Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

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1 Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio d u certai ombre de phéomèes discrets et d autre part, à travers l étude des limites de suites, de préparer la présetatio des limites de foctios Séquece MA0 Ced - Académie e lige

2 Pré-requis A Gééralités sur les suites Gééralités a) Défiitio et otatios Défiitio O appelle suite umérique toute foctio umérique défiie sur N ou sur l esemble des etiers supérieurs à u certai etier aturel 0 Notatios La suite est otée respectivemet ( u ) N ou ( u ) ou plus simplemet ( u ) 0 Le terme de rag est oté u b) Vocabulaire Défiitio Soit ( u ) ue suite défiie sur l esemble des etiers supérieurs à u certai etier aturel 0 O dit que : la suite ( u ) est croissate si pour tout 0,u+ u; la suite ( u ) est strictemet croissate si pour tout 0,u+ > u; la suite ( u ) est décroissate si pour tout 0,u+ u; la suite ( u ) est strictemet décroissate si pour tout 0,u+ < u; la suite ( u ) est costate si pour tout 0,u+ = u; si ue suite est croissate ou décroissate, o dit qu elle est mootoe Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

3 Défiitio Soit ( u ) ue suite défiie pour 0 O dit que : la suite ( u ) est majorée s il existe u réel M tel que pour tout 0, u M ; la suite ( u ) est miorée s il existe u réel m tel que pour tout 0, u m ; la suite ( u ) est borée si elle est à la fois majorée et miorée c) Propriétés Propriété Soit ( u ) ue suite défiie pour 0 Si ( u ) est croissate alors pour tout p 0 o a u up Si ( u ) est décroissate alors pour tout p 0 o a u up Propriété Soit ( u ) ue suite défiie pour 0 par u = f( u)où f est ue foctio défiie sur 0 ;+ Si f est croissate sur 0 ;+ alors ( u ) est croissate Si f est décroissate sur 0 ;+ alors ( u ) est décroissate La réciproque de ces résultats est fausse Suites arithmétiques Défiitio Relatio de récurrece La suite ( u ) est dite arithmétique s il existe r R tel que pour 0 tout 0, u+ = u + r Le réel r aisi défii est appelé raiso de la suite arithmétique ( u ) Propriété Si Expressio de u e foctio de ( u ) est arithmétique de raiso r 0 alors pour tout 0 et pour tout p 0, o a u = up + ( p) r Propriété Variatios Ue suite arithmétique de raiso r est strictemet croissate si r > 0, strictemet décroissate si r < 0 et costate si r = 0 4 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

4 Propriété Somme de termes Si ( u ) est arithmétique alors pour tout p 0 u u uk up up u p P + = = ( + ) k= p 3 Suites géométriques = ombre de termes moyee des termes extrêmes ( + ) E particulier : k = = k = 0 et pour tout p, Défiitio Relatio de récurrece La suite ( u ) est dite géométrique s il existe q R tel que pour 0 tout 0, u+ = u q Propriété Expressio de u e foctio de ( ) 0 est géométrique de Si u raiso q 0 alors pour tout 0 et pour tout p 0, o a Propriété Variatios ( ) 0 est strictemet croissate La suite q si q >, strictemet décroissate si 0< q < et costate si q = ou si q = 0 Lorsque q < 0, la suite est alterée (elle est doc pas mootoe) p u = up q Propriété Somme de termes Si ( u ) est géométrique de raiso q alors pour tout p 0 0 et pour tout p, p q uk = up + up + + u = up + + = premier terme q q q k= p k q E particulier, pour tout réel q : q = + q+ q + q = + q k = ombre de termes Séquece MA0 5 Ced - Académie e lige

5 4 U exemple : étude d ue suite arithmético-géométrique O souhaite étudier la suite ( u ) défiie pour tout etier aturel par u+ = 6 0, 5u et u 0 = À l aide de la calculatrice ou d u tableur : a) établir u tableau de valeurs de la suite ( u ); b) proposer ue représetatio graphique de ( u ); c) cojecturer les variatios de ( u ), aisi que so comportemet pour de grades valeurs de Soit ( v ) la suite défiie sur N par v = u 4 a) Démotrer que la suite ( v ) est géométrique E préciser le terme iitial et la raiso b) Exprimer v puis u e foctio de c) Coclure quat aux variatios de la suite ( u ) d) Écrire u algorithme permettat de détermier la plus petite valeur de pour laquelle 4 A< u < 4+ A où A est u réel quelcoque Solutio a) Avat de travailler sur la calculatrice ou sur u tableur, il est écessaire de savoir travailler «à la mai» Pour obteir u tableau de valeur de la suite ( u ), o détermie ses termes de proche e proche, à l aide de la relatio de récurrece u+ = 6 0, 5u aisi que du terme iitial u 0 = O obtiet doc u 0 =, u= 6 0, 5u0 = 6 0, 5 = 5, 5, u = 6 05, u = 6 05, 55, = 35,, etc À l aide de la calculatrice TI8 Statsfr (ou TI83, TI84), o procède de la faço suivate : O se place e mode Suit (ou mode SEQ) O défiit la suite par le meu f(x) (ou Y=) aisi que le motre l écra ci cotre Il faut faire attetio e défiissat les suites car sur les TI, il y a u décalage des idices : o doit remplacer + par et doc par O cofigure le tableau de valeurs par le meu déftable (ou TBLSET) e choisissat ue valeur de départ égale à 0 (première valeur de l idice) et u pas de O obtiet alors le tableau das lequel o peut aviguer par le meu table 6 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

6 À l aide de la calculatrice CASIO Graph 35+, o procède de la faço suivate O se place e mode RECUR, o défiit la suite ( e écra ci-dessous), le foctio SET (F5) permet de défiir le terme iitial et les termes dot o cherche des valeurs approchées (3 e écra), o reviet à l écra précédet (EXIT) et la foctio TABLE (F6) ous doe le tableau de valeurs (4 e écra) À l aide du tableur d OpeOffice, o etre le terme iitiale e B puis o obtiet les termes successifs de la suite e etrat e B3 la formule = 6 0, 5 B que l o recopie vers le bas À l aide du tableur de GeoGebra, o procède comme ci dessus e etrat le terme iitiale e B puis la formule = 6 05 B e B3 Ue fois que l o dispose du tableau de valeurs, o obtiet rapidemet ue représetatio graphique de la suite e sélectioat la plage A : B8 (par exemple) puis e choisissat créer ue liste de poits après avoir cliquer-droit O obtiet alors ue suite de poits dot l abscisse représete et l ordoée estu b) Nous veos de voir commet o pouvait représeter la suite ( u ) à l aide de GeoGebra, e plaçat e abscisse et u e ordoée comme o le fait pour représeter ue foctio Cette représetatio peut aussi être obteue à l aide du tableur d OpeOffice ou de la calculatrice Nous allos voir ue autre faço de représeter ue suite ( u ) dot le terme gééral vérifie la relatio de récurrece u+ = f( u) où f est ue foctio La méthode est géérale mais ous l appliqueros das le cas particulier de otre exemple Pour tout N, u+ = 6 0, 5 u aisi u+ = f( u) où f est la foctio affie défiie par O trace la courbe f représetat la foctio f aisi que la droite d équatio y = x Séquece MA0 7 Ced - Académie e lige

