Conseils d utilisation

Transcription

1 Coseils d utilisatio La avigatio se trouve das la barre située au bas de chaque age. e faço géérale elle ermet l accès aux ages récédete et suivate, au la gééralou au la du chaitre. Elle ermet aussi l accès aux exercices et à leur solutio. Le bouto clic qui eut aaraître sur certaies ages idique qu elles e sot as termiées.il suffit de cliquer dessus our rogresser das la age. Les lies hyertexte ermettet ue coexio directe sur des ages récises. Ils aaraisset e bleu souligé avat d avoir été visités et e rouge souligé arès. Ue liste des costates hysiques et des caractéristiques des différets matériaux semi-coducteurs est accessible our la rédactio des exercices. La liste des symboles ermet d exliciter chacu d etre eux. Elle revoie systématiquemet à la age d ou l o viet.

2 u Sable à la Puce Cliquer ici our commecer Michel AURIE

3 Physique Electroique Itroductio Bieveue émarche Pédagogique Objectifs Positio du roblème U oit d histoire Chaitre I: Le matériau semi-coducteur Chaitre II: La joctio P- Chaitre III: Trasistors J-FET et Biolaire Chaitre IV: Structure M I S et trasistor M O S Liste des Symboles Costates Retour à la age d accueil

4 Bieveue Ce cours corresod à ue aroche très hysique du foctioemet des comosats semi-coducteurs. Il eut s adater à différets iveaux de comréhesio e artat de l asect uremet descritif das lequel o admettra u certai ombre de relatios mathématiques écessaires et aller jusqu à leur démostratio comlète our ceux qui veulet e savoir beaucou lus. C est ue aroche graduelle de la hysique des comosats ermettat ue boe comréhesio de leur foctioemet aisi que des limitatios des circuits das lesquels ils sot utilisés.

5 émarche Pédagogique Ce suort de formatio a été coçu das le cadre d ue édagogie ar objectifs. Il reose sur u cours à lusieurs iveaux et des exercices rerésetatifs de l esemble du savoir et du savoir faire à acquérir. Le 1 er iveau est écessaire à la réalisatio des exercices. Les iveaux suivats corresodet à des arofodissemets accessibles à l aide de lies hyertextes; ils e sot as idisesables e 1ère lecture mais ermettet d acquérir ue visio lus globale de la discilie et fot artie de la coaissace écessaire à u Igéieur. Chaque exercice sera associé à d autres de même tye de faço à rooser: des correctio comlètes et des remarques d ordre méthodologique ou cocetuelles afi de couvrir au mieux le domaie corresodat. 1 exercice à redre es QCMermettrot évetuellemet de tester le iveau de comréhesio afi de ermettre ue rogressio cohérete. Cette aroche rogressive devrait ermettre l acquisitio raide d ue boe autoomie. forums, ). oubliez as toutefois que vous ouvez cotacter votre tuteur via la late-forme de diffusio ( , Les objectifs de ce suort de formatio sot idiqués sur la age suivate «Objectifs du cours»

6 Objectifs du Cours L objectif gééral de ce cours est de comredre le foctioemet des comosats semi-coducteurs. Il doit ermettre de savoir «imesioer» u comosat e vue d ue alicatio récise et de comredre les limitatios ihéretes à ce dimesioemet. Les objectifs du remier chaitre sot: Étudier les caractéristiques des matériaux semi-coducteurs ermettat d établir les relatios exlicitat le foctioemet des comosats actifs. Les objectifs du deuxième chaitre sot: écrire et caractériser la joctio P- (diode) afi de ouvoir e établir u modèle utilisable das les circuits et doer des exemles d alicatios. Les objectifs du troisième chaitre sot: Étudier les comosats actifs que sot le trasistor J-FET et le trasistor biolaire das l otique de relier leurs erformaces aux caractéristiques géométriques et techologiques. Les objectifs du quatrième chaitre sot: Étudier la structure M I S afi d exliciter le foctioemet du trasistor M O S et de le caractériser.

7 Positio du roblème La résolutio d u roblème asse gééralemet ar la réose à trois questios qui sot illustrées ci dessous. e quoi est-ce que je disose? Par ou vais-je asser? Quel est mo objectif? - e quoi est ce que je disose? Ce sot gééralemet toutes les doées ou des costates hysiques, électriques etc. - Quel est mo objectif? Cela corresod au résultat cherché - Par ou vais-je asser? Pcela cosiste e la décomositio du roblème e élémets simles ermettat de relier objectif et doées. La méthode de résolutio que ous adoteros cosiste à artir du résultat escomté (gééralemet reréseté ar ue exressio mathématique ou ouvat s y rattacher) et à décomoser logiquemet les calculs our redescedre jusqu aux doées. Arrivé à ce stade, il suffira de refaire le chemi iverse.

8 Costates Physiques et électriques Costates Physiques géérales q (Charge élémetaire) 1, Cb m (masse de l électro) 0, kg ε 0 (ermittivité du vide) 8, F/cm k (Costate de Boltzma) 8, ev/ K h (Costate de Plak) 4, ev.s c (Vitesse de la lumière), cm/s (ombre d Avogadro) 6, molécules/mole U T kt/q 5,857 mv; (6 mv à 300 K) Costates électriques des semi-coducteurs (T300 K) d arès S.M SZE Ge Si As Ga Largeur de bade iterdite E G (ev) 0,66 1,1 1,43 esité effective d états (cm 3 ) - das la bade de Coductio C 1, , , das la bade de Valece V 6, , Cocetratio Itrisèque i (at/cm 3 ), , , Mobilités our u matériau Itrisèque (cm /Vs) - électros µ trous µ Costate diélectrique relative (ε r ) 16 11,8 10,9 Cham électrique de Claquage (V/µm) ~ 10 ~ 30 ~ 40

9 Résistivité e foctio du doage.

10 Abaque des mobilités our le Silicium.

11 Classificatio Périodique des élémets

12 U oit d histoire L histoire de la Physique des Comosats et des Circuits Itégrés qui e sot u des aboutissemets eut se décomoser e lusieurs hases FARAAY Coductibilité du sulfure d Arget e foctio de la temérature variat à l iverse des autres métaux WILLOUGBY-SMITH Coductibilité du Séléium variat avec l éclairemet Ferdiad BRAU écouverte du redresseur à Galèe Ces différetes maifestatios d effets semi-coducteurs e furet exlicités que bie logtems arès! -ébut du XX ème Siècle Lié au déveloemet de la Physique du solide avec des oms célèbres: Retour à la age d accueil

13 U oit d histoire 1935 SCHOTTKY et MOTT écouverte de la barrière de otetiel 1939 SCHOTTKY et SPEKE écouverte de la couche d iversio OHL, SCAFF et THEURER Silicium doé (Bell Téléhoe) 1943 K.L HOROWITZ Caractérisatio totale du Germaium 1947 BRATTAI et BAREE écouverte du trasistor à oite 195 Trasistor oscillat à 300 MHz 1954 Créatio de la «Schokley Semicoductor Laboratory» Mise au oit de la techique MESA 1959 HOERI et OYCE qui avaiet quitté Schokley our Fairchild déoset u brevet de ricie sur la techique PLAAR ecore utilisée à ce jour. OYCE fodera «ITEL» avec les reveus de ce brevet HOFSTEI et HEIMA aux USA Mise au oit du JFET GROSVALET e Frace Mise au oit du MOST 196 Premier Circuit Itégré! Retour à la age d accueil

