Le produit scalaire. Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4. Sur les trois expressions du produit scalaire

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1 Exercices dernière impression le 17 mai 016 à 9: Le produit scalaire. Sur les trois expressions du produit scalaire Exercice 1 alculer pour les figures en choisissant la définition la mieux adaptée : D ı Exercice alculer pour les figures en choisissant la définition la mieux adaptée : D Exercice alculer pour les figures suivantes en choisissant la définition la mieux adaptée : D 1 Exercice 1 1 Sur la figure ci-contre, on a tracé deux cercles de centre et de rayons respectifs et. 1) alculer les produits scalaires suivants : K 60 I J a) I J b) I K c) I d) paul milan 1 Première S

2 ) Prouver que dans le repère (, ı, j ) les coordonnées de sont et, puis calculer : a) I b) I IJ c) K Exercice 5 À chacune des figures ci-dessous, associer, parmi les égalités suivantes, celle qui donne le bon résultat du calcul de. a) = b) = c) = d) = 1 e) = D H Exercice 6 Quel théorème permet d affirmer : = et = 6 1 H Exercice 7 n donne trois points ( ; 1), (0 ; 5) et ( ; 1). 1) alculer. ) En déduire que cos = 1 5 et donner une mesure, à un degré près, de. paul milan Première S

3 Propriétés Exercice 8 En utilisant les renseignements portés sur la figure ci-contre, calculer les produits scalaires suivants : ( ) a) + H ( b) c) ) H + H ( ) H + H ( ) 1 H + H H rthogonalité Exercice 9 Dans chacun des cas suivants, calculer u v en fonction de m et déterminer le réel m pour que u et v soient orthogonaux. a) u ( 5 ; ) et v (m ; ) b) c) u (m ; m+1) et u (m ; m) et v ( ; m) v (m ; m) Exercice 10 n donne ( ; 1), ( 1 ; ) et (1 ; ). 1) alculer ) En déduire la nature du triangle Distance Exercice 11 n donne les trois points (1 ; ), ( 1 ; 1) et ( ; ). 1) alculer, puis ) n note H le projeté orthogonal de sur (). a) Pourquoi = H? b) Pourquoi H est-il un point du segment []? c) En déduire H et H. Exercice 1 D est un parallélogramme tel que : =, D= et D=60 1) Démontrer que : ( + D ) = 8 et ( D ) = 1 ) En déduire les longueur et D, et une mesure de l angle paul milan Première S

4 pplication en physique Exercice 1 Intensité de la résultante Soit un point soumis à deux forces F1 et F qui forme un angle de 50 degré. Les intensités des deux forces F1 et F sont respectivement 00 N et 00 N. Par définition, la résultante des force est le vecteur R = F1 + F alculer l intensité de la résultante, à un newton près. F 50 F 1 Travail d une force Pour tirer sur 50 m de en une péniche légère, un cheval, placé sur le chemin de halage exerce une force F d intensité de 000 newtons selon une force de 5 avec la direction du déplacement. 1) Quel est le travail W de la force? ) Si la péniche est tirée par un bateau, suivant l axe du déplacement, quelle est l intensité de la force qu il faut exercer pour obtenir le même travail? Exercice 1 1),, sont trois points alignés dans cet ordre. est un point pris sur la perpendiculaire en à la droite (). Démontrer que : 5 = + 15 α ) Dans le cas de la figure ci-contre, calculer l angleα. 0 Droites et cercles Exercice 15 d est la droite d équation : x y+5=0 1) Trouver un vecteur normal à d. ) Trouver une équation de la droite passant par (1; ) et perpendiculaire à d. Exercice 16 Dans chacun des cas suivants, dites si les droites d 1 et d sont perpendiculaires. a) d 1 : x y+=0 et d : 6x+y 7=0 paul milan Première S

