Ingénierie Numérique & Simulation Cours 2 : Dérivation numérique Méthode d Euler
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- Eloi Fleury
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1 Ingénierie Numérique & Simulaion Cours : Dérivaion numérique éhode d Euler A la fin de ce cours, vous devez êre caable de : - déerminer la valeur arochée d une soluion d une équaion différenielle ar une méhode numérique adaée, - esimer l erreur du calcul numérique. Equaion différenielle ordinaire - ODE Dans ce cours on s inéresse à la résoluion arochée des équaions différenielles ordinaires ODE. Définiion d une ODE d ordre Soi I un inervalle comac (fermé e borné) non vide, I, soi f une alicaion coninue elle que (, x) I f (, x ), on défini une équaion différenielle ordinaire d ordre ar : dy() d f (, y( )), où I y() es une foncion coninue soluion globale de l équaion différenielle. On rerouve ce ye de roblème à résoudre enre aures dans les exemles suivans déjà vus au cours de l année. Exemle : équaion différenielle d ordre à coefficien consan La soluion y() vérifie alors l équaion suivane dy() a. y( ) d avec a. Cas de la décharge d un condensaeur dans une résisance : dq( ) du( ) u( ) R. i( ) R. R. C. d d donc du( ). u ( ). d R. C Exemle : équaion différenielle d ordre Dans le cas de l éude du mouvemen d un endule simle sans froemen visqueux, l équaion différenielle régissan le mouvemen es alors : d () g d sin( ( )) 0, l avec g l accéléraion de esaneur e l la longueur du endule. Rem : cee équaion différenielle es d ordre, nous verrons ar la suie commen se ramener à la résoluion de deux équaions différenielles d ordre ar changemen de variable. Exemle 3 : équaion différenielle d ordre avec second membre Dans le cas de l éude du comoremen d un moeur à couran coninu lorsque l inducance (consane de ems élecrique faible devan celle mécanique) e les froemens visqueux son négligés. Lycée Vauvenargues PTSI
2 u () ω () D arès le schéma bloc, il vien K r. J. K Ke K ( ). U ( ). U ( ). U ( ). U ( ) K. Ke K.... Ke r J r J.. r. J. K. K avec ( ) L( ( )) e U ( ) L( u ( )). L équaion différenielle régissan le mouvemen es alors our une alimenaion u () de ye échelon d amliude u : e d (). ( ) K. u. u( ) C. u( ) d donc d (). u( ) ( ) C. d Rem : our les équaions différenielles des exemles e 3, il es ossible de déerminer une soluion analyique. Dans le cas où l alicaion coninue f (, y( )) es de forme comlexe (exemle ), il n y a as de soluion analyique. La résoluion numérique des équaions différenielles a our bu d aroximer la soluion y () du roblème our ces cas lus nombreux que les remiers!! Résoluion ar dérivaion numérique Il exise lusieurs méhodes de résoluion numérique d une équaion différenielle ordinaire. Le logiciel alab come ar exemle rès de 0 méhodes de résoluion (ODE5, ODE3, ODE45 ) chacune adaée à la résoluion d un roblème ariculier (récision aendue, sabilié, aénuaion numérique, non linéarié ). Dans ce cours, nous déaillerons la méhode d Euler. Cee méhode simle donne de bons résulas sous quelques récauions. Nous éudierons les limies de la méhode d Euler e inroduirons la méhode de Runge Kua, méhode lus réandue dans les logiciels de calcul numérique e de simulaion comme SolidWors, Caia, Scilab Princie de la méhode d Euler On cherche à résoudre le roblème suivan, di Problème de Cauchy : Pour cela : y '( ) f (, y( )) y( ) y on discréise l esace ems en inervalles : 0,,,,, +,. n = AX els que + = + ΔT. Le as de ems ΔT, noé ar la suie h dans les rogrammes, es el que : 0 T h AX n, avec n enier, - on réalise l aroximaion suivane (déveloemen de Taylor à l ordre ) : d y( ) y( ) ( ). h y h o( h) d d y( ) y( h) y( ) y y d h h, c es-à-dire. our ou. 0, AX Le roblème de Cauchy aroché s écri donc : y y h. f (, y) y( ) y 0 0 avec h. our ou, 0 AX Lycée Vauvenargues PTSI
