Etude expérimentale de la focalisation spatio-temporelle des vagues en profondeur finie

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1 Etude expérimentale de la focalisation spatio-temporelle des vagues en profondeur finie M2 Sciences de la Matière - Physique Hors Equilibre - ENS Lyon Stage PETITOT Kévin Résumé : Le travail effectué lors de ce stage concerne l étude expérimentale de la focalisation spatio-temporelle des vagues en profondeur finie. Le phénomène de focalisation spatio-temporelle est entre autres lié à la formation de vagues extrêmes dont la compréhension est encore limitée à ce jour. De plus, l impact de ce genre de vagues sur des navires par exemple, peut causer des dégâts considérables. Il est donc intéressant d étudier la focalisation spatio-temporelle des vagues d un point de vue expérimental. L objectif de ce stage est de savoir s il y a ou non un accord entre des données expérimentales recueillies à une petite échelle et à une grande échelle. Le rapport entre ces deux échelles étant associé aux lois de similitude de Froude. Mots-clés : Vagues, mécanique des fluides, physique non-linéaire, analyse spectrale, focalisation spatio-temporelle, similitude de Froude, dispersion, déferlement, impact, ricker. Stage effectué à l Ecole Centrale de Marseille du 15/9/8 au 16/1/9 sous la direction de : Olivier KIMMOUN Adresse du stage : Ecole Centrale Marseille, Technopôle de Château-Gombert 38, rue Frédéric Joliot Curie, Marseille Cedex 2.

2 Remerciements Je tiens à remercier toutes les personnes qui m ont aidé lors de ce stage et qui ont permis de le rendre agréable et enrichissant dans de nombreux domaines. Je remercie tout particulièrement Olivier Kimmoun, responsable de mon stage, pour m avoir accueilli, pour avoir suivi mon travail tout au long du stage et pour m avoir aidé concernant la programmation informatique sans se décourager. Il a su me donner les bons conseils pour une meilleure approche des problèmes et il m a permis de beaucoup progresser dans de nombreux domaines. Enfin, je remercie tous les chercheurs et thésards de l Ecole Centrale de Marseille pour leur disponibilité et leur bonne humeur. 1

3 Table des matières 1 Introduction 3 2 Partie théorique Généralités Notion de vague Analyse spectrale Focalisation spatio-temporelle Génération de groupes de vagues dispersives Réversibilité et irréversibilité des groupes de vagues Génération de vagues déferlantes Similitude de Froude Partie expérimentale Etude des signaux temporels des sondes à vagues et des spectres associés Description de l expérience Objectifs et motivations Etude des signaux temporels des sondes à vagues Etude des spectres et des énergies associées Etude des profils des surfaces libres des vagues et des déflexions Description de l expérience Objectifs et motivations Etude des profils des surfaces libres des vagues Etude des déflexions Conclusion 32 A Complément sur l analyse spectrale 33 B Complément sur le ricker 35 Références 36 2

4 1 Introduction Je vais présenter dans ce rapport les travaux effectués dans le cadre de mon stage de Master 2 du département des Sciences de la Matière de l ENS Lyon. J ai effectué ce stage au sein de l équipe de recherche Structures Atmosphère Océan de l Ecole Centrale de Marseille (ECM) pendant quatre mois, de Septembre 28 à Janvier 29, sous la tutelle d Olivier Kimmoun (Enseignant-Chercheur à l ECM). Le sujet du stage porte sur l étude expérimentale de la focalisation spatio-temporelle des vagues en profondeur finie. Tout au long de notre étude, nous travaillerons à fond constant et nous tiendrons compte de l effet du fond. Les expériences ont été réalisées au sein du canal à houle de l ECM et s intégrent dans le cadre du projet MINISLO 28 de l entreprise GTT (Gaz Transport et Technigaz) dans le but d étudier le phénomène de sloshing (impact) [4, 5]. En mer extrême, les cuves partiellement remplies des méthaniers transportant du gaz naturel liquide (GNL transporté à -174 C) peuvent subir, par effet de ballotement, des impacts aux parois importants. Ces chocs peuvent même provoquer des déformations plastiques des parois qu il faut toujours éviter. L étude des impacts de vagues est donc nécessaire pour essayer de comprendre ce phénomène, mais la complexité des phénomènes rencontrés dans une cuve, nous amène à élaborer un modèle expérimental simplifié. Nous y reviendrons au cours de la partie expérimentale de ce rapport. Nous avons réalisé des expériences sur la focalisation spatio-temporelle des vagues [8] à une échelle 1/2, que nous appellerons petite échelle, puis à une échelle 1, que nous appellerons grande échelle. Il s agit de savoir s il y a ou non un accord entre les données expérimentales recueillies à la petite échelle et à la grande échelle. Alors que les architectes navales de l époque s entendaient pour affirmer que seule l expérience sur le réel pouvait donner des résultats applicables pour les problèmes à surface libre, et considéraient les expériences sur les modèles comme de gentilles petites expériences amusantes, William Froude a eu l idée de développer des lois de similitude [1]. Grâce à ces lois, des résultats obtenus à une échelle quelconque déterminée pourront être appliqués à une échelle supérieure ou inférieure en tenant compte bien sûr de certains facteurs d échelle. Ces lois servent notamment à la conception de modèles réduits et vont nous servir, par la suite, à comparer entre eux les résultats expérimentaux obtenus à la petite échelle et à la grande échelle. Nous pourrons ainsi conclure sur leur accord. Nous expliquerons ces lois de similitude de Froude au cours de la partie théorique de ce rapport. La première partie du stage a consisté à savoir s il y avait ou non un accord entre les données expérimentales recueillies à la petite échelle et à la grande échelle concernant les signaux temporels des sondes à vagues, les spectres associés et les énergies des vagues associées à ces spectres. Ces sondes à vagues sont situées à différentes positions à l intérieur du canal à houle et nous donnent des informations sur les profils des vagues. La deuxième partie du stage, quant à elle, a consisté en un traitement d images, dans le but cette fois-ci de savoir s il y avait ou non un accord entre la petite échelle et la grande échelle pour les profils des surfaces libres des vagues à différents instants (images), et au niveau des déflexions produites sur une plaque rigide en PVC, située dans le canal, par les vagues d impact. En particulier, nous avons étudié les profils des surfaces libres des vagues d impact pour nous mettre en relation avec le phénomène de sloshing décrit plus haut. Ce rapport est avant tout un document technique qui retrace tout le travail effectué durant ces quatre mois de stage dans un laboratoire de recherche. 3

