Techniques Mathématiques pour l Ingénieur ISTIL 1ère année

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1 Corrigé de la feuille 1 1 Techniques ahémaiques pour l Ingénieur ISTIL 1ère année Corrigé de la feuille 1 1 Exercice 1 1.a Rappel sur les coniques Les coniques inerviennen dans un nombre d applicaions physiques e mahémaiques si grand qu il es indispensable de bien connaîre leurs propriéés. On peu les définir de plusieurs manières ; la plus géomérique es la suivane «Soi D une droie e F un poin. Soi e un réel posiif. Alors la conique de foyer F e de direcrice D es l ensemble des poins els que d(, F ed(, D» Cee définiion, quoiqu élégane d un poin de vue géomérique, es peu uile en praique. Les coniques admeen égalemen une équaion carésienne. Ellipse Une ellipse es l ensemble des poins (x, y du plan vérifian x a + y b 1 Hyperbole Une hyperbole es l ensemble des poins (x, y du plan vérifian x a y b 1 Parabole Une parabole es l ensemble des poins (x, y du plan vérifian y px En plus des équaions carésiennes, on reiendra dans nore cours les représenaions paramériques, que l on va déailler ensuie. 1 généré avec LATEXε. Tous les commenaires, complémens, insules e remarques désobligeanes son les bienvenus à

2 Corrigé de la feuille 1 Ellipse ( < e < 1 Une ellipse peu êre représenée par { x( a cos y(bsin [ ; π ] Parabole (e 1 Une parabole peu êre représenée par x( y( p R Hyperbole (e > 1 Une hyperbole peu êre représenée par { x(εa ch y(εb sh R ε es égal à 1 ou à 1 (pour chacune des branches de l hyperbole. 1.b Déerminons les veceurs angens e normaux pour chacune des coniques Rappel Pour une courbe paramérée (, un veceur angen es donné par. Le veceur angen es donné par T où s es une abscisse curviligne. Le veceur normal es le veceur de norme 1 ayan même sens e même direcion que la dérivée du veceur angen. Il es donné par N Calcul praique des veceurs angens, normaux, ec... En général, les courbes son paramérées par un réel, alors que le paramère naurel de calcul du veceur normal es l abscisse curviligne s. On peu en

3 Corrigé de la feuille 1 3 fai les relier à l aide des formules de changemen de variable d ( d d d ( T d s T + d s T + d s T + ( Ainsi d s T ( es colinéaire au veceur normal. Ellipse Une ellipse a pour équaion paramérique { x( a cos [ ; π ] y(bsin On a ainsi ( a sin b cos Donc a sin + b cos On en dédui que T a sin a sin + b cos b cos a sin + b cos Pour calculer le veceur angen, on va avoir besoin de calculer la dérivée seconde de l abscisse curviligne d s d ( a sin + b cos a sin cos b sin cos a sin + b cos (a b sin cos a sin + b cos

4 Corrigé de la feuille 1 Enfin, on calcule la dérivée seconde de ( On obien ainsi d ( a cos b sin d s T ( a cos (a b ( sin cos a sin b sin a sin ( + b cos b cos 1 (a sin + b cos ( a cos + a(a b sin cos a sin + b cos ( (a sin + b cos ( b sin b(a b sin cos 1 ab cos a sin + b cos a b sin On obien ainsi ( 1 b cos N a sin + b cos a sin Parabole Une parabole adme comme représenaion paramérique x( y( R p En dérivan, on obien immédiaemen d 1 p En en prenan la norme, on obien la dérivée de l abscisse curviligne 1 + p Donc le veceur angen es égal à T p 1 p Pour déerminer le veceur normal, nous allons déerminer la dérivée seconde de l abscisse curviligne d s p 1 + p

5 Corrigé de la feuille 1 5 On déermine mainenan la dérivée seconde de O( d 1 p Le veceur normal a donc le même sens e la même direcion que d d s T p + 1 p 1 + p 1 + p ( p p + p 1 p p On rouve ainsi N 1 p + ( p Hyperbole Une hyperbole adme comme représenaion paramérique { x(εa ch R y(εb sh En dérivan une fois, on obien d ( εa sh εb ch On en prend la norme, pour obenir la dérivée de l abscisse curviligne On obien ainsi le veceur angen a sh + b ch ( 1 εa sh T a sh + b ch εb ch Afin de déerminer le veceur normal, on commence par calculer la dérivée seconde de l abscisse curviligne d s (a + b sh ch a sh + b ch On déermine la dérivée seconde du veceur O( d ( εa ch εb sh

6 6 Corrigé de la feuille 1 Le veceur normal a donc le même sens e la même direcion que d ( d s εa ch T (a + b ( sh ch εa sh εb sh a sh ( + b ch εb ch 1 εab ch a sh + b ch εa b sh Finalemen, on obien N 1 a sh + b ch ( εb ch εa sh Exercice Une éude de courbe paramérée peu se dérouler de la manière suivane 1. Déerminaion de l ensemble de définiion.. Déerminaion des symérie de la courbe afin de réduire l inervalle sur lequel on va éudier les foncions. Ceci se fai avec les propriéés de périodicié, parié e imparié des foncions x e y. 3. Éude des foncions x e y.. Éude des poins de rebroussemen. 5. Déerminaion des branches infinies. 6. Tracé d un joli dessin (qui doi êre fai au fur e à mesure, en calculan évenuellemen d aures poins ainsi que leurs angenes..a Les foncions x e y son définies sur R. Elles son oues les deux périodiques, de période π. On peu donc limier l éude de la courbe à [ π ; π ]. La foncion x es paire, e la foncion y es impaire. On en dédui que la courbe adme l axe des abscisses pour axe de symérie, e on peu limier l éude des foncions à l inervalle [ ; π ]. Les foncions x e y son de classe C 1 sur [ ; π ], e { x ( sin(1 + cos + cos( sin sin(1 + cos y ( cos(1 + cos + sin ( sin cos + cos 1 Le signe de x ne pose pas de problème. Pour déerminer le signe de y, on commence par éudier le rinôme Ce rinôme a pour discriminan X + X 1 1 ( e on en dédui que ses racines son 1 e 1/. On obien donc la facorisaion suivane pour y y ( (cos + 1( cos 1

