L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

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1 L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai

2 Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs Merci de me les communiquer Toutes les remarques ou questions permettant d en améliorer la rédaction peuvent être envoyées à l adresse Gloria FACCANONI IMATH Bâtiment U-8 T ( 9 8 Université du Sud Toulon-Var Avenue de l université B 8957 LA GARDE - FRANCE i

3 Table des matières Résolution d équations non linéaires 5 Interpolation 5 Quadrature Systèmes linéaires 6 5 Équations différentielles ordinaires 85 Schémas numériques 87 Stabilité 88 A Rappels d analyse et d algèbre linéaire 5 A Suites numériques 5 A Primitives et intégrales 7 A Matrices et calcul pratique d un déterminant A Systèmes linéaires A5 Équations différentielles d ordre 8

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5 Résolution d équations non linéaires Recherche de la solution de l équation non linéaire f (x = où f est une fonction donnée Théorème des zéros d une fonction continue Soit une fonction continue f : [a,b] R, si f (af (b <, alors il existe α ]a,b[ tel que f (α = Méthode de dichotomie et méthode de LAGRANGE Soit deux points a et b (avec a < b d images par f de signe contraire (ie f (a f (b < En partant de I = [a,b ], les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi produisent une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k pour k et tels que f (a k f (b k < Dans la méthode de dichotomie, on découpe l intervalle [a k ;b k ] en deux intervalles de même longueur, ie on divise [a k ;b k ] en [a k ;c k ] et [c k ;b k ] où c k est c k = a k + b k Dans la méthode de Lagrange, plutôt que de diviser l intervalle [a k ;b k ] en deux intervalles de même longueur, on découpe [a k ;b k ] en [a k ;c k ] et [c k ;b k ] où c k est l abscisse du point d intersection de la droite passant par (a k, f (a k et (b k, f (b k et l axe des abscisses, ie le zéro de la fonction qui est g (c = f (b k f (a k b k a k (c a k + f (a k b k a k c k = a k f (b k f (a k f (a k = a k f (b k b k f (a k f (b k f (a k Dans les deux cas, pour l itération suivante, on pose soit [a k+ ;b k+ ] = [a k ;c k ] soit [a k+ ;b k+ ] = [c k ;b k ] de sorte à ce que f (a k+ f (b k+ < Les algorithmes s écrivent alors comme suit : DICHOTOMIE : Require: a, b, ε, f : [a,b] R k a k a b k b x k a k +b k while b k a k > ε do if f (a k f (x k < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if x k+ a k++b k+ k k + end while LAGRANGE : Require: a, b, ε, f : [a,b] R k a k a b k b x k a k b k a k f (b k f (a k f (a k while b k a k > ε do if f (a k f (x k < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if x k+ a k+ b k+ a k+ f (b k+ f (a k+ f (a k+ k k + end while Remarque Avec la méthode de la dichotomie, les itération s achèvent à la m-ème étape quand x m α I m < ε, où ε est une tolérance fixée et I m désigne la longueur de l intervalle I m Clairement I k = b a k, donc pour avoir une erreur x m α < ε 5

6 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai on doit prendre m log b a ε Exemple Soit f (x = 9 x + 9x 5x On cherche a estimer x [;5] tel que f (x = y DICHOTOMIE f (5 = f (x = 9 + ( + (9 5xxx f ( = f (5 = 9875 f ( = x f ( = I = [;5] I = [;] I = [;] I = [;5] y LAGRANGE f (5 = f (x = 9 + ( + (9 5xxx f ( = 9758 f ( = 6 5 x f ( = I = [;5] I = [; ] I = [; ] 6 G Faccanoni

7 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires Méthode de point fixe Soit f : [a,b] R Il est toujours possible de transformer le problème f (x = en un problème équivalent x ϕ(x =, où la fonction auxiliaire ϕ: [a,b] R a été choisie de manière à ce que ϕ(α = α quand f (α = Approcher les zéros de f se ramène donc au problème de la détermination des points fixes de ϕ, ce qui se fait en construisant la suite récurrente On utilise alors l algorithme itératif suivant : Require: x, ε, ϕ: [a,b] R k while x k+ x k > ε do x k+ ϕ(x k k k + end while xk+ = ϕ(x k, x donné Convergence des itérations de point fixe On se donne x et on considère la suite x k+ = ϕ(x k pour k Si Stabilité : ϕ(x [a,b] pour tout x [a,b] Régularité : ϕ C ([a,b] Contraction : il existe K < tel que ϕ (x K pour tout x [a,b] alors ϕ a un unique point fixe α dans [a,b] et la suite x k+ = ϕ(x k converge vers α pour tout choix de x dans [a,b] De plus, on a x k+ α lim k x k α = ϕ (α Ce théorème assure la convergence, avec un ordre, de la suite (x k k N vers le point fixe α pour tout choix d une valeur initiale x [a;b] Il constitue donc un exemple de résultat de convergence globale Mais en pratique, il est souvent difficile de déterminer a priori l intervalle [a;b] ; dans ce cas, le résultat de convergence suivant peut être utile Théorème d OSTROWSKI Soit α un point fixe d une fonction ϕ continue et différentiable dans un intervalle [c;d] contenant α Si ϕ (α <, alors il existe un intervalle [a;b] [c;d] tel que la suite (x k k converge vers α pour tout x [a;b] Remarque si < ϕ (α < la suite converge de façon monotone, c est-à-dire, l erreur x k α garde un signe constant quand k varie ; si < ϕ (α < la suite converge de façon oscillante, c est-à-dire, l erreur x k α change de signe quand k varie ; si ϕ (α > la suite diverge Plus précisément, si ϕ (α > la suite diverge de façon monotone, tandis que pour ϕ (α < elle diverge en oscillant ; si ϕ (α =, on ne peut en général tirer aucune conclusion : selon le problème considéré, il peut y avoir convergence ou divergence Par exemple, soit φ(x = x x qui admet α = comme point fixe On a φ (α = et x k α pour tout x [ ;] car si x = ± alors x k = α pour tout k, si x [,] alors x k ],[ pour tout k et la suite est monotone ; considérons maintenant φ(x = x + x qui admet aussi α = comme point fixe À nouveau φ (α = mais dans ce cas la suite diverge pour tout choix de x Ordre de convergence Soit α un point fixe d une fonction ϕ C p+ pour un entier p dans un intervalle [a;b] contenant α Si ϕ (i (α = pour i p et ϕ (p+ (α, alors la méthode de point fixe associée à la fonction d itération ϕ est d ordre p + Méthodes de point fixe particulièrement connues Méthode de la Corde : ϕ(x k = x k b a f (b f (a f (x k ordre : G Faccanoni 7

