CORRIGÉ PARTIE I I. FIBRES OPTIQUES ET OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

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1 Corrgé CORRIGÉ PARTIE I I FIBRES OPTIQUES ET OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE IA IA IA Los de Sell-Desares Los de la réfleo ère lo : le rayo de e le rayo réfléh so oeus das le pla d dee ème lo : le rayo réfléh es symérque du rayo de par rappor à la ormale à la surfae réfléhssae Lo de la réfrao ère lo : le rayo de e le rayo réfraé so oeus das le pla d dee ème lo : les agles d dee e de réfrao so els que s s IB IB IB Fbres à sau d de Il fau que le rayo SI so das le pla de symére du yldre (elu qu passe par la ormale N à la fae d erée e la droe OI Pour que le rayo réfraé a ue propagao gudée das le œur, l fau que le rayo alle pas das la gae Il fau do la réfleo oale e J (Fgure b a eéreur ( gae ( α J S I θ oeur ( gae ( Fgure D où la odo : sα sαl Comme par alleurs : s sθ os α o e dédu la orae sur : s Deu as so alors possbles : : défssos l agle d aepae a par sa e alors l fau a / 4

2 Corrgé > : l y a pas de orae sur ;quel que so l agle d dee, o a oujours ue propagao gudée das le œur a IB3 ON s a s, so ON IB4 er as : a, e ON, 36 ème as : a 9 e ON O es alors das le ème as de la queso IB IB5 A db / km log, dbkm 5 π IC Applaos IC C es u problème de opologe : l fau que deu fbres voses du ôé de la ble soe égaleme voses du ôé de l mage, e e do êre vra pour ous les ouples de fbres qu dove do avor ue même poso relave ere l erée e la sore Comme par alleurs les fbres so fabrquées e ou e les faseau oupés «à la demade», ee propréé do reser vrae e ou po Le problème posé es do elu de l defao des fbres das la fabrao du faseau IC ICa Sur la logueur IM de fbre (fgure bs : α J I θ M Fgure bs l * le rayo θ parour la logueur l IM e u emps τθ (, où es la vesse de la lumère das le mleu E do τθ ( l l * le rayo θ θ parour la logueur l IJ e u emps τθ ( θ l Sur la logueur l de fbre, o a do la dfféree de emps de parours δτ l ( l l / 4

3 Corrgé l l Comme l, o obe δτl La valeur erémale de δτ sα sα es obeue pour sα sα m e do δτ ma pour la logueur L de L fbre es : δτ ma ( ICb AN : δτ ma 5, 83 8 s IC3 Il e fau pas que les mpulsos se hevauhe à la sore Ce es réalsé s :T Tm δτ ma La bade passae assoée es l verse de ee pérode : ν δτma Le ombre de bs par seode es le ombre d mpulsos qu o peu émere par seode Le déb es do deque à la bade passae e vau do : Déb 63, Mb / s 8 5, 83 O se sue do ere le éléphoe e la élévso ID ID Les des dmuas, les agles de réfrao vo augmeer Les segmes vo desser ue «ourbe» jusqu à aedre asympoqueme l horoale lame j+ lame j+ lame j lame j- lame j- ( j+ ( j+ ( j ( j- ( j- I j- j-3 Fgure 3 La relao herhée es : L s s s L j j j j j j ID Comme θ es le omplémeare à π que la quaé : de la queso préédee o obe K osθ ID3 es u vara le log la rajeore das le œur Comme le rayo ere e O, o a, e osdéra e po : K osθ La lo de la réfrao e O doe par alleurs : s sθ L équao dfféreelle de la rajeore es obeue e érva osθ d ds où l éléme d ar ds de la rajeore, e applqua Pyhagore, vau ds d + d E ulsa l epresso aalyque de l de e r a : 3 / 4

