(a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné.

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1 Eercice / 5 points Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 0 % de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d emballage identique. Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56 % sont garnis de praliné. On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choi sont équiprobables. On note : L : l évènement le chocolat choisi est au lait ; N : l évènement le chocolat choisi est noir ; : l évènement le chocolat choisi est blanc ; : l évènement le chocolat choisi est garni de praliné ; : l évènement le chocolat choisi est garni de caramel. Tous les résultats seront donnés sous forme décimale.. Traduire les données du problème à l aide d un arbre de probabilité.. Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c est un chocolat au lait. 3. Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné. 4. Dans la boîte, % des chocolats sont noirs et garnis de praliné. Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c est un chocolat noir, est égal à 0, Dans la boîte, 60 % des chocolats sont garnis de praliné. (a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c est un chocolat blanc. 6. On dispose de deu boîtes de chocolats identiques à celle décrite précédemment. Une personne prend au hasard un chocolat dans la première boîte, puis un chocolat dans la deuième boîte (les tirages sont indépendants). Déterminer la probabilité de l évènement : l un des chocolats choisi est garni de praliné et l autre est garni de caramel. Eercice / 5 points Soit la fonction f définie sur l ensemble R des nombres réels par f() = ( )e. On note la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (figure ci-dessous). Partie. alculer la limite de f en. Interpréter graphiquement le résultat.. alculer la limite de f en Déterminer le signe de f() selon les valeurs du réel. Soit F la fonction définie pour tout réel par F() = ( + )e.. Démontrer que F est une primitive de f sur R.. On appelle l aire de la partie du plan délimitée par la courbe, l ae des abscisses et les droites d équation = et = 0. (a) Justifier l égalité : = 0 f() d. À l aide du graphique, justifier que : 0 < 0 f() d <. (c) Déterminer, en unités d aire, la valeur eacte de puis sa valeur décimale arrondie au centième. 3 y

2 Eercice 3 / 5 points Le tableau ci-dessous indique le nombre y d eploitations agricoles en France entre 955 et 005. On appelle le rang de l année. nnée Rang i Nombre d eploitations y i (en milliers) Partie : un ajustement affine. (a) Tracer le nuage de points M i ( i ; y i ) associé à cette série statistique dans le plan muni d un repère orthogonal (O, ı, j) d unités graphiques : cm pour 5 années sur l ae des abscisses et cm pour 00 milliers d eploitations sur l ae des ordonnées; (on placera l origine du repère en bas à gauche de la feuille).. (a) À l aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement D de y en obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l unité). Tracer la droite D sur le graphique. 3. alculer le nombre d eploitations agricoles que l on peut prévoir pour 008 en utilisant cet ajustement (le résultat sera arrondi au millier). : une autre estimation. Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d eploitations agrricoles entre 000 et 005 (le résultat sera arrondi au diième).. On suppose qu entre 000 et 005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d eploitations agricoles est constant. Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87 %. 3. On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87 % entre 005 et 008. Quel est le nombre d eploitations agricoles que l on peut prévoir en 008 (le résultat sera arrondi au millier)? Eercice 4 / 5 points Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; 0] par : f() = ln(4 + 0) 3 ln. 4 On appelle la courbe ci-dessous représentative de f dans le plan muni d un repère orthogonal. y Partie 6. Déterminer la limite de f en 0. Quelle interprétation graphique peut-on en donner?. Montrer que pour tout de l intervalle ]0 ; 0], f () = 5. ( + 5) 3. Déterminer les variations de la fonction f sur l intervalle ]0 ; 0] et dresser son tableau de variations. On admet que l équation f() = 6 possède eactement deu solutions α et β dans l intervalle ]0 ; 0] telles que α, 4 et β 3, Une entreprise produit au maimum 0000 objets par jour. On note le nombre de milliers d objets produits chaque jour travaillé : ]0 ; 0]. On admet que le coût moyen de fabrication, eprimé en euros, d un objet est égal à f(), où f est la fonction définie ci-dessus.. (a) Pour combien d objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal? Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime.. Le pri de vente d un objet est de 6. Pour quelles productions journalières l entreprise réalise-t-elle un bénéfice? 3. Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d euros, pour une production de 5000 objets par jour. 4. L année suivante, le coût moyen augmente de %. Le pri de vente est alors augmenté de %. Le bénéfice journalier reste-t-il identique? Justifier. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation.