8 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai Méthode de Newton : ϕ(x k = x k f (x k f (x k ordre : si α est une racine simple sinon Ordre de convergence de la méthode de Newton Soit la méthode de Newton pour le calcul de l zéro de f Cette méthode peut être mise sous la forme d une itération de point fixe u n+ = φ(u n en posant φ(x = x f (x f (x Si f (l (ie si l est racine simple, on trouve φ (x = (f (x f (xf (x (f (x = f (xf (x (f (x, φ (l =, φ (x = f (x f (x + f (xf (x (f (x f (x(f (x (f (x, φ (l = f (l f (l La méthode de Newton est donc d ordre Si la racine l est de multiplicité m >, alors la méthode n est plus du second ordre En effet, f (x = (x l m h(x où h est une fonction telle que h(l On a alors φ(x = f (x f (x = (x lh(x mh(x + (x lh (x, φ (x = h(x( m(m h(x + (x lh (x + (x l h (x ( mh(x + (x lh (x, φ (l = m Si la valeur de m est connue a priori, on peut retrouver la convergence quadratique en modifiant la méthode de Newton comme suit : φ(x = x m f (x f (x Critères d arrêt Supposons que (x n n soit une suite qui converge vers l zéro de la fonction f Nous avons le choix entre deux types de critères d arrêt pour interrompre le processus itératif d approximation de l : ceux basés sur le résidu et ceux basés sur l incrément Nous désignerons par ε une tolérance fixée pour le calcul approché de l et par e n = l x n l erreur absolue Nous supposerons de plus f continûment différentiable dans un voisinage de la racine Contrôle du résidu : les itérations s achèvent dès que f (x n < ε Il y a des situations pour lesquelles ce test s avère trop restrictif ou, au contraire, trop optimiste si f (l alors e n ε : le test donne donc une indication satisfaisante de l erreur ; si f (l, le test n est pas bien adapté car e n peut être assez grand par rapport à ε ; si enfin f (l alors e n ε et le test est trop restrictif Dans l exercice précédent f (l = : le test est trop restrictif (comparer la colonne f (x n à la colonne l x n Contrôle de l incrément : les itérations s achèvent dès que x n+ x n < ε Soit (x n n la suite produite par la méthode de point fixe x n+ = φ(x n Comme l = φ(l et x n+ = φ(x n, on obtient par un développement au premier ordre e n+ = l x n+ = φ(l φ(x n = φ (ξ n (l x n = φ (ξ n e n, ξ n I l,xn I l,xn étant l intervalle d extrémités l et x k En utilisant l identité on en déduit que e n = (l x n+ + (x n+ x n = e n+ + (x n+ x n = φ (ξ n e n + (x n+ x n, e n = x n+ x n φ (ξ n Par conséquent, ce critère fournit un estimateur d erreur satisfaisant si φ (x dans un voisinage de l C est le cas notamment des méthodes d ordre, dont la méthode de Newton Cette estimation devient d autant moins bonne que φ s approche de 8 G Faccanoni

9 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires Les fractales de NEWTON Prenons la fonction f : x x x + x Ce polynôme admet racines :, et Que se passe-t-il lorsque l on applique la méthode de NEWTON en partant de x =? En partant de x = 5? En partant de x = 6? De x = 557? De x = 5575? De x = 558? si x = alors x n si x = alors x n si x = alors x n si x = alors x n si x = alors x n si x = alors x n En choisissant une couleur par limite possible ( :jaune, :vert et :bleu, on retrouve quelque chose de fractal! Source : G Faccanoni 9

10 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai Exercices Exercice Décrire les méthodes de la dichotomie et de LAGRANGE et les utiliser pour calculer le zéro de la fonction f (x = x x 895 dans l intervalle [;] avec une précision de SOLUTION En partant de I = [a,b], les méthodes de la dichotomie et de LAGRANGE produisent une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k, k, et tels que f (a k f (b k < Dans notre cas on a k a k b k while b k a k > do x k g (a k,b k k k + if (a k a k 895(x k x k 895 < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if end while g (a k,b k = ak +b k avec pour la méthode de la dichotomie, pour la méthode de la LAGRANGE a k f (b k b k f (a k f (b k f (a k Dichotomie k a k x k b k signe de f (a k signe de f (x k signe de f (b k LAGRANGE k a k x k b k signe de f (a k signe de f (x k signe de f (b k Exercice Déterminer la suite des premiers itérés des méthodes de dichotomie dans l intervalle [,] et de Newton avec x = pour l approximation du zéro de la fonction f (x = x Combien de pas de dichotomie doit-on effectuer pour améliorer d un ordre de grandeur la précision de l approximation de la racine? G Faccanoni

11 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires y 7 f (x y f (x I I I I I x 7 x (a Méthode de la dichotomie (b Méthode de Newton FIGURE : Approximation du zéro de la fonction f (x = x SOLUTION On cherche les zéros de la fonction f (x = x : Méthode de la dichotomie : en partant de I = [a,b], la méthode de la dichotomie produit une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ] avec I k+ I k et tels que f (a k f (b k < Plus précisément on pose a = a, b = b, x = a +b, pour k si f (a k f (x k < on pose a k+ = a k, b k+ = x k sinon on pose a k+ = x k, b k+ = b k et on pose x k+ = a k +b k Voir la figure a Méthode de Newton : x k+ = x k f (x k f (x k = x k x k = x k x k + x k Voir la figure b Donc on a le tableau suivant x x x x Dichotomie Newton =,5 5 =,5 8 =,75 =,5 7 =, ,56 On rappelle qu avec la méthode de la dichotomie, les itération s achèvent à la m-ème étape quand x m α I m < ε, où ε est une tolérance fixée et I m désigne la longueur de l intervalle I m Clairement I k = b a, donc pour avoir x k m α < ε on doit prendre b a m log ε Améliorer d un ordre de grandeur la précision de l approximation de la racine signifie avoir x k α = x j α donc on doit effectuer k j = log (, itérations de dichotomie Exercice Donner la suite définissant la méthode de Newton pour la recherche d un zéro de fonction Justifier l expression de la suite G Faccanoni

