2. Si x désigne le prix d un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20%.
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- Clementine Gauvin
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1 3 ème REVISIONS BREVET EXERCICE 1 : Soit P = (x 2) (2x + 1) (2x + 1)² 1. Développer et réduire P. 2. Factoriser P. 3. Résoudre l équation (2x + 1) (x + 3) = 0 4. Pour x = 3, écrire P sous forme fractionnaire. 7 EXERCICE 2 : 1. Résoudre le système suivant d inconnues x et y : x + y = 35 8x + 7y = Si x désigne le prix d un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20%. 3. Pour l achat d un livre et d un stylo, la dépense est de 35. Après une réduction de 20 % sur le prix du livre et de 30 % sur le prix du stylo, la dépense n est que de 26. Calculer le prix du livre et le prix du stylo avant la réduction. EXERCICE 3 : 1. On donne A = : 5 24 Calculer A et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible. 2. On donne : B = C = (5 + 3)² D = ( 2 + 5) ( 2 5) a. Ecrire B sous la forme b 3 où b est un nombre entier. b. Ecrire C sous la forme e + f 3 où e et f sont des nombres entiers. c. Montrer que D est un nombre entier.
2 EXERCICE 4 : Dans le triangle CDE : A est un point du segment [CE] B est un point du segment [CD] Sur le schéma ci-contre, les longueurs représentées ne sont pas exactes. On donne : AC = 8 cm ; CE = 20 cm ; BC = 6 cm ; CD = 15 cm et DE = 25 cm 1. Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. 2. Le triangle CDE est-il rectangle? Justifier ; 3. Calculer AB. 4. Calculer la valeur arrondie au degré de l angle CDE. EXERCICE 5 : Une boîte de chocolat a la forme d une pyramide tronquée. (voir figure ci-dessous) Le rectangle ABCD de centre H et le rectangle A B C D de centre H sont dans des plans parallèles. On donne : AB = 6 cm BC = 18 cm HH = 8 cm SH = 24 cm 1. Calculer le volume V 1 de la pyramide SABCD de hauteur SH. 2. Quel est le coefficient k de la réduction qui permet de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SA B C D de hauteur SH? 3. En déduire le volume V 2 de la pyramide SA B C D, puis le volume V 3 de la boîte de chocolats.
3 PROBLEME : La famille de Marie, élève de 3 ème, possède le terrain représenté par le trapèze rectangle ABCD et veut y faire construire une maison représentée par le rectangle BEFG sur la figure ci-contre. On sait que : ABCD est un trapèze rectangle (le terrain) BEFG est un rectangle (la maison) L unité de longueur est le mètre (m) AB = 15 m ; AD = 20 m ; DC = 25 m ; AE = 7 m Pour obtenir l autorisation de construire, le règlement de la commune impose que les deux conditions suivantes soient respectées en même temps : N 1 : L aire de la maison doit être supérieure ou égale à 60 m² N 2 : L aire de la maison doit représentée moins de 30% de l aire du terrain. Partie A : 1. Montrer que l aire totale du terrain (avec la maison) est égale à 400 m². 2. calculer l aire maximale que peut avoir la maison pour vérifier la condition N Dans chacun des cas suivants, calculer l aire A de la maison et dire si la condition N 1 est vérifiée. a. Si GH = 3,2 m b. Si GH = 10 m c. Si GH = 13 m 4. Pour laquelle de ces trois valeurs de GH la construction de la maison est-elle autorisée? Partie B : Dans cette partie, on pose GH = x, avec 0 x 20 (le nombre x peut varier entre 0m et 20 m) 1. Exprimer BG en fonction de x. 2. Montrer que l aire de la maison est égale à 160 8x. 3. Dans le repère donné dans la feuille suivante, représenter la fonction f définie par f(x) = 160 8x Donner toutes les explications nécessaires à la construction. 4. Pour quelles valeurs de x, l aire de la maison est-elle égale à 100 m²? Répondre par lecture graphique en laissant les traces de construction. Vérifier par le calcul en justifiant.
