Loi de modération de Lenz Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l induction s opposent à la cause qui les a produits.

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1 EM2 : Induction électromagnétique 1 Phénomènes d induction 1.1 Circuit fixe dans un champ variable Étudions l effet du déplacement d un aimant par un opérateur selon l axe d un solénoïde en circuit fermé. On peut alors décomposer les liens entre cause et effets : Le circuit étant placé dans une zone de champ magnétique variable, il va subir une f.e.m induite. Le circuit étant fermé, une intensité va donc traverser les spires Une spire traversée par un courant crée en tout point de son axe un champ magnétique. Il apparait donc un champ magnétique induit Ò sur l axe où se déplace l aimant. L énergie magnétique du dipôle Å va donc varier. Or d après le principe de conservation de l énergie, l énergie électrique produite par l apparition du courant induit doit correspondre à une énergie mécanique fournie par l opérateur. 1.2 Circuit mobile dans un champ uniforme On étudie ici une spire tenue par deux fils de torsion de couple de torsion placée dans une zone de champ magnétique : On observe un effet d amortissement des oscillations lorsqu il existe un champ extérieur. Loi de modération de Lenz Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l induction s opposent à la cause qui les a produits. 2 Circuit fixe dans un champ variable 2.1 fem induite D après la définition des potentiels associés au champ électromagnétique, on a la relation ÖÎ La force de Lorentz appliquée à un porteur de charge Õ Ñµ pour le circuit considéré comme immobile dans le référentiel galiléen d étude s écrit alors Õ Ú ÔÓÖÙÖ On peut alors considérer la circulation de cette grandeur sur une ligne de courant pour le circuit entre et. On a alors Ð en tout point de la ligne parallèle au vecteur Ú ÔÓÖÙÖ, soit Ö Î µ On peut alors calculer la circulation sur la ligne de courant : Ý Õ Ð ßÞ Ð ¼ Ð Ú ÔÓÖÙÖ Ð Ý Ý ÖÎ Ð ßÞ Ð Î Ý Ð Le terme Ý Ð est donc homogène à un potentiel électrique, et correspond à une différence de potentiels donc une force électromotrice. Elle est la conséquence de la variation du champ, on la nomme donc fem induite

2 fem induite Les effets de la variation du champ sur une portion d un circuit mobile fixe sont modélisables par une force électromotrice induite Ý Ð 2.2 Loi d Ohm généralisée Considérons un conducteur cylindrique de section Ë entre et En se plaçant dans l A.R.Q.S, on peut utiliser la loi d Ohm locale, ce qui amène, en allant de à sur une ligne de courant, à la relation suivante Ð Ð Î Î µ Ý Ý Si la circulation a été choisie dans le sens conventionnel pour, et sachant que l on se place dans l A.R.Q.S ( Ü µ µ) alors Ý Ð Ä En considère (pour simplifier la démonstration) que la répartition de courants est uniforme, on peu alors dire que Ë. On reconnaitra le terme Ä Ë On aboutit alors à la loi d Ohm généralisée Î Î µ Loi d Ohm généralisée Pour une portion de circuit de résistance pour lequel le phénomène d induction est traduit par la fem induite, Ù 2.3 Cas des circuits fermés : Loi de Faraday Ò Ð ÖÓ L utilisation de théorème de Stokes oblige à considérer un contour Ë fermé. Loi de Faraday Dans le cas d un circuit fermé fixe de contour orienté, placé dans un champ magnétique variable, la f.e.m induite Ò est donnée par la loi de Faraday Ë s appuyant sur le contour, orienté selon la règle du tire bouchon