4 a Corrgé d d + d osθ Après élévao au arré, regroupeme des ermes e d, e peu s érre : d d A où A osθ a ID4 Das l appromao <<, o obe à l ordre le plus bas e, aθ d d a s θ Ce, après le hageme de varable u, s ègre e arsu, e a sθ la osae d égrao es ulle Ce peu se rérre : ( a sθ s a osθ k s e es l équao ( de la rajeore du rayo das le œur ( r a L de éa osa das la gae, la rajeore y es relge ID5 ID5a S le rayo rese das le œur : a e e es réalsé lorsque a O obe do que θ do sasfare : sθ sθa Ave la lo de la réfrao à l erée s sθ o obe que l agle d aepae a pour la fbre à grade d de es el que : s a ID5b L ouverure umérque qu e résule es ( ON alors qu o ava obeu ON pour la fbre à sau d de ID5 La pérode spaale Λ de la susoïde vau : Λ πa osθ ID5d S la odo θ << es sasfae, o a osθ e alors Λ πa 4 / 4

5 Corrgé ID6 e Λ deve dépeda de θ, l agle de réfrao e O Aureme d, quel que so l agle d dee, oues les rajeores s aule au même edro, e do ous les rayos passe au mêmes pos de l ae L mage doée sera do ee, e es pourquo o d que la fbre es das e as auofoalsae E ulsa l équao dfféreelle de la rajeore, l éléme d ar ds de la rajeore vau : ds a d osθ e le emps d ms par la lumère pour le parourr vau d ds a d osθ Le emps T ms pour parourr ue logueur L de fbre vau L T osθ a d où ( es l équao de la rajeore rouvée e ID4 Cee epresso peu se rérre : où o a posé : 4 T L s θ I+ s θ I osθ 4 I I L s k d L 4 s k d k a osθ Or, la logueur de la fbre sasfa L >> Λ, so kl >> Das es odos, e ulsa les valeurs des égrales doées das le ee : L 4 T 3 s θ + s θ osθ 3 C es à dre α, β e γ 3 3 ID7 ID7a O e dédu la dfféree δτ de emps de parours ere e rayo e le rayo horoal : δτ T L es-à-dre : L 3 4 δτ osθ s θ + s θ osθ 3 5 / 4

6 Corrgé O peu vor que das le développeme e θ, l fau à l ordre le plus bas aller herher les ermes e θ O obe alors que la parehèse -dessus es équvalee à θ O 3 obe do à l ordre le plus bas, das l appromao θ << : 7 L 4 δτ θ Bθ 3 ID7b La dfféree mamale es obeue pour θ θa Ave l epresso de, o a : δτ ma 7 8 L 4 L O ava obeu pour la fbre à sau d de : δτ ma δτ ma 7 ( O obe do : δτma 8 ID7 Ave les valeurs doées pour e, o obe δτ ma 6 3 δτma Aureme d, la dsperso emporelle es les 6 de la préédee Ce peu paraîre surprea ar le hem gag es le plus our e logueur Mas l de y es osamme égal à, e qu es beauoup plus grad que elu sur la susoïde, e e d aua plus qu o es lo de l ae E do la vesse du rayo sur sa rajeore es beauoup plus grade, d où le résula E erme de déb des fbres F (à sau d de e F (à grade d de : déb F déb F 38, 46 déb F, 6 ( ( ( ( 4 O rouve : déb F, Gb / s, alors qu o ava : déb F, Mb / s ( 63 6 / 4

7 Corrgé II SOLUTION PARTIE II IIA IIA IIAa Les mleu so supposés saoares e léares e do la dépedae emporelle es mposée par la soure Pour ue OPPM de pulsao, le hamp éleromagéque aura parou la même dépedae emporelle : Remarque : D u po de vue mrosopque, les dpôles qu osue les deu mleu oslle, e régme foré ave la pulsao mposée e émee à leur our u rayoeme de même pulsao L erfae es supposée fe e rgde S elle éa moble, l y aura ue varao de la pulsao de l ode refléhe e rasmse (effe Doppler IIAb k π λ e λ v λ ν ν où λ es la logueur d ode das le vde ν de l ode de fréquee ν O e dédu : k k ave k π λ L esemble {mleu + erfae} es vara par raslao parallèleme au aes O e Oy La dépedae du hamp éleromagéque par rappor au varables e y es do mposée par la soure Pour l OPPM, e se radu par le fa que les omposaes e y du veeur d ode so des osaes du problème : k k k k k k k k r ry y y y IIA IIAa Des équaos de Mawell das e délerque : B roe rob µε E o obe, e ulsa la relao mahémaque ( ( ro roe grad dve E 7 / 4