12 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai Écrire l algorithme pour une convergence à 6 près Déterminer l ordre de convergence minimale de cette suite SOLUTION Supposons f C et f (α (c est-à-dire α est une racine simple de f La méthode de Newton revient à calculer le zéro de f en remplaçant localement f par sa tangente : en partant de l équation de la tangente à la courbe (x, f (x au point x (k y(x = f (x (k + f (x (k (x x (k et en faisant comme si x (k+ vérifiait y(x (k+ =, on obtient x (k+ = x (k f (x(k f (x (k Étant donné une valeur initiale x (, cette formule permet de construire une suite x (k Algorithmes pour une convergence à ε = 6 : Require: x ( while x (k+ x (k > 6 do x (k+ x (k f (x(k f (x (k end while La relation précédent peut être mise sous la forme d une itération de point fixe x (k+ = g (x (k avec g (x = x f (x f (x Si α est racine simple, c est-à-dire si f (α, on trouve g (α = et g (α = f (α f : la méthode de Newton est donc (α d ordre Si la racine α est de multiplicité m >, alors g (α = m et la méthode n est que d ordre Si la valeur de m est connue à priori, on peut retrouver la convergence quadratique de la méthode de Newton en modifiant la méthode comme suit : x (k+ = x (k m f (x(k f (x (k Exercice On veut calculer le zéro de la fonction f (x = x dans l intervalle [;] On applique la méthode de LAGRANGE : écrire l algorithme et l utiliser pour remplir le tableau (on s arrêtera au plus petit k qui vérifie f (x k < k a k x k b k signe de f (a k f (x k signe de f (b k x k - + On applique la méthode de NEWTON : écrire l algorithme et l utiliser pour remplir le tableau (on s arrêtera au plus petit k qui vérifie f (x k < Le point de départ x est donné k x k f (x k x k SOLUTION En partant de I = [a,b], la méthode de LAGRANGE produit une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k, k, et tels que f (a k f (b k < Dans notre cas on a k a k b k x k a k G Faccanoni

13 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires while x > do k x k a k b k + a k +b k if (a k (x < then k a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if k k + end while k a k x k b k signe de f (a k f (x k signe de f (b k x k - > + - > > > > > < + La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec fonction d itération φ(x = x f (x f ce qui donne l algorithme suivant (x : k x k while x k > do x k+ x k k k + end while + x k k x k f (x k x k - > 5 5 > > 6 < Exercice 5 Le but de cet exercice est de calculer la racine cubique d un nombre positif a Soit g la fonction définie sur R + par g (x = x + a x (a > fixé Faire l étude complète de la fonction g Comparer g à l identité Soit la suite (x n n N définie par x n+ = g (x n, x > À l aide des graphe de g et de l identité sur R +, dessiner la suite (x n n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence Justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement En particulier, montrer que cette suite est décroissante à partir du rang 5 Calculer l ordre de convergence de la suite 6 Écrire l algorithme défini par la suite (x n n N qui permet de déterminer a à une précision de 6 7 Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f définie par f (x = x a Que remarquet-on? SOLUTION Étude de la fonction g : R + R définie par g (x = x + g (x > pour tout x R + ; a x : G Faccanoni

14 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai y y i (x i (x g (x y = x g (x a a a x x x x x x a x (a Graphe de g comparé au graphe de i (x = x (b Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE : Exercice 5 lim g (x = lim x + lim x + x + g (x = + ; g (x x = et lim g (x x + x = donc y = x est un asymptote ; g (x = x (x a ; g est croissante sur [ a,+ [, décroissante sur [, a] ; x = a est un minimum absolu et g ( a = a x a + g (x + g (x + a + Graphe de g comparé au graphe de i (x = x : voir la figure a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x et la droite d équation y = x : g (x = x x + a x = x x = a Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe : voir la figure a On en déduit que pour tout x > on a g (x a Donc, pour tout k >, x k = g (x k a Vérifions les hypothèses du théorème de point fixe qui fournit une condition suffisante de convergence de la suite : pour tout x dans [ a,+ [ on a g (x > a donc g ([ a,+ [ [ a,+ [ (ie l intervalle a,+ [ est stable ; g C ([ a,+ [ ; pour tout x dans [ a,+ [ on a g (x = ( a x < donc g est contractante Alors la méthode converge vers α point fixe de g De plus, pour tout α [ a,+ [ on a α = g (α α = a : la méthode permet donc de calculer de façon itérative la racine cubique de a 5 Étant donné que la méthode de point fixe converge à l ordre g (α =, g (α = a α G Faccanoni

15 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires Algorithm Calcul de x = g (x Require: x > while x k+ x k > 6 do x k+ g (x k end while 6 Algorithme de point fixe : Quelques remarques à propos du critère d arrêt basé sur le contrôle de l incrément Les itérations s achèvent dès que x k+ x k < ε ; on se demande si cela garantît-t-il que l erreur absolue e k+ est elle aussi inférieur à ε L erreur absolue à l itération (k + peut être évaluée par un développement de Taylor au premier ordre avec z k compris entre α et x k Donc Puisque g (α =, on a bien x k+ x k e k e k+ = g (α g (x k = g (z k e k x k+ x k = e k+ e k = g (z k e k g (α e k 7 La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec g (x = x f (x f Ici elle s écrit (x x k+ = x k f (x k f (x k = x k x k a x = x k x k + a x = x k + a x k k k autrement dit la méthode de point fixe assignée est la méthode de Newton (qu on sait être d ordre de convergence égale à lorsque la racine est simple Exercice 6 On veut résoudre l équation e αx = x avec < α < Vérifier que cette équation admet une unique solution, notée l α, dans R Soit g : R R la fonction définie par g (x = e αx On définit la suite récurrente u R u n+ = g (u n ( On veut montrer que u n converge vers l α Pour cela, comparer d abord le graphe de g à l identité et observer graphiquement la convergence, ensuite justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement Écrire la méthode de Newton pour résoudre l équation e αx = x avec < α < Parmi la méthode de Newton et la méthode de point fixe (, laquelle faut-il préférer vis-à-vis de la vitesse de convergence? SOLUTION Deux méthodes (équivalentes possibles : Méthode : La fonction g : x e αx est monotone décroissante, lim x e αx = + et lim x + e αx = ; par conséquente elle intersecte la droite d équation y = x une et une seule fois Notons ce point l α Comme la fonction x e αx est positive pour tout x R tandis que la fonction x x est positive si et seulement si x >, on en déduit que l α > Méthode : La fonction f : x e αx x est monotone décroissante, lim x e αx x = + et lim x + e αx x = ; par le théorème des valeurs intermédiaires on conclut qu il existe un et un seul l α R tel que f (l α = Comme f ( >, on peut appliquer à nouveau le théorème des valeurs intermédiaires à l intervalle [; [ et en déduire que l α > De plus, comme f ( < e <, on peut conclure que l α ];[ Le graphe de la fonction g est celui en figure 6 On en déduit que la suite (u n n converge pour tout u R ; g (R =];+ [ et g (];+ [ =];[ ainsi u ];+ [ et u n ];[ pour tout n > ; la convergence n est pas monotone : la sous-suite des termes d indice pair est monotone croissante tandis que la sous-suite des termes d indice impair est monotone décroissante (ce qui veut dire d une part qu on ne pourra pas utiliser les théorèmes du type «monotone+bornée=convergente» pour prouver la convergence, d autre part on voit aussi que ni l intervalle [l α ;+ [ ni l intervalle [;l α ] sont stables ; g (x n est pas bornée pour tout x R (croissance exponentielle à Plus particulièrement, g (x < ssi e αx > α ssi x > ln(α/α Comme < α <, on conclut que g (x < pour tout x G Faccanoni 5