14 U oit d histoire Retour à la age d accueil

15 U oit d histoire O retrouve sur ce motage amlificateur tous les élémets essetiels: olarisatio, source d etrée, résistace de charge La modélisatio du trasistor est tout à fait actuelle (au 1 er ordre) Retour à la age d accueil

16 Chaitre I:Le Matériau semi-coducteur I-A: Le matériau semi-coducteur Itrisèque 1 - États éergétiques des électros das u atome - Matériau itrisèque,esité d états 3 - esité itrisèque, iveau de Fermi, desité des orteurs e foctio de la Temérature I-B: Le matériau semi-coducteur extrisèque ou oé 1 - esité des orteurs - Loi d actio de masse 3 - Positio du iveau de Fermi I-C: Semi-coducteur hors d équilibre, héomèes de coductio 1 - Ijectio ou extractio de orteurs, durée de vie. - Phéomèes de trasort a)- Mobilité des orteurs b)- Résistivité, coductivité, loi d Ohm c)- iffusio, relatio d Eistei 3 - Équatio de coservatio des orteurs. Retour à la age d accueil

17 1-A:Le Matériau Matériau semi-coducteur Itrisèque Itrisèque 1 - États éergétiques des électros das u atome Atome Isolé arès les ricies fodametaux (Heiseberg, Pauli ), les états éergétiques des électros das u atome e euvet varier que de faço discotiue (quatificatio de l éergie). Ceux-ci e euvet doc occuer qu ue suite discrète d états caractérisés ar les valeurs corresodates de quatre ombres quatiques. iagramme d éergie d u atome isolé Les différets états ossibles sot figurés ar des droites horizotales ositioées ar raort à u axe gradué. Le iveau «0» e éergie se situe à l ifii. Pour e savoir lus, cliquez ici E E 1 6 E s Les droites du diagramme e rerésetet as u état éergétique mais u esemble d états très voisis. our le iveau s 6 our le iveau Ifluece d u aort d éergie sur u atome L absortio d éergie ar u atome se traduit ar le assage de certais électros à des états éergétiques lus élevés ormalemet ioccués. O dit alors que l atome est excité. Lors du retour à l équilibre, l éergie libérée aaraît sous forme de rayoemet électromagétique de logueur d ode λ défiie ar :. E h ν h c λ E E hν

18 ombres quatiques et classificatio ériodique des élémets La classificatio des élémets écessite, afi de ouvoir différetier l esemble d etre eux, l utilisatio de quatre ombres: Le ombre quatique ricial > 1,, 3, ; il défiit la couche du tableau de Medeleïev (K, L, M,, ), Le ombre quatique orbital (secodaire) l > 0, 1,, -1 ; il défiit la sous couche (s,, d, f, g, ), Le ombre quatique magétique m > -l 0 +l, Le ombre quatique de si s > +1/ ou 1/. Les deux remiers ombres (,l) défiisset les iveaux d éergie alors que l esemble des trois remiers (, l, m) caractériset les états quatiques. Ces deriers euvet comorter deux électros de si atiarallèle. O eut doc, à artir de ces cosidératios, dresser u tableau faisat aaraître le ombre d électros ossibles ar couche ombre d états ombre d électros ombre d électros Couche Sous couche l m s. quatiques ar état ar couche K 1 s /, -1/ 1 L s /, -1/ , 0, s M 3 1-1, 0, 1 +1/, -1/ d -, -1, 0, 1, 5 10 s , 0, d -, -1, 0, 1, +1/, -1/ f 3-3, -, -1, 0,1,, Exemle: Hydrogèe Z1 (1 électro) 1, l0, m0 Couche icomlète 1s 1 Hélium Z ( électros) 1, l 0, m0 Couche comlète 1s Bore Z5 (5 électros), l0, 1, m -1, 0, 1 Couche extere icomlète 1s, s, 1 Silicium Z14 (14 électros) 3, l0, 1,, m -, -1, 0,1, 1s, s, 6, 3s, 3

19 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque 1- - Atomes liés, bades d éergie a)-formatio des bades Pour qu il y ait aaritio de «bades d éergie», il faut que cette derière uisse varier de faço cotiue ce qui est as le cas d u atome isolé. Suosos maiteat que ous ayos u esemble de atomes ( très grad) suffisammet éloigés de maière à ce qu ils uisset être cosidérés comme idéedats (cas d u gaz).l Le ricie d exclusio de PAULI s aliquat séarémet à chacu, il existe doc autat d électros das le même état éergétique qu il y a d atomes. Si ous rarochos ces atomes, le ricie récité e s alique lus à chacu séarémet mais à l esemble des atomes car ils déedet maiteat les us des autres. A chaque iveau ermis va corresodre maiteat iveaux ouvat coteir chacu électros. Pour de l ordre de 10 cm 3 (ce qui corresod sesiblemet à la desité d atomes d u matériau stadard), o eut cosidérer qu il existe ue bade d éergie (voir ci arès). E E Bade d éergie d 0 istace iter atomique La distace iter-atomique d 0 corresodat à la maille élémetaire du cristal défiit la largeur de la bade ermise. Ceci se roduit our des distaces iter-atomiques faibles (de l ordre de quelques agstrœms) corresodat aux riciaux matériaux.

20 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque La figure suivate illustre schématiquemet la multilicatio des iveaux à artir de deux iveaux uiques s et. L orbite s état itérieure à l orbite, les iteractios aaraisset lus tôt sur la secode. E E Bade Permise d0 s istace iter-atomique Bade Iterdite Bade Permise Pour visualiser le cas du iamat, cliquer ici O remarque doc l aaritio de deux bades ermises séarées ar ue bade iterdite. b)-isolats, Semi-coducteurs, Métaux La différece etre ces trois élémets tiet essetiellemet à la structure de bades de la couche extere. E Métal Semi-coducteur ou isolat «Ga» d M d sc ou d i d La variatio d éergie est cotiue Existece d ue bade iterdite séarat deux bades ermises

21 Cas du iamat Le iamat est costitué de Carboe ur cristallisé. Sa formule atomique est: 1s s. Les iveaux s et corresodat à la couche extere sot aelés «iveaux de valece». Ils euvet acceter au total 8 électros: sur le iveau s, 6 sur le iveau. L atome de Carboe e ossédat que quatre, eut doc e acceter Quatre de lus et doc se lier avec quatre atomes voisis afi de former u cristal. La couche extere sera Atome de Carboe doc ue couche leie. Lorsqu o met e résece u grad ombre () d atomes de même tye et qu o les raroche, our des distaces suffisammet faible o costate l aaritio des bades d éergie. Lorsque la distace deviet iférieure à d1, les bades se chevauchet. Les iveaux de la bade suérieure asset das les iveaux s. Si o cotiue a rarocher les atomes, les bades se séaret à ouveau (voir figure ci dessous). Pour la distace iter-atomique réelle d de ce cristal, les iveaux de la bade iférieure (bade de valece) sot leis à 0 K alors que les iveaux de la bade suérieure (bade de coductio) sot vides.ces deux bades sot séarées ar ue bade Iterdite. Électros 1s () Électros s, (4): iveau de Valece E iveaux libres 3 iveaux iveaux ( s, occués) Bade Iterdite E C E V Bade de Coductio Bade de Valece d d 1 iveaux s d O observe la même structure sur le Silicium et le Germaium.