8 Corrgé e le fa que dve das le délerque, l équao géérale de propagao das le mleu : E E où o a rodu la vesse de propagao das le mleu e ulsa la relao de Mawell das la maère εµ IIAb O pose : E E e j k pusque, sue à la queso IIA, la dépedae e, e y pour l ode ( ( E E + Er das le mleu, es oue Par ore o a auu resegeme sur la dépedae e de l ode réfléhe O a alors E d E d ( ( k E e ( j k e E ( ( E e j k e o obe l équao dfféreelle sasfae par E( : d E d ( + ( k E où o a posé : k k L OPPM das le mleu éa pas amore, elle a u veeur d ode réel do le arré de la orme es k k + k O a do be k > La soluo géérale pour E jk + jk ( es alors : E( Ae + Be où A e B so des veeurs omplees osas Le hamp E apparaî do omme la somme de deu ermes : E E + Er ave E E r j( k k E e j( k + k E e r O e dédu kr k + k So kr k IIA E dér l ode dee do le veeur d ode k a les omposaes 8 / 4

9 Corrgé k k k y k k > E r orrespod à l ode réfléhe sur l erfae S C es ue OPPM do le veeur d ode k r a les omposaes k k k r ry r k k < L ode réfléhe se propage do das le pla d dee O ( ère lo de la réfleo S o rodu l agle θ r de réfleo (fg 6, aya kr k e k k, o e dédu θ θ ( ème lo de la réfleo r r k θ θ r k r + S O θ k Fgure 6 O a vu par alleurs que les veeurs k e k r o le même module : k kr k k ave k π λ Remarques : Les los de la réfleo so dépedaes des propréés du mleu : elles e so lées qu au araère pla de l erfae qu assure l varae des omposaes k e k y Elles so égaleme dépedaes de, do elles e so pas lées au araère moohromaque de l ode Elles sero do vérfées par eemple par la lumère blahe IIAd De la même maère que das la queso IIAa o a l équao de E propagao de l ode E E das le mleu : E L varae emporelle e l varae de raslao das la dreo fa qu o peu érre : E E e j ( k ( E repora das l équao de propagao, o a l équao dfféreelle d E ( sasfae par E ( : k E + ( d 9 / 4

10 Corrgé où o a posé k k k ( s θ > O obe pour soluo k ± k où k k s θ > ar > E pour soluo géérale de E, e foo des veeurs A e B osas : j( kk j k k ( + E Ae + Be Or l ode rasmse s éloge de l erfae e se propage do vers les > O obe que la soluo physque pour l ode rasmse das le j( kk mleu es : E E e C es ue OPPM do le veeur d ode k a les omposaes k k k y k k O e dédu : k k + k k s θ IIAe Le veeur k a ue omposae ulle selo Oy : l ode rasmse se propage do das le pla d dee ( ère lo de la réfrao Aya rodu θ (fg 6, l égalé k k doe : k sθ k sθ So sθ sθ ( ème lo de la réfrao IIA3 IIA3a S <, pour que l ode rasmse ese sas êre amore, l fau que k rese réel Il s esu que sθ es à dre que θ es féreur ou égal à l agle lme θ l : sθ sθ l IIA3b S ee derère odo es pas sasfae, es-à-dre s sθ >, o a k ± jk ave k k > s θ e la soluo physque pour l ode rasmse es obeue pour k jk, es-à-dre que le veeur d ode das le mleu s ér : k k jk ave k j k k k sθ k k > s θ ( e o a alors : E Ee e C'es ue ode progressve das la dreo des L ode a ue amplude epoeelleme dérossae das la dreo, qu es perpedulare à la dreo de propagao C es ue ode évaesee, à la dfféree de l ode qu o reore das l effe de peau das les odueurs où l amorsseme se fa das la dreo de la propagao IIA3 Ave la défo de δ : e ( k + δ k e e / 4