5 2 Partie théorique 2.1 Généralités Notion de vague On considère un enregistrement η(t) de l élévation de la surface libre du type représenté cidessus. On suppose η(t) à moyenne temporelle nulle (processus centré). Cet enregistrement présente des maximas positifs et des minimas négatifs. Par convention, on définit une vague comme la portion de signal limitée par deux passages à zéro successifs en montant (zéro up-crossing). Une vague est caractérisée par son amplitude a, sa hauteur crête à creux H comme étant la distance verticale entre son plus bas minimum et son plus haut maximum, et par sa période temporelle T. On définit également la cambrure de la vague comme étant le produit ak, avec k le nombre d onde. Il est d usage de réordonner les vagues par hauteurs (respectivement périodes) croissantes, et d en éliminer une certaine fraction en commençant par les premières. On définit ainsi des valeurs au tiers comme : H 1/3 : hauteur moyenne du tiers des vagues les plus hautes T 1/3 : période moyenne du tiers des vagues les plus longues Analyse spectrale Au signal η(t) que l on suppose toujours centré, on associe la fonction d autocorrélation ρ(τ) définie par : ρ(τ) = η(t)η(t + τ) où la barre définie une opération de moyenne statistique. Pratiquement, la fonction d autocorrélation est estimée par moyennage en temps (ergodicité). Le processus η(t) étant stationnaire, ou du moins supposé tel, elle ne dépend que de τ. A la fonction d autocorrélation ρ(τ), on fait correspondre la densité spectrale d énergie S(f) égale à sa transformée de Fourier : S(f) = 1 2π τ ρ(τ)e 2iπτf dτ S(f) représente la répartition de l énergie des vagues dans le domaine fréquentiel. La densité spectrale d énergie peut-être également calculée comme étant le produit de la transformée de Fourier de l élévation de la surface libre η(t) et de son conjugué : avec S(f) = H(f)H(f) H(f) = 1 η(τ)e 2iπτf dτ 2π τ 4

6 H(f) est également appelée fonction de transfert. Remarque : S(f) a 2. Un spectre de vagues est défini comme étant la variation de la densité spectrale d énergie S(f) en fonction de la fréquence f. Dans le cas général (houle irrégulière, aléatoire et réelle) [1, 2], un spectre de vagues a cette allure : Ce spectre représente l énergie véhiculée par un groupe de vagues. Il est caractérisé par un pic principal associé à une fréquence f p appelée fréquence de pic. + Dans le cas d un spectre étroit ( f/f p 1), on a H S H 1/3 4 S(f)df 4σ η, avec H S la hauteur significative des vagues et σ η l écart-type de l élévation de la surface libre η (cf. annexe A). Remarque : Pour une vague extrême ( scélérate ) [3] et dans le cas d un spectre étroit, on aura H max > 2H S, c est-à-dire H max > 8σ η! 2.2 Focalisation spatio-temporelle D une façon générale, une vague focalisée est obtenue à partir d un groupe de vagues dispersives qui évolue dans l espace et au cours du temps, par augmentation de la longueur d onde, en une seule vague où est concentrée un maximum d énergie. Cette vague focalisée peut ou non déferler. Dans notre cas, elle sera déferlante Génération de groupes de vagues dispersives Une formule analytique issue de la théorie linéaire a été utilisée pour créer des signaux de groupes de vagues convergentes. Cette formule a pour origine la résolution du problème suivant : prédire en d autres points de l espace, la forme de l élévation de la surface libre décrite à l origine spatiale du système de coordonnées (x, t) par : η(,t) = E(t)sin(ω o t) en x = (1) où ω o, la pulsation, et E(t), l enveloppe de cette perturbation sont définies par : { ω o = 2π T E(t) = Aexp( B 2 t 2 ) avec A et B deux constantes 5

7 Cette perturbation est un groupe de vagues modulé d enveloppe Gaussienne, mais d autres enveloppes peuvent être utilisées, comme nous le verrons par la suite notamment avec le ricker. Si l on suppose que cette perturbation est infiniment longue dans la direction y et qu elle se propage uniquement dans la direction x, alors, une analyse de Fourier peut-être appliquée pour prédire la forme de cette perturbation en d autres valeurs de x. Après calcul du spectre de Fourier b(ω) du signal transitoire η(,t) : b(ω) = 1 π + E(t)sin(ω o t)sin(ωt)dt et en utilisant les propriétés des formules intégrales de Fourier, de manière générale, en x, nous obtenons : η(x,t) = + b(ω)sin(kx ωt)dω (2) Puisque certaines hypothèses physiques ont été posées en définissant l intégrale de Fourier b(ω) de à + (qui permettent notamment à la plus part de l énergie spectrale de se propager dans la direction x), dans le cas profondeur infinie (ω 2 = gk avec g l accélération de la pesanteur), l intégrale (2) peut-être évaluée et le résultat du calcul en fonction de x et de t est donné par : { η(x,t) = A D 1/4 e [ 16π 2 B 2 g 2 T 2 D (x gt/4π)2 ]sin avec D = 1 + (16B 4 x 2 b /g2 ) et x b le point de focalisation ( ( )) 4π 2 x 2πt DgT 2 DT 4B4 t 2 x Dg tan 1 4B 2 x g La perturbation représentée par la solution (3) se propage dans la direction x positive. Des calculs basés sur l équation (3) montrent que le groupe arrive au point d observation x au bout d un temps prédit par la vitesse de groupe c g (t x/c g = 2ω o x/g). Ainsi, le groupe met deux fois plus de temps pour atteindre x que ne le mettrait une vague de pulsation ω o. De plus, puisque ce groupe est composé de nombreuses fréquences différentes, ces dernières se propagent à des vitesses inégales. Ainsi, les fréquences les plus basses dépassent les hautes fréquences. Les périodes les plus grandes arrivent donc les premières et les périodes les plus courtes arrivent plus tard : les vagues se dispersent et le groupe diverge. Ce résultat analytique issu de la théorie linéaire ainsi que des considérations sur la réversibilité de tels groupes divergents va nous aider à créer un groupe de vagues convergentes et par conséquent, une vague déferlante dans le canal Réversibilité et irréversibilité des groupes de vagues Si on transmet un signal spécifique à un batteur, du type η(,t), certains groupes de vagues sont générés. Il est clair que les signaux temporels de l élévation de la surface mesurés à une position très proche du batteur ne seront pas exactement équivalents aux mouvements verticaux imposés au batteur. Mais pour des mouvements de faibles amplitudes, on peut supposer qu ils le soient. Dans les autres cas, une correction peut-être effectuée sur les signaux de génération si l on connait la fonction de transfert du batteur. Cette correction a été utilisée au cours de notre étude. L évolution des groupes de vagues de pente infinitésimale a une propriété intéressante : la réversibilité. Ainsi, en injectant au batteur un signal η(, t), on obtient au point d observation x b, un signal η(x b,t), dont nous pouvons prédire la forme analytiquement par la technique précédente. Imposons maintenant au batteur, donc en x =, un mouvement décrit par l équation suivante : ( ( η x b, t x )) b c g où c g est la vitesse de groupe pour ω o. Cela revient à renverser le temps de telle manière à ce que les ondes courtes du groupe décrit par l équation (3) soient générées avant les ondes longues. Si la propagation des ondes est purement linéaire, alors, en x b, on doit s attendre à retrouver (3) 6