7 L idée est alors de placer les termes successifs u0, u, u, de la suite sur l axe des abscisses O commece par placer u 0 sur l axe 6 P 0 y = x des abscisses u O place alors le poit P 0 de f dot l abscisse vaut u 0 Par costructio, P 0 a doc pour ordoée f( u0 ) f Il reste à «rameer» u sur l axe des 0 abscisses Pour ce faire, o détermie 0 le poit de ayat pour ordoée u 4 u 0 6 u Par costructio, ce poit a doc pour coordoées ( u ; u) et le réel 6 u peut être placé e abscisse u P 0 y = x À partir de u e abscisse, o recommece le procédé e 4 P détermiat le poit P d ordoée fu ( ) puis e «rameat» u sur l axe des abscisses à l aide de la droite f 0 O poursuit le procédé de la même 0 u faço obteat aisi les premiers 0 termes de la suite ( u ) sur l axe des abscisses u 4 u 3 u4 u 6 O peut remarquer que, sous GeoGebra, o peut simplemet obteir e abscisse les réels successifs u0, u, u, d ue suite défiie par u+ = f( u) coaissat u 0 e créat u curseur sur u itervalle allat de 0 à 0 (par exemple) puis e etrat das la barre de saisie (itératio[ fx ( ),u 0,],0) et doc, sur otre exemple (itératio[6-05x,,],0) O active alors la trace du poit créé et il suffit de faire varier le curseur pour obteir les termes successifs de la suite Par cette méthode, o peut observer rapidemet le comportemet de la suite ; e revache, o perd de vue l aspect géométrique de la costructio À l aide de la calculatrice TI8 Statsfr (ou TI83, TI84), les doées ayat été etrées comme idiqué précédemmet, puis das le meu Format o choisit pour cette méthode de costructio «Esc» (ou «Web») Après avoir détermié la feêtre graphique (das otre exemple, la feêtre stadard coviet), o obtiet les tracés écessaires e appuyat sur «graphe» Pour visualiser la costructio, o se place e mode «trace» puis o utilise les flèches À l aide de la calculatrice CASIO Graph 35+, les doées ayat été etrées comme idiqué précédemmet, o utilise la foctio WEB (F4) 4 8 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

8 Après avoir détermié la feêtre graphique par SHIFT V-WIN (F3), o obtiet les tracés écessaires e appuyat sur «EXE» plusieurs fois c) À l aide des tableaux de valeurs et représetatios graphiques obteus, il semble que la suite ( u ) e soit pas mootoe (elle semble être alterée autour d ue certaie valeur) De plus, lorsque deviet grad, les termes de la suite ( u ) semblet tedre vers ue valeur limite voisie de 4 qui graphiquemet, semble correspodre à l abscisse du poit d itersectio des deux courbes tracées a) Soit N Par défiitio de ( v ), o a v+ = u+ 4 or, par défiitio de ( u ), o a u+ = 6 0, 5u doc v + = ( 6 0, 5 u ) 4 = 0, 5 u Puis, de v = u 4, o déduit u = v +4 O obtiet doc v+ = 0, 5( v+4) = 0, 5v = 0, 5v Fialemet, pour tout N, v+ = 05, v ce qui sigifie que la suite ( v ) est géométrique de raiso 0, 5 Le terme iitial de ( v ) vaut v0 = u0 4= 4= 3 b) La suite ( v ) est géométrique de raiso 0, 5 et de terme iitial v 0 = 3 doc pour tout N, v = 3 ( 0, 5 ) puis, de u = v +4, o déduit que pour tout N, u = 4 3 ( 0, 5) c) La suite ( v ) est géométrique de raiso 0, 5 (la raiso est strictemet égative) doc elle est alterée et est pas mootoe E appliquat la foctio affie décroissate x 4 + x successivemet à tous les termes de la suite, o s aperçoit que les termes successifs de ( u ) sot alterativemet iférieurs et supérieurs à 4 La suite ( u ) est doc pas mootoe Les termes successifs de ( u ) sot alterativemet iférieurs et supérieurs à 4 d) Selo la cojecture effectuée précédemmet, il semble que lorsque deviet grad, les termes de la suite ( u ) tedet vers ue valeur limite voisie de 4 autremet dit, il semble que u puisse deveir aussi proche de 4 qu o le souhaite, pourvu que soit suffisammet grad Aisi, imagios que l o souhaite trouver la plus petite valeur de pour laquelle 39, < u < 4, O peut travailler à l aide du tableau de valeurs obteue à la calculatrice ou sur tableur pour costater, par balayage, que la coditio semble vérifiée à partir de = 5 O remarquera cepedat qu o e peut pas affirmer sas argumet supplémetaire que tous les termes de la suite sot situés etre 3,9 et 4, à partir du rag 5 Si o souhaite trouver la plus petite valeur de pour laquelle 399, < u < 40,, la même méthode coduit à coclure à choisir ue valeur miimale de égale à 9 Séquece MA0 9 Ced - Académie e lige

9 La démarche que l o viet de suivre est ue démarche algorithmique Nous avos pas écrit l algorithme à propremet parlé mais ous avos suivi u procédé qui ous a coduit à détermier la valeur de répodat au problème E effet, e partat de = 0, ous avos observé la valeur de u, ous l avos comparée à 3,9 et à 4, et ous avos poursuivi tat que la coditio 39, < u < 4, était pas vérifiée, c est-à-dire tat que u 39, ou u 4, Dès que la coditio était vérifiée, ous avos pu coclure Nous allos suivre cette démarche pour écrire u algorithme doat la valeur miimale de pour laquelle o a 4 A< u < 4+ A où A est u réel quelcoque Lire A o demade la valeur de A N 0 o iitialise l idice de la suite à 0 U U désigat les termes successifs de la suite, o précise la valeur de u 0 Tat que U 4 Aou U 4 + A faire o etre das la boucle «tat que» N N+ o icrémete l idice U 6 0, 5U o calcule le terme de la suite suivat Fi du Tat que o sort de la boucle lorsque 4 A< U < 4+ A Afficher N o affiche la valeur de N obteue lorsque 4 A< U < 4+ A O peut implémeter cet algorithme à l aide du logiciel Algobox (ci-dessous) : O peut implémeter cet algorithme à l aide de la calculatrice (TI ou casio) : 0 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