16 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai y i (x y i (x l α l α l α (a Graphe de g comparé au graphe de i (x = x g (x x x x x x x l α g (x x (b Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE : Exercice 6 Cette étude préliminaire suggère d utiliser le théorème de point fixe dans l intervalle ];+ [ On a g C (];+ [, g (];+ [ ];+ [, g (x < pour tout x ];+ [, on peut alors utiliser le théorème de point fixe pour conclure que la suite (u n n N converge vers l α pour tout u ];+ [ Comme g (x ];+ [ pour tout x R, alors u n ];+ [ pour tout n N, on peut donc conclure que la suite (u n n N converge vers l α pour tout u R Soit f (x = e αx x La méthode de Newton (qui s applique à f et non à g définit la suite récurrente u R u n+ = u n e αun u n αe αun ( La méthode de point fixe ( n est que d ordre car g (l α tandis que la méthode de Newton, qui est encore une méthode de point fixe, est d ordre Exercice 7 Soit f une application de R dans R définie par f (x = exp(x x On se propose de trouver les racines réelles de f Situer les racines de f (ie indiquer intervalles disjoints qui contiennent chacun une et une seule racine Montrer qu il y a une racine α comprise entre et Soit la méthode de point fixe xk+ = φ(x k, ( x ],[, exp(x avec φ l application de R dans R définie par φ(x = Examiner la convergence de cette méthode et en préciser l ordre de convergence Écrire la méthode de Newton pour la recherche des zéros de la fonction f 5 Entre la méthode de Newton et la méthode de point fixe (, quelle est la plus efficace? Justifier la réponse SOLUTION On cherche les zéros de la fonction f (x = exp(x x On remarque que f ( x = f (x : la fonction est paire On fait donc une brève étude sur [,+ [ : f ( = et lim f (x = +, x + f (x = pour x = et x = ln et on a f ( = et f ( ln = ( ln < ; f est croissante pour x > ln et décroissante pour < x < ln On a une racine dans l intervalle ], ln[, une racine dans l intervalle ] ln,[, une racine dans l intervalle ], ln[, une racine dans l intervalle ] ln, [ Voir la figure a pour le graphe de f sur R Puisque f ( = > et f ( = e <, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un α ],[ tel que f (α = Puisque f (x = x exp(x 8x = x(exp(x < x(e < pour tout x ],[, ce α est unique Voir la figure b 6 G Faccanoni

17 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires y y f (x f (x ln x α x ( ln (a Graphe de f (x = exp(x x (b Zoom FIGURE : Exercice 7 Étude de la convergence de la méthode ( : pour tout x dans ],[ on a donc φ: ],[ ],[ ; φ C (],[ ; pour tout x dans ],[ on a donc φ est contractante < exp(x < e < φ x exp(x (x = = xφ(x < x < Alors la méthode ( converge vers α point fixe de φ De plus, pour tout α ],[, α = φ(α α = exp(α α = exp(α f (α = ; donc α, point fixe de φ, est un zéro de f Étant donné que φ (α = αφ(α = α, la méthode de point fixe ( converge seulement à l ordre La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec φ(x = x f (x f Ici donc elle s écrit (x x k+ = x k f (x k f (x k = x k exp(x k x k x k exp(x k 8x k = x k exp(x k x k x k (exp(x k 5 Puisque α est une racine simple de f, la méthode de Newton converge à l ordre tandis que la méthode de point fixe ( converge seulement à l ordre : la méthode de Newton est donc plus efficace Exercice 8 On cherche à évaluer 5 à l aide d un algorithme n autorisant que les opérations élémentaires Soit (x n n N la suite définie par récurrence x =, x n+ = x n xn + 5 n N Montrer que si la suite converge, alors elle converge vers ou 5 Soit la fonction g définie sur [; 5] par g (x = x Étudier g et la comparer à l identité x +5 Montrer que la suite (x n n N est croissante et majorée par 5 Conclure Déterminer l ordre de convergence de cette suite G Faccanoni 7

18 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai y α α α α α x FIGURE 5: Exercice 7 : convergence de la méthode de point fixe SOLUTION Supposons qu il existe l R tel que x n l n + Par définition de convergence on a l = l l +5 et par conséquent l 5,, 5 } On prouve par récurrence que si x = alors x n = pour tout n N donc l =, si x > alors x n > pour tout n N donc l, α si x < alors x n < pour tout n N donc l Comme x = >, alors x n > pour tout n N et l, 5 } Soit la fonction g définie sur [; 5] par g (x = x On étudie la fonction g : x +5 g (x > pour tout x [; 5] ; g ( = 5, g ( 5 = 5 ; g (x = x 5 (x +5 ; g est croissante sur [; 5[ et g ( 5 = Graphe de g comparé au graphe de i (x = x : voir la figure 6a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x et la droite d équation y = x dans [; 5] : g (x = x x x + 5 = x x = 5 On a g (x [5/; 5] pour tout x [; 5] et on a vu au point précédent que g est croissante et g ( 5 = 5 De plus, g (x x car g (x = par conséquent la suite x k+ = g (x k x k est croissante x x + 5 x ( = x, Comme g (x ( 5 = 5 alors la suite x k+ = g (x k 5 est bornée On a ainsi une suite croissante et borné, ce qui implique qu elle converge Comme au premier point on a montré que si elle converge vers l alors l, 5 }, on conclut que x n 5 Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure 6b n + Dans ce cas, on ne peut pas utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la suite sur l intervalle [; 5] En effet g est au moins de classe C ([; 5] 8 G Faccanoni

