Principes de la thermodynamique

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1 TD T1 Principes de la thermodynamique Exercice 1 : Vrai ou Faux ( ) 1 Le travail reçu par un système lors d'une compression isotherme est positif. 1 2 L 'entropie est une fonction d'état extensive et s'exprime en J K 1 kg 3 Une transformation adiabatique réversible est isentropique. 4 Au cours d'une transformation réversible d'un système, la variation d'entropie est nulle. 5 La détente Joule Gay-Lussac est réversible. 6 La variation d'entropie d'un système ne peut pas être négative. Exercice 2 : Étude de transformations ( ) Un gaz parfait comprenant n moles évolue à partir d un état initial 1 vers un état final 2. Exprimer le travail, le transfert thermique reçus ainsi que la variation d énergie interne pour une transformation: isochore en fonction de n, R, γ, T 1 et T 2 isotherme réversible en fonction de n, R, T, V 1 et V 2 adiabatique en fonction de n,r, γ, T 1 et T 2. adiabatique monobare en fonction de P ext, V 1 et V 2 puis en fonction de n, R, γ,t 1 et T 2 isotherme monobare en fonction de n, R, T, P 1 et P ext =P 2 Exercice 3 : Loi de Laplace ( ) En considérant une transformation infinitésimale adiabatique réversible d un un gaz parfait monter que l on a PV γ = cste où γ = Cp m / Cv m. Exercice 4 : Diagramme de Clapeyron ( ) Montrer que dans le diagramme de Clapeyron la pente d une isentropique est égale à γ fois la pente d une isotherme. Exercice 5 : Effet Joule ( ) On considère un conducteur électrique de résistance électrique R parcouru par un courant continu I. On suppose que l on est en régime permanent. La température ambiante est T 0. Quelle est l entropie créée par unité de temps? Exercice 6 : Niagara Falls ( ) Every second at Niagara Falls, some m 3 of water falls a distance of 50.0 m. What is the increase in entropy per second due to the falling water? Assume that the mass of the surroundings is so great that its temperature and that of the water stay nearly constant at 20.0 C. 1/6

2 Exercice 7 : Centrale ( ) On étudie une centrale nucléaire et son système de refroidissement. Cette centrale fournit une puissance P = 1,8 GW. Le refroidissement s effectue par l utilisation de l eau du canal voisin dont le débit est D = 50 m 3.s 1. 1 On modélise la centrale par une machine ditherme donc la source chaude est le réacteur nucléaire de température 320 C et la source froide est l eau du canal de température 10 C. Déterminer le rendement de la centrale sachant qu il équivaut à 60% du rendement de Carnot. 2 Évaluer la variation de température de l eau du canal. Exercice 8 : Propulsion ( ) Le MMH (monométhylhydrazine), l'ergol utilisé pour la propulsion d engin spatiaux conduit à une température de combustion de 4, K. Les gaz produits ont une masse molaire moyenne M = 30 g mol -1 et une capacité molaire moyenne C pm = 33 J mol 1 K 1. Les gaz seront supposés parfaits et l'écoulement dans la tuyère du propulseur sera supposé adiabatique. Déterminer la vitesse d'éjection v e. Exercice 9 : Détente de l'ammoniac ( ) On fait subir une détente,que l'on supposera adiabatique, à l ammoniac de l état liquide (saturé) L 2 (P 2 = 6,2 bar, T 2 = 283 K) à l état diphasé M (P 2 = 1, 9 bar, T 1 = 253 K). Quelle est l'entropie massique créé au cours de la détente? Données : Capacité thermique de l'ammoniac liquide: c = 4,6 kj K 1 kg 1 Enthalpie massique de vaporisation à T 1 = 253 K : vap h (T 1 )= 1, kj kg 1 Exercice 10 : Mesure d une capacité thermique ( ) On désire mesurer une capacité thermique C supposée indépendante de la température. Les échanges thermiques de l échantillon sont, d'une part l'apport par une source électrique d'une puissance P = P 0 ( 1 + cos ωt ), d'autre part une "fuite thermique" telle que le flux thermique perdu est Φ = K (T T 0 ) où K est une constante, T 0 la température d un bain thermostaté et T la température de l échantillon. 1 Comment réaliser expérimentalement la puissance alternative P(t) = P 0 (1+ cos ωt )? 2 Écrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la température T(t) de l'échantillon. 3 Résoudre cette équation différentielle et exprimer T(t) comme somme de trois contributions que l'on qualifiera physiquement. Donner l'allure du graphe de T(t). On ne déterminera pas la constante d intégration liée aux conditions initiales. 4 Quel est le temps caractéristique τ de passage du régime transitoire au régime permanent? Quel temps doit-on attendre pour que la composante transitoire de la température T(t) soit réduite à 10 3 de sa valeur initiale? 5 Montrer comment la mesure de l amplitude de la composante alternative de la température à différentes fréquences permet d accéder à la valeur de sa capacité thermique. 2/6

