Épreuve de MATHEMATIQUES 1

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1 C6 Ecole Normale Supérieure de Cachan Ecole Normale Supérieure de Rennes SECOND CONCOURS ADMISSION EN CYCLE MASER MAHEMAIQUES Session 06 Épreuve de MAHEMAIQUES Durée : 5 heures «Aucun document n'est autorisé» «L'usage de toute calculatrice est interdit»

2 Épreuve de Mathématiques Générales Notations et préambule L objet du problème est de démontrer le théorème de Riesz sur la convergence en norme L p des séries de Fourier, pour p ], [. Dans tout le problème, on note = R/πZ. oute fonction définie sur peut être vue comme une fonction définie sur R et qui est π-périodique. Si f : C est mesurable et localement intégrable, on définit π f(t)dt = f(t)dt, où par périodicité l intervalle [ π, π[ peut être remplacé par n importe quel intervalle de longueur π. Pour n Z, on pose e n : R la fonction t e int. Les espaces fonctionnels : π Pour p [, [, L p () est l espace des classes de fonctions mesurables dont la puissance d exposant p est intégrable au sens de Lebesgue. Ainsi L p () := { f : C mesurable, } f(t) p dt <, que l on munit de la norme f L p (), f p := ( /p f(t) dt) p. π On prendra en particulier garde à la présence du coefficient de normalisation π. On définit l espace des suites bornées (et indicées par Z) : { } l (Z) := u : Z C, sup u(n) < n Z, que l on munit de la norme u l (Z), u := sup u(n). n Z On pose P() = Vect({e n } n Z ) l ensemble des polynômes trigonométriques. Si (E, E ) et (F, F ) sont des espaces vectoriels normés, on note L(E, F ) l ensemble des applications linéaires continues de E dans F, que l on munit de la norme habituelle (x) F L(E,F ) := sup. Quand E = F, on note simplement L(E) = L(E, E) l ensemble des endomorphismes continus de x E\{0} x E E.

3 A propos des applications linéaires continues, on rappelle une formulation du théorème de Banach-Steinhaus : héorème Soit E un espace de Banach, et F un espace vectoriel normé. Soit (L N ) N N une suite de L(E, F ). Si pour tout x E, la suite ( L N (x) F ) N N est bornée, alors la suite ( L N L(E,F ) ) N N est bornée. ranslation, Convolution : Pour f L () et τ, on note f τ la translatée de f, c est-à-dire f τ (t) = f(t τ) pour presque tout t. Pour (f, g) L (), on définit f g L () le produit de convolution de f et g par la formule, valable presque partout (à nouveau, on prendra garde à la présence du coefficient π ) : f g(x) := f(t)g(x t)dt = f(t)g t (x)dt pour presque tout x. π π On rappelle également la notion d identitée approchée. Définition On appelle identité approchée une suite de fonctions (k N ) N N π-périodiques telle que i) N N, k N (t)dt =, π ii) M R +, N N, k N (t) dt M, iii) δ ]0, π[, k N (t) dt = 0. lim N [ π,π[\[ δ,δ] L identité approchée (k N ) N N est dite continue si de plus iv) N N, k N est une fonction continue. Coefficients et Série de Fourier : Etant donnée une fonction f L (), on pose n Z, f(n) := f(t)e int dt = f(t)e n ( t)dt, π π et alors la suite f ( ) = f(n) s appelle la suite des coefficients de Fourier de f. On note également n Z N N, S N (f) = N n= N f(n)e n, et la suite (S N (f)) N N s appelle alors la série de Fourier de f. Etant donné un espace de Banach (B, ) tel que B L (), on dit que B satisfait la convergence en norme si f B, lim S N(f) f B = 0. N L objet du problème est de montrer que les espaces L p () satisfont cette propriété, pour p ], [.