10 Il e reste qu à faire tourer ces programmes e vérifiat qu ils foctioet bie pour les résultats que l o a obteus à l aide du tableur, c est-à-dire qu ils revoiet respectivemet = 5 et = 9 lorsque l o choisit A = 0, ou A = 00, O peut ici choisir importe quelle valeur de A aussi petite soit elle et o peut costater qu il faut choisir de plus e plus grad pour que la coditio soit réalisée Remarques La suite ( u ) proposée das cette exemple a u terme gééral vérifiat u+ = au + b Cette suite est i arithmétique (car a ) et i géométrique (car b 0 ) So terme gééral a cepedat ue forme remarquable puisqu il s obtiet e multipliat le précédet par u réel costat (aspect géométrique) et e lui ajoutat u réel costat (aspect arithmétique) Pour cette raiso, ue telle suite est dite arithmético-géométrique La méthode utilisée ici pour étudier la suite ( u ) est géérale O commece par chercher l uique solutio α de l équatio x = ax+b Puis o défiit ue suite auxiliaire ( v ) par v = u α O motre alors que ( v ) est géométrique de raiso a ce qui permet d exprimer v puis u e foctio de Exercice A Solutio 5 Exercices u Soit la suite ( u ) défiie par u 0 = et pour tout etier, u + = + 3u Calculer les termes u et u La suite ( u ) est-elle arithmétique? géométrique? O admet que, pour tout, u est pas ul O pose v a) Calculer les trois premiers termes de ( v ) ( ) = + u b) Détermier la ature de v c) Exprimer v e foctio de E déduire u e foctio de u O a :u = 0 3u = et u u 5 = = + 3u 3 = O a : u u0 = et u u 5 = doc ( u ) 0 est pas arithmétique Puis u u = et u 5 = doc ( u ) 0 5 u 8 est pas géométrique 3 a) O a : v0 = + = 3, v u = + = 6 et v = + = 9 0 u u b) Soit N O a :v u + = + = + = + 4 = + 4= v u u u u u Aisi, pour tout N, v = v La suite (v ) est doc arithmétique de terme iitial v o = 3 et de raiso 3 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

11 c) Pour tout N, v = v0 + r doc pour tout N, v = 3+ 3 De plus, pour tout N, u = v (e remarquat que pour tout N, v ) doc pour tout N, u = + 3 Exercice B u0 = O défiit ue suite ( u ) par u+ = u + pour tout N Calculer les premiers termes de la suite ( u ) Que peut-o cojecturer cocerat sa ature et so ses de variatio? O pose v = u 4+ 0 a) Motrer que ( v ) est ue suite géométrique que l o caractérisera b) E déduire l expressio de v e foctio de puis celle de u e foctio de c) O pose S = uk = u0+ u+ + u Doer l expressio de S e foctio de k = 0 Solutio O a :u 0 =, u= u 0+ 0 =, u u = + = 3 4, u3 = u + = 7 8, u 4 = u 3+ 3 = 07 6 et, au vu de ces résultats, ( u ) semble croissate à partir du rag, elle est i arithmétique (car u u0 u u), i géométrique (car u u ) u u a) Soit N O a :v+ = u+ 4( + ) + 0= u = u + 5 or u = v d où v+ = v + + = ( 4 0) 5 v aisi, pour tout N, v+ = v et ( v ) est ue suite géométrique de raiso q = et de terme iitial v0 = u = b) Pour tout v = v q = N, 0 or u = v doc pour tout N, u = c) Pour tout N, S = uk = vk + 4k 0= vk + 4 k 0 k = 0 k = 0 k = 0 k = 0 k = or v k = = k = 0, k ( + ) = k = 0 0 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

12 et 0 = = 0( + ) aisi, pour tout N, k = 0 + termes S = + + ( + ) 4 0( + ) = Exercice C Solutio La suite ( u ) est ue suite géométrique So premier terme vaut 5, ue valeur approchée au cetième de so ozième terme est 008 efi sa raiso est u décimal égatif Que vaut la raiso de la suite ( u )? La suite ( u ) est ue suite géométrique de terme iitial 5 doc, e otat q sa 0 raiso, le ozième terme vaut 5 q O peut alors travailler par balayage à l aide de la calculatrice ou d u tableur Il apparaît alors qu ue raiso égale à 7, coviet O peut remarquer que ça est pas la seule possibilité puisque, par exemple, ue raiso de, coviet tout autat Exercice D Solutio O propose deux cotrats d embauche pour ue durée détermiée d u a Cotrat : u salaire au mois de javier de 00 euros puis ue augmetatio de 37,5 euros par mois Cotrat : u salaire au mois de javier de 00 euros puis ue augmetatio de t % par mois Détermier le pourcetage à 0,0 près afi que les deux cotrats soiet équivalets O remarque que les cotrats serot cosidérés comme équivalets si la somme totale versée au terme des douze mois d embauche est la même La suite des salaires obteus selo le cotrat est ue suite arithmétique de terme iitial 00 et de raiso 37,5 aisi, le salaire du mois de décembre vaut das ce cas , 5 = 5, 5 de sorte que la somme des douze premiers ,5 salaires soit égale à =5675 euros Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

13 La suite des salaires obteus selo le cotrat est ue suite géométrique de terme iitial 00 et de raiso + t aisi la somme des douze premiers 00 t + 00 salaires est égale à 00 t t = + t 00 euros Pour que les deux cotrats soiet équivalets, o cherche doc ue valeur de t approchée au cetième telle que 0000 t + t = O travaille par balayage à l aide de la calculatrice (voir exercice C pour la démarche) ou d u tableur e etrat les taux t das la coloe A et le motat total das la coloe B Il apparaît dès lors qu u taux d accroissemet mesuel d eviro 3,07 % pour le cotrat permet d obteir deux cotrats équivalets 4 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

14 A Le raisoemet par récurrece Objectifs du chapitre O présete das ce chapitre, u ouvel outil de démostratio : le raisoemet par récurrece Ce type de démostratio s avère efficace pour résoudre beaucoup d exercices sur les suites O retrouve aussi ces raisoemets par récurrece das tous les domaies des mathématiques (pour les spécialités maths de termiale S, par exemple, u certai ombre d exercices d arithmétiques écessitet ce type de démostratio) B L idée Deux exemples très cocrets a) Imagios que l o dispose d u certai ombre de domios placés les us à la suite des autres Pour les faire tomber, il faut que deux coditios soiet réuies : il faut faire tomber u domio et il faut que la chute d u domio etraie la chute du suivat Lorsque ces deux coditios sot réuies, o admet aturellemet que tous les domios placés derrière le premier domio reversé vot tomber b) Imagios que l o dispose d ue échelle Si o sait moter sur u barreau de l échelle et si o sait passer d u barreau quelcoque à so suivat, o admet aturellemet que l o peut atteidre importe quel barreau situé au delà du premier barreau sur lequel o est moté C est cette idée que ous allos formaliser U exemple mois cocret Repreos la suite ( u ) proposée das l exemple chapitre 4) à savoir ( u ) défiie pour tout etier aturel par u+ = 6 0, 5u et u 0 = À la fi de l exemple, ous avos motré que le plus petit etier pour lequel 39, < u < 4, était = 5 E revache, o e sait pas si la coditio 39, < u < 4, est vérifiée pour tout 5 Séquece MA0 5 Ced - Académie e lige