19 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires y 5 i (x y i (x 5 g (x g (x 5 x x x x x (a Graphe de g comparé au graphe de i (x = x (b Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe x k+ = g (x k FIGURE 6: Exercice 8 g ([; 5] = [5/; 5] [; 5] mais g (x < ssi x [ + 5 5; 5] (et on a > En revanche, on peut utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la suite sur l intervalle [5/; 5] car g est au moins de classe C ([5/; 5] g ([5/; 5] [5/; 5] g (x < pour tout x [5/; 5] Comme g ( 5 = et g ( 5, la méthode de point fixe associée à la fonction d itération g est d ordre Exercice 9 L objectif de cet exercice est de déterminer le zéro d une fonction C (R,R vérifiant < f (x < sur R On définit la suite x n } n N de R par la récurrence suivante x n+ = g (x n = x n + αf (x n, où α > et x R sont donnés Montrer que lim f (x = + et lim f (x = x x + En déduire qu il existe un unique l élément de R tel que f (l = Montrer que si < α <, la fonction g définie par g (x = x + αf (x vérifie < α < g (x < α sur R En déduire la convergence de la suite x n } n N si < α < 5 La suite converge-t-elle pour α = f (l? 6 Donner l ordre de convergence de la suite x n } n N pour < α < en distinguant le cas α = f (l 7 Peut-on choisir α = f d un point de vue pratique? (l 8 On choisit alors d approcher α = f (l par α n = f (x n et la suite x n} n N est définie par x n+ = g (x n = x n + α n f (x n Quel est le nom de cette méthode itérative? Montrer que la suite x n } n N converge quel que soit x R SOLUTION Puisque f est de classe C (R,R et f (x < sur R alors f est monotone décroissante De plus, f (x < sur R donc lim f (x = + lim x f (x = x + NB : seul la condition f (x < permet de conclure car une fonction peut être monotone décroissante mais avoir une limite finie! En effet, la condition f (x < garantie que la fonction décroit plus vite qu une droite comme on peut G Faccanoni 9

20 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai facilement vérifier : f (x f (x lim = lim x ± x x ± Puisque lim f (x = + > et lim f (x = <, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un x x + l R tel que f (l = Puisque f (x < pour tout x R, ce l est unique Considérons la fonction g définie par g (x = x + αf (x alors g est de classe C (R,R et g (x = + αf (x sur R Puisque f (x < et < α < on a g (x < α < sur R et puisque f (x > et < α < alors Autrement dit Soit < α < On étudie la suite g (x > α > sur R g (x < sur R x n+ = g (x n et on va vérifier qu il s agit d une méthode de point fixe pour le calcul du zéro l de f On vérifie d abord que, si la suite converge vers un point fixe de g, ce point est bien un zéro de f (ici le réciproque est vrai aussi : soit l R, alors l = g (l l = l + αf (l = αf (l f (l = ; vérifions maintenant que la suite converge vers un point fixe de g (et donc, grâce à ce qu on a vu au point précédant, elle converge vers l unique zéro de f : on a évidemment que g : R R ; on a déjà remarqué que g C (R,R ; pour tout x dans R on a prouvé que g (x <, ie que g est contractante Alors la suite x n+ = g (x n converge vers l point fixe de g et zéro de f 5 Si α = f (l alors x n+ = g (x n = x n f (x n f (l, qui converge car < f (l < ssi < α < et donc on rentre dans le cas de < α < 6 Étant donné que g (l = + αf (l la méthode de point fixe converge à l ordre si αf (l =, la méthode de point fixe converge à l ordre si < αf (l < mais αf (l, la méthode de point fixe ne converge pas si αf (l < ou αf (l > Étant donné que < f (l < et que < α < on peut conclure que la méthode de point fixe converge à l ordre si α = f (l, la méthode de point fixe converge à l ordre si α f (l 7 D un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = f car on ne connaît pas l (l 8 Si on choisit d approcher α = f (l par α n = f (x n et on considère la suite x n} n N définie par on obtient la méthode de Newton (qui est d ordre x n+ = g (x n = x n + α n f (x n, De plus, comme < f (x < on rentre dans le cas < α < donc la suite x n } n N converge quel que soit x R Exercice Soit g la fonction définie sur R + par g (x = x + x + x + 8x G Faccanoni

21 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires Faire l étude complète de la fonction g (On admettra que x +x = admet comme unique solution m,6 et que g (m = m Comparer g à l identité Soit la suite (x n n N définie par x n+ = g (x n, x > À l aide des graphe de g et de l identité sur R +, dessiner la suite (x n n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence En particulier, montrer que cette suite est décroissante à partir du rang Expliciter (sans la vérifier la condition nécessaire pour la convergence observée graphiquement 5 Écrire l algorithme défini par la suite (x n n N qui permet de déterminer le point fixe à une précision de ε 6 Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f définie par f (x = x + x Que remarque-t-on? 7 Donner l ordre de convergence de la suite SOLUTION Étude de la fonction g : R + R définie par g (x = x +x + x +8x g (x > pour tout x R + ; lim x + lim x + g (x = lim x + g (x = + ; g (x x = et lim g (x x + x = 9 donc y = x 9 est un asymptote ; g (x = (x+(x +x x (x+8 ; g est croissante sur [m,+ [, décroissante sur [,m] où m,6 ; x = m est un minimum absolu et g (m = m x m + : g (x + g (x + m + Graphe de g comparé au graphe de i (x = x : voir la figure 7a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x et la droite d équation y = x : g (x = x x + x + x + 8x = x x + x = x = m f (x = Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure 7b On en déduit que pour tout x > on a g (x m Donc, pour tout k >, x k = g (x k m Pour étudier la convergence de la méthode vérifions si on peut appliquer le théorème de point fixe : pour tout x dans [m,+ [ on a g (x > m donc g ([m,+ [ [m,+ [ ; g C ([m,+ [ ; pour tout x dans [m,+ [, on a g (x = (6x +8x g (x(6x+8 < alors g est contractante x +8x Si les conditions précédentes sont vérifiées alors la méthode converge vers m point fixe de g De plus, pour tout α [m,+ [ : α = g (α α = m donc le point fixe de g est racine de f 5 Algorithme de point fixe : Algorithm Calcul de x = g (x Require: x > Require: g : x g (x while x k+ x k > ε do x k+ g (x k end while G Faccanoni

22 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai y y i (x i (x g (x y = x 9 g (x m m x x x x x x x (a Graphe de g comparé au graphe de i (b Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 7 6 La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec g (x = x f (x f Ici donc elle s écrit (x x k+ = x k f (x k f (x k = x k x k + x k x k + 8x = g (x k k autrement dit la méthode de point fixe assignée est la méthode de Newton 7 Étant donné que la méthode de point fixe donnée est la méthode de Newton et que la racine m de f est simple, elle converge à l ordre Quelques remarques à propos du critère d arrêt basé sur le contrôle de l incrément Les itérations s achèvent dès que x k+ x k < ε ; on se demande si cela garantît-t-il que l erreur absolue e k+ est elle aussi inférieur à ε L erreur absolue à l itération (k + peut être évaluée par un développement de Taylor au premier ordre avec z k compris entre m et x k Donc e k+ = g (α g (x k = g (z k e k x k+ x k = e k+ e k = g (z k e k g (m e k Puisque g (x = x+ x (x+8 f (x, alors g (m = donc on a bien x k+ x k e k Exercice On se propose de calculer en trouvant les racines réelles de l application f de R dans R définie par f (x = x Situer les racines de f (ie indiquer intervalles disjoints qui contiennent chacun une et une seule racine En particulier, montrer qu il y a une racine α comprise entre et Soit g la fonction définie sur [;] par g (x = x(9x + 5 (5x + Faire l étude complète de la fonction g et la comparer à l identité Soit la suite (x n n N définie par x n+ = g (x n, x ];[ À l aide des graphe de g et de l identité sur [;], dessiner la suite (x n n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence Justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement G Faccanoni