3 Selon le choix de la valeur de y dans l exression de f (, y ), la méhode d Euler sera die exlicie (y = y ) ou imlicie (y = y + ). Cee méhode es donc iéraive, on déermine y + à arir de la connaissance de y (relaion de récurrence).. éhode d Euler exlicie : on considère f (, y ) La relaion de récurrence es donc : y y h. f (, y ) L algorihme de résoluion en seudo-code s écri alors : Enrées : y 0, 0, AX, h, f(,y) Sories : la lise des [ ] e la lise des [y ], 0 y y 0 créaion lise [ ] créaion lise [y ] an que < AX faire y y + h*f(,y) + h ajou de à la lise [ ] ajou de y à la lise [y ] # calcul de la nouvelle valeur de y # on incrémene le ems éhode Euler Exlicie La raidié de la méhode d Euler exlicie ne déend que des oéraions de l équaion de récurrence e du nombre n d iéraions souhaiées. La comlexié de l algorihme es donc de ye linéaire, en O(n). L alicaion de ce algorihme avec h = 0, à l équaion différenielle de l exemle 3 donne le résula de la figure ci-conre (our ω C = 530 rad/s e τ = 0, s). En diminuan le as de ems h, il es ossible d avoir une meilleure aroximaion de la soluion. Il es ossible de monrer sur ce exemle que la soluion arochée end vers la soluion exace lorsque h 0. Soluion arochée h = 0, Soluion exace Il y a en fai deux yes d erreur lorsqu on aroxime la soluion d une équaion différenielle : - l erreur locale : erreur liée à la angene en faisan un as de la méhode en aran de la soluion exace, - l erreur cumulée : erreur issue de l accumulaion des erreurs locales deuis la ère aroximaion. Influence du as de ems ΔT = h Le choix du as de ems es imoran. On monre que l erreur es d auan lus faible que le as de ems h es ei. Ainsi : - un as de ems ro ei imlique un ems de calcul élevé, - un as de ems ro grand imlique une erreur imorane, De lus, le as de ems h doi êre en adéquaion avec la consane de ems, ici τ = 0, s, de l équaion différenielle. Si h > τ, la réonse numérique résene des oscillaions! Lycée Vauvenargues PTSI 3
4 La figure suivane monre ainsi l influence du aramère T h. Ainsi our un même as de ems h = 0,, selon la valeur de τ, la réonse eu êre récise si h >> τ, eu récise si h τ ou résener des oscillaions numériques si h > τ. Dans le cas exrême, si h >> τ, la réonse diverge!! Influence de la valeur de τ our h = 0, τ = 0,065 s τ = 0,5 s τ = s En conclusion, le as de ems d un schéma exlicie doi êre choisi suffisammen ei devan les consanes de ems de l équaion différenielle our évier des insabiliés numériques.. éhode d Euler imlicie : on considère f (, y ) y y h. f (, y ) La relaion de récurrence es donc : L exression de y + n es lus exlicie car y + déend de lui-même dans l exression récédene. Dans cerains cas, il es ossible d isoler y +, c es le cas our l exemle 3. Dans le cas de l exemle du endule (exemle ), il es imossible d obenir direcemen une exression de y +, il es donc nécessaire de résoudre numériquemen cee équaion ar une méhode iéraive (voir Cours 3 - éhode de Dichoomie ou de Newon). Le ems de calcul eu alors se rouver rès raidemen augmené! Pour l exemle du cas 3, la relaion de récurrence s écri : ( C ) h. h.. C h L alicaion de ce algorihme avec h = 0, donne le résula de la figure ci-conre (our ω C = 530 rad/s e τ = 0, s). Soluion exace Soluion arochée ΔT = h = 0, Le choix du as de ems rese imoran. On monre égalemen que l erreur es d auan lus faible que le as de ems h es ei. Lycée Vauvenargues PTSI 4