3 Le contour doit théoriquement être fermé afin d appliquer la loi de Faraday. En pratique, on pourra l utiliser entre deux point et sur un contour quasiment refermé. Application Une spire de rayon et de résistance linéïque Ö Ð située dans le plan ÜÇÝ est placée dans une zone de champ magnétique ¼ Ó Ù Þ Déterminer l expression de l intensité µ induite dans le circuit Ë On commence par orienter le circuit. Ce choix est à priori arbitraire, cependant, il est préférable d orienter le contour tel que les vecteurs Ë et soient dans le même sens. On peut alors calculer la fem induite : µùþ Ë µ Ù Þ ¾ D après la loi d Ohm généralisée, avec l intensité fléchée dans le sens positif du contour ¼ ¾Ö Ð ¾Ö Ð 2.4 Auto-induction Inductance propre Il existe un phénomène d induction du à l apparition d un champ magnétique crée par le courant circulant dans le circuit lui-même. Ce phénomène est alors appelé auto-induction. L intensité parcourant un circuit créant un champ magnétique, celui-ci va avoir les mêmes conséquences sur le circuit qu un champ extérieur. On peut quantifier cet effet : Le courant µ traversant le circuit crée en tout point Å un champ Å µ En orientant le contour selon le sens choisi pour µ, on peut calculer le flux propre pour le circuit È Å µ Ë Å Ë Or les ligne de champ sont orientées de l intérieur vers l extérieur de la surface, donc Å µ Ë Å ¼ Å ¾ Ë D autre part, en tout point Å, le champ magnétique est proportionnel à l intensité du courant µ traversant le circuit. Bilan : È Ä µ On se situe ici dans le cas de Neumann : Ô µ È Ä µ

4 Le flux du champ magnétique induit par le courant µ traversant le circuit, nommé flux propre, est proportionnel à µ. On définit l inductance propre, L, exprimée en Henry (H) ce coefficient. Alors È Ä µ L effet sur le circuit est alors caractérisé par une f.e.m induite : Ô Ä µ µ Loi d Ohm généralisée Ô µ Î Î Ä Ü Ä avec Ü : fem induite par d autres phénomènes que l auto-induction Circuit Ä soumis à un échelon de tension On alimente une bobine de résistance et d inductance Ä par un générateur fournissant un échelon de tension entre ¼ et. Il n existe aucun champ magnétique extérieur. Loi d Ohm généralisée : µ Ä Pour ¼, µ ce qui donne avec les : µ ¼ ½ ½ Ä Le bilan de puissance nous donne È Ó È Ò È ÂÓÙÐ ¾ ¾ È Ò ¾ È ÂÓÙÐ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½¾ ½ ½ ¾ ¼ ½ ½ ½ En réarrangeant l expression, on obtient alors Energie électromagnétique È Ó Ä ½ ¾ Ä¾ Une bobine crée en tout point Å de l espace un champ magnétique Å µ auquel on associe une énergie magnétique volumique Ù Ñ ½ ¾ Å µ ¾ ¼ L énergie totale associée au champ magnétique, et donc au phénomène d auto-induction, correspond à Ñ Ô ½ ¾ ¼ ¾ Å µ

5 Or on a vu dans l étude précédente que l énergie emmagasinée par un tel système s exprime en fonction du coefficient Ä. On peut donc comparer les deux expressions Energie emmagazinée par la bobine Une bobine d inductance Ä emmagazine une énergie à un instant telle que Ñ ½ ¾ Ä¾ µ Ô ½ ¾ ¼ ¾ Å µ On peut considérer qu il s agit là d une seconde définition du coefficient d auto-induction. 2.5 Couplage magnétique de circuits Inductance mutuelle Considérons deux circuits fermés, chacun comportant une bobine. On note respectivement Æ ½ et Æ ¾ leur nombre de spire et Ë ½ et Ë ¾ leurs sections. Ö ½ Ä ½ Ö ¾ Ä ¾ ½ µ Ù ½ µ Ù ¾ µ ¾ µ La bobine (1) crée au niveau de la bobine (2) un champ magnétique ½. Alors ½¾ ½ È µ Ë ¾ Æ ¾ D après la loi de Biot et Savart, L intensité du champ ½ sera proportionnel, en tout point de l espace, à l intensité ½ traversant la bobine créeant le champ. On peut donc définir une céractéristique Å ½¾ de la géométrie des circuits (1) et (2) et écrire ce flux sous la forme ½¾ Å ½¾ ½ µ De la même manière, on définit Å ¾½ tel que ¾½ Å ¾½ ¾ µ. Inductance mutuelle Deux circuits couplés sont caractérisés par leur inductance mutuelle dépendant de la géométrie des circuits Å Å ½¾ Å ¾½ On admet l égalité des deux grandeur (Théorème de Neumann) Alors ½¾ Å ½ µ ¾½ Å ¾ µ Le coefficient Å est une grandeur algébrique. En effet, si l on choisit d inverser le sens de "rotation" de l intensité dans l une des bobines, le champ crée par cette bobine changera de sens et par conséquent l effet sur la seconde sera inversé.