8 exactement le signal η(,t). Cela revient à injecter au batteur le signal donné par la formule analytique suivante : { ( ( ) ( )) η (,t) = A D sin 64B4 π 2 x 3 b 1 + Dg 3 T 2 D + 16B4 x 2 b 2πt Dg 2 T 4B4 x b t 2 Dg tan 1 4B 2 x b g e B 2 t 2 D 1/4 avec D = 1 + (16B 4 x 2 b /g2 ) (4) A l aide de ce résultat théorique, on peut tester expérimentalement la capacité de réversibilité temporelle de tels groupes et donc la linéarité du système expérimental. Pour cela, il suffit d injecter η (,t) au batteur et de comparer en x b la forme de l élévation de la surface mesurée avec celle donnée par la formule analytique η(,t) de l équation (1). Pierson, Donelan et Hui (1992) ont étudié expérimentalement la réversibilité temporelle de tels groupes de vagues. Leurs résultats montrent que les groupes ne sont réversibles que lorsque l amplitude de l excursion donnée au batteur est faible et que par conséquent les effets non linéaires restent négligeables lors de la propagation des groupes. Les figures 1, 2 et 3 illustrent ces résultats. La figure 1 montre la dispersion mesurée d un groupe de vagues défini à l origine x = par η(,t) = E(t)sin(ω o t). Si on réinjecte au niveau du batteur un signal défini par η ( x b, ( t x )) b c g calculé en x b = m, alors on doit s attendre à observer en x b = m la forme du signal E(t)sin(ω o t) observé en x = sur la figure 1 en raison de la coalescence linéaire des vagues et du principe de réversibilité. Figure 1 Tirée de [8]. Dispersion mesurée d un groupe de vagues défini en x = par η(, t). [D après Pierson et al. (1992)] 7

9 Figure ( ( 2 Tirée )) de [8]. Coalescence mesurée d un groupe de vagues défini à l origine x = par η x b, t x b c g calculée en x b = m. [D après Pierson et al. (1992)] C est effectivement le cas lorsque l amplitude du mouvement donné au batteur est suffisament faible, comme le montre la figure 2. Les auteurs ont vérifié que la vague la plus haute sous l enveloppe mettait bien un temps déterminé par x b, confirmant par ce calcul la validité de la théorie linéaire. Cependant, même si la similitude des élévations de surface mesurées est excellente, elle n est pas parfaite en raison de la faible non-linéarité du système canal/batteur. Maintenant, si on augmente l amplitude de la perturbation injectée par deux, le groupe n est plus réversible et les phénomènes gagnent en non-linéarité comme l illustre la figure 3. Figure 3 Tirée de [8]. Coalescence mesurée d un groupe défini en x = de la même manière que dans le cas de la figure 2, excepté que dans ce cas, l amplitude initiale a été doublée. [D après Pierson et al. (1992)] Dans ce cas, le signal mesuré en x = m n est plus identique à celui injecté en x = m visible sur la figure 1. L élévation de la surface montre une vague très cambrée qui déferle entre x = m et x = 8.2 m. Ce phénomène peut s expliquer par un taux de croissance de l amplitude de l enveloppe du groupe beaucoup plus important au point de coalescence dans les cas de fortes amplitudes initiales que dans les cas de faibles amplitudes initiales. Par conséquent, les effets non linéaires deviennent de plus en plus prononcés. Cependant, cette forte non-linéarité 8

10 est locale et la vague déferlante observée est reproductible spatialement et temporellement avec une bonne précision. La vague la plus haute du groupe croît en amplitude de 12 cm en x = m jusqu à 3 cm en x = m sur une durée de 3 s. Une similitude d échelles effectuée avec un nombre de Froude dont l échelle temporelle caractéristique est multipliée par 1 conduit à des augmentations d amplitude de l ordre de 12 m à 3 m en 5 minutes. L apparition soudaine de telles vagues très hautes a été constatée en mer (Draper, (1964) ; Buckley, (199)). Cette technique peut donc être utilisée pour créer des déferlements instationnaires à une position prédéterminée dans le canal et modélisant des processus naturels observés en mer Génération de vagues déferlantes Le groupe de vagues défini par l équation suivante : η(,t) = Aexp( B 2 t 2 )sin(ω o t) en x = évolue de la manière illustrée par la figure 4 pour A = 1, T = 1.5 s et lorsque B prend des valeurs variant de 1/2 à 6s 1. Figure 4 Tirée de [8]. Effet du paramètre B de l enveloppe sur la forme du groupe η(, t). Ainsi, plus B est grand à T fixée, moins il y a de vagues à l intérieur de l enveloppe Gaussienne et moins le groupe est modulé. Cette propriété est intéressante puisque la construction précédente des groupes produira une unique vague au point de coalescence (focalisation) x b. Ainsi, si on effectue le calcul analytique d inversion temporelle donné précédemment par la formule (4), avec A = 1, T = 1.5 s et B = 6s 1, on obtient le schéma de propagation théorique du groupe illustré par la figure 5 pour un point de convergence théorique fixé pour exemple à x lineaire b = 3.55 m. 9