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5 3 ème CORRECTION REVISIONS BREVET EXERCICE 1 : 1. P = (x 2) (2x + 1) (2x + 1)² = (2x² + x 4x 2) [(2x)² + 2 2x 1 + 1²] = (2x² 3x 2) (4x² + 4x + 1] = 2x² 3x 2 4x² 4x 1 = 2x² 7x 3 2. P = (x 2) (2x + 1) (2x + 1)² = (x 2) (2x + 1) (2x + 1) (2x + 1) = (2x + 1) [(x 2) (2x + 1)] = (2x + 1) (x 2 2x 1) = (2x + 1) ( x 3) 3. (2x + 1) (x + 3) = 0 Si a b = 0 alors a = 0 ou b = 0 2x + 1 = 0 ou x + 3 = 0 2x = 1 x = 3 x = 1 2 S = { 0,5 ; 3} 4. Si x = 3 7 alors P = = EXERCICE 2 : 6 = = = x + y = 35 x = 35 y 8x + 7y = 260 y = 20 x = 35 y x = = 15 8 (35 y) + 7y = 260 y = 20 x = 35 y S = {(15 ; 20)} 280 8y + 7y = 260 x = 35 y y = x = 35 y y = Prix de l article après réduction de 20 % = x = 0,8x 3. Soit x le prix d un livre et y le prix d un stylo. x + y = 35 Après réduction de 20%, le livre coûte 0,8x Après réduction de 30%, le stylo coûte y = 0,7y 0,8x + 0,7y = 26 Le couple (x ; y) est la solution du système x + y = 35 0,8x + 0,7y = 26 Si on multiplie tous les termes de la 2 ème équation par 10, on obtient le système x + y = 35 8x + 7y = 260 D après la question 1. la solution de ce système est le couple (15 ; 20) Conclusion : Avant réduction, le prix du livre est de 15 et celui du stylo est de 20.
6 EXERCICE 3 : 1. A = : 5 24 = = = = a. B = B = B = B = B = B = 4 3 b. C = (5 + 3)² C = 5² ( 3)² C = C = c. D = ( 2 + 5) ( 2 5) D = ( 2)² ( 5)² D = 2 5 D = 3 donc D est bien un nombre entier. EXERCICE 4 : 1. (BD) et (AE) sont sécantes en C Les points C, B, D sont alignés dans le même ordre que les points C, A, E. CB CD = 6 15 = 2 5 = 0,4 CA CE = 8 20 = 2 5 = 0,4 CB CD = CA donc d après la réciproque du CE théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) sont parallèles. 2. Dans le triangle CDE, DE² = 25² = 625 CD² + CE² = 15² + 20² = = 625 DE² = CD² + CE² donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en C. 3. Comme CDE est un triangle rectangle en C et que A [CE] et B [CD] alors CBA est un triangle rectangle en C. Dans ce triangle, on applique le théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC² = 8² + 6² = = 100 donc AB = 100 = 10 cm 4. Dans le triangle CDE, rectangle en C : cos CDE = CD DE = = 3 5 = 0,6 CDE = cos 1 (0,6) 53
7 EXERCICE 5 : 1. V 1 = 1 3 Aire ABCD SH V 1 = 1 AB BC SH 3 V 1 = = 864 cm SH = SH HH = 24 8 = 16 cm k = SH SH = = V 2 = 2 3 V 3 1 = = 256 cm3 27 V 3 = V 1 V 2 = = 608 cm 3 PROBLEME Partie A : (AB + DC) AD 1. Aire ABCD = 2 ( ) 20 = 2 = 400 m² 2. 30% de 400 m² = = 120 m² L aire maximale que peut avoir la maison est 120 m². 3. a. Si GH = 3,2 m alors A = EB BG = (15 7) (20 3,2) = 8 16,8 = 134,4 m² 134,4 > 60 donc la condition N 1 est vérifiée. b. Si GH = 10 m alors A = EB BG = (15 7) (20 10) = 8 10 = 80 m² 80 > 60 donc la condition N 1 est vérifiée. c. Si GH = 13 m alors A = EB BG = (15 7) (20 13) = 8 7 = 56 m² 56 < 60 donc la condition N 1 n est pas vérifiée. 4. Si GH = 10 m alors la construction de la maison est autorisée car les deux conditions sont vérifiées. L aire de la maison est inférieure à 120 m².
8 Partie B GH = x et 0 x BG = BH GH = 20 x 2. A = EB BG = (15 7) (20 x) = 8 (20 x) = 160 8x 3. Soit f la fonction définie par : f(x) = 160 8x f est une fonction affine, donc dans un repère, elle est représentée par une droite ( ). x 0 20 f(x) A (0 ; 160) ( ) et B (20 ; 0) ( ) 4. Graphiquement, l aire de la maison est égale à 100 m² pour x = 7,5 m Par le calcul : L aire de la maison est égale à 100 m² lorsque f(x) = x = 100 8x = x = 60 x = 60 8 = 7,5 L aire de la maison est égale à 100 m² pour x = 7,5 m
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