4 Partie I : Convolution et série de Fourier I. a. Calculer la suite = égale à. ( (n)) n N b. Montrer que pour tout f L () et pour tout n Z, f(n) f. c. En déduire que l opérateur I. Soit P = des coefficients de Fourier de la fonction constante F : L () l (Z) f f est une application linéaire continue, et calculer sa norme d application linéaire F L(L (),l (Z)). a n e n avec d N et (a n ) n d,d C d+ un élément de P(), et f L (). a. Calculer P (n) pour n Z, et montrer que S N (P ) = P pour tout N d. b. Calculer f e n, pour n Z. c. Montrer que P f = I.3 On appelle noyau de Dirichlet la suite de fonctions : a. Montrer que si f L () alors b. Montrer que pour tout N N, c. Montrer que pour tout N N, N N, t, D N (t) = a n f(n)en. N n= N N N, S N (f) = D N f. D N (t)dt =. π e int. D N (t) = sin ( (N + )t) sin ( ) t, pour tout t R \ πz, et en déduire la parité de D N. ( d. Montrer que la fonction g : t sin( t ) ) est intégrable sur ]0, π], et en déduire t ( π que la suite v N := g(t) ((N sin + ) ) t) dt est bornée. 0 N N 3

5 e. Soit N N \ {0, } et n 0, N. On pose (n+)π (( ) ) N+ w N,n := sin N + t t nπ N+ dt π(n + ). Montrer et en déduire que f. Montrer que la suite (n+)π N+ nπ N+ ((N sin + 0 w N,n ) ) t dt = N +, πn(n + ). N N, u N := D N 4 N π n= est bornée (on pourra commencer par calculer N u N π et montrer que c est une suite bornée). n + [ v N + N n= w N,n ] g. En déduire que la famille (D N ) N N n est pas une identité approchée (dont la définition est rappelée dans le préambule). I.4 On appelle noyau de Féjer la suite de fonctions : N N, t, K N (t) = N + N D n (t) a. Montrer que pour tout f L () et tout N N, K N f P(). b. Pour N N, montrer que ( K N (t) = ( sin N+ t) ) N + sin ( ) t, pour tout t R \ πz. n=0 c. Montrer que (K N ) N N est une identité approchée continue. Partie II : Convergence en norme et opérateurs S N Dans cette partie, on considère B un espace de Banach homogène, c est à dire satisfaisant : B est un sous-espace vectoriel de L () muni d une norme B L (), (B, B ) est un espace de Banach, B contient P(), pour tout f B et tout τ, f τ appartient à B et f τ B = f B, pour tout f B et tout τ 0, lim τ τ 0 f τ f τ0 B = 0. 4

6 On rappelle que comme (B, B ) est un espace de Banach, on peut définir l intégrale de Riemann des fonctions continues de à valeurs dans B. Les propriétés classiques (linéarité, relation de Chasles) sont valables. De plus, on a l inégalité suivante, pour toute fonction f : B continue : f(t)dt B f(t) B dt. II. Soit (k N ) N N une identité approchée continue, et f B. a. Montrer que t k N (t)(f t f) est une fonction continue de dans B. b. Montrer que c. Montrer que k N f f = k N (t)(f t f)dt. π k N f f B 0. N II. Montrer que P() est dense dans B (on pourra utiliser le noyau de Féjer introduit en question I.4). Dans les questions II.3 et II.4 on montre une caractérisation de la convergence en norme. II.3 Supposons que B satisfait la convergence en norme. a. Pour tout N N, montrer que est linéaire continue. S N : B B f S N (f) b. Montrer que la suite réelle ( S N L(B) ) N N est bornée, c est-à-dire qu il existe M R + tel que N N, S N L(B) M. II.4 Réciproquement, supposons que la suite ( S N L(B) ) N N est majorée par le réel M, que l on peut choisir tel que M. Soit ε > 0 et f B. a. Montrer qu il existe P P() tel que f P B ε M. b. Conclure que (S N (f)) N N converge vers f pour la norme de B. II.5 Montrer que pour tout N N, S N L(B) D N. II.6 Dans cette question, B = L (), qui est bien un espace de Banach homogène (on ne demande pas de le démontrer). a. Montrer que pour tout N N, S N L(L ()) = D N (on pourra utiliser comme fonction test les fonctions (K m ) m N ). b. Montrer que l espace L () ne satisfait pas le convergence en norme. 5