11 O obe : ( δθ Corrgé k k s θ Cee quaé es dépedae de, e sgfe qu à haque fos qu o péère d ue logueur δ das le délerque, l amplude dmue d u faeur e O obe pour graphe δ( θ : δ k π/ θ IIA4 π E dee quas rasae ; θ e do δ π λ π AN : δ π 44λ, IIB IIB IIBa Il s ag du ouple d équaos roe B (équao de Mawell-Faraday e de dvb (équao du flu magéque De es deu relaos o peu dédure qu à la raversée du dopre, les omposaes ageelles de E e ormale de B so oues Géomérqueme : ( ( E E e B B IIBb Comme l y a pas de harges lbres, es deu équaos so : roh D (équao de Mawell-Ampère dvd (équao de Mawell-Gauss Ces équaos o la même forme que les préédees O a do que les omposaes ageelles de H e ormale de D so oues à la raversée du dopre S : H H e D D / 4 ( ( Comme H es proporoel à B ave la osae de proporoalé µ qu a la même valeur de par e d aure de S, o a do que les

12 Corrgé omposaes ageelles de B so égaleme oues à la raversée du dopre : ( B B IIB IIBa S la polarsao de l ode dee es perpedulare au pla d dee, E es alors das la dreo yy, e le pla d dee es u pla d asymére pour le sysème formé par la soure e les deu mleu (pesere réé par la dsrbuo de harges d u odesaeur par eemple Il e résule que le hamp magéque es oeu das le pla d dee Les hamps des odes réfléhes e rasmses respee ee symére IIBb Aya de maère géérale B k E, l eplao de B l kl El doe, ave El Ely (pusque le hamp élerque es polarsé das la dreo Oy : B B B r ( k E osθ + sθ k Er ( osθ + sθ ke osθ + sθ ( IIB3 IIB3a Les équaos so elles obeues par les odos de passage (IIB Pour E, o a pas le ho puqu l es ageel à S : E + E E ( r Érvos la oué des omposaes ageelles de B au dopre : E osθ + E osθ E osθ ( r O peu remarquer qu érre la oué des omposaes ormales de B redoe la deuème lo de la réfrao sθ sθ E dvsa ( e ( par E, o obe les équaos sasfaes par r e do la résoluo doe : + r osθ ( r osθ r osθ osθ osθ + osθ osθ osθ + osθ / 4

13 Corrgé Ce qu o peu rérre, à l ade de r sθ ( s θ θ s( θ + θ sθ osθ s θ + θ ( sθ : IIB3b Le oeffe éa réel e posf, l ode rasmse e sub pas de déphasage Par ore, r éa réel e égaf lorsque θ < θ, es-à-dre quad >, l ode réfléhe sub das e as u déphasage de π * Pour l dee lme : θ θ l e sθ π l o obe θ d où r e π * pour l dee rasae : θ, o a θr θ l d ou r e IIC IIC Le veeur d ode de l ode évaesee das le mleu es k k jk Ave l ode polarsée selo Oy, o a pour l ode rasmse IIC E E ye j k r e l ode magéque assoée es : B k E O obe : B B e j k r ave ue amplude B qu vau : B jk E + k E ( IICa La oué de la omposae ageelle de E selo Oy doe : E + E E ( r ( + ( ( e la oué de la omposae ageelle de B : B B B k k so e epla : E + E j k osθ osθ r E ( O obe le sysème : IICb O obe la soluo : + r osθ ( r j s θ r 3 / 4

14 r Corrgé osθ + j s θ osθ j s θ osθ osθ j s θ S o adope la oao polare pour es omplees, o a : r e jϕr os θ e jϕ où aϕ aϕ r osθ s θ + ( os θ s θ s θ osθ IIC L esee d u hamp das le mleu au vosage de l erfae peu êre mse e évdee epérmealeme s o lme l épasseur e de e mleu à ue valeur rès fable, de l ordre de δ (f queso IIA3 S o ulse ue deuème erfae S ave u mleu plus réfrge (d de par eemple, l ode es parelleme rasmse e O à ravers S La réfleo sur S es do pas oale, es la réfleo oale frusrée Le mleu se ompore omme ue lame à faes parallèles e o a la suao suvae (fgure 7: ode dee θ >θ l θ ode réfléhe S S' < O O' e δ θ ode rasmse Fgure 7 4 / 4