Matrices à coefficients dans R ou C.

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1 BCPST1 B 2015/2016 Matrices à coefficients dans R ou C Dans ce chapitre n, r, q et p sont des entiers naturels non nuls, Les éléments de R ou de C sont appelés nombres ou scalaires I) Définition et vocabulaire des matrices Définition : Une matrice de taille (n, p) est un tableau rectangulaire de nombres comportant n lignes et p colonnes Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice Notation : ou encore : A (a i,j ) (i,j) [[ 1,n ]] [[ 1,p ]] ou A (a i,j ) 1 i n 1 j p A a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,p a i,1 a i,2 a i,j a i,p a n,1 a n,2 a n,j a n,p Le premier indice indique la ligne, le second la colonne On fera dans ce cours des remarques sur Python On utilise pour le calcul matriciel la bibliothèque numpy from numpy import * On utilise alors des variables avec des nouveaux types : array ou matrix Attention, les opérations avec ces deux types de variables ne sont pas les mêmes Egalité entre deux matrices : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont même taille et que leurs coefficients sont égaux (pour tout couple (i, j) [[ 1, n ]] [[ 1, p ]], a i,j b i,j ) On notera parfois (A) i,j le coefficient de A se trouvant à la i-ème ligne et à la j-ième colonne (A) i,j a i,j Si n 1, on dit que la matrice A est une matrice ligne Si p 1, on dit que la matrice A est une matrice colonne On appelle : i ième ligne de A est la matrice ligne (a i,1 a i,2 a i,p ) a 1,j j ième a 2,j colonne de A est la matrice colonne a n,j 1

2 Si n p, on dit que la matrice A est une matrice carrée Lorsque A est une matrice carrée, on dit qu elle est : triangulaire supérieure si (i, j) [1, n] 2, i > j a i,j 0, triangulaire inférieure si (i, j) [1, n] 2, i < j a i,j 0, diagonale si (i, j) [1, n] 2, i j a i,j 0, Cette matrice se note aussi : Diag(a 1,1, a 2,2,, a n,n ) Exemples remarquables : La matrice nulle à n lignes et p colonnes (notée 0 ou 0 n,p ) : En Python, l instruction suivante affecte à la variable A la matrice nulle à n lignes et p colonnes : >>> Amat(zeros([5,5]) La matrice identité de dimension n (nécessairement une matrice carrée) notée I n En Python, l instruction suivante affecte à la variable A la matrice identité d ordre n : >>> Amat(eye(5)) Ensemble des matrices : On note : M n,p (R) l ensemble des matrices n p à coefficients réels, M n,p (C) l ensemble des matrices n p à coefficients complexes M n (R) l ensemble des matrices carrées n n Exemples : Ecrire la matrice Diag( 1, 0, 2, 3, 4) La matrice M de M 4,3 (R) telle que pour tout (i, j), M i,j i j Ecrire I 2, I 3 et I 4 Donner des exemples dans les cas suivants : Une matrice T 1, triangulaire inférieure de M 4 (R) Une matrice T 2, triangulaire supérieure de M 4 (R) avec 2 zéros sur la diagonale Une matrice M de M 4 (R) avec une diagonale nulle Une matrice A de M 1,4 (R) Une matrice B de M 4,1 (R) 2

3 II) Combinaison linéaire de matrices Définition : Soient A (a i,j ) 1 i n 1 j p et B (b i,j ) 1 i n 1 j p La matrice αa + βb est la matrice (α a i,j + β b i,j ) 1 i n 1 j p deux matrices de M n,p (R) et α, β deux scalaires Remarques : - pour tout couple (i, j) : (αa + βb) i,j (α a i,j + β b i,j ) - Pour pouvoir additionner deux matrices, elles doivent avoir la même taille - Toute matrice a une matrice opposée ( A) ( a i,j ) 1 i n 1 j p Généralisation : Soient A 1, A 2,, A m des matrices de M n,p (R) et α 1, α 2,, α m des scalaires La matrice m α k A k est la matrice de M n,p (R) définie par : ( m ) α k A k i,j Définition : Dans M n,p (R), Dire que M est une combinaison linéaire de A et B signifie que : Généralisation : Dans M n,p (R), Dire que M est une combinaison linéaire des matrices A 1, A 2,, A m signifie que : Exemples : ➊ On considère M A ➀ Exprimer A comme combinaison linéaire de J et I 2 et J ➁ La matrice M est-elle combinaison linéaire de A, J et I 2? ➋ Déterminer les coefficients des matrices : n 1 k S k 2 k 3 k0 C n k0 2 k 3 k

