Exercices sur les vecteurs

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1 Exercice Exercices sur les vecteurs ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O () Compléter par un vecteur égal : a) AB = b) BC = c) DO = d) OA = e) CD = () Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier : a) OB = OC e) AB = DC b) [ AB ] = [ DC ] f) O = mil AC c) OA = OC g) mil BD = mil AC d) OA = OC h) AA = BB Exercice En utilisant le quadrillage, dire pour chaque égalité si elle est vraie ou fausse : () AB = EF () CD = AB (3) DA = DB (4) ED = BD (5) AE = BF (6) EF = DC Exercice 3 Soit ABC un triangle quelconque () Construire : le point N tel que AN = BC ; le point P tel que PA = BC ; le point M tel que BM = AC () Montrer que A = mil[ NP], B = mil[ PM ] et C = mil[ M N ] (3) Quel est le rapport des aires des triangles ABC et MNP? Justifier!

2 Exercice 4 Sur la figure ci-contre, formée de parallélogrammes juxtaposés, déterminer : () un représentant de DB () trois représentants de AE (3) un représentant de FG d origine B (4) un représentant de CF d extrémité E (5) un représentant de 0 (6) un représentant de AF Exercice 5 () Reproduire le parallélogramme ABCD ci-dessus dans votre cahier puis construire les points E, F, G, H et I définis par : CE = AC ; BF = AC ; DG = AC ; AH = BC ; IA = AC () Quelle est la nature des quadrilatères BCEF et DGEC (3) Que représente le point A pour le segment [ IC ]? Exercice 6 Calculer les sommes vectorielles indiquées en utilisant la figure ci-contre : () AE + AO () AE + DF (3) BD BA AO (4) OC FC (5) DO + BC + AE (6) AB + AD

3 Exercice résolu 7 Déterminer la somme des vecteurs sur chacune des figures suivantes et expliquer votre démarche () () (3)

4 (4) (5) (6)

5 (7) (8) (9)

6 (0) () ()

7 (3) (4) (5)

8 Exercice 8 () Sur les figures () à (8) de l exercice 7, construire u v () Sur les figures (9) et (0) de l exercice 7, construire u v w (3) Sur les figures () et () de l exercice 7, construire u = a b, v = b c et w = a c Quelle est la relation entre u, v et w? Exercice résolu 9 Sur la figure ci-dessus, formée de parallélogrammes juxtaposés, déterminer un représentant de () AD + CF () GC + AC (3) HE + BC (4) DE DH (5) GJ + BF (6) DI + JI (7) FG AI (8) IF FJ (9) AI + AE + FJ (0) AF + HD + BD () JE + FG ID () GJ DA + BI (3) FD + IA + CG FH (4) ED + AH + CF FH Déterminer le point O sur la figure tel que : AO = CF + FG IA Déterminer le point P sur la figure tel que : EP = AD + GC + AB Exercice 0 Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l aide d une figure () ( a ) = a (5) ( a b) = a b () v u = ( u v) (6) u + v + u = u + v (3) u ( v + w) = u v w (7) 3 ( u) = 6u (4) a ( e r ) = a e + r 5 (8) ( z ) = 0 z 3 3

9 Exercice résolu Sur la figure ci-dessus, construire le point () I tel que EI = AB () J tel que GJ = AB (5) M tel que MA = 3 EF (3) K tel que CK = 5 AB (6) N tel que NH = 3 DC (7) P tel que EP = EF + CD (4) L tel que LC = CD HQ = AB CD (8) Q tel que ( ) Exercice Soit ABCD un parallélogramme Construire les points M, N, P, Q définis par : AM = AB + 3AD ; BN = 3 BD 3AC ; CP = 3 4AD AB + BC ; AB + QD = 3CD BC Exercice 3 A et B étant deux points distincts donnés, construire si possible les points inconnus Q, R, S, T, U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles correspondantes : () AQ = AB + QB (4) BT 3AT = AB () AR = RB (5) AU + BU = 0 (3) AS = 5BS (6) AV + VB = 0

10 (7) AW = WB (8) XA + XB = AB (9) AY 3BY = AB (0) AZ + BZ = BA Exercice 4 A et B étant deux points distincts donnés, construire les points M et P tels que : AM 3 AB = 0 et PA 5BP = 0 Exercice 5 A, B et C étant trois points non alignés donnés, construire si possible les points inconnus U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles correspondantes : () UA + UB + UC = BC () AV VB VC = 0 (3) AW BW CW = AB (4) 3XA + XB + XC = 0 (5) AY BY + 3CY = AB AZ 3ZB = CZ + AZ BC (6) ( ) Exercice résolu 6 En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes : () AE = AB et AB = AE (0) MK = KG et GK = MK () GD = JP et JP = GD () DN = HR et HR = ND (3) CL = QN et NQ = CL () LA = RB et RB = AL (4) DH = AF et FA = HD (3) FL = NE et NE = LF (5) GR = IQ et IQ = GR (4) KJ = BP et PB = JK (6) OH = OE et OE = OH (5) AA = AM et BB = IJ (7) BP = LG et PB = LG (6) IO = AR et RA = OI (8) QI = IE et IQ = EI (7) BK = CL et BK = LC (9) JE = JQ et JQ = JE (8) GG = AD et AD = GG