15 3 O peut bie sûr calculer les termes suivats pour obteir u 5 = 4094,, u 6 = 3, 953 ou ecore u 64 7 = 403, et costater que la propositio 8 «39, < u < 4,» est vraie pour = 6, et = 7 mais est-elle vraie pour tout 5? Commet le démotrer puisque l o e peut pas faire ue ifiité de vérificatios? La propositio «3, 9< u < 4,» est vraie au rag = 5 Autremet dit, le raisoemet a été iitialisé, o sait reverser u domio ou ecore o sait moter sur l u des barreaux de l échelle Supposos désormais que la propositio «3, 9< u < 4,» est vraie au rag = k autremet dit, supposos que 39, < u k < 4, O a alors 05, 4, < 05, u k < 05, 39, puis 6 0, 5 4, < 6 0, 5u k < 6 0, 5 3, 9 ce qui doe 395, < u + < 405, k or 395, ;4,05 39, ;4, doc 39, < u + < 4, k et la propositio «39, < u < 4,» est vraie au rag = k + O viet de démotrer que le fait que la propositio soit vraie au rag = k etraie le fait qu elle le soit au rag = k + Autremet dit, la propositio est héréditaire, o sait que la chute d u domio etraie la chute du suivat ou ecore o sait passer d u barreau de l échelle au suivat Les deux coditios (iitialisatio et hérédité) sot réuies, o peut doc coclure que pour tout 5, o a 39, < u < 4, C L axiome Soit ue propositio dépedat d u etier aturel Pour démotrer que est vraie pour tout etier 0, il suffit de motrer que : () la propositio est vraie au rag 0 ; ( ) () pour u etier k quelcoque k 0, k vraie etraîe k + vraie Iitialisatio : Hérédité : Aisi, pour démotrer par récurrece qu ue propositio liée à u etier aturel est vraie pour tout 0, o procède e trois étapes O vérifie la propositio au rag iitial 0 O suppose que la propositio est vraie pour u rag quelcoque k ( k 0 ) et o démotre que, sous cette hypothèse, elle est vraie au rag suivat k + O dit alors que la propositio est héréditaire L hypothèse «k vraie» est appelée hypothèse de récurrece 6 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

16 Coclusio : Exemple Solutio Iitialisatio : Hérédité : Iitialisatio : L axiome ci-dessus permet de coclure que la propositio est alors vraie pour tout 0 Démotrer ue propriété doée Soit ( u ) la suite défiie pour tout etier aturel par u 0 = et pour tout 0, u = u 3 + Démotrer que pour tout 0, u = 3 O veut démotrer par récurrece que la propositio «u = 3» est vraie pour tout 0 0 Au rag = 0, la propositio s écrit u 0 = 3 = 3 = or, par défiitio de ( u ), o a u 0 = aisi la propositio est vraie au rag = 0 O suppose que la propositio «u = 3» est vraie pour u certai k rag = k autremet dit, o suppose que pour u etier k positif, u k = 3 Comme uk+ = uk 3, l hypothèse de récurrece permet d écrire k que u k + = 3 k ( ) 3puis u k + = 6 k + 3 ou ecore u k + = 3 et la propositio «u = 3» est vraie au rag = k + La propositio est doc héréditaire La propositio «u = 3» est vraie pour = 0 et elle est héréditaire doc pour tout 0, u = 3 Exemple Solutio Cojecturer ue propriété puis la démotrer Soit ( u ) la suite défiie pour tout etier aturel par u 0 = et pour tout 0, u+ = 0u 9 8 E calculat les premiers termes de la suite, cojecturer l expressio de u e foctio de puis démotrer le résultat O a : u0 =, u= 0u = 0 0 8=, u = 0u 9 8 = 0 9 8= 3, u 3 = 0u 9 8 = = 4,etc Il semble doc que pour tout 0, u = + La propositio est vraie au rag = 0 (et elle a même été vérifiée aux rags =, = et = 3 ) Supposos que pour k 0,o ait uk = k + et, sous cette hypothèse, motros que uk + = k + + à savoir uk + = k + Comme uk+ = 0 uk 9k 8 = 0( k + ) 9k 8 = 0k + 0 9k 8 = k +, o a prouvé l hérédité Fialemet, pour tout 0,o a u = + Séquece MA0 7 Ced - Académie e lige

17 Exemple 3 Solutio Exemple 4 Remarque L importace de l iitialisatio Pour 0, o ote la propositio «0 + est u multiple de 9» Démotrer que la propositio est héréditaire La propositio est-elle vraie pour tout 0? À partir d u certai rag? k O suppose que pour k u etier aturel positif, 0 + est u multiple de 9 k + et, sous cette hypothèse, o motre que 0 + est u multiple de 9 k Dire que 0 + est u multiple de 9 sigifie que 0 k + = 9 N où N est u k etier relatif ou ecore 0 = 9N avec N Z Sous cette hypothèse, o a : k+ 0 + = 0 k 0 + = 0 ( 9N )+ = 90 N 0 + = 90 N 9 k + doc 0 + = 9 ( 0N ) = 9N ' avec k N' = 0N Z doc 0 + est bie u multiple de 9 et la propositio est héréditaire 0 Pour = 0, la propositio s écrit «0 + est u multiple de 9» autremet dit «est u multiple de 9» ce qui est évidemmet faux La propositio est doc pas vraie pour tout 0 Etat héréditaire, elle peut être vraie à partir d u certai rag dès qu elle est vraie pour u certai rag ; ecore faut-il le trouver O teste pour =, = ou = 3 e s iterrogeat doc sur la divisibilité de, 0 ou 00 par 9 Il apparaît que la propositio est pas vraie pour =, = ou = 3 Plutôt que de poursuivre les vérificatios successives, o remarque qu u ombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres das so écriture e base 0 est u multiple de 9 or la somme des chiffres d u ombre de la forme 0 + vaut quel que soit l etier Par suite, l etier 0 + est jamais u multiple de 9 et la propositio «0 + est u multiple de 9» est fausse pour tout 0 O retiedra doc de cet exemple qu ue propositio peut être héréditaire tout e état toujours fausse ; c est le cas d u esemble de domios disposés suffisammet proches les us des autres qui e tombet pas si o e fait tomber aucu L importace de l hérédité O cosidère la suite ( u ) défiie sur N par u 0 = 00 et pour u tout u = u + 0, + E 00 où E est la foctio partie etière Établir ue cojecture cocerat ue expressio simple de u e foctio de Cette relatio est-elle vraie pour tout 0? Cocerat la foctio partie etière La foctio partie etière est ue foctio défiie sur R qui à tout réel x associe le plus grad etier relatif iférieur ou égal à x O ote E( x ) la partie etière d u réel x 8 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