7 Corrigé de la feuille 1 7 [ On en dédui que y es posiive sur ; π ] [ π ], e négaive sur 3 3 ; π. On en dédui le ableau de variaions suivan pour x e y. π π π 3 3 x + ց 3 x ց ր 1 y y ց 3 ր ց Le poin π n es pas un poin régulier, car x e y s annulen ous les deux. Afin de déerminer la angene en ce poin, on effecue un développemen limié de x e de y au voisinage de ce poin. Si x es au voisinage de π, on pose x π + h, e on a x(π + hcos(π + h(1 + cos(π + h cosh(1 cosh h + o ( h y(π + hsin(π + h(1 + cos(π + h sinh(1 cosh o ( h 3 On en dédui que la angene en π es horizonale. On en dédui le racé suivan

8 8 Corrigé de la feuille 1.b Comme on l a vu à la quesion précédene, on a ( sin( cos + 1 (cos + 1( cos 1 ( ( cos sin ( cos ( cos + 1 ( cos 1 Calculons la norme de ce veceur d cos (cos ( cos 1 + sin ( cos + 1 cos ( ( cos + 1 cos cos sin cos On en dédui que cos si [ ; π ] e cos si [ π ; π ] soi T ( sin ( cos + 1 ( cos ( cos 1 Déerminons à présen le veceur normal. Par définiion, N Commençons donc par calculer la dérivée du veceur angen par rappor à. 1 ( ( cos ( cos sin sin 1 ( ( sin ( cos 1 cos sin Comme le veceur normal es orhogonal au veceur angen, on sai que l on doi rouver une première composan proporionnelle à ( cos ( cos 1 e une deuxième composane proporionnelle à ( sin ( cos + 1

9 Corrigé de la feuille 1 9 On va s efforcer de faire apparaîre ces quaniés dans les coordonnées de d T : pour la première coordonnée, on a 1 ( ( ( ( cos ( cos sin sin cos cos + 1 ( ( sin cos (cos + 1 ( ( + cos cos 3 cos 3 3 ( cos ( cos 1 E pour la seconde coordonnée 1 ( ( sin ( cos 1 cos sin 1 ( ( sin ( cos 1 sin ( ( sin cos 1 ( ( + cos sin (cos 1 ( ( + cos + sin 3 cos ( sin ( cos + 1 cos ( On a donc rouvé que 3 ( cos ( cos 1 ( sin ( cos + 1 Finalemen N ( cos ( cos 1 ( sin ( cos + 1.c D après le cours, la longueur de cee courbe es donnée par π L π π ( cos ( π sin 1/ L 8

10 1 Corrigé de la feuille 1 L Exercice 3 z x y Calculons le veceur angen. E sa norme es égale à ( 3 sin, 3 cos, 9 sin + 9 cos d où On en dédui que 5 ( T 3 5 sin, 3 5 cos, 5 Le veceur normal es défini par N

11 Corrigé de la feuille 1 11 Or ( 35 cos, 35 sin, On rouve ainsi, en normalisan ce veceur N ( cos, sin, D après la première formule de Frene, N R Or ( 35 cos, 35 sin, ( cos, sin, 3 5 N soi R 5 3 Calculons à présen le veceur binormal. Par définiion, on a 3 5 sin B T N 3 5 cos cos 5 sin sin 5 cos B 5 sin 5 cos 3 5 On va mainenan dériver le veceur binormal afin de calculer le rayon de orsion. On a d B 5 cos 5 sin On en dédui que d B d B cos 5 sin 5 cos sin 5 cos sin 5 N

12 1 Corrigé de la feuille 1 Or d après la deuxième formule de Frene, d B 1 N τ Finalemen τ 5 Exercice Dans ce exercice, on s inéresse à la courbe paramérée x( R y( z( 3 6.a On a donc ( (1,, e d ( 1,, ( 1 soi T( (1,,.b Afin de calculer le veceur normal, on va devoir dériver le veceur angen. On commence par en rouver une expression générale ( + + On en dédui que T + ( 1,,

13 Corrigé de la feuille 1 13 Dérivons mainenan T par rappor à d ( T ( + 1,, + (, 1, + 1 [(, ( +, 3 + (, ( +, ( + ] 1 (, ( + +, On en dédui que (, 1, On a donc rouvé un veceur uniaire, ayan même sens e même direcion que d, il s agi donc de N. Ainsi N (, 1, De plus, comme ( 1, on obien R 1..c Commençons par calculer le veceur binormal B. B T N (,, 1 D après les calculs effecués à la quesion précédene, N a même sens e même direcion que (, +, Donc pour rouver le veceur normal, il suffi de normaliser ce veceur. (, +, 16 + ( (, +, ( + On en dédui que N ( +, + +, + Afin de déerminer d N, on effecue un développemen limié de N à l ordre 1 N( ( +, + +, + (, 1, + o( N( + ( 1,, 1 + o( On en dédui que d N ( ( 1,, 1

14 1 Corrigé de la feuille 1 Comme ( 1, il vien d N (s ( 1,, 1 Enfin, on calcule la dérivée du veceur binormal de la manière suivane d B d ( T N d T N + T d N N N + T d N Finalemen τ 1