23 Jeudi mai Résolution d équations non linéaires y y i (x g (x i (x g (x y = 5 x x x x x x x x (a Graphe de g comparé au graphe de i (b Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 8 Calculer l ordre de convergence de la suite 5 Écrire l algorithme défini par la suite (x n n N qui permet de déterminer à une précision de ε Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f Entre la méthode de Newton et la méthode de point fixe x k+ = g (x k, quelle est la plus efficace? Justifier la réponse SOLUTION f est paire ; comme f (x = x, f est croissante pour x > et décroissante pour x < ; puisque f ( < et f ( = f ( >, on conclut que il n y a que deux racines réelles distinctes : α ];[ et α ] ;[ On étudie la fonction g (x = x(9x +5 pour x (5x + g (x pour tout x et g (x = ssi x = ; g (x = 5(9x8 6x + (5x + = 5 ( x 5x + x x = (5x + ( donc g (x pour tout x ];[ et g (x = ssi x = De plus, g x = x (x (5x + Enfin, g (x = 5x + g (x, g est concave pour x ]; [, convexe pour x > Pour le graphe de g comparé au graphe de i (x = x pour x [;] voir la figure 8a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x et la droite d équation y = x : (5x + donc g (x = ssi x = ou x = = g (x = x x(9x + 5 (5x + = x 9x + 5 = (5x + x = f (x = Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure 8b Étudions la convergence de la méthode On remarque que donc la suite récurrente = 9x k + 5 x k (5x k + > x k < x k+ x ]; [ x k+ = g (x k est monotone croissante et majorée par : elle est donc convergente vers l Comme l = g (l ssi l = on conclut qu elle converge vers De même, la suite récurrente ] [ x ; x k+ = g (x k, G Faccanoni

24 Résolution d équations non linéaires Jeudi mai est monotone décroissante et minoré par : elle est donc convergente vers l Comme l = g (l ssi l =, on conclut qu elle converge vers Par conséquent, quelque soit le point initiale, la méthode de point fixe donnée converge vers point fixe de g (et racine de f Soulignons qu on ne peut pas utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la méthode car g n est pas contractante sur [;] En effet, dans [;] on a g (x < g (x < 5(x < (5x + 5x 8 + x > x > + = 5 (5α + Si on pose α = alors g (α = α, g (α =, g (α = et g (α = α 5α8 α + suite converge à l ordre 5 Algorithme de point fixe : Algorithm Calcul de x = g (x Require: x > Require: g : x g (x while x k+ x k > ε do x k+ g (x k end while 6 5 ];[ : on conclut que la Entre la méthode de Newton et la méthode de point fixe x k+ = g (x k, la plus efficace est la méthode de point fixe x k+ = g (x k car elle est d ordre tandis que celle de Newton n est que d ordre G Faccanoni

25 Interpolation Étant donné n + points (x i, y i } n i=, estimer y(x Étant donné n + couples (x i, y i, le problème consiste à trouver une fonction ϕ = ϕ(x telle que ϕ(x i = y i ; on dit alors que ϕ interpole y i } aux nœuds x i } On parle d interpolation polynomiale quand ϕ est un polynôme, d approximation trigonométrique quand ϕ est un polynôme trigonométrique et d interpolation polynomiale par morceaux (ou d interpolation par fonctions splines si ϕ est polynomiale par morceaux Les quantités y i peuvent, par exemple, représenter les valeurs aux nœuds x i d une fonction f connue analytiquement ou des données expérimentales Dans le premier cas, l approximation a pour but de remplacer f par une fonction plus simple en vue d un calcul numérique d intégrale ou de dérivée Dans l autre cas, le but est d avoir une représentation synthétique de données expérimentales dont le nombre peut être très élevé Polynôme de LAGRANGE Considérons n+ couples (x i, y i, le problème est de trouver un polynôme Π m (x = a +a x+ a m x m P m, appelé polynôme d interpolation ou polynôme interpolant, tel quel Π m (x i = y i, i =,n Les points x i sont appelés nœuds d interpolation Il s agit d un système linéaire de n + équations et m + inconnues Si m = n on a le résultat suivant : Théorème Étant donné n + points distincts x,, x n et n + valeurs correspondantes y,, y n, il existe un unique polynôme Π n P n tel que Π n (x i = y i, pour i =,n qu on peut écrire sous la forme n n x x j Π n (x = y i L i (x P n où L i (x = x i x j i= Cette relation est appelée formule d interpolation de LAGRANGE et les polynômes L i sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange j = j i Remarque Si n est petit on peut calculer directement les coefficients a, a,, a n en résolvant le système linéaire de n + équations a + a x + a n x n = y a + a x + a n x n = y a n + a x n + a n xn n = y n ie x x n x x n x n xn n a a a n = y y y n Erreur Si y i = f (x i pour i =,,,n, f : I R étant une fonction donnée de classe C n+ (I où I est le plus petit intervalle contenant les nœuds x i }, l erreur d interpolation au point x I est donné par E n (x f (x Π n (x = f (n+ (ξ ω n+ (x (n +! 5

26 Interpolation Jeudi mai où ξ I et ω n+ (x n (x x j i= Exemple Pour n = le polynôme de Lagrange s écrit P(x = y (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x Polynôme d HERMITE ou polynôme osculateur On peut généraliser l interpolation de LAGRANGE pour prendre en compte, en plus des valeurs nodales, les valeurs de la dérivée du polynôme interpolateur dans ces nœuds Considérons n+ triplets (x i, y i, y i, le problème est de trouver un polynôme Π m(x = a +a x+ a m x m P m tel quel Πm (x i = y i, Π m (x i = y i, i =,n Il s agit d un système linéaire de (n+ équations et m+ inconnues Si m = n+ on a le résultat suivant : Théorème Étant donné n + points distincts x,, x n et n + couples correspondantes (y, y,,(y n, y n, il existe un unique polynôme Π N P N tel que Π N (x i = y i et Π N (x i = y, pour i =,n qu on peut écrire sous la forme i Q(x = n y i A i (x + y i B i (x P N i= où L i (x c i = n j = j i = n j = j i x x j x i x, j x i x, j A i (x = ( (x x i c i (L i (x, B i (x = (x x i (L i (x, N = n + qu on peut réécrire comme n Q(x = (y i D i (x + y i (x x i (L i (x où i= L i (x c i = n j = j i = n j = j i x x j x i x, j x i x, j D i (x = (x x i c i, N = n + Cette relation est appelée formule d interpolation de HERMITE Remarque Si n est petit on peut calculer directement les coefficients a, a,, a N en résolvant le système linéaire de N + = n + 6 G Faccanoni

