Master1 Génie des Systèmes Industriels U.E.: Capteurs, Chaînes de mesure 1 ère session

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1 Mastr1 Géni ds Systèms Industrils U.E.: Capturs, Chaîns d msur 1 èr sssion Cod Unité : 172 Cod épruv : Samdi 26 Mai 8H -1H Duré : 2 hurs Documnts t Calculatric autorisés Ls partis III t IV sont quasi-indépndants ds partis I t II. Parti I :Etud d un captur d tmpératur à thrmistanc Un thrmistanc st un captur résistif à bas d matériau smi-conductur (silicium); sa résistanc vari fortmnt avc la tmpératur slon la loi d Stinhart Hart : B 1 1 R = R avc B cofficint spécifiqu, tmpératur absolu t R résistanc à la tmpératur absolu d référnc. La thrmistanc étudié st l modèl 68 Ω du constructur (AVX) dont ls caractéristiqus sont n annx. 1) Qull st la tmpératur d référnc constructur n C, n K? Qull st la valur du paramètr B pour ctt thrmistanc, son unité? Qull st l'étndu d msur proposé par l constructur? 2) Détrminr la valur d R() pour ls tmpératurs suivants t la rprésntr graphiqumnt (choisir l'origin t l'échll ds axs pour qu l graph soit significatif!): n C ) Calculr la snsibilité théoriqu σ du captur. En déduir la snsibilité aux points d'obsrvation. La snsibilité rlativ α au point d référnc st-ll conform à la valur annoncé par l constructur? La répons st-ll linéair (justifir votr répons)? Put-on utilisr la thrmistanc comm captur d tmpératur sans corrction? Qull st l'rrur sur la valur d résistanc à 25 C? L'rrur sur la tmpératur pour l mêm point? Parti II : Msur t linéarisation 1) Pour msurr R, on utilis un génératur d courant 1mA t un voltmètr. Donnr l schéma d montag. Sur qull gamm doit-on placr l voltmètr? SVP 1/8

2 2) On réalis l montag suivant sans génératur d courant, avc R 1 =19 Ω : Qul typ d montag st-c? Donnr l'xprssion théoriqu d la tnsion U n fonction d R() t U. Pour chacun ds valurs d précédnts, calculr U() avc U =1V. racr [avc soin] la courb U=f(). La répons st-ll linéair? 3) Détrminr l'équation d la droit liant l prmir point au drnir point. Donnr la snsibilité moynn du captur ainsi linéarisé. Evalur l'rrur d linéarité intégral n V puis n C. Comparr ctt rrur à cll introduit par l'rrur sur B à 25 C. La méthod d linéarisation st-ll accptabl pour l'étndu d msur considéré? 4) Qull st la puissanc élctriqu dissipé dans la résistanc R lors d la msur à 25 C? Qul fft produit-ll sur l captur? En utilisant l "factur d dissipation thrmiqu" d la documntation (notion équivalnt à clls donnés n cours avc un autr vocabulair), détrminr l'rrur d msur introduit par ct fft. Est-ll négligabl dvant l'rrur d linéarité? Parti III : Répons dynamiqu On désir maintnant étudir la répons dynamiqu d ctt sond d tmpératur. On suppos qu ls indications fournis par l conditionnur d signal sont xprimés n C. 1) Ctt sond st à la tmpératur initial d θ i = 25 C st introduit rapidmnt dans un ncint d tmpératur f = 5 C. Donnr l'équation formll d la répons du thrmomètr n fonction du tmps. La calculr numériqumnt (ls paramètrs caractéristiqus sont donnés par l constructur) puis la tracr. Put-on rtrouvr graphiqumnt la constant d tmps (donnr plusiurs méthods d'évaluation). 2) Au bout d combin d tmps l thrmomètr attint-il 49.9 C (calcul xact)? 3) On désir maintnant utilisr l captur pour suivr l'élévation d tmpératur d'un ncint supposé isothrm dans laqull st installé un radiatur élctriqu d'un puissanc constant d 1kW. L'ncint a un capacité calorifiqu total d 1 4 J.K 1 Donnr l'équation d bilan calorifiqu t n déduir l'équation différntill d ctt ncint. SVP 2/8

