Le tricercle de Mohr

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1 Sujet 1 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Le tricercle de Mohr On considère un segment [AB] tel que AB = 10 cm et un point C quelconque du segment [AB]. Soit 1 le demi-cercle de diamètre [AB], 2 le demi-cercle de diamètre [AC] et 3 le demi-cercle de diamètre [CB]. Dans cet exercice, nous nous intéresserons au périmètre de la figure coloriée. 1. Réaliser une figure à l aide d un logiciel de géométrie dynamique et afficher le périmètre de la figure coloriée. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure. 2. Déplacer le point C puis faire une conjecture sur le périmètre de la figure coloriée. 3. Démontrer la conjecture émise. Indication : On pourra poser AC = x. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture émise. Une figure dynamique permettant de faire une conjecture sur le périmètre de la figure. La démonstration complète de la conjecture émise.

2 Sujet 2 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Longueur minimale On considère un trapèze rectangle ABCD de bases [AB] et [CD] tel que les droites (AB) et (BC) soient perpendiculaires. Soit M un point du segment [BC]. On recherche une position du point M telle que la longueur L = MA+MD soit minimale. 1. Faire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie. Afficher la longueur L. Trouver une position du point M répondant à la question posée sur la longueur L. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture. 2. Construire le symétrique A' du point A par rapport à la droite (BC). Faire une conjecture concernant la ou les position(s) cherchée(s) pour le point M. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure et de la conjecture. 3. Démontrer le résultat conjecturé à la question 2. Une figure dynamique permettant de faire une conjecture sur la position du point M. La démonstration de la conjecture établie à la question 2. D après une épreuve pratique de l académie de Versailles.

3 Sujet 3 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Un quadrilatère fait le mur! Sur un mur rectangulaire, on veut peindre un motif de la forme d un quadrilatère. On souhaite que l aire du motif soit égale à la moitié de l aire du mur. Le mur est représenté par un rectangle ABCD et le motif par un quadrilatère EMFN tel que - le point E est un point fixe du segment [AB], plus proche de A que de B ; - le point M est un point du segment [BC] ; - le point F est un point fixe du segment [CD], plus proche de C que de D ; - le point N est un point du segment [DA]. 1. Réaliser une figure en utilisant un logiciel de géométrie dynamique. 2. Faire afficher l aire du rectangle ABCD et l aire du quadrilatère EMFN. 3. En faisant varier la position des points M et N sur les côtés du rectangle ABCD, trouver une position pour ces deux points telle que l aire du quadrilatère EMFN soit égale à la moitié de celle du rectangle ABCD. 4. Démontrer le résultat conjecturé. Une figure dynamique permettant de faire une conjecture sur la position des points M et N. La démonstration de la conjecture établie à la question 3. D après une épreuve pratique de l académie de Versailles.

4 Sujet 4 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève La mangeoire à oiseaux C Deux poteaux électriques de 4 m et 8 m respectivement sont plantés perpendiculairement au sol. Du sommet de chacun au pied de l autre, on tend un câble pour accrocher à l intersection des câbles une mangeoire à oiseaux. On fait varier la distance entre les deux poteaux et on s intéresse à la hauteur h du point de fixation E de la mangeoire. A B E F D 1. Faire une figure à l aide d un logiciel de géométrie. Afficher la hauteur h du point de fixation. Appeler l examinateur pour une vérification de la figure. 2. Que peut-on conjecturer sur la hauteur h, lorsque l on fait varier la distance entre les points B et D? Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. En utilisant deux fois le théorème de Thalès, montrer que h 4 + h 8 =1. 4. Démontrer la conjecture émise à la question 2. Une figure dynamique permettant de faire une conjecture sur la hauteur h. La démonstration complète de la conjecture émise. D après une épreuve pratique de l académie de Versailles.

5 Sujet 5 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Fraction irréductible Dans tout l énoncé, n est un entier supérieur ou égal à On pose A = n² 4 et B = n² + 2 n (a) A l aide du tableur, effectuer le calcul des nombres A et B ainsi que celui de leur PGCD, pour tous les entiers n compris entre 2 et 50. Appeler l examinateur pour une vérification du tableau de valeurs. (b) Les nombres A et B peuvent-ils être premiers entre eux? 2. (a) Factoriser A et B. (b) Démontrer la conjecture établie à la question 1 (b). Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. 3. La fraction n² 4 n² + 2n est-elle irréductible? Justifier. Appeler l examinateur pour une vérification. La construction d un tableau de valeurs. La démonstration de la conjecture de la question 1 (b). Une justification de la question 3.