27 Jeudi mai Interpolation équations a + a x + a N x N = y a + a x + a N x N = y a n + a x n + a N xn N = y n a + a x + N a N x N = y a + a x + N a N x N = y a n + a x n + N a N xn N = y n ie x x N x x N x n xn N x N x N x N x N x n N xn N a a a N = y y y n y y y n Exemple Pour n = le polynôme de Hermite s écrit qu on peut réécrire comme ( ( (x x (x x ( Q(x = y ( (x x + + y (x x x x x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x ( ( (x x (x x ( + y ( (x x + + y (x x x x x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x ( ( (x x (x x ( + y ( (x x + + y (x x x x x x (x x (x x (x x (x x, (x x (x x ( ( Q(x = (y (x x ( + (y (x x ( + (y (x x + x x x x ( + x x x x ( + x x x x ( + y (x x (x x (x x (x x (x x + y (x x + y (x x ( (x x (x x (x x (x x ( (x x (x x (x x (x x Algorithmes LAGRANGE : Require: t, n, (x i, y i } n i= p for i = to n do L i for j = to n do if j i then L i t x j L i x i x j end if end for p p + y i L i end for return p HERMITE : Require: t, n, (x i, y i, y i } n i= p for i = to n do L i for j = to n do if j i then L i t x j L i x i x j c i x i x j + c i end if end for p p + ( y i ( (t x i c i + y i (t x i L i end for return p Splines C est une méthode d interpolation par morceaux possédant des propriétés de régularité globale G Faccanoni 7

28 Interpolation Jeudi mai Définition Étant donné n + points distincts x,, x n de [a;b] avec a = x < x < < x n = b, la fonction s k (x: [a;b] R est une spline de degré k relative aux nœuds x i } si sk (x [xi ;x i +] P k, i =,,,n, s k C k ([a;b] Évidemment tout polynôme de degré k est une spline, mais en pratique une spline est constituée de polynômes différents sur chaque sous-intervalle Il peut donc y avoir des discontinuité de la dérivée k-ième aux nœuds internes x,, x n Splines linéaires Étant donné n + points distincts x,, x n de [a;b] avec a = x < x < < x n = b, la fonction l(x: [a;b] R est une spline linéaire relative aux nœuds x i } si l(x [xi ;x i +] P k, i =,,,n, l C ([a;b] Autrement dit, dans chaque sous-intervalle [x i ; x i + ], la fonction l est le segment qui connecte le point (x i, y i au point (x i+, y i+ ; elle s écrit donc l(x [xi ;x i +] = y i + y i+ y i x i+ x i (x x i Erreur Si y i = f (x i pour i =,,,n, f : [a;b] R étant une fonction donnée de classe C ([a;b], l erreur d interpolation au point x [a; b] est donné par (b a max f (x l(x max x I 8 f (x x I 8 G Faccanoni

29 Jeudi mai Interpolation Exercices Exercice Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (,, (,, (, et (, SOLUTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i } n i= s écrit i= n n p n (x = y x x j i x i x j j = j i Ici n = donc on a y (x x (x x (x x P(x = y (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x (x x (x x = P(x (x (x (x (x (x (x = + ( ( ( ( ( ( (x (x (x (x (x (x + + ( ( ( ( ( ( = (x (x (x x(x (x = + x(x (x x(x (x + = x + x 8 x + x Sinon, comme on cherche un polynôme de degré, il s agit de trouver les coefficients a, a, a et a solution du système linéaire a + a + a + a = a a + a + a + a = a + a + a + a ie a = 8 a = a + a + a + a = 9 7 a Exercice Trouver le polynôme de l espace vectoriel Vec + x, x } qui interpole les points (, et (, SOLUTION Il s agit de trouver un polynôme p(x qui soit combinaison linéaire des deux polynômes assignés (ie p(x = α( + x + β(x et qui interpole les deux points (, et (, : y p(x p( =, p( =, α( + + β( =, α( + + β( =, d où α = et β = Le polynôme cherché est donc le polynôme p(x = + x + x x Exercice Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (,, (,, (, et (, G Faccanoni 9

30 Interpolation Jeudi mai Soit Q le polynôme de Lagrange qui interpole les points (,, (,, (, Montrer qu il existe un réel λ tel que : Q(x P(x = λ(x + x(x SOLUTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i } n i= s écrit n n p n (x = y x x j i x i x j i= j = j i Ici n = donc on a (x x (x x (x x P(x = y (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x (x x (x x x(x (x (x + (x (x = + (x + x(x (x + x(x + = = x + x + x + Par construction Q( = P(, Q( = P(, Q( = P(, donc le polynôme Q(x P(x s annule en, en et en, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x tel que Q(x P(x = R(x(x + x(x Puisque P(x a degré et Q(x a degré, le polynôme Q(x P(x a degré, donc le polynôme R(x qu on a mis en facteur a degré (ie R(x est une constante Si on n a pas remarqué ça, on peut tout de même faire tous les calculs : dans ce cas n = donc on a Ainsi (x x (x x Q(x = y (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x = x(x (x + (x + (x + x = x + [ (x x (x x Q(x P(x = y x x ] (x x (x x x x [ (x x (x x + y x x (x x (x x x x (x x (x x (x x = y et λ = Sinon directement avec λ = [ (x x (x x + y x x ] (x x (x x x x ] (x x (x x (x x y (x x (x x (x x (x x (x x (x x y (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x y (x x (x x (x x y (x x (x x (x x (x x (x x (x x [ y = (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x y + (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x + x(x = ] (x x (x x (x x Q(x P(x = x + + x x + x = x + (x + x(x x = = λx(x + (x G Faccanoni

31 Jeudi mai Interpolation y Q(x x x x P(x x x Exercice Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois points (,e, (, et (,e Sans faire de calculs, donner l expression du polynôme de Lagrange Q qui interpole les trois points (,, (, et (, Trouver le polynôme de l espace vectoriel Vec, x, x } qui interpole les trois points (,, (, et (, SOLUTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i } n i= s écrit Ici n = donc on a i= n n p n (x = y x x j i x i x j j = j i y e P(x (x x (x x P(x = y (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x = x(x (x + x = e (x + (x + e = = (e x + x Il suffit de changer les coefficients y i dans l expression précédente : x(x Q(x = (x + x = x y Q(x x G Faccanoni