11 Exercice 7 Dans chacun des cas suivants, déterminer une relation de colinéarité entre AC, puis faire une figure : () AB = BC () CB = AB (4) BA = 3CB AC (5) AC = 3 4 BC (3) AC = BC (6) AB = 5CB + AC 3 6 Exercice résolu 8 Soit A et B deux points distants de,5 cm () Construire le point C tel que BC = 5 AB () Construire le point D tel que AD = 4 3 AB (3) Compléter et démontrer la relation de colinéarité : CD = AB (4) En déduire la longueur du vecteur CD en cm Exercice 9 Soit ABC un triangle quelconque et D le point défini par : AD = AB 3AC () Construire le point D () Exprimer AB en fonction de AD et AC (3) Exprimer AC en fonction de AB et AD (4) Exprimer AD en fonction de AC et BC AB et Exercice 0 Soit ABCD quadrilatère quelconque, M le milieu de [AB], N le milieu de [BC], P le milieu de [CD] et Q le milieu de [AD] () Montrer que MN = AC et QP = AC () En déduire la nature du quadrilatère MNPQ Exercice Soit G le centre de gravité d un triangle ABC et A' = mil[ BC ], B' = mil[ CA ], C ' = mil[ AB] Montrer que AA' + BB ' + CC ' = 0 Exercice Soit G le centre de gravité d un triangle ABC Montrer que AG = AB + AC BG = BA + BC CG = CA + CB ( ), ( ) et ( ) 3 3 3

12 Exercice 3 Soit G le centre de gravité d un triangle ABC et A' = mil[ BC ], B' = mil[ CA], C ' = mil[ A B] () Compléter les relations de colinéarité suivantes : GA = GA' ; GB = GB ' ; GC = GC ' () En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABC ' ' ' Exercice 4 Soit G le centre de gravité d un triangle ABC et A' = mil[ BC ], B' = mil[ CA], C ' = mil[ A B] () Construire les points P,Q et R tels que : a) GP = GB + GC, b) GQ = GC + GA et c) GR = GA + GB () Montrer que : GP = GA, GQ = GB et GR = GC (3) Quelle est l isométrie qui transforme le triangle ABC en le triangle PQR? Exercice 5 Soit G et G ' les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF respectivement () Montrer que : AD + BE + CF = 3 GG ' () En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles aient le même centre de gravité Exercice 6 Soit G le centre de gravité d un triangle ABC () Montrer qu il existe un point unique D tel que DA + DB + DC = 3AB () Quelle est la nature du quadrilatère ABGD? Exercice 7 Soit ABC un triangle () Construire les points I, J et K tels que : AI = AB + AC BJ = BA + AC CK = CA + CB () Démontrer que les droites AI, BJ et CK sont concourantes en G, centre de gravité du triangle ABC

13 Exercice 8 Soit G le centre de gravité d un quadrilatère quelconque ABCD, c-à-d G est l unique point vérifiant l égalité : GA + GB + GC + GD = 0 () Construire le point G après avoir démontré que : AG = AB + AC + AD ( ) 4 () Soit M le milieu de [AB] et P le milieu de [CD] Donner une construction plus simple du point G après avoir démontré que GM + GP = 0 (3) Soit N le milieu de [BC] et Q le milieu de [AD] Donner une construction encore plus simple du point G après avoir démontré que GN + GQ = 0 (4) Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ? Exercice 9 Soit ABC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit C à ABC et A ' le milieu de [ BC ] On définit le point H par la relation vectorielle : OH = OA + OB + OC () a) Démontrer que : AH = OA' b) En déduire que H appartient à la hauteur issue de A dans le triangle ABC () a) Démontrer de même que H appartient aux deux hauteurs issues de B et de C respectivement dans le triangle ABC b) Quel théorème vient-on de démontrer de cette façon? Rappeler comment on appelle le point H dans le triangle ABC (3) Soit G le centre de gravité du triangle ABC En utilisant une caractérisation vectorielle de G, démontrer que : OH = 3OG Que peuton en déduire pour les points O, G et H? Enoncer le théorème démontré ainsi Remarque : La droite passant par les points O, G et H est appelé droite d Euler (4) Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit C au triangle 3

