Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014

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1 Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année Préparation à l écrit - Samedi 3 décembre 04 Durée : 4 à 6 heures - Le sujet comporte 6 pages. Dans ce problème, on se propose de prouver l analogue complexe suivant du théorème de Rolle : Théorème. Soient n un entier avec n, P un polynôme de degré n à coefficients complexes et a et b deux nombres complexes distincts tels que P(a) = P(b). Alors le polynôme dérivé P de P possède au moins une racine dans le disque { D a,b,n = z C : z a+b } R a,b,n où R a,b,n = a b cos( ) π n sin ( π ). n Les parties A, B et C sont indépendantes. Certaines questions des parties D et E utilisent un ou plusieurs résultats établis précédemment. Le corps C des nombres complexes est assimilé à un plan affine euclidien dont les éléments seront indistinctement dénommés nombres ou points. Pour tout entier naturel n, la notation C n [X] désigne l espace des polynômes à coefficients complexes et de degré au plus n. La notation [m,n] désigne l ensemble des entiers k vérifiant m k n. Merci de préciser l avancement de la copie après 4 heures de composition. DF

2 Partie A. Cas particuliers. Soit P un polynôme à coefficients réels et a et b deux réels tels que a < b et P(a) = P(b). Démontrer qu il existe un réel c appartenant à ]a,b[ tel que P (c) = 0.. On suppose ici que P est un polynôme à coefficients réels de degré n 4 et que a et b sont deux réels tels que a < b et P(a) = P(b). Vérifier que le théorème est vrai. 3. On fixe ici P = X 3 et deux nombres complexes distincts a et b tels que P(a) = P(b). Vérifier que le théorème est vrai. Partie B. L opérateur A z Si P appartient à C n [X] et z appartient à C, on définit le polynôme A z P par Cette définition dépend donc de l entier n. A z P(X) = (z X)P (X)+nP(X).. Vérifier que A z définit une application linéaire de C n [X] dans C n [X].. Justifier que, pour tous z et z complexes, on a A z (A z P)(X) = A z (A z P)(X) où dans la composition A z A z, A z est considéré comme application de C n [X] dans C n [X] et A z est considéré comme application de C n [X] dans C n [X]. Pareillement, dans la composition A z A z, A z est considéré comme application de C n [X] dans C n [X] et A z est considéré comme application de C n [X] dans C n [X]. 3. Justifier que la famille (X z) k où 0 k n est une base de l espace vectoriel C n [X]. 4. Déterminer le noyau et l image de l application linéaire A z de C n [X] dans C n [X]. 5. L application P A z P définit également un endomorphisme de C n [X]. On notera Âz cet endomorphisme. (a) Montrer que l endomorphisme Âz est diagonalisable. (b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les nombres complexes z et z pour que les endomorphismes Âz et Âz commutent. (c) Soit E un endomorphisme de C n [X]. Montrer que E commute avec ) Â z si et seulement si il existe un polynôme Q appartenant à C n [X] tel que E = Q (Âz.

3 Partie C. Homographies et cercles du plan On désigne ( par) un élément n appartenant pas au corps C des nombres complexes. a b Si M = est une matrice de M(, C) vérifiant ad bc 0, on définit l application c d avec les conventions suivantes : (i) si c = 0 : (ii) si c 0 : f M : C { } C { } : z f(z) = f(z) = { az+b d si z C si z = az +b cz +d az+b cz+d si z et z d c si z = d a c c si z = Une telle application est appelée homographie. On note H l ensemble des homographies. L application ϕ : GL(,C) H : M f M est donc une application surjective entre GL(,C) et H.. Démontrer qu une homographie réalise une bijection de C { }.. Vérifier que pour toutes matrices M,M de GL(,C), on a ϕ(m M ) = ϕ(m ) ϕ(m ) oùm M désigne le produit matriciel etϕ(m ) ϕ(m ) désigne la composition des applications. 3. Justifier que H est un groupe pour la composition puis que ϕ est un morphisme surjectif du groupe GL(,C) dans H. Préciser le noyau de ϕ. 4. (a) Justifier que l unique homographie f vérifiant est l identité id : z z. f(0) = 0, f( ) =, f() = (b) Démontrer que si z,z,z 3 sont trois éléments de C { } distincts deux à deux, alors il existe une unique homographie f vérifiant f(z ) = 0, f(z ) =, f(z 3 ) =. (On pourra utiliser l expression z 3 z z z.) z z z 3 z Si z,z,z 3,z 4 sont quatre éléments de C { } avec z,z,z 3 deux à deux distincts, leur birapport est [z,z,z 3,z 4 ] = f(z 4 ) où f est l homographie définie par les égalités f(z ) = 0, f(z ) = et f(z 3 ) =. Le birapport est donc un élément de C { }. 5. Démontrer que si g est une homographie, alors, pour tous nombres complexes z,z,z 3,z 4 avec z,z,z 3 distincts deux à deux, on a [g(z ),g(z ),g(z 3 ),g(z 4 )] = [z,z,z 3,z 4 ]. 3

