Mathématiques Stage n. Les aires (I) C.F.A du bâtiment

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Marie-Christine Legaré
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1 Mathématiques Stage n Les aires (I) C.F.A du bâtiment Ermont 1

2 Le sujet des calculs d aire est très important dans le bâtiment. C est pourquoi il est traité en plusieurs fois, un peu en première année, un peu en seconde année. Cette année, dans ce dossier donc, nous allons limiter notre étude aux formes rectangulaires, principalement, et un peu aux formes triangulaires. Découpages et assemblages simples à partir du rectangle (nous en découvrirons des plus élaborés l an prochain) Remarque : cela remplace très avantageusement l apprentissage de toutes les formules par cœur, à condition bien sûr de connaitre la formule qui concerne le rectangle. 2

3 Aires : principe de base L aire d une forme géométrique (fermée) est la mesure de son étendue : cela concerne l intérieur de la forme géométrique, et non son contour. L aire mesure l étendue de l intérieur de la forme géométrique Pour comprendre comment calculer les aires de formés géométriques variées, commençons à nous intéresser au cas d un carré très simple 1 m Une définition simple du mètre carré : Prenons un carré dont le côté mesure 1m. On appelle 1 m² une aire égale à l aire de ce carré. 1 m² 1 m Remarque sur le vocabulaire : Il existe une différence entre le mot «aire» et le mot «surface», nous la découvrirons l an prochain, mais en attendant, nous ferons comme si cela désignait la même chose.. Exercice : On considère les rectangles suivants : (oui, le carré est un rectangle particulier) Rectangle 1 : L = 1 m l = 1 m Rectangle 2 : L = 2 m l = 0,5 m Rectangle 3 : L = 10 m l = 0,1 m Que pouvons-nous dire de leurs aires respectives? Pouvez-vous réaliser un schéma qui explique votre raisonnement? Ils ont tous la même aire : 1 m 2 3

4 Activité: On considère le rectangle (ABCD) suivant : A 3 m B AB = 3 m BC = 2 m 2 m 1 m² 1) Indiquez sur le schéma les cotes de l énoncé. D C 2) Combien de carré de 1 m² peut-on mettre dans la longueur AB de ce rectangle? On peut en mettre 3 3) Combien de carré de 1 m² peut-on mettre dans la largeur BC de ce rectangle? On peut en mettre 2 4) Combien de carré de 1 m² peut-on mettre en tout dans ce rectangle? Que faites-vous comme opération pour trouver ce résultat? On peut en mettre 3 x 2 = 6 (2 lignes de 3, ou si on préfère, 3 colonnes de 2) Conclusion : pour calculer l aire d un rectangle de longueur L et de largeur l, nous proposons la formule : A = L x l. Remarque : ce calcule fait bien intervenir deux longueurs, que l on multiplie entre elles. 4

5 Les unités, ce qu il faut savoir dès à présent : (Attention : les schémas ne sont bien entendu pas à l échelle) 1 m 1 m² 1 m 1 cm 1 cm² 1 cm 1 km 1 km² 1 km etc etc etc Attention encore : ne multipliez pas des unités différentes entre elles, le mélange peut être curieux de même, ne tentez pas cette année de convertir une unité d aire en une autre (par exemple, des cm² en m²), attendez l an prochain. 5

6 Les aires composées Le problème dans les calculs d aires de formes spéciales, c est qu il n y a pas de formule spécifique à chaque forme qu on peut rencontrer (et heureusement!). Il faut donc trouver un découpage de la forme de départ en formes géométriques classiques et pour lesquelles nous avons une formule de calcul d aire à notre disposition: on cherche donc à découper en rectangles, triangles, disques, etc. Ci-dessous, à titre d exemple, vous avez quatre découpages possibles d une même forme. On retrouve deux approches différentes: La méthode additive : A Totale = A 1 + A 2 A 1 A 1 A 1 A 2 A 2 A 2 La méthode soustractive : A Totale = A 1 A 2 A 2 A 1 Remarque : comme on peut le voir, il n y a pas toujours qu une seule possibilité, et quand il y en a plusieurs, toutes se valent : la meilleure solution, c est celle que vous maîtrisez et qui vous semble la plus naturelle. 6