14 (5) Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit C au triangle Exercice 30 La figure ci-contre représente le pentagone régulier ABCDE de centre O, c-à-d O est le centre du cercle circonscrit à ce pentagone () Montrer que OA + OB // OD Indication : OD est un axe de symétrie du pentagone ABCDE () Montrer de même que OE + OC // OD (3) En déduire que OA + OB + OC + OD + OE // OD (4) Montrer qu on a également : OA + OB + OC + OD + OE // OE (5) En déduire que OA + OB + OC + OD + OE = 0 (O est donc le centre de gravité du pentagone ABCDE) (6) Utiliser le résultat précédent pour prouver que : a) AC + BD + CE + DA + EB = 0 et b) AD + BE + CA + DB + EC = 0 Exercice 3 Soit ABC un triangle On définit les points D, F et G par AD = 3 AB, AF = 4 BA et GC = 5GA () Par D on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E Donner les relations de colinéarité entre a) les vecteurs CE et AC b) DE et CB Justifier () Démontrer que GF et DE sont parallèles Justifier! Exercice 3 Soit un parallélogramme ABCD de centre O () Construire les points E et F tels que : AE = 4 AC et AF = 3FC () Montrer que AE = EO = OF = FC (3) Montrer que BEFD est un parallélogramme (4) Soit I = mil[ AD ] et J = mil[ BC ] Montrer que IEJF est un parallélogramme (5) La droite BE coupe respectivement AD en G et CD en H Montrer que : AG = AI 3 4

15 BE = 4 BH HD = DC Exercice 33 Soit ABCD un rectangle, I = mil[ AB] et J = mil[ DC ] Les droites DI et BC sont sécantes en K et les droites KJ et DB sont sécantes en G () Démontrer que KG = GJ Que représente G pour le triangle DCK? () Démontrer que GC // AJ (3) AJ coupedb en H Démontrer que IGJH est un parallélogramme 5

16 Solution de l exercice 7 () () u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB ' (3) u + v = DB + DC = DB + BC ' = DC ' u + v = RS + RT = RS + ST ' = RT ' 6

17 (4) u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB ' (5) (6) u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB ' u + v = AB + AC = AB + BC ' = AC ' 7

18 (7) u + v = AB + CB = AB + BB ' = AB ' (8) (9) u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB ' = A' A'' 8

19 (0) u + v + w = AB + CD + EF = AB + BB' + B' B'' = AB'' u + v + w = u + w + v = IJ + JK + MN = IK + KL = IL ( ) ( ) (On a utilisé la commutativité et l associativité de l addition des vecteurs) () () a + b + c = OA+ OB + OC = OA+ AA' + A' A'' = OA'' 9

20 a + b + c = OA+ OB + OC = OA+ AA' + A' A'' = OA'' (3) a + b + c = OA+ AC + OC = OC + OC = OC + CC = OC = c (4) a + b + c = OA+ AC + CO = OO = 0 (vecteur nul) (5) ( ) ' ' ( ) 0

21 Solution de l exercice 9 () AE a + b + c + d + u + v = ( a + b + u) + ( c + d ) + v = 0 + w + v = CD + DA = CA () EC (3) 0 (4) HE (5) CJ (6) JB (7) FJ (8) DF (9) AH (0) AD () 0 () BD FD + CG + IA FH = FH + IA FH = IA (3) ( ) (4) AF AO = CF + FG IA O = mil[ EF ] EP = AD + GC + AB P = mil[ GC ]

22 Solution de l exercice Solution de l exercice 6 En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes : () AE = 4AB et AB = 4 AE () DN = HR et HR = ND () GD = JP et JP = GD () LA = 6 RB et RB = 6 AL (3) CL = 3QN et NQ = 3 CL (4) DH = 4 5 AF (3) FL = 3 NE et NE = 3 LF et FA = 5 4 HD (4) KJ = 4 BP et PB = 4JK (5) GR = 8 IQ et IQ = 8 GR (5) AA = 0AM et BB = 0IJ 7 (6) OH = 0 OE et OE = 0 7 OH (6) IO = 6 7 AR 7 et RA = 6 OI (7) BP = 4 5 LG et PB = 4 5 LG (7) BK = CL et BK = LC (8) QI = IE et IQ = EI (8) GG = 0AD et AD = GG (9) JE = 5 7 JQ et 7 JQ = 5 JE impossible! (0) MK = KG et GK = MK

23 Solution de l exercice 8 () et () : (3) CD = CB + BA + AD = 5 4 AB AB 3AB = 5 4 ( 3) AB = 9 6 AB (4) CD = 9 6 = , 5 = = 7,5 cm 3

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