Mathématiques en première S Produit scalaire dans le plan

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1 Mathématiques en première S Produit scalaire dans le plan Table des matières 1 Introduction 1 2 Définitions du produit scalaire de deux ecteurs du plan 2 3 Propriétés du produit scalaire 3 4 Orthogonalité 4 5 Formules par projection Projection orthogonale Formule du cosinus pplications Equations de droites et de cercles Droites : Le cercle Relations métriques et trigonométriques dans le triangle Formule de duplication Section 1 Introduction On considère un triangle. On appelle  l angle. On pose p = On sait que lorsque l angle  est droit alors p = 0. La réciproque du théorème de Pythagore affirme que p est non nul si le triangle n est pas rectangle en. L idée est de généraliser le théorème de Pythagore à n importe quel triangle et d exprimer une relation entre les longueurs des côtés de ce triangle. Dans la suite on considère deux ecteurs u et.il existe alors des points, et tels que : On remarque alors que : u = et = u = = + = et que =, = puis u =. 1

2 ours le produit scalaire dans le plan Section 2 Définitions du produit scalaire de deux ecteurs du plan Définition On appelle produit scalaire des ecteurs u et,noté, le nombre : = 1 2 ( u u 2 ) Le produit scalaire n est pas une opération interne; le produit de deux ecteurs est un nombre. Le produit scalaire corrige le défaut d orthogonalité; la définition donne aec les points, et : 2 = est le nombre qu il faut ajouter dans l égalité de Pythagore pour l exprimer dans n importe quel triangle, rectangle ou non. Exemple 1 Onconsidère les points (1, 1),(3, 4) et (4,6) dans unrepère orthonormé duplan.alculons le produit scalaire.. Pour cela déterminons d abord les coordonnées des ecteurs et puis leur norme.on a : ( 2 3 ) puis = 2 2 +( 3) 2 = 13. ) puis = = 58. ( 3 7 Enfin, ( ) 1 = donc puis = ( 1) ( 10) 2 = 101. Donc d après la définition ci-dessus,. = 1 2 ( ) = ( ) = 15 2 Définition Dans une base orthonormée du plan, on considère les ecteurs u ( ) x et y ( x y ). lors : = x x +y y Il suffit de calculer les normes des ecteurs donnés dans la définition pour obtenir le résultat. est l expression analytique du produit scalaire et sûrement la plus simple à utiliser.en reprenant l exemple précédent aec ( ) 2 et ( ) 3, on a : 3 7. = 2 3+( 3) 7 = 6 21 = 15 Nous errons plus loin dans le cours d autres expressions du produit scalaire de deux ecteurs. est d ailleurs ce qui en fait toute sa richesse. Lycée J de UDRE à GEN

3 ours le produit scalaire dans le plan Section 3 Propriétés du produit scalaire u, et w désignent trois ecteurs quelconques du plan et λ un nombre quelconque. Symétrie =. u L ordre n est donc pas important.la démonstration repose sur le fait que deux ecteurs opposés ont la même norme. ilinéarité (λ u). = λ et ( + w) = + w. La symétrie induit naturellement les égalités : (λ ) = λ et ( + w). u =. u + w. Outre ces formules sauages, c est leur mise en oeure qui est importante, résumée dans l exemple suiant. Exemple 2 Reprenons les données de l exemple précédent. isément on montre que : lors on peut en déduire les produits suiants :. = 15,. = 28 et. = 73 (2 ).(3) = 2 3. = 6 ( 15) = 90.( + ) =. +. = 15+( 28) = 43.(4 2) = = 4 ( 15) 2 73 = 206 olinéarité Si les ecteurs u et sont colinéaires alors = u. si les deux ecteurs ont le même sens = u. si les deux ecteurs sont de sens contraire Exercice 1 Déterminer le produit scalaire de u par dans les deux cas suiants : D u u D Lycée J de UDRE à GEN

4 ours le produit scalaire dans le plan Section 4 Orthogonalité Définition Les ecteurs u et sont orthogonaux si et seulement si ils désignent des directions perpendiculaires. Exemple 3 Les ecteurs suiants sont orthogonaux car ils désignent des directions perpendiculaires : u u aractérisation analytique de l orthogonalité Dans une repère orthonormé, les ecteurs ( ) x u et ( ) x y y sont orthogonaux si et seulement si x x +y y = 0 Exercice 2 Soit (2;8) et ( 1;3). Donner une condition sur les coordonnées (x;y) d un point M pour qu il se situe sur la perpendiculaire à () passant par. 5.1 Projection orthogonale Section 5 Formules par projection Soit u et deux ecteurs du plan.les illustrations ci-dessous illustrent la projection orthogonale d un ecteur sur un autre : u u On a alors le résultat suiant : Lycée J de UDRE à GEN