4 Propriétés : Soit A, B et C trois matrices de même taille, k et k deux scalaires, on a alors : 1) (A + B) + C A + (B + C) 2) A A A ( 0 matrice nulle de même taille que ces matrices ) 3) A + ( A) ( A) + A 0 (où A est la matrice ( 1) A) 4) A + B B + A 5) k(a + B) ka + kb 6) (k + k )A ka + k A 7) (kk )A k(k A) 8) 0A 0 9) 1A A Démonstrations III) Produit de matrices Feuille annexe 4

5 b 1,1 b 1,j b 1,r b k,1 b k,j b k,r a 1,1 a 1,k a 1,q a i,1 a i,k a i,q b q,1 b q,j b q,r c 1,1 c 1,r c i,j a p,1 a p,k a p,q c p,1 c p,r Remarques : Pour pouvoir faire le produit AB il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Pour calculer le terme c i,j on utilise la i-ème colonne de A et le j-ème colonne de B Exemples : Effectuer, quand c est possible, les produits de matrices suivants : 1) et / ) et et / ) et / /2 4) 4 2 3/4 2 0, et 2/3 1 2/3 3 ) / )

6 Définition : Soit A (a i,j ) 1 i p 1 j q Le produit AB est la matrice C (c i,j ) 1 i p 1 j r avec : et B (b i,j ) 1 i q 1 j r q (i, j) [[ 1, p ]] [[ 1, r ]] c i,j a i,k b k,j Remarque : Pour tout (i, j) [1, n] [1, p], q (AB) i,j (A) i,k (B) k,j Propriétés Pour tout A M p,q (R) : AI q I p A A Pour tout A M p,q (R) et (B, B ) M q,r (R) 2 : A(B + B ) AB + AB Pour tout (A, A ) M p,q (R) 2, B M q,r (R) : (A + A )B AB + A B Pour tout A M p,q (R), B M q,r (R) et pour tout α R : (αa)b α(ab) A(αB) Pour tout A M p,q (R), B M q,r (R) et C M r,s (R) on a : A(BC) (AB)C Démonstration de A(BC) (AB)C (A(BC)) i,j q A i,k (BC) k,j q h1 r h1 r A i,k B k,h C h,j q A i,k B k,h C h,j ( r q ) A i,h B h,k C k,j h1 r (AB) i,k C k,j ((AB)C) i,j Remarques importantes : - La multiplication des matrices carrés n est pas une loi commutative En prenant par exemple A et B on a AB BA - L égalité AB 0 n entraîne pas nécessairement A 0 ou B 0 (On dit que la multiplication n est pas une loi intègre) en prenant par exemple : A et B 6

7 On vient de voir qu il est faux de déduire de AB 0 que A ou B est nulle En revanche il existe des propositions (évidemment vraies) qui sont proches : Propositions : Pour tout k R et tout A M n,p (R), ka 0 équivaut à k 0 ou A O p,n Pour tout A M n (R), Cas particuliers : Matrice nulle ( A, A 0 0) Matrice identité ( A, A I A) Produit de deux matrices diagonales si ( X M n,1 (R), AX 0) alors A 0 Produit d une matrice par une matrice diagonale à droite ou à gauche Produit d une matrice et d une matrice colonne Produit d une matrice et d une matrice ligne Proposition : Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Démonstration C est un bon exercice Commencez par illustrer avec soin le produit de deux matrices triangulaires Démontrons ce résultat avec la définition du produit Soient A et B deux matrices triangulaires supérieures de taille n, ( on a ainsi j < i a i,j b i,j 0 ) Soient i et j deux entiers entre 1 et n, tels que j < i, { Montrons que (AB) i,j 0 } (AB) i,j n a i,k b k,j On a j < i donc pour tout k [1; n] on a k < i ou j < k ( placer 1, j, i et n sur un axe ) ce qui montre que pour tout k [1; n] on a : a i,k 0 ou b k,j 0 k0 ce qui entraine que pour tout k [1; n] on a a i,k b k,j 0 et enfin n a i,k b k,j 0 k0 7