11 Figure 5 Tirée de [8]. Coalescence théorique du groupe de vagues d équation η (, t) avec A = 1, T = 1.5 s et B = 6s 1. D après les résultats de Pierson et al.(1992) détaillés précédemment, ce résultat ne sera obtenu expérimentalement que dans des cas de faibles amplitudes données au groupe. Pour de fortes amplitudes, la position de coalescence réelle du groupe et donc du déferlement, dénotée x reel b, sera différente du point de convergence prédit par la théorie linéaire. En effet, dans ces cas, le groupe évoluera de manière non-linéaire à l approche du point de convergence. D un point de vue expérimental, on réalise la focalisation spatio-temporelle au sein d un canal à houle muni d un batteur à piston ou à volet. Dans notre cas, le batteur sera de type volet. Sur les premiers instants de l expérience, le batteur va générer, à haute fréquence, des ondes courtes (longueurs d ondes et amplitudes faibles), de faibles vitesses. Au fur et à mesure que la longueur d onde va augmenter, le batteur va générer, à basse fréquence, des ondes de plus en plus longues (longueurs d ondes et amplitudes de plus en plus grandes), qui verront leur vitesse croître de plus en plus dans l espace et au cours du temps. Par conséquent, ces ondes longues de grandes vitesses vont au fur et à mesure rattraper les ondes courtes de faibles vitesses, générées précédemment, pour se rejoindre en un seul point à un instant t. Ce point où toutes les ondes générées par le batteur se rejoignent est appelé point de focalisation. En ce point, on obtient une seule vague, appelée vague focalisée, qui peut-être de très grande amplitude et dont son énergie est concentrée dans une petite zone autour de ce point. Comme nous nous servons de la différence des vitesses des ondes générées par le batteur, c està-dire du caractère dispersif des ondes, la focalisation spatio-temporelle est aussi appelée focalisation dispersive. La figure 6 résume ce qui a été dit précédemment. 1

12 Figure 6 Le cadre du haut est tiré de [4]. Il représente, au cours de trois instants différents, les étapes principales de la génération d une vague focalisée, au sein d un canal à houle, par focalisation spatiotemporelle. η max étant l élévation de la surface libre maximale, h la hauteur d eau et c la célérité des ondes. La position du point de focalisation sur l axe des x est repérée par les pointillés. Le cadre du bas représente le signal généré par le batteur. De haut en bas et de gauche à droite respectivement : variation de l angle, de l accélération, de la vitesse et de l élévation de la surface libre du batteur en fonction du temps. X max, V max et a max sont respectivement l avancement, la vitesse et l accélération maximale du vérin qui actionne le batteur. La figure 7, également tirée de [4], quant à elle, représente la propagation de l énergie d un groupe de vagues dans un diagramme x-t, via la vitesse de groupe c g. On peut voir que le batteur commence à opérer au temps t begin et s arrête au temps t last. 11

13 Figure 7 Focalisation de l énergie. Le groupe de vagues généré par le batteur est situé dans la zone sombre du diagramme x-t. 2.3 Similitude de Froude Le nombre de Froude F r est un nombre sans dimension défini par : F r = V gl avec V une vitesse caractéristique et L une longueur caractéristique. Ce nombre peut traduire le rapport entre les forces d inertie et les forces de gravité. Au cours de notre étude, nous travaillerons à Froude constant. La similitude de Froude s applique aux problèmes où les phénomènes de gravité sont prépondérants, comme les problèmes à surface libre. Dans notre cas, la similitude de Froude entre la petite échelle 1/2 et la grande échelle 1 nous amène à écrire : où Fr pe échelle. et F ge r Fr pe = Fr ge sont respectivement les nombres de Froude de la petite échelle et de la grande A partir de cette similitude, nous pouvons définir respectivement le facteur d échelle des longueurs et des temps par α et α, tels que : α = Lge L et α = T ge pe T où L pe, L ge, T pe et T ge sont pe respectivement les longueurs et les temps caractéristiques de la petite échelle et de la grande échelle. Les forces étant difficiles à évaluer dans notre étude, nous nous contenterons de définir le facteur d échelle des forces par α 2, tel que : α 2 F ge F pe où F pe et F ge sont respectivement les forces caractéristiques de la petite échelle et de la grande échelle. Dans notre cas, α = 2. Pour appliquer par la suite les résultats expérimentaux de la petite échelle à la grande échelle, il faudra donc multiplier les longueurs par 2, les temps par 2 et les forces exercées sur une surface (forces de pression) par 4. 12

14 3 Partie expérimentale Comme nous l avons dit en introduction de ce rapport, les expériences ont été effectuées au sein du canal à houle de l ECM qui est doté d un batteur de type volet. Ce canal contient de l eau douce (cf. figure 8). Le département hydrodynamique de l ECM dispose depuis 1999 de ce canal qui est situé sur le site de l école. Long de 18 m, large de.65 m et haut de 1.5 m, il a pour caractéristiques d être complètement vitré et surélevé (pour permettre des visualisations par en-dessous). Son batteur est à axe de rotation surbaissé et permet la génération de vagues focalisées, de houles régulières, irrégulières et transitoires, dans des profondeurs d eau variables de 25 cm à 1 m. Le crête à creux maximum est de l ordre de 4 cm. Figure 8 A gauche, le canal à houle de l ECM. A droite, le batteur associé. Le département est associé avec l ISITV (Institut des sciences de l ingénieur de Toulon et du Var) et l IRPHE (Institut de recherches sur les phénomènes hors équilibre) dans le GIS-HYDRO, groupement d intérêt scientifique. Le GIS-HYDRO bénéficie d une subvention du Conseil général du Var pour effectuer des recherches expérimentales dans le bassin de génie océanique BGO- FIRST, situé à la Seyne sur mer (cf. figure 9). En 23, le GIS-HYDRO a réalisé 9 campagnes d essais, représentant 74 jours d occupation du bassin. En 24, 6 campagnes pour 75 jours d essais. Figure 9 Bassin de génie océanique BGO-FIRST. 13