5 ours le produit scalaire dans le plan Projection orthogonale Le produit scalaire est égal à,où est le projeté orthogonale de sur Remarques : Par symétrie, on peut aussi projeté orthogonalement u sur, pour obtenir le même résultat. On se ramène alors au produit scalaire de deux ecteurs colinéaires. Démontrons à titre d exercice, ce dernier résultat.. =.( + ) =. +. Or ce dernier produit. est nul car les ecteurs et sont par construction, orthogonaux.d où :. =. = car ces deux derniers ecteurs sont colinéaires et de même sens ici. 5.2 Formule du cosinus ette formule est une conséquence directe du dernier résultat. Formule du cosinus Soit les ecteurs u et et θ l angle orienté ˆ ( u, ). lors : = u cosθ L égalité = cosθ justifie cette relation. Exercice 3 On considère les points (5;2),(0; 1) et (1;3). L objectif est le calcul approché de l angle α = ( ˆ, ). ❶ Déterminer les coordonnées des ecteurs et. En déduire la aleur de.. ❷ Déterminer les normes des ecteurs et.en déduire la aleur exacte de cosα. ❸ En déduire une aleur approchée de α. Lycée J de UDRE à GEN

6 ours le produit scalaire dans le plan 6.1 Equations de droites et de cercles Droites : Section 6 pplications On appelle ecteur normal à une droite d tout ecteur dont la direction est perpendiculaire à celle de la droite. On rappelle que toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme : ax+by +c = 0 où a,b et c sont trois nombres qui caractérisent la droite.on a alors le résultat suiant : Vecteur normal Le ecteur n de coordonnées réciproquement. ( ) a b est un ecteur normal à la droite d équation ax + by + c = 0 et On rappelle que le ecteur ( ) b de coordonnées est un ecteur directeur de la même droite. On peut a remarquer que le produit scalaire des ecteurs n et est éidemment nul... ( ) 1 Exercice 4 Déterminer l équation cartésienne de la droite d de ecteur normal et passant par le point 4 ( 1,3) Le cercle Soit M(x;y) et le cercle de centre Ω(x Ω ;y Ω ) et de rayon r. Quelle condition doient réunir les coordonnées x et y pour que M appartienne à ce cercle? La relation ΩM = r donne : (x x Ω ) 2 +(y y Ω ) 2 = r 2 appelée équation cartésienne du cercle de centre Ω et de rayon r. Exercice 5 Soit le cercle de centre (2;1) et de rayon r = 5. ❶ Déterminer l équation cartésienne de ce cercle. ❷ Prouer que le point (6;4) appartient à ce cercle. ❸ Déterminer l équation cartésienne de la tangente à passant par. ❹ Déterminer les coordonnées des points d intersection de aec la droite D d équation x+2y 9 = 0. Lycée J de UDRE à GEN

7 ours le produit scalaire dans le plan 6.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle Mais : On considère untriangle. Onappelleala longueur et  l angle, puisbla longueur,... lors : 2 =. = ( + ).( + ) = D où aec les notations définies ci-dessus :. =. = cos Ĉ. Formules d l-kashi  b a 2 = b 2 +c 2 2bccos b 2 = c 2 +a 2 2cacos c 2 = a 2 +b 2 2abcosĈ c Ĉ a Exercice 6 Soit et deux points et I leur milieu. Soit M un point quelconque du plan. ❶ Justifier que MI 2 = MI. MI. ❷ Prouer que M 2 +M 2 = 2MI 2 +I 2 +I 2 +2 MI.( I+ I) ❸ En déduire la relation M 2 +M 2 = 2MI ❹ De la même façon, que peut-on dire de M 2 M 2? Lycée J de UDRE à GEN

8 ours le produit scalaire dans le plan 6.3 Formule de duplication osinus d une somme cos(a+b) = cosacosb sinasinb onsidérons les points et du cercle trigonométrique repérés respectiement par a et b. D une part, et d autre part, D où l égalité : O. O = O O cos ( O, O) = cos(b a) O. O = cosa cosb+sina sinb cos(b a) = cosa cosb+sina sinb En posant = a et = b dans cette égalité et en utilisant le s propriétés du cosinus et du sinus, on obtient : cos(+) = cos cos +sin sin Lycée J de UDRE à GEN