donc trouver dans la figure un triangle ayant pour côté [EF]. Un triangle semble évident : le triangle EFC! Dans ce triangle, nous connaissons un milieu : le point ( voir comment le point E est défini ) et nous avons une droite (G) qui est parallèle à un côté [FC] ( ne pas oublier que nous avons un parallélogramme avec, par définition, des côtés opposés parallèles ) Rédaction : Dans le triangle EFC, milieu de [CE] ( E symétrique de C par rapport à ) (G) (FC) ( supports des côtés opposés du parallélogramme ACD ) G milieu de [FE] c) Calcul de G : Le théorème des milieux est accompagné d un théorème précisant la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d un triangle. Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté. Dans le triangle AFC, milieu de [CE] ( E symétrique de C par rapport à ) G milieu de [C] ( résultat de la question précédente ) donc : FC G CD Or F est milieu de [CD] ( hypothèse ) donc FC =, Par suite, G, G =, (cm)
4 Exercice 8 : Soit ACD un parallélogramme. Soit E le symétrique du point C par rapport à D. Les droites (AE) et (C) se coupent en F. a) Montrer que A est milieu de [EF]. b) Montrer que est milieu de [FC]. a) Milieu de [EF] : Dans le triangle ECF, D milieu de [EC] ( E symétrique de C par rapport à D ) (AD) (C) ( supports des côtés opposés du parallélogramme ACD ) donc (AD) (FC) ( C, et F sont alignés ) b) Milieu de [FC] : A milieu de [EF] Dans le triangle ECF, A milieu de [EF] ( question précédente ) (A) (DC) ( supports des côtés opposés du parallélogramme ACD ) donc (AD) (EC) ( E,D et C sont alignés ) milieu de [FC] Exercice : ACD est un trapèze de base [A] et [CD]. Soit E le symétrique de D par rapport à A. Soit H le symétrique de par rapport à C. La droite (EH) coupe (A) en F et la droite (DC) en G. a) Démontrer que F est le milieu de [EG]. b) Démontrer que G est le milieu de [FH]. En déduire que EF = FG = GH.
5 a) Milieu de [EG] : Dans le triangle DEG, A milieu de [ED] ( E symétrique de D par rapport à A ) (AF) (DC) ( supports des bases du trapèze ACD ) F milieu de [EG] b) Milieu de [FH] : Dans le triangle FH, C milieu de [H] ( H symétrique de par rapport à C ) (F) (GC) ( supports des bases du trapèze ACD ) G milieu de [FH] Egalité EF = FG = GH : F milieu de [EG] ( question a ) donc EF = FG G milieu de [FH] ( question b) donc FG = FH EF = FG et FG = GH, donc EF = FG = GH Exercice 9 : revet OrléansTours 9 Construire un rectangle ACD de centre O, tel que A =,8 cm et C =, cm. Placer le point M milieu du côté [C].Prouver que les droites (OM) et (C) sont perpendiculaires.
6 Dans le triangle AC, O milieu de [AC] parallélogramme ACD ) M milieu de [C] ( O centre du ( hypothèse) donc, d'après le théorème des milieux, (OM) (A) (A ) (C) ( ACD est un rectangle ) (OM) (A) ( question cidessus ) Donc (OM) (C) Exercice : Soit ACD un parallélogramme de centre O. Soit M le milieu de [A]. La droite (OM) coupe le segment [CD] en N. a)démontrer que la droite (OM) est parallèle à la droite (C). b)démontrer que N est milieu de [DC] a) Dans le triangle AC, M milieu de [A] ( hypothèse ) O milieu de [AC] ( O centre du parallélogramme ACD ) donc, d'après le théorème des milieux, (OM) (C) b)dans le triangle DC, O milieu de [D] ( O centre du parallélogramme ACD ) (ON) (C) ( question précédente O,M et N alignés ) donc, d'après la réciproque du théorème des milieux, N milieu de [DC] Source : Inconnue
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