7 Partie III : Convergence en norme et transformée de Hilbert Dans cette partie, on considère (B, B ) un espace de Banach homogène, qui satisfait en plus la propriété f B, n Z, e n f B, et e n f B = f B. () On définit la transformée de Hilbert sur P() par P = a n e n P(), si n > 0 où on a posé n Z, signe(n) = 0 si n = 0 si n < 0 On définit également P = H(P ) = i. a n e n P(), G(P ) = signe(n)a n e n, a n e n. Nous montrons dans cette partie que l espace B (espace de Banach homogène vérifiant ()) satisfait la convergence en norme si et seulement si l opérateur H peut être prolongé en un endomorphisme continu de B. III. Supposons que B admet la convergence en norme. Alors d après la question II.3, il existe M R + tel que N N, S N L(B) M. a. On pose pour N N, S N : f B e NS N (e N f). Montrer que S N L(B) M, et que f B, S N(f) = N n=0 n=0 f(n)e n. b. En déduire que P P(), G(P ) B M P B. c. Exprimer P [G(P ) P ] (0) P en fonction de H, et en déduire qu il existe une constante M (qui dépend de M) telle que P P(), H(P ) B M P B. d. Conclure que H peut être prolongé en un endomorphisme continu de B. III. Réciproquement, on suppose que H se prolonge en un endomorphisme continu de B. Il existe alors un réel M R + tel que P P(), H(P ) B M P B. a. Montrer qu il existe M (dépendant de M) tel que P P(), G(P ) B M P B. 6

8 b. Montrer que si P P(), alors N N, SN(P ) = G(P ) e N+ G(e (N+) P ), où on rappelle que SN est défini à la question III..a. c. Conclure que B satisfait la convergence en norme. Partie IV : Convergence en norme L p () pour p > IV. Montrer que l opérateur H peut être prolongé en une isométrie de L (), et en déduire que l espace L () satisfait la convergence en norme. Pour f L (), on pose, pour tout z = re it D := {w C, w < }, ϕ f (z) = n Z r n f(n)e int, ϕ f (z) := i n Z signe(n)r n f(n)e int, et F f (z) = ϕ f (z) + i ϕ f (z). IV. Montrer que si f L () alors ϕ f et ϕ f sont bien définies sur D, et que la fonction F f est holomorphe sur D. IV.3 On suppose p ], [ et on considère f L p (), supposée à valeurs dans R +, et telle que f 0. a. Montrer que ϕ f est à valeurs dans R et que ϕ f est à valeurs dans R + (on pourra écrire ϕ f sous la forme d une convolution). Ainsi F f est à valeurs dans l ensemble {z C, Re(z) > 0} et on peut définir z F f (z) p à l aide de la détermination principale du logarithme ; cette fonction est alors holomorphe sur D. Fixons r ]0, [. b. Montrer avec la formule de Cauchy que Re(F f (re it ) p )dt = F f (0) p R +. π c. Montrer qu il existe α < 0 et β 0 tels que [ θ π, π ], sin(θ) α cos(pθ) + β cos p (θ). d. En déduire ϕ f (re it ) p dt β ϕ f (re it ) p dt. e. Généraliser l inégalité précédente (éventuellement avec une constante différente de β mais toujours indépendante de f) au cas où f L p () n est plus supposée à valeurs dans R +. 7

9 IV.4 Déduire de la question IV.3.e que si p ], [, alors il existe M R tel que P P(), H(P ) p M P p. et en déduire que l espace L p () satisfait la convergence en norme. IV.5 On suppose désormais que p ], [ et on pose p = L p (), f, g = π f(t)g(t)dt. a. Montrer que pour tout P, Q P(), p p. On pose f Lp (), g P, H(Q) = H(P ), Q. b. Montrer que f L p (), f p = sup f, g g p c. Montrer que L p () satisfait la convergence en norme. Fin de l épreuve 8