Cours Automatique linéaire. CHAPITRE 2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI

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1 Cours Automatique linéaire CHAPITRE 2 Réponse temporelle des systèmes dynamiques continus LTI 1

2 Introduction Système continu LTI u(t) H(s) y(t) H(s) : fonction de transfert Quelle est la forme de la sortie y(t) du modèle en réponse aux signaux usuels : impulsion de Dirac u(t)=(t) signal échelon u(t)=(t) signal rampe u(t)=v(t) Décomposition en éléments simples H(s) H i (s) i H i (s) : fonction de transfert de systèmes de base ou systèmes fondamentaux (1 er ordre, 2 e ordre)

3 Intégrateur (1) Système régi par l'équation différentielle 1 t T iy(t) u(t) y(t) T 0 i u(t) 1 T i Fonction de transfert u()d y(t) (CI nulle) H (s) 1 T i s Exemple T i : constante d'intégration Pôle : =0 u(t) i(t) R C V c (t) Relation entre le courant i(t) et V c (t) 1 c C t 0 y(t) V (t) i()d

4 Intégrateur (2) Réponse aux signaux usuels Réponse impulsionnelle u(t) (t) h(t) (t) T i La réponse impulsionnelle d'un intégrateur est un échelon d'amplitude 1/T i Réponse indicielle u(t) (t) y(t) 1 vt T i La réponse indicielle d'un intégrateur est une rampe de pente 1/T i Réponse à une rampe u(t) v(t) y(t)?

5 Système du 1 er ordre Système régi par l'équation différentielle Ty(t) y(t) u(t) Fonction de transfert Ty(t) y(t) u(t) H (s) 1 T s st Y(s) Y (s) U (s) T : constante de temps : gain statique Pôle : 1 T Condition de stabilité : T 0 Exemple i(t) R RC y(t) y(t) u(t) avec y(t) V c (t) u(t) C V c (t) H (s) 1 avec T RC 1 Ts

6 Système du 1 er ordre Réponse impulsionnelle Entrée : u(t) (t) Réponse du système : h(t) e T T Tangente à l'origine : x(t) t T La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en t = T T 2 t ( Pente = ) T 2 T Réponse impulsionnelle 0 T 2T 3T 0.37 T h 0 T 0.37 h h h T 2T 3T 4T 5T 6T

7 Système du 1 er ordre Réponse indicielle Entrée : signal échelon u(t) (t) Réponse du système u(t) (t) U (s) 1. On en déduit s t y(t) (1 e ) (1 e t) T Y (s) s1ts Valeur de la sortie en régime permanent y lim y(t) t Tangente à l'origine x(t) t ( Pente = ) T T La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale y = en t = T

8 Système du 1 er ordre Réponse indicielle (fin) R ép o nse indicielle T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T Tableau récapitulatif de l'évolution de la sortie t T 2T 3T 5T y(t) (%) y 63% 87% 95% 99,4% 100% y : valeur de la sortie en régime permanent

9 Système du 1 er ordre Rapidité du système T 2T 3T 4T 5T 6T Temps de réponse t r du système t r = temps au bout duquel la réponse indicielle atteint 0.95y t r 3T Temps de montée t m t m = temps au bout duquel la réponse passe de 0.1y à 0.9y t m 2,2T

10 Système du 1 er ordre Réponse à une rampe Entrée : signal rampe u(t) v(t) Réponse du système u(t) v(t) U (s) 1. On en déduit Y (s) s 2 y(t) t T Te t T s 2 1Ts Remarques La réponse est la somme de deux termes : une fonction exponentielle décroissante et une rampe retardée, de retard T

11 Système du 1 er ordre Réponse à une rampe (fin) 20 v(t) y(t) T 2T 3T 4T 5T La sortie suit asymptotiquement la rampe v(t) avec un retard T L'écart en régime permanent = v(t) - y(t) est appelé erreur de traînage Erreur de traînage : T