18 Autremet dit, pour tout Z,o aura E( x) O a par exemple : E(5,7) = 5, E = pour tout x tel que x < + ( ) =, E(0) = 0 ou E( 0,) = Sur TI, o obtiet la partie etière d u réel x, e choisissat le meu MATH puis NUM et e sélectioat partet (ou it sur les calculatrices e aglais) Attetio à e pas cofodre avec la foctio et (ou ipart sur les calculatrices e aglais) qui permet d obteir la trocature à l etier d u réel Sur Casio, la partie etière d u réel x s obtiet par le meu NUM (cliquer sur OPTN) e choisissat itg Sur tableur, la foctio permettat d obteir la partie etière d u réel est la foctio ENT Solutio O a : u 0 = 00, u u u 0 00 = = + E E 00 = + E( ) = 00 + = 0, u u u 0 = + E = + E 00 = + E(, ) = 0 + = 0, puis, de la même faço, o peut poursuivre pour obteir u4 = 04, u5 = 05 ou ecore u 6 = 06 Il semble doc que pour 0, u = 00 + Cette relatio est-elle vraie pour tout 0? Si o evisage que la propositio puisse être fausse, u cotre-exemple suffirait à le démotrer O peut doc poursuivre les vérificatios e s aidat évetuellemet d u tableur jusqu à ce que l o trouve u rag pour lequel la propositio est pas vraie La propositio «u = 00 +» état vraie au rag = 0 (aisi qu aux rags,, 3, 4, 5 ou 6 comme o l a vérifié), elle sera vraie pour tout 0 si elle est héréditaire O peut doc evisager de démotrer que pour k 0, etraie uk + = 00 + k + Supposos que pour k 0, uk = 00 + k u alors u u k u k k k k + = + = + + E 00 E O pourra e déduire que uk + = 00 + k + si o a E u k 00 = u ce qui sigifie que k < ou ecore 00 u < k, soit k < 00 ou ecore 0 k < 00 Ceci démotre que la propositio est héréditaire pour tout 0 k < 00 autremet dit, pour tout 0 u k < 00, etraîe uk + = 00 + k + Ce raisoemet coduit à affirmer que u 00 = 00 Séquece MA0 9 Ced - Académie e lige

19 Au rag suivat, o a : u u0 u = 00 + E = + E 00 = + E() = 00 + = 0 0 Ce qui permet d affirmer que la relatio cojecturée est pas vraie pour tout O remarquera qu obteir ce résultat par vérificatio (à l aide d u tableur par exemple) est u raisoemet valable O retiedra qu ue propositio peut être vraie jusqu à u certai rag, héréditaire jusqu à u certai rag mais pas pour tous les rags C est le cas d u esemble de domios disposés suffisammet proches les us des autres au départ puis trop espacés par la suite O reverse le premier domio, les suivats tombet successivemet jusqu à ce que l espace etre deux domios soit trop importat et que le procédé s arrête Exemple 5 Solutio Exemple 6 Solutio Iitialisatio : Hérédité : Coclusio : Remarques Ue méthode pour démotrer qu ue suite est borée Soit ( u ) la suite défiie sur N par : u 0 = 0 et u+ = u + 6 pour tout 0 Démotrer que pour tout 0, 3 u 0 Tout d abord, u 0 = 0 doc 3 u 0 0 et la propositio «3 u 0» est vraie au rag = 0 Puis, supposos que pour u etier k 0, o ait 3 u k 0 alors 9 u k puis 3 u k car x x est croissate sur [ 0, + [ aisi 3 u k + 4 ce qui implique 0 u k + 0 La propositio est doc héréditaire Fialemet, pour tout 0, 3 u 0 Ue méthode pour étudier les variatios d ue suite Soit ( u ) la suite défiie sur N par : u 0 = 0 et u+ = u + 6 pour tout 0 Démotrer que la suite ( u ) est décroissate Pour démotrer que la suite ( u ) est décroissate, o peut raisoer par récurrece e démotrat que, pour tout N, la propositio u+ u est vraie O a u 0 = 0 et u = 6 = 4 doc u u0et la propositio u+ u est vraie pour = 0 soit k u etier aturel quelcoque tel que uk+ uk Alors uk+ + 6 uk + 6 puis uk+ + 6 uk + 6 ou ecore uk+ uk+ Aisi, la propositio u+ u est héréditaire Pour tout N, la propositio u+ u est vraie La suite ( u ) est doc décroissate O peut regrouper les questios des exemples 5 et 6 e ue seule questio, à savoir : démotrer que pour tout N, 3 u+ u 0 O motre alors à l aide d ue seule démostratio par récurrece que la suite ( u ) est ue suite borée et décroissate 0 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

20 Pour étudier les variatios de ( u ), o peut étudier le sige de u+ u (mais u u c est plus log!): pour tout 0, o a u u u u + = + = u u E admettat le résultat démotré à l exemple 5 ci-dessus, o sait que pour tout 0, u 3 Le déomiateur est alors strictemet positif comme somme de deux ombres strictemet positifs doc u+ u est du sige du umérateur Le triôme x + x + 6 a pour discrimiat = 4 ( ) 6= 5= 5 et pour racies et 3 de sorte que x + x + 6 est du sige de x sur ; 3 ; + D ue part pour tout 0, u 3et d autre part pour tout x 3, x + x 6 0 doc pour tout N, u + u Fialemet, pour tout N, u+ u 0 et ( u ) est décroissate D Exercice Exercices d appretissage Soiet ( e ) et c ( ) les suites défiies par e k = = et c = k = k = k = Calculer les premiers termes des suites (e ) et (c ) Quelle relatio semble lier e et c? Démotrer par récurrece que pour tout, o a c = ( + ) puis coclure 4 Exercice Exercice 3 u Soit la suite ( u ) défiie sur N par u 0 = et pour tout, u + = + u Exprimer u e foctio de Démotrez que, pour tout etier aturel, l etier 3 est u multiple de 7 Exercice 4 Exercice 5 La suite ( u ) est la suite défiie par u 0 = et u+ = + u pour tout etier aturel Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, 0 u u La suite ( u ) est défiie par u 0 = et u + = + pour tout etier aturel u + 3 Représeter graphiquemet la suite ( u ) E dresser u tableau de valeurs puis cojecturer so ses de variatios Séquece MA0 Ced - Académie e lige

21 x a) Démotrer que la foctio f : x + est croissate sur [0 ; ] x + 3 b) Démotrer par récurrece que ( u ) est ue suite décroissate à valeurs das l itervalle [0 ; ] Exercice 6 Préambule Pour tout etier, o ote! et o lit «factorielle de», le ombre défiit par :! = ( ) 3 Aisi o a! =,!= =, 3!=3 =6, 4!=4 3 =4, etc O peut efi remarquer que, pour tout, ( +)!=( +)! Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a :! Démotrer qu à partir d u certai rag, o a :! Séquece MA0 Ced - Académie e lige

22 3 Notios de limites A Objectifs du chapitre O présete das ce chapitre, les otios de limites, les défiitios qu il faudra coaître et savoir utiliser pour démotrer certais résultats aisi que les théorèmes dot il faudra, sauf metio cotraire, coaitre les démostratios et qu il faudra savoir utiliser (par, exemple, pour détermier ue limite) B Pour débuter Activité O cosidère la suite ( u ) défiie sur N par u 0 = 0 et pour tout etier, u+ = u 3u + 3 a) Représeter la suite ( u ) de deux faços : l ue pour laquelle o placera u e ordoée et e abscisse, l autre pour laquelle les termes successifs de la suite serot placés e abscisse (voir le poit 4 du chapitre de cette séquece) Au vu de ces représetatios graphiques, quelle cojecture peut-o émettre quat au comportemet de u pour de grades valeurs de? b) Établir u tableau de valeurs de u Quelle semble être la limite de la suite ( u ) lorsque deviet grad? c) Le ombre u permet ici de mesurer la distace etre u et sa limite Il semble que l o puisse redre ce ombre aussi petit qu o le souhaite pourvu que soit suffisammet grad C est ce que l o va costater sur quelques exemples A l aide du tableau de valeur précédet, détermier u rag au delà duquel u < 0 puis u < 0 5 et efi u < 0 8 Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