5 Influence du as de ems ΔT = h Dans ce schéma imlicie e à la différence du schéma exlicie, la suie ω converge quel que soi le as de ems h choisi. C es un des avanages de la méhode imlicie. Soluion exace Imlicie, h = 0,5 s Imlicie, h = 0, s Imlicie, h = 0,04 s La récision du schéma imlicie déend oujours du aramère T h. En conclusion, le schéma imlicie es lus sable que le schéma exlicie au dérimen de la raidié (car il imlique souven la résoluion numérique d une équaion de ye f(x) = 0 ar méhode iéraive). Lycée Vauvenargues PTSI 5
6 Viesse angulaire en rad/s.3 éhode de Runge Kua d ordre 4 (hors rogramme) Du fai de sa sabilié, de sa raidié e de sa récision, c es la méhode la lus uilisée our la résoluion numérique d équaions différenielles. L idée es de rendre des oins inermédiaires our améliorer l'esimaion de y + à arir de y. Ainsi, la relaion de récurrence es la suivane : h y.( ) 6 y, avec, f (, y ) h h f (, y. ) h h 3 f (, y. ) ene en, idem à Euler exlicie, ene en milieu d'inervalle uilisan, ene en milieu d'inervalle uilisan, 4 f ( h, y h. 3) ene e 3 n fin d'inervalle uilisan. Cee méhode aliquée à la résoluion de l équaion différenielle régissan le comoremen du moeur donne les résulas de la figure suivane our différenes valeurs du as de ems h. La récision de la méhode es bonne même our des valeurs de h roches de τ = 0, s. Ce qui fai l efficacié de la méhode..4 Les modules de Pyhon Le sous module sciy.inegrae de Sciy conien de nombreuses foncions d inégraion, noammen celles des équaions différenielles ordinaires. La commande hel erme d avoir un aerçu de ces foncions : >>> hel( sciy.inegrae ) ehods for Inegraing Funcions given funcion objec. quad -- General urose inegraion. dblquad -- General urose double inegraion. lquad -- General urose rile inegraion. ehods for Inegraing Funcions given fixed samles. raz -- Use raezoidal rule o comue inegral from samles. cumraz -- Use raezoidal rule o cumulaively comue inegral. sims -- Use Simson s rule o comue inegral from samles. Inerface o numerical inegraors of ODE sysems. odein -- General inegraion of ordinary differenial equaions. ode -- Inegrae ODE using VODE and ZVODE rouines. Lycée Vauvenargues PTSI 6
7 3 Réducion de l ordre d une équaion différenielle Le roblème de Cauchy eu êre généralisé aux équaions différenielles d ordre suérieur à. Il es oujours ossible de se ramener à la résoluion d équaions différenielles d ordre don le raiemen a éé éudié récédemmen. La dimension du roblème es alors augmenée. Pour illusrer ce roos, rerenons le cas de l exemle. L équaion régissan le mouvemen du endule es l équaion différenielle d ordre suivane : Posons suivan : d () g d y y sin( ( )) 0. l, il es alors ossible de remlacer l équaion récédene ar le sysème d () () d d () g sin( ( )) d l dy () y () d dy () g sin( y ( )) d l ce qui es un sysème de deux équaions différenielles ordinaires d ordre. En conclusion, les équaions différenielles d ordre n se ramènen oujours à un sysème d équaions différenielles d ordre don la y variable es un veceur caracérisan l éa du sysème, ici c es le veceur. y En auomaisme, ce ye de méhode es souven uilisé e es aelé la rerésenaion d éa. Lycée Vauvenargues PTSI 7
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