8 Dans le cas général : Produit de deux matrices quelconques Les colonnes de AB sont les matrices AC j où les C j sont les colonnes de B, les colonnes de AB sont donc des combinaisons linéaires des colonnes de A Les lignes de AB sont les matrices L i B où les L i sont les colonnes de A, les lignes de AB sont donc des combinaisons linéaires des lignes de B Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes Interpréter avec des produits de matrices les opérations suivantes : L i L j αl i L i L i + L j L i C i C j αc i C i C i + C j C i 8

9 IV) Puissances d une matrice carrée Attention dans ce paragraphe tous les matrices sont carrées Définition des puissances d une matrice carrée Soit A une matrice de M p (R) A 0 I p n N, A n+1 A A n A n A Remarques : Puissance de I p et de O p Matrices diagonales A n1 commute avec A n2, A n1 A n2 A n2 A n1 A n1+n2 Théorème Identités remarquables Soit A M p (R) et B M p (R) deux matrices carrées telles que AB BA (On dit que A et B commutent ), pour tout n N (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 A 2 2AB + B 2 A 2 B 2 (A B)(A + B) Théorème Formule du binôme Soit A M p (R) et B M p (R) deux matrices carrées telles que AB BA (On dit que A et B commutent ), pour tout n N (A + B) n n k0 n A k B n k k n k0 n A n k B k k Cas particuliers : avec la matrice identité La matrice I p commute avec toutes les matrices donc n k0 n A k (I p + A) n k n k0 n ( 1) k A k (I p A) n k 9

10 Exemples : Déterminer la puissance n-ième des matrices suivantes : A B C M N M + N V) Matrice inversible, inverse d une matrice 1) Définitions Définitions Une matrice carrée A M n (R) est dite inversible s il existe une matrice M M n (R) telle que : AM MA I n (où I n est la matrice identité) La matrice M est alors unique et est appelée inverse de la matrice A on la note A 1 Nous devons démontrer que la matrice M quand elle existe est unique Remarques : On note GL n (R) l ensemble des matrices inversibles de M n (R) Les matrices identités sont inversibles et I 1 n I n (car I n I n I n ) Les matrices nulles ne sont pas inversibles si A est inversible et λ 0 alors λa est inversible et (λa) 1 1 λ A 1 Attention : si A et B sont inversibles on ne sait rien sur l inversibilité de A + B Contre-exemple : ( Si A diag(α 1,, α n ) avec i, α i 0 alors A est inversible et A diag α 1,, Proposition : Soient A une matrice de M n (R) et B une matrice de M n,p (R) Si AB 0 et B 0 alors A n est pas inversible α n ) Proposition : a b Pour A, A est inversible si, et seulement si, ad bc 0 c d et sous cette condition : A 1 1 ad bc ( d ) b c a 10

11 Déterminer l inverse des matrices suivantes (lorsqu elle existe) : A B C D Définition : (uniquement pour les matrices 2 2 ) a b On appelle déterminant de la matrice, le nombre ad bc c d a b On note : det ad bc ou c d a c b d ad bc Pour simplifier les questions sur les matrices inversibles on admet pour l instant le résultat suivant : Proposition Soit A et M des matrices de M n (R) (deux matrices carrées de même dimension), AM I n MA I n Conséquence de cette proposition : Pour montrer qu une matrice M est l inverse de A il suffit de vérifier que AM I n ou que MA I n Vérifier les affirmations suivantes : 1 1/2 1/ ( 3/2 ) 1/4 1/2 1/ ) Propriétés Nous pouvons énoncer une série de propositions simples à démontrer à partir de la définition : Propositions Soit A une matrice M n (R) (une matrice carrée) ➀ Si A est inversible alors A 1 est inversible et (A 1 ) 1 A ➁ Si A est inversible alors (M, N) (M n,p (R)) 2 AM AN M N ➂ Si A est inversible alors (M, N) (M p,n (R)) 2 MA NA M N ➃ Si A est inversible alors X M n,p (R), AX 0 X 0 ➄ Si A est inversible alors X M n,p (R), X 0 AX 0 11