15 L étude se scinde en une partie expérimentale dont j étais en charge et une partie numérique à la charge de mon maître de stage. La partie numérique comprends la génération du signal batteur à partir du spectre et la simulation de l essai avec un code de type Boussinesq [6, 7]. Le code Boussinesq est un code numérique non-linéaire. Les hypothèses sont : fluide parfait incompressible pour un écoulement irrotationnel variations verticales du potentiel scalaire des vitesses approximées par un polynôme (dans notre cas d ordre 9) Les fichiers batteurs sont insérés dans le logiciel PITALUGUE d un ordinateur qui commande le batteur du canal. Le nom des fichiers fait apparaître l amplitude théorique a en mm du signal généré par le batteur, sa distance de focalisation x b en m et la profondeur d eau du canal h en m. Pour la propagation des ondes du spectre, on utilise la relation de dispersion linéaire des vagues en profondeur finie : ω 2 = gktanh(kh) et on néglige l effet de la tension superficielle de l eau. Remarque : Avant chaque manipulation, pour limiter les incertitudes sur nos résultats expérimentaux, nous avons réalisé un essai à vide, de façon à mettre en chauffe la centrale hydraulique du batteur. Nous avons également réalisé plusieurs fois les mêmes types d essais pour s assurer de la bonne répétabilité des essais entre eux. 3.1 Etude des signaux temporels des sondes à vagues et des spectres associés Cette partie du rapport de stage constitue la première partie de mon travail effectué Description de l expérience Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés à la petite échelle 1/2. Pour respecter cette échelle, la moitié du canal a été utilisée dans le sens de sa longueur et une plaque rigide en PVC, d épaisseur 1.5 cm et faisant office de mur, a été placée et collée dans le canal à x = 8.38 m. La profondeur d eau du canal était h =.35 m. Les sondes à vagues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ont été placées respectivement à x =.835 m, x = m, x = m, x = m, x = m et x = m. Les données expérimentales recueillies ont été échantillonnées par une fréquence d échantillonnage f e = 2 Hz et la fréquence du pic principal du spectre utilisé pour la commande du batteur était f p =.54 Hz. Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés à la grande échelle 1. Pour respecter cette échelle et la similitude de Froude entre les deux échelles, toute la longueur du canal a été utilisée et le mur correspondant à la fin du canal était situé à x = m. La profondeur d eau du canal était h =.7 m. Les sondes à vagues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ont été placées respectivement à x = 1.68 m, x = 13.1 m, x = m, x = m, x = m et x = m. La fréquence d échantillonnage, quant à elle, n a pas changé, elle est toujours de 2 Hz et la fréquence du pic principal du spectre utilisé pour la commande du batteur était f p =.54/ 2 =.38 Hz. Pour cette première partie, nous disposions d un signal batteur utilisé pour une campagne expérimentale SLOSHEL réalisée dans le bassin de MARIN (société hollandaise). Ce bassin possède un batteur de type piston. Pour pouvoir l adapter à notre batteur, l élévation théorique au droit du batteur a été calculée en simulant le bassin hollandais avec un code potentiel linéarisé. Ceci nous a permis de récupérer l élévation de la surface libre à x = : η(,t), c est-à-dire au niveau du batteur. La figure 1 nous montre le type de signal batteur utilisé et son spectre associé pour la réalisation des essais à la petite échelle. 14

16 Figure 1 A gauche, le signal batteur. A droite, transformée de Fourier de l élévation de la surface libre η en (cm.s) en fonction de la fréquence f en Hz, correspondant au spectre pour la génération de la vague focalisée. Le spectre de couleur bleu correspond à une approximation spline cubique pour éviter les oscillations parasites qui ne sont pas physiques. Il s agit de celui utilisé pour la commande du batteur et donc pour la réalisation des expériences. Le spectre de couleur rouge est un spectre sloshel à l échelle 1/1 pour lequel on a calculé directement l élévation de la surface libre η à partir de la fonction de transfert du batteur, ceci dans le but d obtenir η(, t). Le spectre bleu est lissé par rapport au spectre rouge Objectifs et motivations L objectif principal de cette première partie est de savoir s il y a ou non un accord entre les données expérimentales recueillies à la petite échelle et à la grande échelle pour les signaux temporels des sondes à vagues, les spectres associés et les énergies des vagues associées à ces spectres. Dans le cas où l accord entre les deux échelles pour les données expérimentales citées ci-dessus est plutôt bon, nous pourrons en déduire que la similitude de Froude entre les deux échelles est vérifiée pour ces données. L intérêt principal de cette première partie sera donc d extrapoler ces résultats expérimentaux, afin de pouvoir les utiliser par la suite à une échelle supérieure, dans le but de mieux comprendre les phénomènes physiques liés aux vagues à une échelle proche de l échelle réelle et ainsi pouvoir mieux modéliser les processus naturels observés en mer Etude des signaux temporels des sondes à vagues Principe : Cette étude consiste à recueillir les données expérimentales fournies par les sondes à vagues et à les analyser. Pour cela, lors de la durée de l expérience, une carte d acquisition reliée à un ordinateur et aux six sondes à vagues de types résistives, nous permet d acquérir et de récupérer ces données. Ces données sont ensuite traitées à l aide d un programme sous Matlab, que j ai eu à écrire, nous permettant de tracer les signaux temporels des sondes à vagues pour les deux échelles, c est-à-dire l élévation de la surface libre η en fonction du temps t. On pourra donc comparer ces résultats expérimentaux entre la petite échelle et la grande échelle et ainsi conclure sur leur accord. Remarque : La sensibilité des six sondes à vagues est de.5v/cm et l étendue de mesure est de ±1V. Résultats : 15

17 η (cm) 5 η (cm) t (s) t (s) η (cm) 1 5 η (cm) t (s) t (s) Figure 11 Variation de l élévation de la surface libre η en cm en fonction du temps t en s pour quatre sondes à vagues. De haut en bas et de gauche à droite respectivement : sondes 1, 2, 5 et 6. En rouge : essai à la petite échelle : a = 96 mm, x b = 7.8 m et h =.35 m. En bleu : essai à la grande échelle : a = 152 mm, x b = m et h =.7 m. Les signaux temporels de la petite échelle et de la grande échelle sont comparés entre eux. Pour la comparaison, le signal temporel de la petite échelle a été converti à la grande échelle, via la similitude de Froude entre les deux échelles. Nous avons donc utilisé le facteur d échelle des longueurs pour η et des temps pour t. Ces signaux ont été filtrés pour éliminer le bruit éventuel. Le filtre utilisé était un filtre passe-bas de Butterworth avec une fréquence de coupure f c = 7f p. Interprétations : D une façon générale, on remarque que l accord entre les deux échelles est plutôt bon pour les signaux temporels des sondes à vagues étudiées. Les faibles écarts observés pour les sondes 1, 2, 5 et 6 au niveau de η et de t sont principalement dus aux non linéarités de la fonction de transfert du batteur. Nous pouvons en conclure qu il y a bien un accord entre la petite échelle et la grande échelle pour les signaux temporels des sondes à vagues étudiées. La similitude de Froude entre les deux échelles est donc vérifiée pour ces données. Après avoir étudié les signaux temporels des sondes à vagues, nous allons voir maintenant ce qu il en est au niveau des spectres et des énergies associées. 16

