Analyse et synthèse robustes des systèmes linéaires Cours 8 Analyse de stabilité robuste

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1 Analyse et synthèse robstes des systèmes linéaires Cors 8 Analyse de stabilité robste

2 Le problème standard d analyse de stabilité robste 2 = L (,N) = S(K, ) N(K) = (N 22 N 21 (1 N 11 ) 1 N 12 ) Problème 1 : Analyse robste Etant donnés : - n correcter K - n ensemble de modèles généralisés L (,N(K)), déterminer si L (,N(K)) est stable de manière interne por

3 Analyse de stabilité robste d n satellite 3 - Ecritre des éqations d Eler d satellite en spin Ω constante ator de l axe et des éqations de la cinématiqe - Linéarisation des éqations d Eler et de la cinématiqe - I xx = I yy = I 1 et I = I 3 - Décoplage d movement ator de / axes x et y φ θ ψ y - Eqations d Eler linéarisées et décoplées : x Ligne des noeds I 1 ω 1 ω 2 Ω(I 1 I 3 ) = T 1 I 1 ω 2 ω 1 Ω(I 3 I 1 ) = T 2 - On pose a = (1 I 3 /I 1 )Ω et [ 1 2 ] = [ T 1 /I 1 T 2 /I 1 ]

4 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 4 - Modèle d état : ω 1 ω 2 = 0 a a 0 ω 1 ω y 1 y 2 = 1 a a 1 ω 1 ω 2 - Matrice de transfert : F(s) = C(s1 A) 1 B = 1 s 2 a 2 s a2 a(s1) a(s1) s a 2

5 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 5 Stabilisation interne nominale : K = Test entrée - sortie : T y (s) = T (s) = S y F(s) = FK(s)(1FK(s)) 1 = 1 s1 1 a a 1 S y (s) = S (s) = KS (s) = (1FK(s)) 1 = 1 s1 s a a s - Test d état : Ã = A BKC =

6 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 6 On sppose qe des dynamiqes liées ax modes soples ont été négligées o non modélisées Modèle incertain mltiplicatif : F(s) = F(s)(1 ) = 1 s 2 a 2 s a2 a(s1) a(s1) s a 2 1 δ 11 δ 12 δ 21 δ 22 r y K ũ F F = δ 11 δ 12 δ 21 δ 22 RH < 1

7 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 7 Mise sos forme standard : d r ζ K(s) F(s) v n e Incertitdes Modèle Généralisé P Correcter K y s N(K) - Calcl d modèle généralisé P - CalcldmodèlebocléincertainN(K) = L l (K,P) - Condition de stabilité de l interconnexion L (,N(K))

8 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 8 Calcl d modèle généralisé P : Réécritre de l interconnexion : Déconnexion de l incertitde : r ζ K(s) d F(s) v r ζ K(s) d F(s) v n n Nota : : transfert v par l incertitde

9 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 9 Ecritre d modèle généralisé : r ζ d F(s) v P y n y = P [ = d r n = d ] = v r = F(s) F(s)d r F(s) y = ζ = r v n = F(s) F(s)dr n F(s)

10 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 10 Ecritre d modèle généralisé : (site) y P(s) = = P d r n et = d F(s) F(s) 1 0 F(s) F(s) F(s) 1 1 F(s) = F Fd r F y = F Fdr n F = P 11 P 12 P 21 P 22

11 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 11 Calcl d modèle incertain boclé : reboclage de K sr P = L l (K,P) = (P 11 P 12 K(1 P 22 K) 1 P 21 ) P K(s) y = L l (K,P) = N 11 N 12 N 21 N 22 N 11 = T N 12 = N 21 = FS N 22 = [ [ S KS y KS y ] FS S y T y ]

12 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 12 Modèle incertain en bocle fermée : N(K) = L (,L l (K,P)) = [ ] N 22 N 21 (1 N 11 ) 1 N 12 (1 N 11 ) 1 est la sele sorce d instabilité! La qestion de stabilité robste se résme à : 1 N 11 a t-il n inverse propre et stable por tot (jω) < 1? Exemple satellite : condition de stabilité robste (1 N 11 ) 1 = (1T ) 1 est-il propre et stable por RH (jω) < 1?

13 Test de l inverse d ne matrice de transfert 13 Théorème 1 : Soit le modèle LTI carré stable G(s) A B C D G a n inverse propre et stable ssi det(g(s)) 0 s C C 0 D 1 existe et A BD 1 C stable Nota : G 1 (s) A BD 1 C BD 1 D 1 C D 1

14 CNS de stabilité robste 14 Par constrction N 11 (s) RH et on sppose qe = { RH < γ et α C α < 1 α } Théorème 2 : (1 N 11 ) 1 est propre et stable por ssi det(1 N 11 (s) (s)) 0 s C C 0 le lie de Nyqist de det(1 N 11 (s) (s)) ne fait pas de tors ator de 0 1 Λ(N 11 (s) (s)) s C C 0 et det(1 N 11 (jω) (jω)) 0 ω R et ρ(n 11 (jω) (jω)) < 1 ω R et

15 Condition de stabilité robste : théorème d faible gain 15 N 11 = M RH = { RH < γ et α C α < 1 α } Théorème 3 : faible gain Le système (la strctre M ) est stable de manière robste vis-à-vis de ssi σ(m(jω)) 1 γ ω R M 1 γ M Nota : sp ρ(m ) = sp σ(m ) = sp σ(m)σ( ) = σ(m)γ

16 Analyse de stabilité robste d n satellite (site) 16 Por K = 1 2 M(s) = N 11 (s) = T (s) = 1 s1 1 a a 1 L asservissement où F(s) = F(s)(1 (s)) sera donc stable de manière robste por tot = { RH < γ } γ 1 T = 1 a2 1 d r ζ K(s) F(s) v n

17 Stabilité robste et incertitde complexe non strctrée17 Lemme 1 : = { RH < γ } Etant donnée la stabilité nominale de F(s) et n ensemble de modèles incertains alors le système en bocle fermée est robstement stable vis-à-vis de ssi le test est vérifié. Ensemble de modèles incertains Tests de stabilité robste F(s)W 1 (s) (s)w 2 (s) W 2 KS y W 1 1/γ (1W 1 (s) (s)w 2 (s))f(s) W 2 T y W 1 1/γ F(s)(1W 1 (s) (s)w 2 (s)) W 2 T W 1 1/γ (F 1 (s) 1 (s)) 1 (F 2 (s) 2 (s)) K S y F1 1 1/γ 1 [ ] (F 1 (s) 1 (s))(f 2 (s) 2 (s)) 1 F2 1 S K 1 1/γ

18 Analyse de stabilité robste : SISO mltiplicatif 18 m F y 0 K F F(s) = (1m (s) (s))f(s) Théorème 4 : On sppose qe K stabilise nominalement et de manière interne le schéma de réglation précédent Ce schéma est RS ssi : T(jω) 1 m (jω) ω 1 Im(s) KF(jω)1 KF(jω) m ω KF(jω) Re(s) ω 0 Nota : M = m FK 1FK = mt

19 Analyse de stabilité robste 19 Cadre général de travail Algèbre des LFT La matrice de transfert ve de l incertitde N 11 détermine la stabilité robste La stabilité robste de l asservissement est éqivalente à celle de la forme M Constrction de pertrbations déstabilisantes Le résltat de stabilité robste est obten site à l tilisation d théorème d faible gain Le résltat est exact por les pertrbations complexes non strctrées Por les pertrbations strctrées, l otil de modélisation et d analyse : µ