3 Eercice / 5 points. 0,5 0, 0,3 L N. p L () = 0, 56. 0,56 0,44 3. p(l ) = 0, 5 0, 56 = 0, p N () = p(n ) p(n) = 0, 0, 3 = 0, (a) D après la formule des probabilités totales, p() = p(l ) + p(n ) + p( ) D où : p( ) = 0, 60 0, 8 0, = 0,. p( ) 0, p () = = = 0, 55. p() 0, 6. Epérience de ernoulli : 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 p( ) + p( ) = 0, 6 0, 4 = 0, 48. Eercice Partie. lim f() = 0. L ae des abscisses est asymptote à.. lim f() = f() est du signe de ( ), donc positif pour <, négatif ensuite.. F () = ( )e = f(). F est une primitive de f.. (a) est la définition de l intégrale. Voir le carré gris (aire de ). (c) = F(0) F() = 3e 0, 90. Eercice 3 G Partie. G(8,6; 8,8). y = En 008, = 53, y Le pourcentage de diminution : 9 7, 9% ( 0, 0387) 5 = 664 0, Pour 008, 545 0, Eercice 4 Partie. lim 0 f() = +. L ae des ordonnées est asymptote à la courbe.. f () = = + 3 ( + 5) 3 = + 8 ( + 5) 3 = = 5 ( + 5) 3. f () est du signe de 5. f () f() f(5). (a) Le coût moyen de fabrication est minimal pour 5000 objets. f(5) 4,. Le coût moyen minimal 4,.. L entreprise fait un bénéfice entre 4 et 3 3 objets par jour (cf α et β). 3. Pour 5000 objets, le coût est de 4, par objet. Le bénéfice est donc de,78 par objet. Le bénéfice journalier est de 5000, 78 = L année suivante, le coût moyen augmente de %. Le pri de vente est alors augmenté de %. Le bénéfice journalier reste-t-il identique? Non, le pri de vente étant supérieur au coût, il augmentera plus. Le bénéfice journalier augmentera. Éléments de correction

4 Eercice (mérique du Nord, mai 006) / 5 points Tous les résultats de cet eercice seront arrondis à 0 près. Un site touristique dont le billet d entrée coûte 4 propose deu possibilités de visite, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 par personne. Une buvette est installée sur le site. On y vend un seul type de boisson au pri de l unité. On suppose qu à la buvette un touriste achète au plus une boisson. Un touriste visite le site. On a établi que : la probabilité pour qu il visite à pied est 0,3; la probabilité qu il visite à pied et achète une boisson est 0,8; la probabilité qu il achète une boisson sachant qu il visite en car est 0,8. On note : l évènement : le touriste visite en car ; l évènement : le touriste achète une boisson.. Donner p ( ) et p ( ).. Le touriste visite à pied. Quelle est la probabilité qu il achète une boisson? 3. (a) Montrer que p() = 0, 74. En déduire la recette moyenne prévisible de la buvette lors d une journée où 000 touristes sont attendus sur le site. 4. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste. (a) Quelles sont les valeurs possibles de d? Établir la loi de probabilité de d. On présentera le résultat dans un tableau. (c) alculer l espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner? Eercice (mérique du Nord, juin 005) / 6 points D 3 On a représenté ci-contre la courbe représentative Γ, dans un repère orthonormal, d une fonction f définie sur R. La courbe Γ passe par les points (0 ; ) et ( ; 0) et la droite () est la tangente en à Γ. La tangente à Γ en son point D d abscisse est parallèle à l ae des abscisses Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée f de f et une autre représente une primitive F de f sur R. ourbe ourbe ourbe 3 4 O O O Déterminer la courbe associée à Ia fonction f et celle qui est associée à la fonction F. Vous epliquerez avec soin les raisons de votre choi. (a) Déterminer, à l aide des renseignements fournis par l énoncé, les valeurs de f(0) et de f (0). On suppose que f() est de la forme f() = ( + K)e α où K et α sont des constante réelles. alculer f (), puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d équations d inconnues K et α. En déduire que f est définie par f() = ( + )e. 3. (a) Montrer que la fonction ϕ définie par ϕ() = ( 3)e est une primitive de f. En déduire la valeur de l aire, eprimée en unités d aire, de la surface hachurée. On donnera la valeur eacte puis la valeur arrondie au centième du résultat. 6