18 3.1.4 Etude des spectres et des énergies associées Principe : Cette étude consiste à tracer les spectres des sondes à vagues étudiées précédemment et à calculer les énergies associées. Pour cela, j ai eu à développer un programme sous Matlab nous permettant de tracer les spectres, et les énergies associées ont été calculées à l aide de la méthode des trapèzes, également sous Matlab. Deux méthodes ont été utilisées pour tracer ces spectres. La première méthode a consisté à tracer la densité spectrale d énergie S(f) en fonction de la fréquence f, autrement dit, le spectre en puissance ou en énergie. Cette méthode est basée sur un moyennage des données lors du calcul du spectre et est adaptée pour des enregistrements temporels longs. On a remarqué quelques petits problèmes au niveau de l allure des spectres en utilisant cette méthode. Notre durée d enregistrement lors des expériences étant de trois minutes environ, il convient donc d utiliser une deuxième méthode de représentation de spectres adaptée pour des enregistrements temporels courts. Contrairement à la méthode précédente, cette deuxième méthode n utilise pas de moyennage des données expérimentales lors du calcul du spectre. Elle a consisté à tracer, via la méthode de FFT sous Matlab, la transformée de Fourier (TF) de l élévation de la surface libre η en fonction de la fréquence f, c est-à-dire le spectre en amplitude. Pour chaque fréquence, cette deuxième méthode calcule la TF de η, et nous pouvons choisir l intervalle de fréquence f que nous voulons sur le signal à analyser. En utilisant cette méthode, l allure des spectres s est améliorée et ainsi, par la suite, nous avons donc utilisé cette deuxième méthode pour tracer les spectres des sondes à vagues aux deux échelles. On pourra donc comparer ces résultats expérimentaux entre la petite échelle et la grande échelle, et par conséquent conclure sur leur accord. Remarque : Concernant le calcul des énergies des vagues associées à ces différents spectres, nous avons calculé, pour chaque sonde étudiée, l aire sous le spectre, puis nous avons élevé au carré la valeur de cette aire. Ces valeurs d énergies sont numériques, exprimées en cm 2 et notées E. En effet, E + TF(η)df 2. Dans notre cas, nous avons utilisé la formule suivante pour le calcul des énergies : E = + TF(η)df 2. Résultats : Au vue des résultats de la figure 12, concernant le spectre associé à la sonde 1, qui correspond à une bonne approximation au spectre du batteur, nous obtenons fp exp =.4 Hz pour les deux échelles. Cette valeur a été déterminée graphiquement sur ce spectre. Elle est donc à comparer à la valeur théorique précédente de la grande échelle : fp the =.38 Hz. L écart relatif entre ces deux valeurs est de l ordre de 5%. Le tableau suivant nous montre les valeurs des énergies obtenues à la petite échelle et à la grande échelle pour les quatre sondes à vagues étudiées, ainsi que les écarts relatifs associés. E moy étant la moyenne arithmétique de E entre les deux échelles et pour chacune des quatre sondes à vagues. 17

19 Sonde Petite échelle Grande échelle Ecart relatif δe E moy en % 1 E = 22.92cm 2 E = 22.4cm E = 24.15cm 2 E = 28.71cm E = 3.4cm 2 E = 33.35cm E = 34.48cm 2 E = 34.81cm 2 1 TF(η) (cm.s) f (Hz) TF(η) (cm.s) f (Hz) TF(η) (cm.s) f (Hz) TF(η) (cm.s) f (Hz) Figure 12 Transformée de Fourier de l élévation de la surface libre η en (cm.s) en fonction de la fréquence f en Hz pour quatre sondes à vagues. De haut en bas et de gauche à droite respectivement : sondes 1, 2, 5 et 6. En rouge : essai à la petite échelle : a = 96 mm, x b = 7.8 m et h =.35 m. En bleu : essai à la grande échelle : a = 152 mm, x b = m et h =.7 m. Les spectres de la petite échelle et de la grande échelle sont comparés entre eux. Pour la comparaison, le spectre de la petite échelle a été converti à la grande échelle, via la similitude de Froude entre les deux échelles. Nous avons donc utilisé le facteur d échelle des longueurs et des temps pour TF(η), et l inverse du facteur d échelle des temps pour f. Ces spectres ont été filtrés pour éliminer le bruit éventuel. Interprétations : Comme pour les signaux temporels des sondes à vagues, on constate, d une façon générale, que l accord entre les deux échelles est plutôt satisfaisant pour les spectres des sondes à vagues 18