12 Système régi par l'équation différentielle a 2 y(t) a 1 y(t) a 0 y(t) b 0 u(t) Fonction de transfert a 2 y(t) a 1 y(t) a 0 y(t) b 0 u(t) H (s) b 0 a 2 s 2 a 1 s a 0 Autre écriture de la fonction de transfert a 2 s 2 a 1 s a 0 Y(s) b 0 U(s) H (s) s 2 2 s 1 n 2 n ou H (s) 2 n s 2 2 n s 2 n : facteur d'amortissement, : gain n : pulsation naturelle non amortie du système avec n 0

13 Pôles du système H (s) n 2 s2 2 2 n s n Les pôles sont les racines du polynôme s 2 2 n s n 2 Etude du discriminant réduit n Si 1 alors 0 : le système a des pôles réels et son comportement est apériodique Si 1 alors le système a deux pôles réels distincts Si 1 alors le système a un pôle réel double Si 1 alors 0 : le système a une paire de pôles complexes conjugués et son comportement est oscillatoire

14 Système apériodique : 1 Pôles du système 1 n n 2 1 et 2 n n 2 1 Condition de stabilité Le système est stable si les pôles 1 et 2 sont négatifs, ce qui correspond à la condition 1 Factorisation de la fonction de transfert Comme n, ona H (s) 1 T 1 s1t 2 s Le système du 2 e ordre apériodique est équivalent à la mise en série de deux systèmes du 1 er ordre de constantes de temps : T 1 1 et 1 2 T 2 1

15 Système apériodique (cas 1 ) : réponseindicielle Décomposition de la FT en éléments simples H (s) (1T 1 s)(1t 2 s) H (s) 1 2 1T 1 s 1T 2 s avec 1 T 1 T 1 T 2 et 2 T 2 T 1 T 2 Réponse indicielle C'est la somme des réponses indicielles des deux sous-systèmes t y(t) 1 (1 e T 1) 2 (1 e T 2) 1 (1 e 1 ) 2 (1 e Système apériodique (cas 1) : réponse indicielle t t t 2 )

16 Système apériodique ( 1) : réponseindicielle =1 =2 =4 0 0 Remarques Pente à l'origine nulle La réponse la plus rapide correspond à =1 Asymptote horizontale y=

17 Système oscillatoire : 1 Pôles du système 1 n j n 1 2 et 2 n j n 1 2 Le système est stable si Re( 1 ) < 0 et Re( 2 ) < 0, soit 0 < < 1 Lieu des pôles Pour 0 1 Rayon de l'arc de cercle = n cos() sin( ) n n 1 2 Im j n 1 2 j n 1 2 Re

18 Système oscillatoire (0 1) Réponse indicielle y(t) 1 avec p n e n t sin( pt ) et arctan 1 2 arccos T p

19 Système oscillatoire (0 1) : réponse indicielle T p T p i c Caractéristiques de la réponse indicielle Réponse oscillatoire amortie de pulsation p n 2 Pseudo-période des oscillations T p p Temps de pic T pic p

20 Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle y m ax D n % y t r n % 0 0 Dépassement (D) Définition : D% y max y 100 y y : valeur de la sortie en régime permanent y max : valeur de pic de la réponse indicielle D est lié au coefficient d'amortissement par : D % 100e 1 2

21 Système oscillatoire : caractéristiques de la réponse indicielle n % y 0 0 t r n % Temps de réponse à n% (t r n% ) C'est le temps au bout duquel la réponse indicielle atteint n% de sa valeur finale t 1 ln 100 rn% 0.7 n n On mesure en général le temps de réponse à 5% : t 3 r5% 0.7 n

22 Influence du coefficient d'amortissement = 0.2 = 0.4 = 0.7 = 0.9 = Amortissement faible ( 0.7 ) : réponse peu amortie, fortes oscillations, fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que est faible Amortissement fort ( 0.7 ) : réponse très amortie, pas d'oscillations, dépassement à peine visible Amortissement 0.7 (souvent utilisé) Dépassement D 5% e( t n t r ) 3

23 Influence de la pulsation naturelle n n = 1 n = 2 n = 3 n =1 n =2 n = Im Im Im n Re n Re n Re Plus la pulsation n est faible, plus la période des oscillations est grande Plus la pulsation n est faible, plus la réponse du système est lente

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