32 Interpolation Jeudi mai Il s agit de trouver un polynôme p(x qui soit combinaison linéaire des deux polynômes assignés (ie p(x = α + βx + γx et qui interpole les trois points (,, (, et (, : p( =, p( =, p( =, α β + γ =, α =, α + β + γ =, d où α =, β = et γ = Le polynôme cherché est donc le polynôme p(x = x Exercice 5 Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (,, (,, (, et (, Soit Q le polynôme de Lagrange qui interpole les points (,, (,, (, Montrer qu il existe un réel λ tel que : Q(x P(x = λ(x + x(x SOLUTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i } n i= s écrit i= n n p n (x = y x x j i x i x j j = j i Ici n = donc on a (x x (x x (x x P(x = y (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x (x x (x x x(x (x (x + (x (x = + 6 = 6 x + x + x + (x + x(x (x + x(x + = Par construction Q( = P(, Q( = P(, Q( = P(, donc le polynôme Q(x P(x s annule en, en et en, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x tel que Q(x P(x = R(x(x + x(x Puisque P(x a degré et Q(x a degré, le polynôme Q(x P(x a degré, donc le polynôme R(x qu on a mis en facteur a degré (ie R(x est une constante Si on n a pas remarqué ça, on peut tout de même faire tous les calculs : dans ce cas n = donc on a (x x (x x Q(x = y (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x x(x = (x + (x + (x + x = x + x + Ainsi [ (x x (x x Q(x P(x = y (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x x x ] (x x (x x + y x x (x x (x x [ x x x x [ x x ] x x ] y (x x (x x (x x (x x (x x (x x G Faccanoni

33 Jeudi mai Interpolation et λ = 6 Sinon directement (x x (x x (x x = y (x x (x x (x x y (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x x y (x x (x x (x x y (x x (x x (x x (x x (x x (x x [ y = (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x ] y + (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x (x x (x x (x + x(x = 6 Q(x P(x = x + x x x x = 6 x 6 x = 6 x(x = λx(x + (x avec λ = 6 Q(x y x P(x x x x x Exercice 6 Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois points (,α, (,β et (,α où α et β sont des réels Si α = β, donner le degré de P Montrer que P est pair Peut-on avoir P de degré? SOLUTION Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois points (,α, (,β et (,α où α et β sont des réels Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i } n i= s écrit Ici n = donc on a i= n n p n (x = y x x j i x i x j (x x (x x P(x = y (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x + y (x x (x x (x x (x x + x(x (x + (x = α + β j = j i (x + x + α = = α x(x β(x + (x + α x(x + = (α βx + β G Faccanoni

34 Interpolation Jeudi mai Si α = β, P = α qui est un polynôme de degré P( x = P(x donc P est pair Donc P ne peut pas être de degré car un polynôme de degré est de la forme a + a x qui ne peut pas être pair Exercice 7 Soit f une fonction de classe C ([,] et p le polynôme interpolateur d Hermite (de degré de f vérifiant p( = f (, p ( = f (, p( = f (, p ( = f ( Écrire le polynôme p SOLUTION On a deux méthodes pour calculer le polynôme interpolateur d Hermite : Première méthode : le polynôme interpolateur d Hermite s écrit n [ p(x = yi ( (x x i c i + y i i= (x x i ] n (x x j (x i x j j = j i où c i = n x i x j j = j i Pour n = on a alors ( ( (x x ( (x p(x = y ( (x x + y x x (x x (x x x (x x ( ( (x x ( (x + y ( (x x + y x x (x x (x x x (x x Dans notre cas x =, x =, y = f (, y = f (, y = f (, y = f ( donc p(x = = [ f ( (x + (x + f ( (x + (x + f (( x(x + + f ((x (x + ] [ ] f ( (x x + + f ( (x x x + + f (( x + x + + f ((x + x x = f ( + f ( + f ( f ( + f ( f ( + f ( f ( f ( f ( x x + f ( + f ( f ( + f ( x Le polynôme interpolateur d Hermite est donc le polynôme où α = f ( + f ( + f ( f ( γ = f ( + f ( p(x = α + βx + γx + δx, β = f ( + f ( f ( f (,, δ = f ( f ( + f ( + f ( Deuxième méthode : le polynôme interpolateur d Hermite est un polynôme de degré n + On cherche donc un polynôme p(x = α + βx + γx + δx tel que c est-à-dire tel que p( = f (, p ( = f (, p( = f (, p ( = f (, α β + γ δ = f (, α + β + γ + δ = f (, β γ + δ = f (, β + γ + δ = f ( G Faccanoni

35 Jeudi mai Interpolation En utilisant la méthode d élimination de Gauss on obtient : [A b] = f ( f ( f ( f ( L L L L L L f ( L L L f ( f ( f ( ainsi f ( f ( f ( f ( f ( α = f ( + f ( + f ( f ( γ = f ( + f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( L L +L f ( f ( f f ( f ( ( f ( + f ( f ( + f (, β = f ( + f ( f ( f (,, δ = f ( f ( + f ( + f ( Exercice 8 Construire le polynôme de Lagrange p qui interpole les points (,, (,, (, et (, Construire l ensemble des polynômes de degré qui interpolent les points (,, (,, (, et (, Construire le polynôme d Hermite Q qui interpole les points (,, et (,, SOLUTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i } n i= s écrit Ici n = et y i = pour i =,,, donc p (x = n n p n (x = y x x j i x i x j i= Comme les points donnés appartiennent tous à la droite d équation y =, il s agit de construire les polynômes de degré qui ont racines réelles distinctes x, x, x, x } Ils sont tous de la forme r a (x = a(x x (x x (x x (x x ; ici donc r a (x = a(x + x(x (x = a(x x x + x Étant donné n+ points distincts x,, x n et n+ couples correspondantes (y, y,,(y n, y n, le polynôme d HERMITE Q de degré N = n + tel que Q(x i = y i et Q (x i = y, pour i =,n s écrit i L i (x = n x x j Q(x = n y i A i (x + y i B i (x P N i= Ici n = et le polynôme de Hermite s écrit où c i j = j i j = j i x i x j, A i (x = ( (x x i c i (L i (x, B i (x = (x x i (L i (x = n Q(x = y A + y B + y A + y B = B B ( x ( x x ( x x ( x + = (x x (x x = (x + (x x x x x = (x (x + (x (x + (x (x + = = x + x j = j i x i x, j Si on a oublié la formule, il suffit de remarquer qu on cherche un polynôme de degré qui a comme racines et et donc qui s écrit Q(x = (x + (x (ax + b = ax + ( a + bx + ( b ax b ; de plus on sait que Q ( = et Q ( =, on trouve alors a et b en résolvant le système linéaire a( + ( a + b( + ( b a =, a( + ( a + b( + ( b a =, a + a b b a =, a a + b b a =, a =, b = / G Faccanoni 5

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