22 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque La figure récédete motre que le Métal ossède ue structure de bade cotiue au iveau de la couche extere. e ce fait, le moidre aort d éergie ermet de faire asser des orteurs sur des iveaux directemet suérieurs (état excité). L alicatio d u cham électrique leur ermettra de se délacer créat aisi u courat électrique. La résece d ue bade iterdite das le diagramme d éergie sigifie qu il faut commuiquer aux électros de valece ue éergie suérieure à la largeur de la bade iterdite our les faire asser das u état excité (les laces ossibles se situat das la bade de coductio). Ils ourrot alors, comme das le cas du métal, articier à des héomèes de coductio. Il existe doc u seuil d éergie au dessous duquel le matériau se comorte comme u isolat. Ce seuil corresod au «Ga»: E G E C E V Suivat sa valeur, le matériau ourra être Isolat ou semi-coducteur. Par exemle, à 300 K, les valeurs de E G sot: Germaium (Ge) 0,67 ev Silicium (Si) 1,1 ev Arséiure de Gallium (As Ga) 1,40 ev } Semi-coducteurs iamat 6,00 ev Isolat as le cas des isolats, l éergie écessaire our faire asser u électro das u état excité est suérieure à celle assurat la cohésio du cristal. e ce fait, il y aura destructio du matériau avat que de ouvoir géérer des électros libres.

23 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque Réartitio des orteurs sur les états quatiques, iveau de FERMI. Les réartitios de orteurs obéisset à des lois qui euvet déedre du tye de articules. Trois tyes de lois euvet être utilisées: La statistique de BOLTZMA qui s alique aux gaz arfaits La statistique de FERMI-IRAC our les articules de si demi-etier La statistique de BOSE-EISTEI our les articules de si etier (hotos, hoos). E ex µ 0 kt 1 0 Eµ 1+ ex kt 1 0 ex Eµ 1 kt Le cas qui ous itéresse corresod à celui des électros et suit doc la statistique de FERMI-IRAC. La robabilité de résece d u électro sur u iveau éergétique E sera otée f (E). Elle est doée ar la formule : f ( E) 1 1+ ex EkT E Cette exressio fait aaraître u iveau éergétique E F qui corresod à ue robabilité de résece égale à ½: F ( E ) 1 F Ce iveau corresod, au zéro absolu, à la séaratio etre les iveaux vides et les iveaux leis. O arle arfois «d éergie moyee» ou de «taux moye de remlissage». f

24 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque Si o trace la foctio corresodate, o obtiet: Pour ue temérature égale à 0 K 1 f (E) T 0 K Pour ue temérature T 1 T 1 Pour T > T I 1/ T > T 1 O ourra remarquer que, quelle que soit la temérature: 1 f ( E F) E F E as le cas de matériaux semi-coducteurs, o eut assurer que le iveau de FERMI se trouve das la bade iterdite. E effet, au zéro degré absolu, la bade de valece est leie et la bade de coductio vide; f f ( ) 0 EC ( ) 1 EV } > E V < E F < E C E cosidérat que le iveau de FERMI est situé au milieu de la bade iterdite, ce qu ous justifieros lu loi, o eut calculer la robabilité de résece d u électro sur le iveau E C our différetes temératures. Exemle du Silicium: EG 1,1 ev k 8, ev/ k f (EC) { 5, à 80 K 3, à 300 K 5, à 450 K 1,1 ev E C E F E V Ces robabilités de résece sot doc très faibles et variet éormémet e foctio de la temérature.

25 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque Le calcul récédet amèe à ue coclusio très itéressate; o eut remarquer que, quelle que soit la temérature, le terme E ex E kt F est toujours très grad devat 1. O eut doc simlifier la foctio robabilité de résece qui deviet f E 1 E ( ) + EkT E E F f (E) ex kt F 1 ex La statistique de FERMI-IRAC se ramèe doc das ce cas, à la statistique de BOLTZMA. Ce sera vrai our les Semi-coducteurs que l o ourra assimiler à des gaz arfaits de ce oit de vue otio d électro et de trou. Si la otio d électro est bie coue, celle de trou est sécifique des matériaux résetat ue structure de bades telle que celle des semicoducteurs.; alterace de bades ermises et iterdites. Suosos e effet que l o aorte au matériau ue éergie E > E G. La radiatio va échager so éergie avec le matériau et ermettre de faire asser u électro de la bade de valece vers la bade de coductio. Ce déart va doer aissace à u «trou» das la bade de valece. E > E G électro trou E C E V E F Si électro Trou L aort d éergie eut doc, e satisfaisat la coditio défiie ci dessus, casser ue liaiso faisat aisi aaraître ue liaiso maquate (trou) et u électro libre. Ces deux etités vot ouvoir, sous l actio d ue force extérieure (cham électrique), se délacer doat aissace à des courats électriques. Ces charges état de tye oosé et se délaçat e ses cotraire doet aissace à des courats additifs.

26 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque Matériau Itrisèque, esité d états. éfiitio Par matériau Itrisèque o eted u matériau idéal, déourvu de toute imureté et dot la structure cristallie est arfaite. Le Silicium cristallise das ue structure de tye «iamat» c est à dire Cubique faces cetrées décalé d u quart de diagoale. La caractéristique riciale d u semi-coducteur itrisèque est la desité des électros et des trous libres. Ces desités sot égales et sot rerésetées ar les lettres: our les électros, our les trous. A l équilibre thermodyamique o eut écrire: La barre située au dessus de la lettre idique que l o est à l équilibre thermodyamique. Calcul de la desité des orteurs das les bades ermises, à l équilibre thermodyamique. L existece d u orteur, das u matériau, doit satisfaire simultaémet deux cotraites: - robabilité de résece o ulle, - ombre d états ossibles o ul. Si ous ous laços das la bade de coductio, ous ouvos écrire, autour d ue éergie E: de d ( E)* de f ( E) (E) rerésetat la foctio desité d états. Le ombre d électros s e déduit ar ue itégratio. Sur la bade de coductio. d ( E)* f ( E ) de E C E C