23 Activité Ue activité autour de suites de référece a) Compléter le tabealu de valeurs ci-dessous b) Quelle semble être la limite des suites,, 3 et? c) Détermier u rag N au delà duquel 0 0 efi d) Faire de même avec les trois autres suites puis et Activité 3 Ue autre activité autour de suites de référece a) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous ( ) ( ) ( ) b) Quelle semble être la limite des suites, et? c) Détermier u rag N au delà duquel > 0 3 puis > 0 0 et efi > 0 30 d) Faire de même avec les deux autres suites 4 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

24 Activité 4 Le floco de Vo Koch Pour obteir le floco de Vo Koch (figure du milieu), o procède de la faço suivate À l étape iitiale (étape 0), o cosidère u triagle équilatéral (figure de gauche) de côté 0 cm (par exemple) La figure iitiale a doc 3 côtés de logueur 0 cm pour u périmètre total de 30 cm et ue aire de 5 3 cm (à savoir eviro 43, 3 cm ) À l étape, o partage chacu des côtés de la figure précédete e 3 et, sur le segmet cetral, o costruit u triagle équilatéral La figure obteue après ue étape comporte doc côtés de logueur 0 cm (à savoir eviro 3,3 cm) pour 3 u périmètre total de 40 cm et ue aire de 00 3 (à savoir eviro 57, 7 cm ) 3 O poursuit aisi la costructio du floco e partageat chacu des côtés de la figure obteue à l étape précédete e 3 et e costruisat u triagle équilatéral sur le segmet cetral O omme respectivemet C, L, P et A le ombre de côtés, la logueur de chaque côtés, le périmètre et l aire du floco après étapes 0 Aisi C0 = 3, C=, L0 = 0, L=,etc 3 a) Ituitivemet que peut-o peser du comportemet de chacue des quatre suites ( C), ( L), ( P) et ( A) pour de grades valeurs de (variatios, limites évetuelles)? b) À l aide d u tableur, créer et orgaiser ue feuille de calculs permettat d obteir ( C), ( L), ( P) et ( A) e foctio de l étape Cofirmer ou ifirmer les cojectures faites à la questio précédete c) E supposat que le triagle de départ ait des côtés de logueur 0 cm Le périmètre du floco peut-il dépasser u kilomètre? Si oui, après combie d étapes et quelle serait la valeur correspodate de l aire du floco? Séquece MA0 5 Ced - Académie e lige

25 C Cours Suites covergetes a) Défiitios et premières propriétés Défiitio O dit qu ue suite ( u ) admet pour limite u réel l lorsque tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag O ote alors lim u = l + Lorsqu ue suite ( u ) admet ue limite fiie, o dit qu elle est covergete (ou qu elle coverge) Das le cas cotraire, o dit qu elle est divergete Remarque O remarque que motrer que tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag, reviet à motrer que tout itervalle ouvert cetré e l cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag E pratique, o cosidèrera doc fréquemmet comme itervalles coteat l, des itervalles de la forme l α ; l+ α oùα est u réel strictemet positif 6 y = 4 + α 4 y = 4 α j 0 P 0 0 i Iterprétatio graphique De la défiitio, o obtiet que pour tout α aussi petit que l o veut, il existe u rag au delà duquel u appartiet à ] l α ; l+ α[ P α = 0, P P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P P 9 E ommat P les poits de coordoées ( ; u ), la covergece de ( u ) sigifie doc pour tout α aussi petit que l o veut, il existe u rag au delà duquel P etre das ue bade limitée par les droites d équatios y = l α et y = l + α pour e plus jamais e ressortir Le graphique ci-cotre illustre la covergece vers l = 4 de la suite ( u ) défiie pour tout etier aturel par u+ = 6 0, 5u et u 0 = (à rapprocher du Chapitre, 4) 6 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

26 Exemple 7 Remarque E utilisat la défiitio de la covergece d ue suite, démotrer que : a) lim ; + = 0 b) La suite ( u ) défiie pour tout N par u = admet pour limite + E gééral, o e reviet pas à la défiitio de la otio de limites pour détermier les limites des suites proposées mais o utilise les propriétés sur les limites usuelles, les règles opératoires sur les limites aisi que les différets théorèmes qui serot vus das la suite de cette partie Solutio a) O souhaite démotrer que le ombre ted vers 0 lorsque ted vers +, c est-à-dire lorsque deviet aussi grad que l o veut Ituitivemet, le résultat semble aturel Par ailleurs, ue représetatio graphique de la suite de terme gééral permet de visualiser le résultat P j P 0 i 0 P 3 3 P 4 4 P 5 5 P 6 6 Pour prouver le résultat à l aide de la défiitio, o est ameé à démotrer que tout itervalle ouvert coteat 0 cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag L itervalle r ; r où r est u réel strictemet positif est u itervalle ouvert coteat 0 Puis : r ; r r < < r or > 0 doc r < < r 0 < < r > r > r Aisi, o a : r ; r dès que > r E posat N l etier qui suit tout N, r ; r D où le résultat r, o a doc démotré que pour Séquece MA0 7 Ced - Académie e lige

27 Remarque O peut adapter la démarche ci-dessus pour motrer que : lim = 0, lim = 0, lim = 0 ou plus gééralemet lim = 0oùk N + k b) Comme o peut le voir ci-cotre, ue illustratio graphique ou à l aide d u tableur permet d avoir ue idée du comportemet de la suite ( u ) Pour démotrer la covergece de ( u ) vers, o motre que tout itervalle ouvert cetré e cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag U j 0 i P P 0 P 3 3 P 4 4 P 5 5 P 0 L itervalle r ; + r où r est u réel strictemet positif est u itervalle ouvert coteat Puis : u ] r ; + r[ r < r r r + < + < + < 3 r < + < < 3 3 r r et + + < r Or, + > 0 et r > 0 doc < 3 3 r + > > r r 3 3 et < r + > > 3 + r r Le plus grad des deux ombres 3 r et + 3 état clairemet + r 3 o ote r N l etier qui suit + 3 pour obteir que pour tout N, u r r r ] ; + [ d où la covergece de ( u ) vers Remarque Exemple 8 O peut oter au passage que pour motrer la covergece de ( u ) vers, o a prouvé la covergece vers 0 de la suite de terme gééral u E utilisat la défiitio de la covergece d ue suite, motrer que toute suite covergete est borée 8 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

28 Solutio Soit ( u ) ue suite défiie pour tout etier aturel, covergete vers u réel l Aisi, pour u réel r quelcoque, o sait trouver u etier N tel que pour tout N, r < u < + r doc ( u ) est borée à partir du rag N E otat m le plus petit des ombres u0, u,, un, l r et M le plus grad des ombresu0, u,, un, l + r o obtiet que pour tout N, m u M ce qui sigifie que ( u ) est borée Remarque O peut ici raisoer e choisissat ue valeur particulière pour r, par exemple r = Propriété Limites de suites usuelles lim = 0, lim = 0, lim = 0, lim = 0 et plus gééralemet lim = 0oùk N + k Toute suite costate de terme gééral égal à l est covergete vers l Propriété Uicité de la limite Si ue suite coverge alors sa limite est uique Démostratio Raisoos par l absurde Pour commecer, supposos qu ue suite ( u ) coverge et qu elle admette deux limites distictes l et l Nécessairemet, l ue est strictemet iférieure à l autre, par exemple l< l O peut doc trouver u itervalle ouvert I coteat l et u itervalle ouvert J coteat l qui e se chevauchet pas La suite ( u ) état covergete vers l, tous les termes de la suite sot das l itervalle I à partir d u certai rag N et, ( u ) état covergete vers l, tous les termes de la suite sot das l itervalle J à partir d u certai rag N Doc, pour tout à la fois supérieur à N et N, le terme u se trouve à la fois das l itervalle I et das l itervalle J, ce qui est impossible L hypothèse que ous avios émise au départ est doc absurde et ( u ) e peut doc pas coverger vers deux limites distictes Séquece MA0 9 Ced - Académie e lige

