DS 4 -- Diagrammes P,h Conduction - Electrostatique (14/12/2018 3h) Aucune sortie n est autorisée avant 16h

Transcription

1 PC 18/19 DS 4 -- Diagrammes P,h Conduction - Electrostatique (14/12/218 3h) Extrait des Instructions générales des concours Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Si les résultats ne sont pas soulignés ou encadrés, il sera retiré 1 point /2 à la note finale. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à l attribution de points. Toute application numérique ne comportant pas d unité ne donnera pas lieu à l attribution de points. Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions. Vous numéroterez toutes vos pages. Si vous rendez 5 pages, vous devez numéroter 1/5, 2/5, 3/5, etc. Aucune sortie n est autorisée avant 16h Résolution de Pb 1 : Foudroiement (< 3 min) Lorsque la foudre frappe un point du sol, l intensité électrique qu elle transporte, de l ordre de 5 ka, se répartit à l intérieur du sol dans toutes les directions. En-deçà de quelle distance (de l impact de la foudre au sol) un individu se tenant debout peut-il risquer de mourir électrocuté? Données : conductivité du sol : γ = 5 ms. m 1 différence de potentiel mortelle (prise entre les deux pieds d un individu) : U mort ~ 1 V - 1 -

2 Problème 2 : Diagramme des frigoristes de la PAC (Banque PT 218) On considère une PAC air / eau utilisée en hiver dont le fluide frigorifique est le R41A dont le diagramme des frigoristes est donné en annexe. Ce gaz n a pas d effet sur la couche d ozone mais un impact non négligeable sur le réchauffement climatique. Le fluide est vaporisé entièrement (Etape 1-2) puis surchauffé de manière isobare (Etape 2-3), le compresseur isentrope (transformation isentropique) l amène à une pression de 2 bars (Etape 3-4), le fluide est liquéfié (Etape 4-5) puis sous refroidi (Etape 5-6). Une détente isenthalpe le ramène à l état 1. On donne les coordonnées (h, P, s) suivants à différents états du cycle. Les unités sont celles du diagramme fourni en annexe. P : Pression en bars s : Entropie massique Etat du fluide h : Enthalpie massique en kj.kg -1 en J.kg -1.K -1 Etat , Etat 2 (Etat vapeur saturante) h2 5, Etat 3 (vapeur h3 5, 19 surchauffée) Etat 4 h Etat 5 h5 2 Etat On note h enthalpie massique du fluide, w travail indiqué massique reçu algébriquement par le fluide, q chaleur reçue algébriquement par l unité de masse de fluide. a) Déterminer graphiquement les valeurs numériques de : h2, h4, h3, h5. b) Représenter le cycle sur le diagramme des frigoristes fourni en l orientant. Le document annoté ou non doit être remis avec la copie. On fera attention au changement d échelle dans le document. c) Expliquer pourquoi le condenseur est en contact avec la source chaude. d) En négligeant les variations d énergies cinétique et potentielle, déterminer littéralement : q, q, w q et , 45 q5 6 e) Donner par une mesure graphique leurs valeurs approchées. f) En déduire la valeur approchée du COP de la PAC. Quel serait le COP idéal avec les mêmes températures extrêmes? g) Quel est le débit massique du fluide pour une puissance chauffante de la PAC de 5 kw

3 Problème 3 : Conducteur ohmique torique (MPonts PSI 214) - 3 -

4 Problème 4 : Etude électrostatique d une solution colloïdale Les colloïdes, ou solutions colloïdales, sont constitués par un solvant dans lequel est introduit un corps, généralement solide, qui se disperse sous forme de «particules» dont la taille peut varier entre 1 et 1 nm. Ces «particules» sont des macromolécules ou des agrégats de petites molécules qui s ionisent dans le milieu. Ainsi le plasma sanguin ou le blanc d œuf sont des solutions colloïdales où les «particules» sont respectivement l hémoglobine ou l albumine. Certaines solutions colloïdales sont utilisées en médecine ; les «particules» sont alors constituées d agrégats de radioéléments destinés au diagnostic ou au traitement des tumeurs. D autres encore sont utilisées en parfumerie ou dans les lessives (tensio-actifs et détergents), etc. Nous nous proposons de réaliser une étude électrostatique simple d un tel milieu. On suppose que ces «particules» ont une taille grande devant celles des ions qui les environnent. Ces ions sont ceux d une eau (plus ou moins pure) constituant l électrolyte de la solution. Ils sont supposés quasi ponctuels ; ils portent une charge e et ont une densité volumique N au repos identique pour les cations et les anions (neutralité locale de l électrolyte). Lorsqu ils sont soumis à un potentiel électrostatique local en M, V(M), les ions se répartissent selon la loi de BOLTZMANN : N M ev ( M ) N M ev ( M ) = exp(- ), = exp(- ), où kb est la constante de BOLTZMANN et T N k BT N k BT la température absolue. N+(M) est la densité volumique de cations et N-(M) celle des anions. La population des «particules» est ici considérée comme suffisamment diluée dans la solution pour que le champ et le potentiel électrostatiques à leur voisinage ne soient créés que par l une d elle et par les ions qui l environnent. Ces «particules» portent la charge Q que l on suppose uniformément répartie à la surface d une sphère de rayon r. On admet enfin que la permittivité du milieu est = r, avec r = 8, autrement dit que l on peut remplacer dans les équations par. «Particule» assimilée à une sphère de rayon r. Densité surfacique Q 2 4r Milieu électrolytique extérieur (solvant et espèces ioniques) On ne s intéresse ici qu à des rayons r r

5 Densité de charge 1.1. Établir l expression de la densité volumique de charge (M) entourant une particule en fonction de N, e, kb, V(M) et T Que devient cette expression si ev(m)<<kbt? On supposera cette approximation vérifiée par la suite. Recherche du potentiel électrostatique 2.1. D après la description du phénomène et les hypothèses ci-dessus quelles sont la direction et les dépendances du champ E? Montrer que le résultat est cohérent avec une dépendance de V en r uniquement : V(M) = V(r) En appliquant le théorème de Gauss à deux sphères concentriques voisines, écrire une équation différentielle reliant r 2 E(r) à la densité volumique de charge r) En déduire que le potentiel vérifie l équation : 1 d 2 2 r dr ( r dv dr ) 2.3. Quel résultat du cours retrouve-t-on? 2.4. Etablir l équation différentielle vérifiée par la fonction U(r) = rv(r). On posera 2 k BT = 2 2N e Résoudre cette équation, puis donner l expression générale de V(r), en tenant compte des conditions aux limites spatiales, en fonction de r, et d une constante d intégration A que l on ne cherchera pas à déterminer pour l instant (on prendra > ) Quelle est la dimension de? Donner une interprétation physique de cette grandeur. Donner un ordre de grandeur de à température ambiante pour de l eau pure. On rappelle que = 1 F.m -1 et kb = J.K -1. Le champ électrostatique 3.1. Ecrire le champ électrostatique en un point extérieur à la particule Que serait ce champ si la particule n était pas entourée d ions? En déduire l expression de la constante A en fonction notamment de r et Q Exprimer alors E (r) et V(r). Force d interaction 4.1. Ecrire l expression de la force F(d), qui s exerce entre deux «particules» de colloïde éloignées d une distance d Ecrire la force F, s exerçant entre ces deux particules sans les ions environnants Exprimer F ( d ).Calculer F ( d ) pour d = 1 r dans l eau pure, puis dans un électrolyte où N F F = 1 N(eau pure)

6 Annexe à rendre obligatoirement avec la copie - 6 -