27 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque Ce calcul fait ael à des otios de mécaique quatique et ourra être détaillé e aexe (cliquer ici our le visualiser). Le résultat s écrit : _ 3 3*(π mkt) h ex( E C kt E F ) O eut remarquer que cette exressio fait aaraître deux termes: ex( E ) kt EF Qui est la robabilité de résece d u électro sur le iveau E C : (Ec) C 3 3*(π mkt) Qui est la desité d états sur le iveau E C. h Tout se asse comme si la bade de coductio se rameait à u seul iveau éergétique d éergie E C ossédat états ossibles. f O obtiet u résultat aalogue our les trous e chageat E C E F ar E F E V. Ces relatios sot toutefois des relatios arochées mais qui sot bie suffisates our décrire le comortemet des disositifs à semi-coducteurs. E toute rigueur, la masse affectée aux articules est as leur masse au reos (m 0 9, g ), mais leur masse e mouvemet aelée «masse effective». Cette derière, qui résulte d u calcul comliqué, est foctio de l éergie de la articule c est à dire de sa ositio das la bade. Les valeurs moyees courammet admises sot: m c 1,05 m 0 our les électros, m v 0,6 m 0 our les trous. as la majorité des cas et sauf idicatio cotraire, ous redros m c m v m 0. O e déduit ue desité d états qui vaut: c v, (T/300) (3/) cm 3 soit, cm 3 à 300 K

28 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque 3 esité Itrisèque, iveau de Fermi, desité des orteurs e foctio de T. Comte teu du calcul récédet, ous avos motré que les desités de orteurs s écrivaiet: *( ) 3 3 π mkt ex( E C kt E h *( ) 3 3 π mkt ex( E F kt E h F V ) ) Le roduit de ces deux desités ossède ue roriété très itéressate. O eut e effet remarquer qu il est idéedat de la ositio du iveau de Fermi. C est ue costate à temérature doée. C est la loi d actio de masse. * h E kt E 3 C V G ( mkt) *ex( ) *ex kt 3 π E Ce terme est aelé: esité Itrisèque et oté i * i Par exemle, à 300 K, les valeurs de i sot: Germaium (Ge), cm 3 Silicium (Si) 1, cm -3 {Arséiure de Gallium (As Ga) 1, cm -3 Justificatio de la ositio de iveau de Fermi. ous avos émis l hyothèse que, das u semi-coducteur itrisèque, le iveau de Fermi se trouvait au milieu de la bade iterdite. ous ouvos, à artir des équatios établies, justifier cette hyothèse. Il suffit d égaler les exressios doat les desités de orteurs. ous ouvos remarquer que, si les masses effectives étaiet égales, le iveau de Fermi se trouverait strictemet au milieu de la bade iterdite. E réalité, o obtiet: Comte teu des valeurs des masses effectives, ce décalage vaut C V kt c kt c E E E F L m E 3 I+ L m 4 mv 4 mv à temérature ambiate, das le cas du Silicium: 1, ev ce qui est égligeable.

29 Le Matériau semi-coducteur Itrisèque esité des orteurs e foctio de la Temérature. La temérature est u aramètre imortat car elle iterviet de maière directe das les différets termes de la foctio qui défiit la desité des orteurs das les bades. Toutefois, so ifluece eut être différete suivat le tye de foctio das laquelle elle est résete. L exressio de la desité itrisèque des orteurs s écrit: * kt E i *ex G as cette exressio, T aaraît de maière exlicite das le terme exoetiel mais aussi das le terme esité d états ( ). E effet, si o déveloe ce derier, il s écrit: *( π mk) * T h 3 L exressio de la desité itrisèque eut doc se mettre sous la forme: C T kt E i te ex G * 3 * La sesibilité à la temérature se met e évidece e calculat la variatio relative O obtiet, e différetiat l exressio de la desité itrisèque: 1 i ( 3 E + i T T kt { O eut doc calculer cette variatio relative autour de la temérature ambiate our les 1 i T riciaux élémets récités. O obtiet: i O costate doc ue grade sesibilité ar raort à la temérature. G ) i i T 1 étail des calculs(cliquer ici) Germaium (Ge) 9,63% / K Silicium (Si) 15,4% / K Arséiure de Gallium (As Ga) 19,04% / K

30 Calcul de la sesibilité e temérature L exressio des desités de orteurs s écrit: kt E G i * ex avec La dérivatio de cette équatio doe: *( π mk) * T h i t 3 soit: *( kt E G mk T k E G π ) * *ex 4 6 *( h T h mk T kt E G i *( ) * * ex h π π 3 3 mk T kt E G ) * *ex O eut das cette équatio mettre i e facteur. i t kt E G mk T T k E 6 *( π ) * *ex 3 h T G Il suffit doc de diviser les deux termes ar i our obteir: 1 i t 3 + E T k T G i Alicatio umérique. Autour de la temérature ambiate:t300 K k 8, ev/ K Germaium: EG 0,67 ev Variatio de 9,63% ar degré Kelvi Silicium: EG 1,1 ev Variatio de 15,43% ar degré Kelvi Arséiure de Gallium: EG 1,4 ev Variatio de 19,04% ar degré Kelvi

31 Calcul de la desité des orteurs das les bades Ce calcul s eted das des coditios d équilibre thermodyamique c est-à-dire our u matériau homogèe et ue temérature costate. E mécaique quatique, o associe ue ode à ue articule. La foctio caractéristique corresodate s écrit, das le cas d u modèle uidimesioel: i( kxωt ) Ψ ( x, t) A. e das lequel: ωπν est la ulsatio, kπ/λ est le vecteur d ode. La relatio de PLAK ermet d associer la ulsatio à l éergie ar: E hγ hω hω π Pour ue articule libre, so éergie est uremet ciétique et vaut: E 1 mv O e déduit la vitesse: m v de m d Or, d arès le ricie d icertitude de Heiseberg, o eut écrire: x k 1 doc, si k est costat, k 0 et doc x est ifii. La articule est alors as localisable. Il est doc écessaire d associer à la articule o as ue ode moochromatique mais u «aquet d odes» de fréqueces très voisies. O dit que le milieu est disersif. La foctio d ode s écrit alors: Ψ f. e ( ) dk kx ( ) t ( ) ( ) i ω k x, t k f (k) das laquelle f (k) est rerésetée ci cotre La vitesse du aquet d odes vaut: k 0 dx v 0 dω or: hω dt dk La ositio de la articule corresod au maximum de la foctio ψψ* défii ar: ( kxω ( ) t) 0 soit, x d 0 t dk d k dk ω v d E de h 1 comme E soit: ( ) dk h dk ψψ* de v il s e suit: de 1 de soit, d h dk d d h dk x 0 E itégrat cette relatio o obtiet: O eut tirer de tout cela la relatio liat l éergie et le vecteur d ode. Comme: Ehω o obtiet : h dk hk Cette relatio est coue sous le om de Relatio de e Broglie E m k h dω v h m dk m k Pour les électros de la bade de coductio o aura Relatio de e Broglie soit dω h k dk ω h k dk ω hk m m m E m k h + EC