29 b) Opératios sur les limites Propriété 3 Opératio sur les limites Soiet ( u ) et ( v ) deux suites covergetes de limites respectives l et l O admet les résultats suivats : la suite de terme gééral u + v est covergete et a pour limite l+ l' ; la suite de terme gééral u v est covergete et a pour limite l l' ; l a suite de terme gééral k u où k est u réel est covergete et a pour limite k l ; si v e s aule pas à partir d u certai rag et si l' 0 alors la suite de terme gééral u v est covergete et a pour limite l l' Exemple 9 Détermier la limite des suites de termes gééraux : a =, b =, c = 3 + et d 3 = + + Solutio Das chaque cas, o ameé à trasformer l expressio de la suite de faço à utiliser les règles opératoire-ci-dessus 3 + Pour > 0, a = = 3+ or lim = 0 et lim = doc, par somme, lim a = ( )( + ) Pour > b = = = 0, = or lim + ( + ) + = 0 doc, par produit lim + = 0 puis, par somme lim b = + O remarque que l o peut proposer ue autre trasformatio de b pour obteir le résultat 4 4 ( ) E effet, pour > 0, b = 4 4 = = or lim = 0 + ( ) doc lim + 4 = et lim = 0 doc lim = ce qui coduit, par quotiet, à lim b = + 30 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

30 Cette deuxième trasformatio est fréquemmet utilisée lorsque le terme gééral de la suite est ue expressio ratioelle e aisi qu o peut le costater das l exemple suivat O observera que, das ce cas, o trasforme l expressio de départ e factorisat umérateur et déomiateur par leur moôme de plus haut degré e ( 3 + ) Pour > 0 c, = = = ( + ) + D ue part lim = 0 et lim = 0 doc lim = 3 et lim = doc lim + + = aisi par quotiet lim = D autre part lim + = 0 et par produit, o obtiet lim c = 0 + Bie que le terme d e soit pas ratioelle e, o peut adopter ue démarche aalogue à celle utilisée précédemmet Pour >, d = = = ( ) D ue part lim + = 0 doc lim lim = + + = puis par quotiet D autre part lim + = 0, et par produit, o obtiet lim d = 0 + c) Théorèmes de comparaiso et d ecadremet Propriété 4 Compatibilité avec l ordre Soiet ( u ) et ( v ) deux suites covergetes de limites respectives l et l Si, à partir d u certai rag, o a u < v (ou bie u v ) alors l l Séquece MA0 3 Ced - Académie e lige

31 Démostratio ' Supposos que l> l O peut doc trouver u itervalle ouvert I coteat l et u itervalle ouvert J coteat l qui e se chevauchet pas La suite ( u ) coverge vers l doc il existe u rag N à partir duquel I cotiet tous les termes de ( u ) De même, il existe u rag N à partir duquel J cotiet tous les termes de ( v ) E otat N le plus grad des etiers N et N, pour tout N, I cotiet les ombres u alors que J cotiet les ombres v (voir illustratio) et doc u > v ce qui est icompatible avec l hypothèse de la propriété Doc l l Coséquece Si ( u ) est ue suite croissate et covergete vers l alors, pour 0 tout 0, u l Démostratio Soit 0 Pour tout p, o a up u car la suite ( u ) est croissate, or la covergece de la suite vers l se traduit par lim = l De plus, u e dépedat pas de p, u p p + J cotiet les termes de (v ) pour N o a lim u = u Aisi, par passage à la limite e p das l iégalité ci-dessus, p + o obtiet l u Fialemet, pour tout 0, u l I cotiet les termes de (u ) pour N Remarque De faço aalogue, o a : Si ( u ) est ue suite décroissate et covergete vers l alors, pour 0 tout 0, u l O admet le résultat suivat appelé «théorème des gedarmes» Théorème O cosidère trois suites ( u ), ( v ) et ( w ) Si ( u ) et ( w ) sot covergetes vers u même réel l et si, à partir d u certai rag, u v w alors ( v ) est elle aussi covergete vers l 3 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

32 Exemple 0 Solutio Détermier la limite des suites de terme gééral : a = ( ) et b = si + Pour tout N, ( ) or, pour > 0, > 0 doc pour > 0, a D ue part, lim + = 0 et d autre part, lim = 0 doc par le + théorème des gedarmes lim a = 0 + Pour tout N, si doc si or + > 0 doc b + + ( ) D ue part, = = or lim + = ( ) et lim + + = doc par quotiet lim = + + D autre part, o motre de faço aalogue que lim + + = Aisi, par le théorème des gedarmes lim b = + Exemple ( ) défiie pour tout, par : O cosidère la suite u u = = k = 0 + k a) E remarquat que les + termes costituat la somme u sot tous compris etre + et, démotrer que pour tout, + u + + b) E déduire que la suite ( u ) est covergete et préciser sa limite Solutio a) Pour et pour 0 k, o a 0 k puis + k + et, par iversio doc chacu des + termes de la + + k somme costituat u est supérieur à d où u + + ( ) + et iférieur à d où u ( + ) + Fialemet pour tout, u + + Séquece MA0 33 Ced - Académie e lige

33 ( + ) + + b) D ue part = = or lim + ( + ) + doc lim + + = et lim = = 0 doc lim + + = puis par quotiet + lim = + + D autre part + + = + doc lim + = Par le théorème des gedarmes, o e déduit la covergece de ( u ) vers Suites divergetes ayat pour limite + ou a) Défiitios et premières propriétés Défiitio O dit qu ue suite (u ) admet pour limite + si tout itervalle de la forme A ; + où A est u réel, cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag O ote alors lim u =+ + De faço aalogue, o dit qu ue suite (u ) admet pour limite si tout itervalle de la forme ; A où A est u réel, cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag O ote alors lim u = + Das u cas comme das l autre, o dit que la suite est divergete Exemple a) E utilisat la défiitio, démotrer que : lim =+ + b) La suite ( u ) défiie pour tout N par u = 0 + À l aide d u tableur, cojecturer l évetuelle limite de la suite ( u ) Motrer que l o peut trouver u rag au-delà duquelu 00 E utilisat la défiitio, démotrer que lim u = + 34 Séquece MA0 Ced - Académie e lige