3 Exercice 11 : Turbine ( ) De l'azote assimilé à un gaz parfait diatomique (m = 28g/mol et γ=1,4 ) s écoule en régime permanent dans une turbine avec un débit massique ṁ=4 kg s 1 Les condition de l'écoulement sont : à l'entrée : P 1 = 4 bar, v 1 = 20 m s -1 à la sortie : P 2 = 2 bar, v 2 = 180 m s -1 La turbine fournit une puissance P = 80 kw, le gaz sortant à une température T 2 égale à la température extérieure T a = 298 K 1 Dans l'hypothèse où la transformation subie par le gaz est isotherme, quelle est la puissance thermique reçue par le gaz? Quelle est l'entropie créée par seconde? 2 Si le gaz subit une transformation adiabatique, quelle est la température à l'entrée de la turbine? Quelle est l'entropie créée par seconde? Exercice 15 : Pompe à chaleur ( ) Le principe de fonctionnement d'une pompe à chaleur est rappelé figure 1. Le cycle est supposé réversible. Au contact de la source froide de température T f, le fluide se vaporise complètement, il est ensuite comprimé par le compresseur et se liquéfie dans le condenseur, au contact de la source chaude de température T c. Il est ensuite détendu dans le détendeur. Par transfert thermique, le fluide reçoit une énergie Q f de la part de la source froide et Q c de la part de la source chaude. Le fluide reçoit un travail W de la part du compresseur. Le détendeur est calorifugé et ne présente pas de pièces mobiles. Figure 1 1 Définir le coefficient de performance, noté CoP du réfrigérateur. Préciser le signe de Q c, Q f et W. 2 Déterminer l expression du coefficient de performance maximal du réfrigérateur, noté CoP C en fonction de T f et de T c 3 Déterminer CoP C si T f =13 C et T c = 44 C. Commenter 4 Établir le premier principe de la thermodynamique pour un écoulement stationnaire 3/6

4 unidimensionnel d un système à une entrée et une sortie. On fera intervenir des grandeurs massiques que l on prendra soin de définir et de positionner sur un schéma illustratif. Les systèmes (ouvert ou fermé) y seront clairement distingués par leurs frontières à deux instants t et t + dt. Les travaux des forces de pression d admission et de refoulement seront clairement explicités. On néglige dans la suite toute variation d énergie cinétique et d énergie potentielle On donne dans le diagramme des frigoristes, le cycle réversible de la PAC du centre aquatique de Levallois-Perret pour un fonctionnement nominal typique en période froide (janvier-février). Le fluide frigorigène est du tétrafluoroéthane R134a. Les isothermes sont gradués en C ; les isochores sont repérés par ν = en m 3 1 kg ; les isentropiques sont 1 1 marqués avec s = en kj kg K ; les isotitres sont gradués sur l échelle des abscisses. La puissance prélevée à la source froide est Q f =60 kw. 5 Identifier et justifier la nature des quatre transformations 1 2, 2 5, 5 6 et 6 1 du cycle. 6 Quel est l intérêt de la transformation 7 1? 7 Quel est l intérêt de la transformation 4 5? 8 Calculer le débit massique Dm du fluide caloporteur de la pompe à chaleur. 9 Calculer l efficacité théorique de la pompe à chaleur. 10 La puissance réellement fournie au compresseur est P = 19 kw. Calculer l efficacité réelle de la pompe à chaleur et conclure quant au calcul de la question précédente L échangeur repose sur le fond de la conduite cylindrique d eaux usées. L On réalise ainsi un module d échangeur de longueur L 0 par mise en série de L 0 tronçons de 1 m Après mise en série des tronçons, le fluide circule dans un module selon le schéma technique de la figure 4c (vue de dessus du module). Il se réchauffe progressivement au contact des eaux usées, de température Te supposée uniforme. On supposera pour simplifier que l échange thermique se fait uniquement sur la partie métallique incurvée ce qui correspond, d après la figure 1ci-dessus, à 2 aller-retour, soit N = 4 passages du fluide sur la longueur du tronçon considéré. Le module est donc équivalent au schéma théorique de la figure. Les hypothèses suivantes sont formulées. L écoulement est supposé parfait, permanent, unidimensionnel, de variation 4/6

5 d énergie cinétique négligeable. 1 1 On note D m0 le débit massique dans un module, c e = 4180 J kg K la capacité thermique massique du fluide assimilé à de l eau. La température T du fluide ne dépend que de x. Le fluide entre à la température Ti et ressort à la température Tf. Le fluide à la température T(x) reçoit, par unité de longueur, une puissance thermique 1 1 linéique p th = α (Te-T(x)), avec α = 143 W m K. 11 Déterminer l équation différentielle satisfaite par T(x). 12 Écrire la solution de l équation en faisant apparaître une longueur caractéristique l c. On impose Te = 16 C, Ti = 12,5 C et Tf = 15,5 C. Ces températures correspondent au fonctionnement hivernal envisagé. En tenant compte des pertes thermiques dans les canalisations du circuit 1, les températures T E1 et T S1 du circuit 1 en entrée et sortie de l évaporateur de la pompe à chaleur sont alors T E1 = 15,0 C et T S1 = 13,0 C. 13 L évaporateur étant supposé parfaitement calorifugé, déterminer l expression analytique du débit massique Dm 1 de l eau dans le circuit 1 en fonction de Q f, c e, T S1 et T E1. Faire l application numérique. 14 L installation est constituée de N m = 45 modules indépendants (donc correspondant à une association parallèle) posés les uns à la suite des autres sur une longueur totale L. Exprimer Dm 0 en fonction de Dm 1 et Nm. 15 Exprimer L en fonction de l c, T i, T f, T e et N m. 16 Calculer L. Conclure. 17 Le calcul d une installation constituée d un seul module aurait donné une longueur d échangeur équivalente. Pourquoi cette solution n a-t-elle pas été retenue? 5/6

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