20 étudiées. Les écarts observés pour les sondes 1, 2, 5 et 6 au niveau de TF(η) et de f sont aussi dus principalement aux non linéarités de la fonction de transfert du batteur. Une autre source possible de désaccords pour ces résultats concerne la méthode utilisée pour calculer et tracer ces spectres. En effet, le fait que cette méthode n utilise pas de moyennage des données expérimentales lors du calcul des spectres peut-être également responsable des écarts observés sur les différents spectres. Au niveau des fréquences expérimentales et théoriques du pic principal du spectre associé à la sonde 1, la faiblesse de l écart relatif déterminé précédemment entre ces deux valeurs nous permet de dire que l accord entre fp exp et fp the est bon. Dans l ensemble, les écarts relatifs observés au niveau des énergies des vagues associées aux spectres des sondes à vagues étudiées sont assez faibles. Par conséquent, nous pouvons en déduire que l accord entre les deux échelles est correct pour les énergies des vagues associées aux différents spectres étudiés. On remarque tout de même un écart relatif plus prononcé pour les sondes 2 et 5. Les sources possibles d incertitudes ont été évoquées précédemment. Au vue de ces valeurs d énergies, le plus frappant est que l énergie des vagues ne se conserve pas de la sonde 1 à la sonde 6 pour les deux échelles, alors que normalement, elle devrait se conserver, car il n y a pas d apport d énergie extérieur autre que celui fourni par le batteur. En effet, on constate que E augmente de la sonde 1 à la sonde 6 pour les deux échelles. Il y a donc création d énergie. Cette création d énergie peut s expliquer par le fait que lors de l acquisition des données durant les premiers instants de l expérience, le mouvement du batteur peut-être à l origine d une variation de la profondeur d eau du canal, ce qui a pour effet de créer de l énergie à basse fréquence dans le spectre. Les réflexions des ondes sur le mur peuvent aussi expliquer cette création d énergie. Bien sûr, ces réflexions ne peuvent pas être supprimées expérimentalement. Par contre, numériquement, nous pourrions y remédier en simulant un canal infiniment long dans le sens de sa longueur et de sa largeur, ce qui aurait pour effet de négliger les effets de bords. En conclusion de cette première partie de mon travail effectué, nous pouvons dire que l accord entre la petite échelle et la grande échelle est satisfaisant pour les signaux temporels des sondes à vagues, les spectres des sondes à vagues et les énergies des vagues associées à ces spectres. La similitude de Froude est ainsi vérifiée entre les deux échelles pour ces données. Après avoir étudié cette première partie, nous allons maintenant étudier la seconde partie de mon travail effectué qui concerne le traitement d images. 3.2 Etude des profils des surfaces libres des vagues et des déflexions Cette partie du rapport de stage constitue la deuxième partie de mon travail effectué Description de l expérience Pour cette nouvelle expérience, nous avons mis de la fluorescéine à l intérieur du canal. Ce colorant est excité par une source d ions laser ( nm) (cf. figure 13, image de gauche). L éclairage laser se compose d une source et d une fibre optique munie à son extrémité d une lentille permettant d obtenir une tranche laser. La tranche éclairée est située au niveau de la plaque, longitudinalement à la vitre et à quelques centimètres de celle-ci. Cette technique va donc nous permettre de repérer les surfaces libres des vagues lors des manipulations. Pour l étude des déflexions, une plaque rigide en PVC, d épaisseur 1.5 cm et faisant office de mur, a été placée et collée au sein du canal. Un proximètre laser, situé derrière la plaque et au 19

21 niveau de l impact sur cette plaque, va nous permettre de mesurer les déflexions (µm) produites par les vagues d impact. Une caméra rapide, de marque PHANTOM, va nous permettre de réaliser et d enregistrer un film pour chaque essai effectué, représentant l évolution de la vague focalisée quelques instants avant l impact et au moment de l impact. Dans notre cas, la fréquence sera fixée à 1 images/s. Suivant les essais expérimentaux réalisés, les films seront constitués de 5 à 2 images environ. La sonde à vague 6 est reliée à une centrale d acquisition (cf. figure 13, image de droite). Cette centrale génère un signal TTL permettant de déclencher l acquisition caméra. Ce signal est déclenché par un seuil de la sonde 6 (8 V 16 cm). L enregistrement des images de la caméra s effectue sur un ordinateur dédié à cet effet. Enfin, une règle graduée, collée sur une des vitres latérales du canal, nous permettra, entre autres, d obtenir des informations sur l amplitude de la vague focalisée. Figure 13 A gauche, le coupleur à fibre optique. A droite, la centrale d acquisition. Concernant la petite échelle 1/2. La plaque rigide en PVC a été placée et collée dans le canal à x = 7.75 m. La profondeur d eau du canal était h =.35 m. Les sondes 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ont été placées respectivement à x =.85 m, x = m, x = 6.65 m, x = m, x = 7.35 m et x = 7.65 m. Les données expérimentales recueillies ont été échantillonnées par une fréquence d échantillonnage f e = 2 Hz et la fréquence du pic principal du spectre utilisé pour la commande du batteur était f p =.54 Hz. Concernant la grande échelle 1. La plaque rigide en PVC a été placée et collée dans le canal à x = 15.5 m. La profondeur d eau du canal était h =.7 m. Les sondes 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ont été placées respectivement à x = 1.7 m, x = m, x = m, x = m, x = 14.7 m et x = 15.3 m. La fréquence d échantillonnage, quant à elle, n a pas changé, elle est toujours de 2 Hz et la fréquence du pic principal du spectre utilisé pour la commande du batteur était f p =.38 Hz. 2

22 Figure 14 A gauche, dispositif expérimental de la petite échelle. A droite, dispositif expérimental de la grande échelle. Cette expérience a comporté plusieurs étapes. Tout d abord, nous nous sommes placés à la petite échelle. Nous avons réalisé plusieurs essais dans le but d avoir une idée du profil de la surface libre de la vague qui produira l impact le plus fort sur la plaque. Pour cela, deux séries d essais ont été réalisées. Une première série d essais concernée ceux pour lesquels on imposait la commande du batteur dans un code potentiel linéaire avec un batteur de type piston. Une deuxième série d essais concernée ceux pour lesquels on calculait directement l élévation de la surface libre η à partir de la fonction de transfert d un batteur piston (essais de type sloshel). Ces deux séries d essais ayant pour point commun d obtenir η(, t). Pour chacune des deux séries d essais, l analyse des films des essais réalisés, à l aide d une première méthode de traitement d images que nous décrirons par la suite, nous a permis de repérer et de sélectionner les essais que nous trouvions les plus intéressants à étudier. Nous avons ensuite comparé ces essais entre eux au niveau du profil de la surface libre de la vague aux instants de la focalisation et de l impact, et au niveau de la déflexion produite par la vague d impact. Cette comparaison nous a donc permis de garder, pour chacune des deux séries d essais, l essai dont le profil de la surface libre de la vague correspondait à notre but. Cette première étape était assez qualitative et topologique. La deuxième étape a consisté à comparer entre les deux échelles, pour les essais de type sloshel, les profils des surfaces libres des vagues à différents pas de temps et les déflexions produites par les vagues d impact sur la plaque. Ceci dans le but de savoir s il y avait ou non un accord entre la petite échelle et la grande échelle pour ces données. Concernant les profils des surfaces libres des vagues, contrairement à la première étape, nous avons utilisé une deuxième méthode de traitement d images que nous décrirons également par la suite. La troisième et dernière étape a consisté, quant à elle, à faire la même démarche que la deuxième étape, mais pour des essais de type ricker. Nous pourrons donc, par la suite, savoir lequel de ces deux types d essais (sloshel ou ricker), donne les meilleurs résultats concernant l accord entre les deux échelles. Les figures 15 et 16 illustrent la comparaison entre les essais de type sloshel et ricker au niveau de leur spectre, de leur onde focalisée, de leur signal batteur et au niveau de l élévation de la surface libre au niveau du batteur. 21