3 La tmpératur initial st ncint =25 C. A l'instant t=, on mt n march l radiatur. Qull loi suit la tmpératur d l'ncint? Donnr son xprssion. Au bout d combin d tmps attint-on 75 C? 4) Qull st la form d la répons du captur? racr l'allur général. L captur donn-t-il la valur instantané d la tmpératur d l'ncint sans rrur? Qul st l phénomèn mis n évidnc? Put-on rtrouvr la constant d tmps du captur? Parti IV : Utilisation n anémométri 1) Qull grandur physiqu msur un anémomètr? Qull unité d msur intrnational? Est-ll dépndant d la mass spécifiqu du gaz msuré? Citz l princip l plus courant. 2) Pour évalur la vitss d'un gaz dans un vin (tuyau) avc la thrmistanc, on cré un autoéchauffmnt d la résistanc n injctant un courant I t on évalu la quantité d chalur transmis au gaz n mouvmnt. Ctt tchniqu st applé "anémomètr à fil chaud". a) Soit θ la tmpératur d'équilibr lorsqu l gaz s'écoul à la vitss v t R θ la valur d la thrmistanc à ctt tmpératur. - Qull st la puissanc calorifiqu dissipé dans la thrmistanc? b) On suppos qu la chalur d la résistanc st cédé au gaz d tmpératur par convction ; la puissanc cédé étant:.5). Φ = h (θ ) (1) avc h cofficint d transfrt d la chalur d la form (applé loi d King's): h = a + b v c Ls cofficints a t b sront fixés par étalonnag ; c st caractéristiqu du gaz (d l'ordr d - Commntr l'équation d convction (1). - Donnr l'équation d'équilibr thrmiqu du captur. - En déduir v n fonction d R θ, θ t ds autrs paramètrs [rlation (2)] - Eliminr θ n rmplaçant la variabl par son xprssion n fonction d R θ. - Est-il possibl d'évalur la vitss v n msurant R θ? La rlation st-ll linéair? 3) Pour simplifir la msur, on introduit un assrvissmnt du courant I : l courant I st augmnté jusqu'à c qu la tmpératur attign un valur fixé θ (ou équivalmmnt, la thrmistanc attint la valur R θ ). L'anémomètr st dit alors "à tmpératur constant". - L'xprssion (2) prmt-ll d détrminr v à partir d I t ds paramètrs a,b,c, R θ t θ? La rlation v= f ( I ) st-ll linéair dans l cas général? - Pour a t c=.5, qu dvint la rlation? Dans qulls conditions pouvz-vous considérr qu a st négligabl? 4) Pour construir un anémomètr sur c princip, combin vous faudra-t-il d thrmistancs? Quls autrs apparils d msur élctriqu vous faut-il? 3/8

4 SVP 4/8

5 Parti I : Etud d la thrmistanc 1) La tmpératur d référnc du constructur st =25 C soit =298K. L paramètr B vaut 348 K. Etndu d msur constructur : d-55 C à 15 C. 2) n C n K R n Ω Rsistanc n ohm ) Snsibilité théoriqu σ= dr dt dérivé st d la form u' u. mpératur n C. L'équation st un xponntill d la form u ; sa σ= BR 2 ( 1 1 ) = B R( ) 2 la snsibilité st décroissant (pnt négativ d la caractéristiqu); ll s'xprim n Ω/ C ou n Ω/K (un écart d tmpératur a la mêm valur, qu la tmpératur soit xprimé n C ou K). Attntion : l calcul s fait avc la tmpératur n K. n C σ n Ω/ K A 25 C, la snsibilité st d Ω/ K. La snsibilité rlativ st α= σ R soit / C. Ctt valur st idntiqu à cll du constructur (-3.9%). La snsibilité n'st pas constant ; l captur st donc non-linéair. Il faut corrigr la valur msuré (la résistanc) pour un usag courant du captur. L'rrur sur B st 3 %; ll s réprcut sur la valur d résistanc. Soit Δ B ctt rrur t R +Δ R la nouvll valur d la résistanc à 25 C (l calcul présnté ici put êtr fait pour n'import qull tmpératur). (B+Δ B)( 1 1 ) R +Δ R= R B( 1 1 ) = R Δ B ( 1 1 ) 5/8

6 Δ B( 1 1 ) On rmarqu qu l trm n séri t approximé par 1+ε D'où Δ R R = Δ B( 1 1 ) (résultat sans dimnsion) st un trm d la form ε ; il put êtr dévloppé L'rrur n tmpératur s calcul n détrminant l'rrur absolu divisé par la snsibilité à la tmpératur considéré. héoriqumnt, on constat qu'un variation sur B n provoqu pas d'rrur sur la msur à la tmpératur d référnc 25 C. L'rrur n'st visibl qu'aux autrs tmpératurs ; ctt rrur st équivalnt à un rrur d gain sur l captur. Not 1: sul l calcul général prmt d'établir l résultat ; l calcul numériqu pour =25 C donn dirctmnt t n prmt pas d répondr à la qustion posé. L choix d limitr l'étndu du problèm conduit à un simplification xcssiv d l'étud au point d donnr un résultat pu prtinnt. Not 2 : la qustion aurait dû êtr formulé autrmnt (il st tnu compt d ctt difficulté dans la notation ds copis)! Parti II : Msur t linéarisation 1) Pour l'étndu d msur pour laqull ls calculs d résistanc ont été fait, il faut s placr sur la gamm 2V pour visualisr la msur (appliqur un factur 1 pour obtnir un msur n Ω ) 2) Montag d typ divisur d tnsion. La tnsion d msur st : U ( ) = R( ) R 1 +R( ). n C U() n V Droit n V Ecart n V L'équation d la droit st U D ( ) = U (15) + U (85) U (15) ( 15) avc n C La pnt st d V/ C ; ll définit la snsibilité moynn σ m. Si l choix st fait d'xprimr la tmpératur n K, l'origin d l'absciss st différnt (prndr !). L'écart d linéarité maximum constaté ε max st d.12v soit 1.7 C. La comparaison avc l'rrur introduit sur B n put s fair qu si l calcul a été mné sur l'nsmbl ds points d msur (non dmandé suit à simplification du sujt donc qustion non côté!) 6/8