5 Eercice 3 (sie, juin 005) / 9 points Le but de cet eercice est d étudier l évolution du pri d une matière première. On ne fera qu un seul graphique qui sera complété tout au long des questions. Partie Le tableau suivant donne le pri d une tonne de matière première en milliers d euros au er janvier de chaque année : nnée Rang de l année : i 0 3 Pri d une tonne en milliers d euro y i 6,48 5,74 5,9 5,0. Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique ( i ; y i ), le plan étant rapporté a un repère orthogonal (unités graphiques : cm pour une année sur l ae des abscisses, cm pour un millier d euros sur l ae des ordonnées).. Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l évolution du pri de cette matière première. (a) Déterminer une équation de la droite d ajustement de y en obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats seront donnés à 0 3 près). En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le pri d une tonne de matière première au er janvier 005? En fait, à partir de l année 00, le pri d une tonne de cette matière première commence à remonter, comme le montre le tableau suivant : nnée Rang de l année : i Pri d une tonne en milliers d euro y i 5,0 5,0 5,0 5,5. Placer sur le graphique de la partie les points associés à ce e tableau.. On désire trouver une fonction qui modélise l évolution de ce pri sur la période Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout de l intervalle [0; ] par f() = ln( + ). On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle, et on notera f sa fonction dérivée. (a) Donner un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs de entières comprises entre 0 et. Les valeurs de la fonction seront arrondies à 0. alculer f (), puis étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0; ]. Dresser son tableau de variations. Les valeurs des etremums seront données à 0 près. (c) Tracer la courbe () représentative de la fonction f sur le graphique de la partie On admet que la fonction f modélise l évolution du pri de cette matière première sur la période (a) Selon ce modèle, quel serait le pri d une tonne de matière première au er janvier 005? Déterminer en quelle année le pri d une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 998.

6 Eercice (mérique du Nord, mai 006) / 5 points. p ( ) = 0, 8 et p ( ) = 0, 3.. p () = p ( ) p ( 0, 8 ) = = 0, 6. 0, 3 3. (a) Formule des probabilités totales : p() = p ( ) + p ( ) = 0, 8 + 0, 56 = 0, La recette moyenne prévisible de la buvette : 000 0, 74 = 480. dépenses (en) probabilités 0, 0,8 0,4 0,56 Un touriste dépense en moyenne 7,58. E = 7, 58. 0,7 0,3 0,8 0, Eercice (mérique du Nord, juin 005) / 6 points. En étudiant les variations de f, f est représentée par la courbe. En étudiant le signe de f, F est représentée par la courbe 3.. (a) f(0) =, f (0) =. { f () = (α + αk + )e α. f(0) = K = et f (0) = αk + =. donc K = et α =. f() = ( + )e. 3. (a) ϕ () = ( + )e = f(). Donc ϕ est une primitive de f. 0 f()d = ϕ(0) ϕ() = 3 + e 4, 39. Eercice 3 (sie, juin 005) / 9 points Partie K = αk + =... (a) y = 0, , 349 En 005, = 7, y =, 877. tonne vaudrait f() 6,53 5,5 5,07 4,95 5,04 5,7 5,60 6,0 6,49 7,0 7,58 8,8 f () = 5 + = 3 est du signe de 3. + f () f() ,53 8,8 u er janvier 005, le pri d une tonne serait de Le pri retrouvera sa valeur de 998 pendant l année 006 pour le dépasser le er janvier ,95 Éléments de correction

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