32 Calcul de la desité des orteurs das les bades Gééralisatio à trois dimesios. as u esace tridimesioel,u vecteur d ode eut se décomoser suivat les trois axes: les comosates de base s écrivet: ( x) ( y k ) y π ( z k ) z π ( x) ( y) ( z) kx π L L éergie s écrit alors: E ( ), ( y), ( z) L ( ) avec: L (x), (y), (z) ombres etiers ositifs, égatifs ou ul ( x) ( y) ( z) + + EC h O eut doc associer 8 vecteurs d ode à chaque état m x y z x + L Calcul de la desité des états accessibles aux électros. L L éergétique. O arlera de dégéérescece d ordre 8 our l éergie. Pour comtabiliser les états offerts à l électro sur ue bade d éergie comrise etre E et E+dE, il est référable de se reorter das l esace des vecteurs d ode. Si ous reortos l esemble des oits ermis our l extrémité des vecteurs d ode k d origie 0, ceux-ci formet u réseau ériodique suivat les trois dimesios, de ériodicité: π/l x, π/l y, π/l z. Comte teu de la distributio régulière des oits, le ombre d états ossibles est roortioel au volume. La figure suivate motre ue rerésetatio des sites ossible our les électros e foctio des valeurs de k. O a oté avec des couleurs différetes les sites ossibles corresodat à des las défiis ar des valeur de k y costates. k z Le ombre d états ossibles eut s exrimer ar la relatio: ( ) L( x) L( y) L( z) V 3 π π π 8π k Chaque état ouvat acceter deux électros de si atiarallèle, la desité d électros s écrit: Il est doc roortioel au volume. k k ( ) 1 4 V π 3 k y k x

33 Calcul de la desité des orteurs das les bades La robabilité de trouver u électro d éergie comrise etre E et E+dE s écrit: d ( E)* ( E) de f La dualité éergie vecteur d ode s écrit: ( E) de ( k) dv( k) Le volume élémetaire, das l esace des vecteurs d ode est ue shère de rayo k. V( ) 4π 3 k k d ou; dv( k) 4π k dk ( ) ( ) 3 π π 4 k dk k dv k k dk or: k me π h 1 3 ( E) de m ( ) d ( E)* f ( E ) de E de e reortat das il viet: π h 3 E C E C ( ) ( ) 1 Le coefficiet de l exoetielle état 3 1 E m de d 1 ex π h 3 E E E kt E toujours grad devat l uité, o eut écrire: F + C C 1 ( ) ( E ) E kt E kt E F ex F 1+ ex E ce qui cocere la bore suérieure de l itégrale,o eut la redre égale à l ifii comte teu de la foctio exoetielle qui est décroissate. O obtiet doc: _ 1 m π h 3 3 ex ( E F C )( ) ( F ) ( C E de E E )( E) kt E 1 m 3 1 kt E kt E 3 ex ex π h Ec Ec 1 de E osat u (E-Ec)/(kT), o obtiet: k y k k z 0 dk k x 1 3 ( ) ( ) ( ) ex ex ( ) 3 kt 3 1 E C kt u u du m E Γ( 1 ) kt E F C F _ 1 3 m 3 3 ex Ec kt E Γ(1/) vaut π h π h π (Itégrale d Euler). E remlaçat h ar et e réduisat les termes, o obtiet: h _ 3 π ( mkt ) ( E C ) kt E F 3 π ex h Ce résultat fait aaraître le roduit de deux termes: E C E kt E F c ex qui rerésete la robabilité de résece sur le iveau Ec f ( ) ( ) ( π mkt ) 3 qui rerésete la desité d états corresodat au iveau Ec 3 h Tout se asse comme si la bade de coductio se rameait à u seul iveau ossédat états ossibles.

34 1-B:Le Matériau semi-coducteur Extrisèque 1 esité des orteurs 1 1 iveaux d éergie itroduits ar les imuretés et les imerfectios du cristal. Les cristaux de silicium (de germaium ou d arséiure de gallium ) utilisés our la fabricatio des comosats et des circuits itégrés, cotieet de ombreuses imerfectios cosistat e imuretés ou e défauts de cristallisatio du réseau. Certaies de ces imuretés serot d ailleurs itroduites volotairemet das le réseau afi de coférer au matériau des roriétés articulières. Les imuretés éfastes rovieet soit du matériau de base, soit de la chaîe de traitemet ermettat l obtetio du cristal. ous avos vu das ce qui récède que la desité itrisèque des orteurs vaut, our le silicium: i 1, cm -3. Pour que les imuretés uisset être cosidérées comme égligeables das ce matériau, elles doivet être e quatité beaucou lus faibles (1/100, 1/1000 ), soit des desités de l ordre de 10 7 ou 10 8 cm -3. O eut comarer ce chiffre avec le ombre d atomes de silicium ar cm 3. Celui-ci se calcule aisémet à artir de la coaissace du système de cristallisatio du silicium. Le silicium cristallise das u système «cubique faces cetrées» décalé d u quart de diagoale. La figure ci cotre motre la structure de la maille de base. L arête du cube vaut 5,43 Agstrom. U raide calcul s auyat sur la cristallograhie motre que cette structure corresod à 8 atomes ar maille. O eut doc calculer le ombre d atomes ar cm 3 das u cristal de silicium. Il vaut: 8 Volume de 1 Soit: 5,0 10 la maille cm -3 E comarat ce ombre à celui de la desité itrisèque, o s aerçoit que le degré de ureté à atteidre our obteir u matériau itrisèque est de l ordre de: 10 8 / 10 soit sesiblemet Ceci est absolumet icocevable comte teu des oératios écessaires our obteir le silicium moo-cristalli. Les limites techologiques ermettet d atteidre des desités d imuretés résiduelles de l ordre de 10 1 cm 3. Le matériau itrisèque, au ses étymologique du terme existe doc as. Il ermet toutefois de défiir ue costate extrêmemet imortate qui est la desité itrisèque i.

35 Le Matériau semi-coducteur Extrisèque Toutes ces imerfectios (imuretés résiduelles, défauts de cristallisatio, ) erturbet localemet la ériodicité du otetiel et, de ce fait, itroduiset des iveaux éergétiques qui euvet être accessibles aux électros. Par oositio avec les iveaux corresodat au matériau ur, ous arleros de «iveaux extrisèques». O eut gééralemet admettre que ces imerfectios état e ombre relativemet faibles ar raort au ombre d atomes du réseau, elles géèret des iveaux discrets et o des bades d éergie. as tout ce qui suit, ous ous itéresseros à des matériaux qui satisfot cette coditio (matériaux o dégéérés). Les iveaux extrisèques euvet se situer soit das les bades ermises, soit das la bade iterdite. Leur ifluece sur les caractéristiques du matériau serot totalemet différetes. Les iveaux aaraissat das les bades ermises aurot très eu d effet comte teu de leur dilutio. Ils vieet se rajouter au iveaux itrisèque qui sot e ombre très imortat ar raort à eux ( 1000 à fois lus). Par cotre, e ce qui cocere les iveaux aaraissat das la bade iterdite, leur ifluece va être très imortate. O ourra toutefois les classer e deux catégories suivat leur ositio das la bade iterdite: - iveaux de bords de bade ou «Shallow levels»,situés à quelques cetièmes d Électro Volt de E C ou E V, - iveaux rofods ou «ee levels», situés vers le milieu de la bade iterdite. La figure ci dessous motre, à titre d exemle, les différets iveaux extrisèques qui aaraisset das la bade iterdite du silicium. O remarquera le ombre imortat de iveaux et le fait que certais cors doet aissace à lusieurs iveaux.