7 Msur par pont divisur nsion n V mpératur n C 4) Puissanc élctriqu P R ( ) = U ( )2 R( ) =.898W La documntation donn l "factur d dissipation thrmiqu" ; l'unité d msur d ctt grandur montr qu'il s'agit d'un conductanc G 25. L'auto-échauffmnt sra : Δ = P R ( )/G 25 = 2.2 C Rmarqur qu l'auto-échauffmnt dépnd d la tmpératur. L'rrur du à l'autoéchauffmnt st supériur à l'rrur d linéarité ; il convindrait donc d'alimntr l divisur d tnsion avc un tnsion plus réduit (par xmpl, à 5V l'auto-échauffmnt sra l 1/4 d clui à 1V). Parti III : Répons dynamiqu 1) Voir cours! θ(t ) = θ i + (θ f θ i )(1 t /τ ) avc constant d tmps thrmiqu 7s 2) θ(t 49.9 ) = θ i + (θ f θ i )(1 t 49.9/ τ ) d'où (1 t 49.9/τ ) = (θ(t49.9 ) θ i )/ (θ f θ i ) t 49.9/ τ =.4 t 49.9 = τ ln(.4) t 49.9 = 38.7s 3) L bilan calorifiqu st : C d θ dt = P ntrant La solution à ctt équation différntill st un ramp (droit) d'équation θ(t ) = θ i + P C t La pnt st ici 1 1 C/s ; il faut donc 5s pour élvr la tmpératur d 5 C. 4) voir cours! phénomèn = traînag d valur égal à la constant d tmps. L traînag corrspond à un rrur d.7 C, ici infériur aux autrs sourcs d'rrur déjà constatés. 7/8

8 Parti IV : Anémométri 1) Un anémomètr msur la vitss du vnt, plus généralmnt la vitss d'un gaz. L'unité SI st l m/s.la vitss st indépndant d la mass spécifiqu du gaz ; L princip l plus courant st l'anémomètr à hélic (présnté n cours dans sa vrsion vctorill) ou à godt ( utilisé dans ls stations météorologiqus, stors, protction ds ouvrag d'art...)) 2) a) P R = R θ I 2 b) l'équation d convction dit qu la puissanc cédé au gaz st proportionnll à l'écart d tmpératur t au cofficint h. C cofficint st lui-mêm lié à la vitss du gaz. Plus la vitss st élvé, plus la thrmistanc cèd d chalur (c'st du bon sns physiqu!). A vitss null, la convction n'st pas null (il y a conduction ntr la thrmistanc t l'air ambiant, ainsi qu rayonnmnt). Equilibr thrmiqu : R θ I 2 = (θ )(a+bv c ) d'où b v c = R θ I 2 θ a v c = 1 b[ R θ I 2 θ a] v = 1 b 1/ c[ R I 2 1/ c θ θ a] Par la msur d R θ, on n déduit θ ; il st alors possibl d'évalur la vitss (l calcul tindra compt d a t b qui sront détrminés par étalonnag). Elimination d θ : B 1 1 R = R B( 1 θ 1 ) = ln( R θ / R ) (2) θ = B ln(r θ / R ) B θ = 2B 2 ln(r θ / R ) ln (R θ / R ) B Il st bin évidnt qu l'équation (2) n'st pas linéair, ncor moins après substitution d θ. 3) L'équation (2) st plus facilmnt utilisabl pour θ constant, c qui ntraîn qu R θ st constant aussi. L'étalonnag st baucoup plus facil à réalisr. Pour a t c.5, v = 1 R 2 θ I 4 b 2 (θ ) 2 La rlation st alors plus facilmnt utilisabl. Ell suppos qu la conduction thrmiqu à vitss null st négligabl. 4) Pour réalisr l calcul, il faut connaîtr, tmpératur du gaz t l courant I. L courant st évalué avc un ampèrmètr, la tmpératur avc un thrmistanc alimnté sous faibl tnsion (pas d'auto-échauffmnt). Crtains apparils utilisnt un courant I pulsé, d façon à c qu la thrmistanc soit périodiqumnt à tmpératur du gaz puis n auto-échauffmnt. L'étalonnag d'un anémomètr à fil chaud s fait souvnt avc un tub d Pitot dont la loi d msur st plus dirct. 8/8

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