34 Remarque E gééral, o e reviet pas à la défiitio de la otio de limites pour détermier les limites des suites proposées mais o utilise les propriétés sur les limites usuelles, les règles opératoires sur les limites aisi que les différets théorèmes qui serot vus das la suite de cette partie Solutio a) Par défiitio, o est ameé à détermier u rag N tel que pour tout N, A où A est u réel quelcoque (aussi grad qu o le veut ce qui permet de se restreidre au cas où A 0) Alors, état positif, A A et, e choisissat N l etier qui suit A o obtiet que si N alors A lim =+ + ce qui sigifie que b) À l aide d u tableur ou de la calculatrice, il semble que la suite ( u ) tede vers Pour u 0 N, ( + ) Le triôme x 00x 0 a pour discrimiat = = 0 et doc pour racies et 0 De plus, x 00x 0 est positif à l extérieur de ses racies et 0 doc pour tout 0, 00 u Pour u A 0 N, A A + 0 ( + ) + A 0+ A 0 Séquece MA0 35 Ced - Académie e lige

35 Le triôme x + Ax 0+ A a pour discrimiat = 4A 4A Le triôme 4A 4A+ 404 a lui même u discrimiat strictemet égatif ( 6448<0) doc il e s aule pas de sorte que pour tout A R, > 0 Aisi, x + Ax 0 A a pour racies A A A+ 0 et A+ A A+ 0 E remarquat que A A A+ 0 A+ A A+ 0 et sachat que x + Ax 0 A est positif à l extérieur de ses racies, o a x + Ax 0 A 0 pour x A+ A A+ 0 O peut efi remarquer que dès que A 0, A+ A A+ 0 0 comme somme de deux ombres positifs Fialemet, e otat N l etier qui suit A+ A A+ 0, o a pour tout N, u A doc lim u = + Propriété 5 Limites de suites usuelles O a : lim =+, lim =+, lim =+, lim = k et plus gééralemet lim =+ où k N + b) Opératios sur les limites O admet les propriétés ituitives suivates Propriété 6 Somme Soiet (u ) et (v ) deux suites dot les rôles peuvet être iversés La limite de la somme u + v lim u + lim v Séquece MA0 Ced - Académie e lige

36 Remarque Ue case coloriée sigifie qu o est e présece de «formes idétermiées», c est-à-dire que la propriété e permet pas de coclure puisque le résultat déped de la situatio das laquelle o se trouve Pour illustrer la situatio, cosidéros les exemples suivats Preos u = 3 et v = Il est clair que lim u =+ et que lim v = or u + v = de sorte + + ( ) =+ que lim u + v + Preos maiteat u = et v = 3 Comme précédemmet lim u =+ et lim v = mais u + v = et + + ( ) = o obtiet lim u + v + Efi, preos u = + et v = + Ecore ue fois lim u =+ + ( ) = 3 et lim v = avec u + v =3 et cette fois-ci lim u + v + + O costate que la coclusio déped du cas das lequel o se trouve Propriété 7 Produit Soiet ( u ) et ( v ) deux suites dot les rôles peuvet être iversés lim u + La limite du produit u v lim v ( >0) + ( <0) + Remarques Comme précédemmet, ue case coloriée sigifie qu o est e présece de «formes idétermiées», c est-à-dire que la propriété e permet pas de coclure puisque le résultat déped de la situatio das laquelle o se trouve Pour illustrer la situatio, cosidéros les exemples suivats Séquece MA0 37 Ced - Académie e lige

37 Preos u = et v = O a ( ) = 0 or u v = de sorte que lim u v + lim u = 0 et lim v =+ + + Preos maiteat u = et v = 3 Comme précédemmet lim u = 0 + ( ) =+ et lim v =+ mais u v = et o obtiet lim u v + + Efi, preos u = et v = Ecore ue fois ( ) = et lim v =+ mais u v = et o obtiet lim u v + + O costate que la coclusio déped du cas das lequel o se trouve lim u = 0 + Lorsque l ue des suites coverge vers u réel l et que l autre diverge e ayat pour limite + ou, o sait que le produit ted vers l ifii mais il est écessaire d argumeter e précisat le sige de l pour pouvoir coclure Par exemple, si lim u = et lim v = alors o e déduit + + que lim ( u v) = alors que si lim u = et lim v =, o lim v =+ e déduit que ( ) u + Propriété 8 Iversio Soiet ( u ) ue suite lim v + lim + v l ( l 0 ) l Séquece MA0 Ced - Académie e lige

38 Remarques Lorsqu ue suite ( v ) e s aulat pas à partir d u certai rag, ted vers 0 et garde u sige costat au voisiage de l ifii (c est-à-dire à partir d u certai rag), so iverse ted vers l ifii et la coaissace du sige de v pour au voisiage de + permet de coclure Par exemple, pour v =, o a lim v = 0 or, pour > 0, v > 0 doc o e + déduit que lim + v =+ (ce qui est aisémet vérifiable car = ) v Alors que pour v =, o a lim v = 0 or, pour >, v < 0 doc o + e déduit que lim + v = (ce que l o peut obteir e remarquat que = ) v Pour préciser qu ue suite ted vers 0 e état strictemet positive pour au voisiage de +, o peut oter lim v = 0 + ce qui sigifie que lim v = avec v > 0 pour suffisammet grad De faço aalogue, pour préciser qu ue suite ted vers 0 e état strictemet égative pour au voisiage de +, o peut oter lim v = 0 ce qui sigifie + que lim v = 0 avec v < 0 pour suffisammet grad + Propriété 9 Quotiet Soiet ( u ) et ( v ) deux suites La limite du quotiet v u lim u + lim v l' ( l' 0 ) ou + + ou l ( l > 0 ) l l' l ( l < 0 ) l l' Séquece MA0 39 Ced - Académie e lige

39 Remarques Exemple 3 Solutio Puisque u u v = v, o otera que : l es différetes formes idétermiées observées ici découlet des cas d idétermiatio costatées das le cas des limites par produit et par iversio ; comme précédemmet, o peut parfois coclure à ue limite ifiie mais le choix etre + ou résulte de l étude du sige des suites pour de grades valeurs de Détermier la limite des suites de terme gééral : 3 3 a = , b = 8, c =, d = et e = O a : lim =+ doc lim 3 =+ puis lim =+ doc ( ) =+ lim + 5 aisi, par somme : lim a = Le raisoemet ci-dessus coduit à ue idétermiatio, il est doc écessaire de trasformer l expressio de b ( ) = 3 = Par exemple, pour N : b 8 8 D ue part lim =+ et, d autre part lim =+ + + lim + ( ) =+ puis ( ) lim 8 = + doc Fialemet, par produit : lim b = + O remarque que la trasformatio b = 3 = pour > 0 permettait aussi de coclure O remarque que, das ce cas, la trasformatio d écriture effectuée sur b est ue factorisatio par le moôme de plus haut degré, démarche que l o a déjà recotrée précédemmet Das cet exemple, o peut motrer que le umérateur ted vers + alors que le déomiateur ted vers ce qui est u cas d idétermiatio O trasforme alors c e factorisat umérateur et déomiateur par le moôme de plus ( 3 ) 3 haut degré Pour >0, c = 3 = = ( ) D ue part lim + = 0 doc lim + 3 = 3 et, d autre part lim = 0 + doc lim + = 40 Séquece MA0 Ced - Académie e lige