12 Remarque sur ➁ et ➂ : Dans M n (R) il n y a pas de division, on ne peut que multiplier (à gauche ou à droite) par l inverse Aucune de ces propositions ne peut nous permettre de démontrer qu une matrice est inversible Nous verrons plus loin comment déterminer si A est inversible et dans ce cas comment calculer A 1 En revanche la proposition ➄ permet de justifier qu une matrice n est pas inversible : Si on trouve une matrice colonne non nulle X telle que AX 0 alors A n est pas inversible Si deux colonnes sont identiques ou proportionnelles alors A n est pas inversible Si il existe une relation linéaire entre les colonnes de A alors A n est pas inversible Si A a une colonne nulle alors A n est pas inversible Parmi les matrices ci-dessous, indiquer les matrices pour lesquelles vous pouvez justifier qu elles ne sont pas inversibles : A B C D E F /6 1/3 1/ G Théorème Inverse d un produit Soit M et N deux matrices carrées de M n (R), si M et N sont inversibles alors MN est inversible et alors : (MN) 1 N 1 M 1 Remarques : L ensemble GL n (R) est stable par produit La réciproque est vraie pour M et N deux matrices carrés : si MN est inversible alors M et N sont inversibles Attention, la somme de deux matrices inversibles n est pas nécessairement inversible 12

13 Propositions Généralisation ➀ Soient A 1, A 2,, A k, k matrices de M n (R) si i [1, k ], A i GL n (R) alors A 1 A 2 A k est inversible et alors : (A 1 A 2 A k ) 1 A 1 k A 1 k 1 A 1 1 ➁ Soit p un entier naturel et A une matrice de M n (R), si A est inversible alors A n est inversible et (A n ) 1 ( A 1) n (noté A n ) Illustration : Exemple : Montrer que A 1 1 est inversible et calculer A 0 1 n pour tout n Z VI) Transposée d une matrice, matrice symétrique Définition Soit A une matrice de M n,p (R), on appelle transposée de A la matrice B de M p,n (R) (notée t A ) telle que : (i, j) [1; p ] [1; n] b i,j a j,i Remarques : Si A est une matrice de M n,p (R) alors t A est une matrice de M p,n (R) On a : ( t A) i,j (A) j,i Si A est diagonale alors t A A Les lignes de t A sont les colonnes de A Les colonnes de t A sont les lignes de A Exemples : Compléter les égalités suivantes : t t t t t t

14 Proposition : Soient A et B deux matrices et un scalaire k alors : ➀ t ( t A) A ➁ t (ka) k ( t A) ➂ t (A + B) t A + t B Si A et B sont de mêmes tailles ➃ t (AB) t B t A Si le produit AB est définie Démonstration de t (AB) t B t A : A dans M n,p (R) et B dans M p,r (R) Soit (i, j) [1, n] [1, r ], ( t (AB) ) i,j (AB) j,i p A j,k B k,i p ( t A) k,j ( t B) i,k p ( t B) i,k ( t A) k,j (t B t A ) i,j comme ceci est vrai pour tout (i, j) on a bien : t (AB) t B t A Théorème : Transposée de l inverse d une matrice Soit A une matrice carrée, si A est inversible alors t A est inversible et ( t A) 1 t ( A 1) Définitions : Soit A une matrice carrée, dire que A est symétrique, signifie que dire que A est antisymétrique, signifie que t A A t A A Remarques : L ensemble des matrices symétriques S n (R) est stable par combinaison linéaire L ensemble des matrices antisymétriques est stable par combinaison linéaire Les coefficients diagonaux des matrices anti-symétriques sont nuls Que pensez-vous de l affirmation suivante? Toutes les matrices carrées peuvent s écrire comme somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique 14