7 Exercice 1: Hachurer puis calculer l aire des figures suivantes : (attention, les figures ne sont pas à l échelle) 4 m A = 6 x 4 = 24 m 2 6 m 10 cm A = 8 x 6 / 2 = 24 m 2 6cm 8cm 2,00 m 3,50 m 4,00 m Un découpage possible donne : A 1 = 2 x 2,5 = 5 m 2 A 2 = 4 x 3,5 = 14 m 2 A = 19 m 2 6,00 m 86,80 m 102 m 81,60 m Un découpage possible donne : A 1 = 61,2 x 81,6 / 2 = 2497 m 2 A 2 = 86,8 x 81,6 = 7083 m 2 A = 9580 m m 7

m 2 A 2 = 5,5 x 4 = 22 m 2 4 m A = 81,5 m 2 Il faut penser à tous les murs 2,5 m P = 42 m A = 42 x 2,5 = 105 m 2 9 m Il faut

8 Exercice 2 : Voilà une maison bien sympathique En nous aidant des schémas ci-dessous, calculons : La surface au sol La surface latérale (la surface des murs) La surface du toit 8,5 m 5,5 m 3 m Un découpage possible donne : A 1 = 8,5 x 7 = 59,5 m 2 A 2 = 5,5 x 4 = 22 m 2 4 m A = 81,5 m 2 Il faut penser à tous les murs 2,5 m P = 42 m A = 42 x 2,5 = 105 m 2 9 m Il faut penser aux deux côtés 4 m A = 2 x (15+9) x 4 / 2 = 48 m 2 15 m Il faut penser aux deux côtés 3 m A = 2 x 8 x 3 / 2 = 24 m 2 8 m 8

9 Exercice 3 : Un polygone qui a 8 côtés s appelle un octogone. Si ces côtés ont tous la même longueur, cet octogone est dit régulier. C est le cas de l octogone ci-dessous. Calculez son aire. Tout d abord : (19,3 8 ) / 2 = 5,65 m A = 19,3 x 19,3 5,65 x 5,65 / 2 x 4 A = 372,49-63,845 = 308,645 m 2 8,00 m 19,30 m Exercice 4 : (facultatif) Pour la piscine représentée ci-dessous, calculer : a) La surface de la bâche de protection b) La surface du liner (ou du carrelage) 6,00 m 0,90 m 2,15 m 3,25 m 3,00 m 3,00 m 4,00 m Pour la bâche : 10 x 6 = 60 m 2 Pour le liner : o 2,15 x 6 = 12,9 m 2 o 0,9 x 6 = 5,6 m 2 o 2 x ( 3 x 0,9 + 4 x 2,15 + (2,15 + 0,9) x 3 / 2 x 2 ) = 2 x ( 2,7 + 8,6 + 9,15 ) = 2 x 20,45 = 40,9 m 2 Donc pour le liner : 12,9 + 5,6 + 40,9 = 59,4 m 2 9

10 Synthèse Aire du rectangle : Longueur L A = L x l Largeur l Aire d une pièce rectangulaire : On mesure en m les 2 cotes de la pièce : la longueur L et la largeur l Puis on utilise la même formule : A = L x l et on obtient un résultat en m² Le cas du carré : Le carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales. Donc la formule reste valable (on dit parfois «aire = côté x côté»). Le cas du triangle-rectangle : Le triangle-rectangle peut être vu comme un demi-rectangle. On divise donc l aire de ce rectangle imaginaire par 2. A triangle-rectangle = A rectangle 2 Collages et/ou découpages pour les formes plus complexes. 10

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