36 Le Matériau semi-coducteur Extrisèque Les iveaux rofods: Ce sot gééralemet des métaux. Ils euvet avoir ue actio sur la coductivité du matériau (comesatio de l effet des iveaux de bord de bade), mais leur rôle le lus imortat se situera au iveau de la durée de vie des orteurs e excès. Les iveaux de bord de bade: istats de mois de 0,1 ev de Ec ou Ev, ils euvet iteragir facilemet avec les bades ermises et coditioet la coductivité extrisèque du matériau. Ils vot ermettre de géérer soit des électros soit des trous. Ce sot, our le silicium, surtout le Phoshore, le Bore, le Gallium, l Alumiium ous allos, das u remier tems, ous itéresser à ce deuxième tye de iveaux et lus articulièremet, au Bore et au Phoshore das le silicium. Ces deux imuretés aartieet, das la classificatio ériodique de élémets, aux coloes adjacetes à celle du silicium: coloe III our le Bore, coloe V our le hoshore. Ils ossèdet doc soit u électro de lus, soit u électro de mois que le silicium. e lus, ils se situet très rès des bords de bades: 0,O44 ev de Ec our le Phoshore, 0,045 ev de Ev our le Bore, (Figure ci cotre). Cosidéros le cas du Phoshore das le silicium. Si o itroduit ue quatité relativemet faible de hoshore das le silicium, celui-ci va se substituer à des atomes de silicium. Or, il ossède 5 électros de valece. Quatre d etre-eux vot être utilisés our les liaisos avec les atomes voisis et le ciquième ourra facilemet être libéré comte teu du faible écart d éergie etre le iveau E et la bade de coductio. Soit la cocetratio e atomes de hoshore; U faible aort d éergie va libérer l électro excédetaire qui va asser sur le iveau de coductio et de ce fait deveir libre. Cela se traduit ar : + éergie e - Si P 5ème électro E G 1,1 ev 0,44 ev Ec E (Phoshore) 0,45 ev E A (Bore) Il y a doc aaritio de deux tyes de charges: + qui est u Io ositif totalemet stable car il ossède 8 liaisos de valece et u électro qui ourra très facilemet être libéré afi de articier au rocessus de coductio. Le rocessus est similaire avec le Bore. Ce derier ayat que 3 électros de valece eut e acceter u quatrième roveat de la bade de valece. Il deviet alors Io égatif stable et fait aaraître u trou. A + éergie A- + 1 trou Ce rocessus, aelé «oage» ermet de géérer de électros OU des trous et cofère u caractère sécifique au matériau qui sera dit de tye ou de tye P. Ev

37 Le Matériau semi-coducteur Extrisèque Le rocessus de doage ermettat de géérer u trou est matérialisé sur la figure ci cotre. La liaiso maquate due au fait que le bore e comorte que trois électros de valece ermettra, lorsque cette liaiso sera comblée ar u électro d u autre atome de géérer u io égatif stable et u trou qui s est délacé articiat aisi au assage d u courat électrique. E fait, le délacemet d u trou corresod à celui d u électro qui saute de liaiso e liaiso. Si B- élacemet du trou Liaiso maquate 1 Etat d ioisatio des imuretés, desité des orteurs e foctio de la temérature. L ioisatio des imuretés va doc ermettre de créer soit des électros soit des trous das le matériau semi-coducteur. Les desités de orteurs das les bades ermises serot doc directemet foctio de la desité des atomes d imuretés et de leur iveau d ioisatio. Il est doc écessaire de ouvoir défiir ce degré d ioisatio e foctio de la temérature afi de coaître les desités de orteurs libres existat das le matériau. La ciétique d ioisatio des imuretés e foctio de la temérature, das u semicoducteur, est régie ar la statistique de Fermi-irac. Par exemle, cosidéros du silicium Ec das lequel o a itroduit des atomes de hoshore. Cette imureté est caractérisée ar E, l éergie du iveau qu il géère (E ), et ar la desité corresodate ( cm -3 E ). G 1,1 ev L état d ioisatio des imuretés va évoluer e foctio de la temérature. O eut défiir trois zoes. Pour T voisi du zéro absolu, le matériau est ierte et tous les orteurs sot figés sur leurs iveaux. La bade de coductio est vide et la bade de valece et le iveau doeur sot leis. ès que l o aorte de l éergie, vu le très faible écart etr E C et E, les imuretés vot s ioiser faisat aaraître des électros das la bade de coductio. La desité des doeurs état très faible, ce iveau sera vite comlètemet ioisé (E C -E 0,04 ev). Pour observer ue ouvelle évolutio des desités, li faudra que l éergie deviee suffisate our géérer des trasitios bade à bade Ev

38 Le Matériau semi-coducteur Extrisèque étermiatio de la loi de variatio de la desité des orteurs e foctio de la temérature: Les trois zoes défiies récédemmet ermettet de détermier les équatios des assymtôtes à la courbe L() f(1/t). Zoe d ioisatio des doeurs: T ~ 0 K L() Zoe itrisèque L ioisatio des doeurs suit la statistique de Fermi-irac. O a doc: + 1 ( E ) 1 ex E kt E f F + La desité des électros état égale à celle des doeurs ioisés, o a doc: + La variatio assymtôtique est doc ue droite. Euisemet des oeurs Ioisatio des oeurs Zoe d éuisemet des doeurs. Lorsque tous les doeurs sot ioisés, la desité des orteurs reste costate tat que l éergie est as suffisate our faire sauter des électros de la bade de valece (E G >>E C -E ). La desité des orteurs vaut alors: L () L ( ). 0 1/T 1/T 1 1/T Zoe Itrisèque. Lorsque la temérature deviet suffisammet élevée, il est ossible de faire asser des orteurs de la bade de valece à la bade de coductio.o géère alors des aires électro-trou. La bade de valece ermettat de créer u ombre très imortat de orteurs, ceux issus du iveau doeur sot raidemet e quatité égligeable et le matériau se comorte alors comme u matériau itrisèque. L itersectio des assymtôtes ermet de détermier les temératures T 1 et T qui limitet les différetes zoes. Il faut doc calculer les valeurs corresodates afi de ositioer la temérature ambiate. Le calcul motre qu elle se situe sur le lateau, das la zoe d éuisemet (cliquer ici our le calcul comlet). La courbe rerésetative est tracée e bleu.