6 Sujet 6 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Programmes de calcul On considère les deux programmes de calcul suivants : Programme A : Programme B : - Choisir un nombre - Soustraire 5 - Calculer le carré du résultat obtenu - Multiplier le tout par 2 - Choisir un nombre - Calculer son carré - Multiplier le résultat par 2 - Soustraire au résultat le produit de 20 par le nombre de départ - Ajouter cinquante 1. (a) Quel résultat donne le programme A si le nombre choisi est 10? Même question pour le programme B? (b) Mêmes questions si on choisit le nombre (a) A l'aide d'un tableur, calculer les résultats donnés par le programme A pour tous les nombres entiers compris entre 0 et 50. Calculer pour ces mêmes nombres les résultats donnés par le programme B. Appeler l examinateur pour une vérification de la feuille de calcul. (b) En observant les résultats des programmes A et B, quelle conjecture peut-on faire? 3. Si on appelle x le nombre choisi au départ, exprimer en fonction de x le nombre obtenu à la fin du programme A. Faire de même pour le programme de calcul B. Appeler l examinateur et lui montrer les formules trouvées. 4. Démontrer la conjecture établie à la question 2 (b). La réalisation de tableaux de valeurs. La démonstration de la conjecture établie à la question 2 (b).

7 Sujet 7 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Fonction et équation Soit f la fonction définie par f : x a 4x² 9 pour tout nombre x. 1. A l aide d un logiciel, tracer la représentation graphique de la fonction f. Appeler l examinateur pour une vérification. 2. On s intéresse aux antécédents de 0 par la fonction f. (a) Déterminer les graphiquement. (b) Factoriser f (x) puis démontrer les résultats de la question précédente. 3. On considère un nombre a. Appeler l examinateur pour une aide éventuelle et une vérification. (a) Par lecture graphique, conjecturer le nombre d antécédents éventuels de a par la fonction f selon les valeurs de a. (b) Démontrer cette conjecture. Appeler l examinateur pour une vérification de la conjecture. La représentation graphique de la fonction f. La résolution d une équation. La démonstration des conjectures établies aux questions 2 (a) et 3 (a). Appeler l examinateur pour une vérification. D après une épreuve pratique de l académie de Versailles.

8 Sujet 8 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Précipitations Ouvrir le fichier du tableur nommé : «Precipitations» La feuille de calcul donne le relevé des précipitations annuelles moyennes dans les 30 villes françaises de plus de habitants. L objectif de cette activité est d étudier la répartition de ces villes suivant leur précipitation moyenne annuelle. 1. Déterminer la moyenne, la médiane, les quartiles et l étendue de cette série statistique. Interpréter les résultats obtenus précédemment. Appeler l examinateur pour une vérification des interprétations. 2. Proposer un autre tableau regroupant les villes selon leurs précipitations annuelles moyennes. Ce tableau permettra, à l aide d un tableur, de réaliser la représentation graphique la mieux adaptée à la situation. Le choix sera à justifier auprès de l examinateur. Appeler l examinateur pour une vérification du tableau et du graphique. Une interprétation des résultats fournis par les outils statistiques. La construction d un tableau de données. Une justification du choix du tableau et de la représentation graphique. Sources des données : INSEE

9 Sujet 9 Épreuve pratique de mathématiques en troisième Fiche élève Population des régions françaises Ouvrir le fichier du tableur nommé : «Pop_franc» La feuille de calcul donne la répartition du nombre d habitants par région de la population française en 1990 et en 1999 ainsi que la superficie de chaque région. Pour répondre aux questions suivantes, on dégagera à partir de ces données les informations fournies par d éventuels tris, calculs, représentations graphiques, recherche de maximum, de minimum, etc. 1. Quelles sont les 5 régions les plus peuplées en 1999? Appeler l examinateur pour une vérification ou une aide éventuelle. 2. Quelles sont les 5 régions ayant les plus fortes densités de population en 1990? (*) Appeler l examinateur pour une vérification ou une aide éventuelle. 3. Dans quelle région le nombre d habitants a-t-il le plus augmenté entre 1990 et 1999? 4. Dans quelle région la population a-t-elle le plus varié en pourcentage entre 1990 et 1999? Appeler l examinateur pour une vérification ou une aide éventuelle. 5. Peut-on affirmer que dans la moitié des régions françaises, la population a augmenté d au moins 3%. Appeler l examinateur pour une vérification ou une aide éventuelle. (*) La densité de population est le rapport du nombre d habitants d une région par sa superficie. La réalisation de plusieurs graphiques ou de tris sur les colonnes. La réalisation de calculs à l aide du tableur. Sources des données : INSEE

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