23 Figure 15 A gauche, variation de l amplitude a en m en fonction de la fréquence f en Hz, correspondant au spectre pour la génération de l onde focalisée. En rouge, spectre sloshel brut. En bleu, spectre sloshel lissé. En rose-violet, spectre du ricker. On remarque que l amplitude du pic principal est plus faible dans le cas ricker que dans le cas sloshel. A droite, variation de l élévation de la surface libre η en m en fonction du temps t en s, correspondant à la forme théorique de l onde focalisée. En bleu, cas sloshel et en rose-violet, cas ricker. Figure 16 A gauche, variation de l élévation de la surface libre η en m en fonction du temps t en s, correspondant au signal généré par le batteur. En bleu, cas sloshel et en rose-violet, cas ricker. A droite, variation de l élévation de la surface libre η en m en fonction du temps t en s, correspondant à l élévation de la surface libre mesurée au niveau du batteur. En bleu, cas sloshel et en rose-violet, cas ricker. On remarque un contenu haute fréquence beaucoup moins riche dans le cas ricker que dans le cas sloshel, mais l inverse pour les basses fréquences Objectifs et motivations L objectif principal de cette deuxième partie est de savoir s il y a ou non un accord entre la petite échelle et la grande échelle au niveau des profils des surfaces libres des vagues à différents instants et en particulier au moment de l impact, et au niveau des déflexions produites par les vagues d impact. Cette étude est nécessaire, car la présence du mur va entraîner des effets non linéaires très importants. La similitude de Froude entre les deux échelles sera donc beaucoup plus dure à réaliser près du mur. Dans le cas où l accord entre les deux échelles pour les données expérimentales citées ci-dessus est plutôt bon, nous pourrons en déduire que la similitude de Froude entre les deux échelles est vérifiée pour ces données. L intérêt principal de cette deuxième partie reste le même que celui de la première partie, avec en plus une meilleure compréhension des impacts de vagues, afin 22

24 d essayer de comprendre le phénomène de sloshing décrit en introduction de ce rapport Etude des profils des surfaces libres des vagues Principe : Cette étude consiste à représenter les profils des surfaces libres des vagues à différents pas de temps (images). Pour cela, j ai eu à développer, sous Matlab, tout un programme de traitement d images nous permettant de repérer et de tracer les surfaces libres des vagues. On a pu ainsi représenter l élévation de la surface libre η de la vague en fonction de la distance x le long du canal pour les deux échelles. Concernant ce traitement d images, deux méthodes ont été employées. La première méthode a consisté à faire, pour les essais réalisés que nous trouvions intéressants à étudier, toute une séquence représentant l évolution de la surface libre de la vague avant et au moment de l impact. Pour réaliser ceci, après avoir extrait toutes les images du film de la caméra, un programme, développé sous Matlab, nous a permis de détecter et de représenter en couleur, sur chaque image du film, la surface libre de la vague. Cette détection a été rendue possible par analyse, également sous Matlab, de la répartition de l intensité lumineuse I de chaque colonne d une image à analyser, lors de l éclairage de la fluorescéine par le laser. Une fois ces étapes réalisées, nous avons ainsi pu réaliser cette séquence tout entière, constituée de toutes les images du film de la caméra, représentant l élévation de la surface libre η de la vague en fonction de la distance x le long du canal avant et au moment de l impact. L image, en pixels, de la règle graduée, nous a permis, pour chaque essai réalisé, de convertir les pixels en unité de longueur pour l axe des abcisses, représentant x et pour l axe des ordonnées, représentant η. Nous pourrons donc, par la suite, comparer entre les deux échelles les profils des surfaces libres des vagues aux pas de temps désirés et par conséquent conclure sur leur accord. Les avantages de cette première méthode sont que nous pouvons représenter η en fonction de x à l instant de la séquence que nous voulons étudier, et qu elle nous permet de traiter automatiquement une très grande quantité d images. Par contre, l inconvénient de cette première méthode réside dans le fait que, lors du déferlement de la vague focalisée, la surface libre de la vague est mal définie, faute d un éclairage trop faible, dans la poche d air de la vague (cf. figure 18, image de gauche). Les figures 17 et 18 illustrent cette première méthode de traitement d images. Pour résoudre l inconvénient de la première méthode de traitement d images, une deuxième méthode de traitement d images a été utilisée. Cette deuxième méthode a consisté à écrire, sous Matlab, un programme nous permettant de tracer, à la main, la surface libre de la vague sur chaque image des films des essais à étudier. Cette méthode a l avantage de beaucoup mieux définir la surface libre de la vague que dans le cas de la première méthode, et ceci pour n importe quels pas de temps de l essai à étudier (cf. figure 19). L inconvénient cité ci-dessus est donc résolu. Nous pourrons ainsi, par la suite, comparer entre les deux échelles les profils des surfaces libres des vagues aux pas de temps désirés et par conséquent conclure sur leur accord. Pour cela, il faudra choisir judicieusement une origine (référence) pour les pas de temps des essais à traiter, de telle sorte que l on obtienne des profils de surfaces libres de vagues en phases et à peu près identiques sur les images des films des essais à traiter. Ensuite, il suffira, à partir de cette origine et pour traiter plusieurs pas de temps, d avancer ou de reculer par intervalle de pas de temps régulier pour chaque essai à traiter. La figure 19 illustre cette deuxième méthode de traitement d images. Remarque : Nous ne pouvons pas dire qu une des deux méthodes est plus précise que l autre et réciproquement. Tout dépend des travaux que nous voulons faire. Concernant la première étape du travail à effectuer, au vue du but recherché, la première méthode de traitement d images 23