39 Equatio des assytôtes à la courbe L()f(T). as la zoe d ioisatio, la desité des atomes d imuretés ioisées s écrit: Cette exressio fait aaraître le iveau de Fermi dot o e coaît as la ositio E 1 ex kt E F E ex kt E Il faut doc disoser d ue deuxième équatio faisat iterveir celui-ci. C est l équatio de défiitio de la desité des orteurs que ous avos établi au début de ce cours. E E égalat ces deux exressios, o eut élimier E F. O obtiet alors la loi de kt E F *ex C variatio f(t) das cette remière zoe. O obtiet: L( ) 1L( E C kt E ) O a doc ue droite de ete E C k E Et d ordoée à l origie: 1L( ) La zoe d éuisemet des doeurs ermet d écrire: L( ) L( ) Pour la zoe itrisèque, le iveau de Fermi se situe au milieu de la bade iterdite doc, E F (E C -E V )/. E reortat das l équatio qui doe, o obtiet: E C L L kt E V ( ) ( ) O obtiet aussi ue droite de ete E C k EV et d ordoée à l origie L(). La détermiatio des valeurs des temératures limites des zoes se fait e égalat deux à deux les équatios. Pour T 1 : L 1L E C k E ( ) ( ) soit: EC T E 1 T1 k L( ) Pour T : L( E C L k E V ) ECEV ( ) soit: T T k L( ) Alicatio umérique: cm -3 E C -E 0,04 ev Silicium: E G 1,1 ev,, cm -3 O obtiet: T 1 50 C T 636,8 C O eut remarquer que la temérature ambiate est bie au milieu du lateau. Le matériau est doc stable e temérature et o eut affirmer que, à temérature ambiate, toutes les imuretés sot ioisées. F

40 Le Matériau semi-coducteur Extrisèque Loi d actio de masse Comte teu du calcul récédet, o eut doc coclure que our u semi-coducteur doé, à temérature ambiate: Toutes les imuretés sot ioisées La desité des majoritaires est égale à celle des imuretés ( our u tye, A our u tye P) La desité des mioritaires est doée ar la loi d actio de masse qui s écrit: * i Cette relatio e fait iterveir que des costates du matériau à ue temérature doée ( largeur de bade iterdite, ombre de laces ossibles sur les iveaux, costates uiverselles),elle est doc valable que le semi-coducteur soit doé ou o. E résumé: Matériau de tye Matériau de tye P A i i A La coaissace de la desité des atomes doats doe les desités des orteurs de chaque tye Exemle: Silicium doé ( i 1, cm 3 ): cm -3 ; cm -3,, cm -3

41 Le Matériau semi-coducteur Extrisèque 3 Positio du iveau de Fermi A très basse temérature, les échages se fot etre le iveau doeur (ou acceteur) et la bade voisie. Le iveau de Fermi se situe doc etre ces deux iveaux c est-à-dire très rès du iveau E C (ou E V ). Le iveau de Fermi eut doc se situer das toute la bade iterdite ( cotrairemet au matériau Itrisèque ou il est au milieu). Sa ositio se calcule à artir de l équatio de eutralité qui s écrit: + + A + Cette équatio a as de solutio aalytique et se résout doc umériquemet. Elle est très comlexe. Cliquer ici our le calcul O eut avoir ue idée du résultat e traçat les variatios assymtôtiques des quatre termes de cette équatio. _ ex( E F ) kt E V _ ex( E C kt E A f A + f + A F ) (E A) ) (E) A Poit théoriquemet eutre + + Ces différets termes, rerésetés e foctio de l éergie, das la bade iterdite, se couet e u oit qui corresod à la ositio du iveau de Fermi (eutralité). Pour ce, o cosidère que la somme de deux logarithmes est le logarithme du lus grad. Ev E A E F E Ec

42 Calcul de la ositio du iveau de fermi La ositio exacte du iveau de Fermi est solutio de l équatio: + A ous ouvos exliciter les différets termes de cette équatio; il viet: _ ex( E ) kt E _ F V ex( E C ) kt E F f A A (E A) + f (E) + + _ ex( E ) ex( kt E E I F I kt E _ ex( E C )ex( kt E I E I kt E + ( + ) A sh E I kt E i F A E kt E F + V A ex EkT E O a doc ue équatio de la forme: ) ex( E F ) kt E i I ) ex( E I kt E i F ) { ex( } E I + E sh E kt E F) ex( I kt E F) I kt E i F i A E EkT E F A + EkT E I I EkT E F f ( A) 1 A EkT E ex ex ex 1 ex F E E + EkT E I I EkT E F f ( ) 1 f ( ) 1 1 EkT E 1 ex ex 1 ex F I [ ] I ex EkT E ex EkT E + 1ex EkT E I ex EkT E A I I i sh I F A I F + A sh E kt E Il y a as de solutio aalytique. Il faut résoudre cette équatio umériquemet. F B ex EkT E ex EkT E EI ex kt E I F F + C I F das laquelle A, B et C sot des costates

43 1-C:Semi-coducteur hors d équilibre, héomèes de coductio 1- Ijectio ou extractio de orteurs, durée de vie U semi-coducteur est dit à l équilibre thermodyamique si sa temérature est costate, s il est homogèe et si les desités de orteurs obéisset à la loi d actio de masse: * i. Lorsqu o erturbe cet équilibre, o eut défiir deux cas: -Extractio de orteurs: * < i -Ijectio de orteurs: * > i Le deuxième cas est le lus fréquet. L ijectio eut se faire de différetes maières: -Élévatio de temérature, -Utilisatio d u rayoemet ioisat, -Ijectio à artir d ue électrode. O eut classer les héomèes d ijectio e deux catégories suivat la valeur de la desité des orteurs ijectés ar raort à la desité des orteurs majoritaires das le matériau. -Faible iveau d ijectio si la desité des orteurs ijectés est faible ar raort à celle des majoritaires, -Fort iveau d ijectio si elle deviet du même ordre de gradeur. ^ ^ O désigera ar et les desités de orteurs e excès. Les desités totales our u matériau hors d équilibre s écrirot alors: ^ + et + ^ 1-1- Phéomèes de géératio recombiaiso. as u matériau semi-coducteur, les desités de orteurs existat das les bades sot le résultat de deux mécaismes ermaets d échage etre elles. Il s agit de la Géératio et de la Recombiaiso. Les orteurs créés asset de la bade de valece vers celle de coductio uis effectuet le chemi iverse e se recombiat. Il existe doc u flot ermaet de orteurs allat de la bade de valece vers la bade de coductio et vice et versa.

44 Semi-coducteur hors d équilibre, héomèes de coductio Les héomèes de géératio et de recombiaiso sot illustrés ci-cotre. A l équilibre thermodyamique, les desités état costates, o eut e déduire que la géératio et la recombiaiso sot égales: g 0 r 0. Si g > r, o a augmetatio de la desité des orteurs, c est à dire ijectio. Si g < r, o a ue dimiutio de la desité des orteurs, c est à dire extractio. Ces mécaismes d écart ar raort à l équilibre s effectuet avec ue costate de tems τ aelée durée de vie des orteurs. g r Ec Ev 1-- urée de vie des orteurs. Cosidéros u matériau semi-coducteur de tye ( >> ).A l équilibre thermodyamique, ce matériau est caractérisé ar des desités de orteurs qui valet resectivemet: et et ue égalité etre vitesse de géératio et de recombiaiso: g 0 r 0. Φ Suosos qu à l istat t t 0, o soumette ce matériau à u flux lumieux d itesité costate Φ tel que l éergie qu il trasorte soit suérieure à la largeur de la bade iterdite: E hν > E G. Ce flux va géérer des aires électros-trous et la vitesse de géératio va augmeter (le sige ^ sur u symbole idique u accroissemet ar raort à ^ l équilibre). g g0+ g> r0 Or, la vitesse de recombiaiso est roortioelle aux desités de orteurs das les bades (u électro se recombiat avec u trou). O eut doc écrire: r A (A est ue costate de roortioalité) À l équilibre, o eut écrire: r0 A Si les desités de orteurs augmetet, la vitesse de recombiaiso va aussi augmeter et o atteidra u ouvel équilibre das lequel les desités serot égales:.