5 b) d 1 : y=x+5 et d : x y+1=0 c) d 1 : (1+ )x y+=0 et d : (1 )x+y=0 Exercice 17 Trouver l équation du cercle dans les cas suivants : a) de centre (1 ; ) et de rayon 5 ; b) de centre ( 1 ; ) et passant par ( ; ) c) de centre (1 ; ) et tangent à l axe des abscisses Exercice 18 Dans chacun des cas suivants, démontrer que l équation proposée est celle d un cercle dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon : a) x + y x y 5=0 b) (x )(x+5)+(y 1)(y )=0 c) x + y 6x 9y 1=0 Exercice 19 Soit les points I( ; 1) et (1 ; 5). est le cercle de centre I passant par. Démontrer que la droite d d équation y= 1 x+ 9 Exercice 0 est tangente en au cercle n donne le point (1 ; ) et la droite d d équation x+y=0. Démontrer que le cercle de centre passant par est tangent à d. Exercice 1 est le cercle d équation x +y x+y =0 et d la droite d équation x+y 6=0 1) Faire une figure. ) Vérifier les points ( ; 1) et (5 ; 1) appartiennent à ) a) Le droite d est-elle tangente à au point? b) Déterminer l équation de la droite d tangente à en. Relations métriques dans un triangle Exercice est un triangle. Dans chacun des cas suivants, calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles manquants. 1) =8, = et =60. ) =8, = et =5. paul milan 5 Première S

6 Exercice Dans la figure ci-contre, calculer : 1) L aire du triangle. ) Le périmètre du triangle. 60 Exercice Dans la figure ci-contre, calculer : 1) La longueur de la médiane I. ) La longueur des deux autres médianes. 8 9 Exercice 5 L aire d un triangle est 5, = et =60 1) alculer ) Démontrer que = 1 10 I Exercice 6 triangle tel que =6, = et = 1. L unité est le cm. 1) Trouver, en radians, une mesure de l angle. ) Trouver en cm, l aire du triangle. Exercice 7 1) a) En précisant le théorème utilisé, calculer cos b) En déduire sin 7 ) Quelle est l aire du triangle? 8 Exercice 8 D est un parallélogramme tel que : =7 D= =8 1) a) Démontrer que D = b) En calculant D d une autre façon, trouver cos D. En déduire que : sin D= 7 ) a) alculer l aire du triangle D. b) En déduire l aire du parallélogramme D. paul milan 6 Première S

7 Trigonométrie Exercice 9 1) Vérifier que : ) Vérifier que : 5π 1 =π 6 +π 11π 1 = π +π puis calculer cos 5π 1 puis calculer cos 11π 1 et sin 5π 1 et sin 11π 1 Exercice 0 alculer cos x dans chacun des cas suivants : a) cos x= b) cos x= 5 c) sin x= 1 Exercice 1 Réduire les expressions suivantes : a) (x)=cos 7x sin 6x sin 7x cos 6x b) (x)=cos x cos x sin x sin x c) (x)=cos x sin x+cos x sin x Exercice Exprimer chacune des expressions suivantes en fonction de sin x et cos x. ( a) sin x π ) b) ( cos x+ π ) c) ( sin x π ) Exercice x est un réel de l intervalle ] 0 ; π [. a) Réduire l écriture de l expression : sin x cos x sin x cos x b) En déduire que : Exercice sin x sin x cos x cos x = a et b sont deux réels de l intervalle 1) alculer sin a et cos b. ) En déduire cos(a + b) et sin(a + b). [ 0 ; π ] tel que : cos a= 5 et sin b= 1 paul milan 7 Première S

8 Exercice 5 [ a et b sont deux réels de l intervalle 0 ; π ] tel que : sin a= 1 6 et cos b= 6+ 1) alculer cos a et vérifier que sin b =. ) a) alculer cos(a+b) et sin(a+b). b) En déduire (a+b) puis b. Exercice 6 [ a est un réel de l intervalle 0 ; π ] tel que : cos a= 1) alculer cos a ) a) quel intervalle appartient a b) En déduire a, en justifiant votre réponse. + Exercice 7 a est un réel de l intervalle ] 0 ; π [ 1) a) Démontrer que : (cos a+sin a) = 1+sin a b) En déduire que : 1+sin a cos a = cos a+sin a cos a sin a ) Sans calculer cos π 8 et cos π, déduire de la question précédente que : 1 cos π 8 + sinπ 8 = 1+ et cos π 1 + sin π 1 = cos π 8 sinπ 8 cos π 1 sin π 1 Exercice 8 Triangle et cercle inscrit omme l indique la figure ci-contre, est un triangle, le cercle de centre et de rayon est le cercle inscrit tangent en I à (). n a I=8 et I=6. 1) a) alculer : sin  b) Déduire que : et cos  K J sin Â= 5 et cos Â= 5. 8 I 6 ) De même, calculer sin et cos. ) a) Démontrer que : cos Ĉ= cos(â+ ) et sin Ĉ=sin(Â+ ) b) En déduire cos Ĉ et sin Ĉ paul milan 8 Première S

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