15 VII) Systèmes linéaires Un système d équations linéaires est un système d équations de la forme : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n b 1 (L 1 ) a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n b 2 (L 2 ) (Σ) : a p,1 x 1 + a p,2 x a p,n x n b p (L p ) Ecriture matricielle : Le système (Σ) se note aussi : AX B où A est la matrice a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n et B la matrice colonne b 1 b 2 (second membre) a p,1 a p,2 a p,n b p Le n-uplet (x 1, x 2,, x n ) est solution de (Σ) si, et seulement si, la matrice colonne (x 1, x 2,, x n ) R n, a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n b 2 a p,1 x 1 + a p,2 x a p,n x n b p x 1 x 2 x n a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a p,1 a p,2 a p,n notée X vérifie l égalité : AX B x 1 x 2 x n b 1 b 2 b p On peut représenter ce système par la matrice augmentée : a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n b 2 a p,1 a p,2 a p,n b p Manipuler les lignes du système revient à manipuler les lignes de cette matrice Théorème : Soient A M n (R) et Y M n,1 (R) La matrice A est inversible si, et seulement si, le système AX Y admet une unique solution En particulier : A est inversible si, et seulement si, le système AX 0 est carré et avec une unique solution 15

16 Proposition : Soient A M n (R) et Y M n,1 (R) Si A est inversible, l unique solution du système AX Y est le n-uplet (x 1,, x n ) tel que : x 1 x 2 A 1 Y x n Cas des systèmes 2 2 a b Soit A, c d Soit (α, β) R 2, x le système A y α admet une unique solution si, et seulement si, ad bc 0 β et sous cette condition la solution (x, y) vérifie : x 1 y ad bc ( d b c a ) ( α β ) Conséquence sur les matrices triangulaires Proposition : Soit T M n (R) une matrice triangulaire (supérieur ou inférieur), T est inversible si, et seulement si, les coefficients diagonaux de T sont tous non nuls Exemples : Pouvez-vous dire sans calcul si les matrices suivantes sont oui ou non inversibles? M M M M M M

17 VIII) Matrices inversibles Méthodes pratiques pour calculer l inverse d une matrice 1) Matrice 2x2 Exemples : Déterminer l inverse des matrices suivantes (lorsqu elle existe) : A B C ) Avec une relation sur les puissances de A Exemples : ➀ Soit A Calculer A 3 En déduire que A n est pas inversible ➁ Soit A calculer A 3 3A 2 A, en déduire que A est inversible et calculer A 1 3) Avec la résolution d un système Exemple 1 : On considère la matrice A 1 1 1, A est-elle inversible? Exemple 2 : On considère la matrice B 1 1 1, B est-elle inversible?

18 IX) Rang d une matrice Définition Soit A M n,p (R), on appelle rang de A le rang du système AX 0 On note rg(a) cet entier Le rang de A est le nombre de pivots à la fin de la méthode du pivot On peut faire directement la méthode du pivot sur la matrice Exemples : Calculer le rang des matrices suivantes : Proposition : Soit A M n,p (R), ( 1 2 ) on a rg(a) n et rg(a) p Le rang de A est un entier compris entre 0 et le minimum de n et p Théorème : Soit A M n (R), une matrice carrée A est inversible si, et seulement si, rg(a)n En effet : rg(a) n équivaut à AX 0 admet une unique solution Exemples : Justifier que les matrices suivantes sont inversibles ou non inversibles : M M Proposition : On ne change pas le rang d une matrice en faisant des opérations élémentaires sur les lignes Théorème : Le rang de A est égal au rang de la transposée de A Théorème admis, nous pourrons le démontrer aux deuxième trimestre Proposition : rg(a) rg( t A) On ne change pas le rang d une matrice en faisant des opérations élémentaires sur les colonnes Exemple : Calculer le rang de la matrice :

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