4 6. Démontrer que si z,z,z 3,z 4 sont quatre éléments de C { } avec z,z,z 3 deux à deux distincts et z,z,z 4 deux à deux distincts, alors [z,z,z 4,z 3 ] = [z,z,z 3,z 4 ] 7. Soient z,z,z 3 trois nombres complexes distincts deux à deux. (a) Justifier l égalité [z,z,z 3, ] = z 3 z z 3 z (b) Montrer que le birapport [z,z,z 3, ] est réel si et seulement si z,z,z 3 sont alignés et qu il est réel strictement négatif si et seulement si z 3 appartient au segment ]z,z [. 8. On rappelle la caractérisation suivante : quatre nombres complexes z,z,z 3,z 4 distincts deux à deux sont cocycliques ou alignés si et seulement si z 3 z z 3 z z 4 z z 4 z R On considère trois nombres complexes z,z,z 3 non alignés. Démontrer qu un nombre z appartient au cercle passant par z, z et z 3 si et seulement si 9. Si le cercle C de C est défini par [z,z,z 3,z] R { } C = {z C : z z 0 = r} avec z 0 complexe et r réel strictement positif, on définit C = {z C : z z 0 < r} et C + = {z C : z z 0 > r}. Justifier que, si C est un cercle, alors C et C C sont des sous-ensembles convexes de C. 0. Soient f une homographie et C est un cercle de C ne contenant pas f ( ). Démontrer les affirmations suivantes : (a) L image f(c) est un cercle. (b) Si f ( ) appartient à C +, alors f(c ) = f(c). (Autrement dit : l image du disque bordé par C est le disque bordé par f(c).) (On pourra utiliser sans démonstration le fait suivant : si C est un cercle et z appartient à C, alors toute droite passant par z rencontre C en deux points distincts z et z avec z appartenant au segment ouvert ]z,z [.) 4

5 Partie D. Racines de A z P Dans cette partie, z,...,z n désigneront n nombres complexes non nécessairement deux à deux distincts et ξ un nombre complexe vérifiant i [,n], ξ z i. Si le nombre n i= z i ξ est non nul, on définit (de manière unique) le nombre δ ξ par l égalité δ ξ ξ = n On considère également le polynôme P(X) = u. Justifier que l application est une homographie.. On suppose qu il existe un cercle C tel que Démontrer successivement que n i= z i ξ. () n (X z i ) avec u appartenant à C. i= f : z z ξ i [,n], z i C et ξ C +. (a) f(c ) est un disque ouvert qui ne contient pas 0; (b) n n z i ξ est un nombre complexe qui appartient à f(c ); i= (c) le nombre δ ξ est bien défini par () et appartient à C. 3. Exprimer P (ξ) P(ξ) en fonction des nombres (i [,n]) puis en déduire que, si P (ξ) est ξ z i non nul, alors δ ξ est bien défini par () et vérifie 4. On considère un nombre complexe z vérifiant (a) Montrer que δ ξ = ξ n P(ξ) P (ξ). i [,n], z z i. z = n si et seulement si le degré de A z P est strictement inférieur à n. (b) Montrer que l ensemble des racines du polynôme A z P est la réunion {z i, i [,n] : P (z i ) = 0} {ξ C\{z i, i [,n]} : δ ξ = z}. 5. On suppose qu il existe un cercle C tel que n j= i [,n], z i C et z C C +. Démontrer que toutes les racines du polynôme A z P appartiennent à C. z j 5

6 Partie E. Apolarité. Dans cette partie, on considère deux polynômes de C[X] de degré n : P = u n (X z i ) et Q = v i= n (X z i) avec u et v appartenant à C. On dira que P est apolaire par rapport à Q si, en utilisant les notations précédentes : i= A z A z A z n P(X) = 0. On utilise toujours la convention décrite dans la partie B, question : A z n est vu comme application de C n [X] dans C n [X], A z n est vu comme application de C n [X] dans C n [X],...,A z est vu comme application de C [X] dans C.. On suppose que P est apolaire par rapport à Q. Montrer que, si C est un cercle tel que i [,n], z i C alors il existe i appartenant à [,n] tel que z i appartienne à C.. Soient a et b deux nombres complexes distincts. Montrer qu il existe n nombres complexes b 0,...,b n que l on calculera, tels que, pour tout polynôme du type ( ) ( ) n n T(X) = a 0 + a X + + a n X n +a n X n, n on ait ( ) n T(a+s(b a))ds = a 0 b n a b n + 0 Avec les notations précédentes, on pose ( n (X) = b 0 + ) b X + + ( n ) a b n 3 + +( ) n a n b 0. ( ) n b n X n +b n X n. n 3. Montrer que (X) = c((x a) n (X b) n ) où c est une constante que l on déterminera. Soit P appartenant à C[X] de degré n tel que P(a) = P(b). On note ( ) ( ) n n P (x) = a 0 + a X + + a n X n +a n X n. n et on désigne par t,...,t n les racines de P comptées avec multiplicité. 4. En admettant l égalité ( ) n a n (n )! A t A t A tn (X) = ( ) ( ) n n a 0 b n a b n + a b n 3 + +( ) n a n b 0 démontrer que est apolaire par rapport à P puis en déduire le théorème. fin du problème 6