6 2.5.2 Equations électriques On a dédormais pour chacune des bobines les effets cumulés de l auto-induction et de la mutuelle induction. Ô Ce qui donne d après la loi d Ohm généralisée vu précédemment : De même pour le second circuit. ½ Ù ½ µ Ö ½ ½ Ä ½ Å ¾ On peut donc retenir l analogie suivante : ½ ¾ ½ ¾ Å ½ Ä ½ ½ Å ¾ ¾ Ä ¾ ¾ Å ½ Ù ½ Ä ½ Ö ½ Ä ¾ Ö ¾ Ù ¾ Ö ½ Ö ¾ Aspect énergétique Si l on reprend l exemple précédent, on aura È ÓÙÖ Ù ½ ½ Ù ¾ ¾ Or le bilan peut également s écrire ½ Ö ½ Ä ½ Å ¾ ¾ ½ Ö ¾ Ä ¾ Å ½ ¾ È ÓÙÖ È ÓÙÐ Ñ Comme È ÓÙÐ Ö ½ ¾ ½ Ö ¾ ¾ ¾, on obtient par identification l énergie magnétique d un tel système L énergie magnétique d un système de deux circuits couplés, en l absence d autres sources magnétiques, s écrit Ñ ½ ¾ Ä ½ ¾ ½ ½ ¾ Ä ¾ ¾ ¾ Å ½ ¾ Une application : le transformateur Application 3 Cas de Lorentz : Circuit mobile dans un champ uniforme 3.1 Transformation du champ électromagnétique On travaille sur le cas particulier du rail de Laplace.

7 ¼ ¼ Ú Loi de composition des vitesses La vitesse d un porteur de charge dépend du référentiel d étude Ú R Ú R ¼ Ú Invariance des forces Les modélisations des actions mécaniques sont indépendantes du référentiel dans le cadre de la mécanique Newtonienne. Caractéristiques dans R du laboratoire Champ électromagnétique µ Force de Lorentz appliquée à une charge Õ : Õ ÚR µ On exploite donc la notion d invariance de la force de Lorentz Õ Ú R ßÞÐ Ú R ¼ Ú Caractéristiques dans R ¼ lié à la barre Champ électromagnétique ¼ ¼ µ Force de Lorentz appliquée à une charge Õ : ¼ Õ µ Õ ¼ ÚR ¼ ¼ µ Ú R ¼ Ú µ Supposons par exemple que l on fixe Ú. La relation doit être vérifiée Ú R ¼ : Ú ßÞ Ð Ú R ¼ ¼ Ú Par identification, on en déduit donc Ú R ¼ ¼ µ ¼ ÚR ¼ La seconde égalité montre que le vecteur ¼ µ est parallèle à solution est alors l égalité des champs. ¼ ßÞÐ Ú R ¼ ¼ ¼ Ú R ¼ ¼ µ ÚR ¼, quelle que soit la direction de cette vitesse. La seule Les champs électromagnétiques µ dans R et µ dans R ¼ sont liés par les transformations ¼ Ú ¼ 3.2 fem induite Invariance des vecteurs densité de courant Le systèmes est un circuit fermé. Dans l ARQS, on considère que l intensité est la même en tout point d une branche. Elle doit donc être la même au niveau des parties fixe et mobile du circuit. On admet que le vecteur densité de courant a une expression indépendante du référentiel Ainsi, comme les expressions du champ électrique dépendent du référentiel, la loi d Ohm locale ne peut donc pas s appliquer dans tous les référentiels! En effet on a mis en place la loi d Ohm locale dans le référentiel d étude lié au conducteur ¼ ¼ ¼ Ú µ Or dans le référentiel R on a bien Ö Î µ ßÞÐ ¼, ce qui donne Ö Î µ Ú ßÞ Ð Ñ µ