45 Semi-coducteur hors d équilibre, héomèes de coductio La vitesse de recombiaiso sous éclairemet vaudra: r A A( + ) ( + ) ^ ^ ^ ^ ^ ^ éveloos cette exressio: r A + A ( + ) + A ( ) or, et r0 A soit: ^ ^ r r0 + A ( + ) + A. Le matériau état de Tye, << et si ous ous laços das l hyothèse de faible iveau d ijectio, ^ << soit: ^ ( + ) ^ et: >>. ^ L équatio récédete deviet doc: rr0 A. U ouvel équilibre sera atteit lorsque: g r. ^ ^ ^ ^ ^ 0 τ t 1 Le tems de retour à l équilibre est voisi de 3τ. t Suosos qu à l istat t t 1 o coue le flux lumieux. L excès de géératio deviet ul et le terme de recombiaiso est réodérat. La desité des orteurs e excès va décroître e foctio du tems. L équatio qui régit cette variatio s écrit: ^ ^ d r rr0 Le sige idique ue dimiutio de la desité. dt ^ ^ d ^ d Il viet: A soit, ^ A dt dt ^ ^ ^ ta t La solutio de cette équatio est doc: ( t) ( ) e ( ) e τ 0 0 Le terme A est homogèe à l iverse d u tems. Il est aelé urée de vie des orteurs. τ 1 A Recombiaiso ar cetres ièges: Lors de la défiitio du matériau extrisèque, ous avios défii deux tyes de iveaux se situat das la bade iterdite; les iveaux de bord de bade qui itervieet das le mécaisme de doage et les iveaux rofods (situés vers le milieu de la bade iterdite). Ces deriers ot u rôle fodametal das les mécaismes de géératio-recombiaiso. Ils euvet e effet servir de relais our le assage des électros et serot d autat lus efficaces qu ils se situet rès du milieu de la bade iterdite car les robabilités d échages avec les bades de valece ou de coductio (émissio ou cature d électros) serot alors sesiblemet égales

46 Semi-coducteur hors d équilibre, héomèes de coductio Le Matériau semi-coducteur Itrisèque Cosidéros le cas d u semi-coducteur das lequel existe u iveau iège. Ce derier va ouvoir caturer uis réémettre de électros arès u certai tems corresodat au tems de iégeage. Les mécaismes d échage avec les bades ermises so défiis ci dessous. Les mécaismes d échage etre les bades et le iveau iège euvet se modéliser ar les quatre cas suivats: -a) Cature d u électro de la bade de coductio ar u iège vide -b) Émissio d u électro vers la bade de coductio ar u iège lei -c) Cature d u trou de la bade de valece ar u iège lei (a) (b) (c) (d) Ec Er (r) Ev -d) Émissio d u trou das la bade de valece ar u iège vide Les cetres ièges vot servir de «catalyseur» à la recombiaiso des électros libres e caturat ceux de la bade de coductio our les réémettre vers la bade de valece (cas a et c). Les ièges euvet aussi jouer le rôle de doeur (b) ou d acceteurs (d). Le tems edat lequel l électro reste «iégé» est lus ou mois log. C est lui qui défiit la durée de vie. ous allos, das ce qui suit, modéliser les différets échages afi d e tirer ue exressio de la durée de vie des orteurs. Toutefois, ce calcul est simlemet idicatif car il e met e œuvre qu u seul iveau iège ce qui e reflète que artiellemet la réalité. Les résultats obteus sot malgré tout satisfaisats, l écart ar raort aux mesures état que de quelques ourcets. Cature d u électro de la bade de coductio ar u iège vide Le flux d électros caturés ar cetimètres cubes et secodes est roortioel à la cocetratio des électros das la bade de coductio et à la desité de ièges vides (chargés ositivemet). Si ous aelos C le coefficiet de roortioalité, le taux de cature R c s écrit: Rc C r( 1 f( Er))

47 Semi-coducteur hors d équilibre, héomèes de coductio Émissio d u électro vers la bade de coductio ar u iège lei Ce taux déed du ombre de laces vides das la bade de coductio et du ombre de ièges leis (chargés égativemet). Le coefficiet de roortioalité sera oté E et le taux d émissio Re. R e E ( ) r f( Er) A l équilibre, o eut cosidérer que ces deux mécaismes se comeset ce qui ermet de détermier la relatio liat C et E. L égalité Re Rc doe: 1 f( Er) E ( ) 1 C avec f Er ( ) f( Er) 1 ex( E r ) kt E F + or 1 f ( E ) ex( ) f ( E ) E r kt E ex( r E c ) ex( ) F doc, kt E F ex( E E ) kt E C C r ( ) kt E c r r F E C ( ) ( ) Le terme * rerésete la desité qui existerai das la bade de coductio si le iveau de Fermi était cofodu avec Er. Lorsque le matériau est hors d équilibre,rc et Re sot différets; le flux d électros libres réellemet caturés vaut: R RcR e C r[ (1 f( Er)) f( Er)] Le même rocessus aliqué aux échages avec la bade de valece ermet d écrire: R Rc Re C r[ f( Er) (1 f( Er))] E régime ermaet, il y a égalité etre ces deux termes (as d accumulatio ) soit, R R. La durée de vie s écrit doc: R R τ Les costates C et C caractériset la caacité d u iège à caturer u électro (fig ci cotre). Elles sot foctio de la vitesse istataée de l électro (vitesse thermique vth ~ 10 7 cm/s) et d u terme aelé «sectio efficace de cature» qui traduit la roximité du iège das lequel doit asser l électro our être caturé. Cette sectio, otée σ ou σ est de l ordre de à cm. C σ <v th > de même, C σ <v th > ^ Électro caturé σ Électro dévié

48 Semi-coducteur hors d équilibre, héomèes de coductio as l hyothèse de faible iveau d ijectio, l excès de desité des orteurs est faible devat les desités d équilibre. E osat: 1 τ et vth τ 1 r vth o obtiet: r σ σ τ + + τ + τ Cette exressio est coue sous le om de «Formule de Hall-Schokley-Read» du o des trois chercheurs qui l ot établie. Elle eut s aroximer das le cas de matériaux doés. O obtiet: + + Pour u matériau tye τ τ Pour u matériau tye P τ τ Exercices Cas ou il existe lusieurs iveaux ièges. Le roblème e eut se traiter que das le cas ou il existe aucue corrélatio etre les différets iveaux (chacu d etre eux est cosidéré comme totalemet idéedat des autres de maière à e redre e comte que ses échages ossibles avec les bades). O eut alors aliquer le raisoemet récédet à chacu d etre eux. Tout se asse doc comme si o avait affaire à des héomèes e arallèle. La durée de vie résultate vaut doc: τ τ 1 1 τ τ 3 τ C est doc le cetre situé le lus rès du milieu de la bade iterdite qui sera le lus efficace. Les autres e jouet ratiquemet aucu rôle. τ1 τ τ 3 Ec E r1 E r E r3 Ev