8 Le champ électromoteur est égal dans le cas d un circuit mobile à une vitesse Ú dans une zone de champ permanent à Ñ Ú Cas de Lorentz Pour une portion d un circuit mobile à une vitesse Ú dans une zone de champ permanent, le circuit est le siège d une fem d induction Ý Ú µ Ð 3.3 Loi de Faraday Prenons l exemple d une barre mobile sur deux rails parallèles (les rails de Laplace) ¼ Ú Ç Ü Calcul de la fem induite par le champ électromoteur Sur l ensemble du circuit : Ú È µ ¼ µ Ð Ú È µ ¼ µ Ð È ¾ Ý En effet, le circuit n est mobile qu au niveau de la barre. On a choisi ici l orientation du contour de vers, qui nous donnera donc la fem induite Ý Ý Ý Ú Ù Ü ¼ ÙÞ µ Ý Ù Ý Ý Ú ¼ Ù Ý µ Ù Ý Ú ¼ Calcul de la fem induite par la loi de Faraday On choisit d orienter le contour dans le même sens positif que précédemment, à savoir dans le sens trigonométrique. ¼ Ù Þ ËÙ Þ ¼ Ë ¼ Ü ¼ Ü ¼Ú On admet que dans les cas des circuits filiformes étudiés, la loi de Faraday s applique aux cas d un circuit mobile dans un champ stationnaire.

9 3.4 Conversion électromécanique : le haut-parleur Analyse de la réponse Schéma du haut-parleur 1 Aimant Bobine Membrane Aimant Bobine Ü Ü Å Å Å Å Å Å Ressort Coupe transversale de l aimant Vue de face de l aimant Bilan électrique La loi d Ohm généralisée donne donc µ ÔÖ Ú µ Ð Æ¾ Ü Ù µ Ä µ Bilan mécanique On fait le bilan des forces appliquées à la bobine en mouvement Poids, compensé par les actions de liaison La force de rappel de la membrane, assimilable à un ressort La force de frottements de l air La force de Laplace ÐÔÐ ÐÔÐ On notera aussi Ð Æ¾ Le théorème de la résultante cinétique donne donc Couplage électro-mécanique On se retrouve donc avec les sytèmes d équation ÖÔ Ü Ù Ü ÖÓ Ü Ù Ü µ Ð ÔÖ µð ÔÖ Þ Ù Ü Ù Ö µ ÐÙ ÔÖ Æ¾ Þ ÔÖ ÑĐÜ Ü Ü Ð ÑĐÜ Ü Ü Ð µð Ù Ù Ö Ù Ü µ µ¾æ Ù Ü caractérisant le couplage électro- Ù µ Ä µ Æ¾ Ü macanique. Considérons une tension sinusoïdale Ù Í Ó appliquée à l entrée du haut-parleur, et étudions la réponse mécanique de celui-ci : On parlera de l efficacité du haut-parleur comme du rapport Ú Í. Ú ÍÐ Ð ¾ ¾ Äµ 1. Ce schéma est mis à disposition sur ce site. Merci à l auteur! Ñ

10 L efficacité du haut-parleur dépend de la fréquence. Or pour une restitution fidèle du son, il serait bon que cette grandeur soit indépendante de la fréquence. C est pour cette raison que les enceintes sont constituées de plusieurs haut-parleurs pour des gammes de fréquences différentes Bilan énergétique Il faut donc ici passer des équations électrique et mécaniques obtenues aux bilan de puissance Puissance égale au produit d une tension par une intensité Ù ¾ Ä Puissance égale au produit scalaire d une force par une vitesse ÐÚ ßÞ Ð È ÒÙ Ñ Ú Ü Ú Ü Ú ¾ ÐÚ ßÞ Ð È ÐÔÐ On s aperçoit que ÈÐÔÐ ÐÔÐ Ú ÐÚ È ÒÙ Ò ÐÚ Conversion d énergie Le couplage d un circuit mécanique mobile dans un champ magnétique permanent est parfait : La puissance des forces de Laplace est égale à l opposé de la puissance de la fem induite È ÐÔÐ Ò ¼