APPORT DE L ANALYSE TEMPS-FRÉQUENCE DANS LE CONTRÔLE PAR LA TECHNIQUE DES ONDES GUIDÉES PARTIE 2 : EXEMPLES INDUSTRIELS
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- Jean-Charles St-Arnaud
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1 ÉTUDES ET RECHERCHE APPORT DE L ANALYSE TEMPS-FRÉQUENCE DANS LE CONTRÔLE PAR LA TECHNIQUE DES ONDES GUIDÉES PARTIE 2 : EXEMPLES INDUSTRIELS S. YAACOUBI 1, F. DAHMENE 1, M. EL MOUNTASSIR 1 ET D. CHAUVEAU 2 (INSTITUT DE SOUDURE) Le contrôle par la technique des ondes ultrasonores guidées de longue portée, en tant que technique de contrôle non destructif, connaît un essor croissant notamment dans la maintenance préventive des tuyauteries et canalisations. Les données des ondes guidées peuvent être analysées, pour un espace donné, dans le domaine temporel, fréquentiel ou tempo-fréquentiel. Une certaine complémentarité entre ces différents types d analyse existe. Cet article fait suite à celui précédemment publié dans le numéro 9/1 de Soudage & Techniques connexes. Intitulé «Apport de l analyse temps-fréquence dans le contrôle par la technique des ondes guidées Partie 1 : bases et exemples académiques», ce dernier était consacré à l introduction de l analyse temps-fréquence et à la spécificité de son application aux signaux de longue portée. Une lecture pragmatique de ce type d analyse appuyée par des exemples didactiques y était présentée. Au travers de différents exemples industriels, ce deuxième volet d une série de trois articles dédiés à l analyse tempsfréquence montre l étendue des capacités offertes par cette technique de traitement de signal. Une technique dont la spécificité est d assurer le trait d union entre les domaines temporel et fréquentiel. L analyse fine des phénomènes de dispersion compression et dilatation y est effectuée en tirant profit de la relation entre le temps, la vitesse et la fréquence. On y découvrira enfin comment l outil Transformée de Fourier à Court Terme (TFCT) permet de dissocier, dans la limite du possible, les différentes parties constituant le signal temporel. 1. DISPERSION, DIAGRAMME TEMPS-FRÉQUENCE ET COURBES DE DISPERSION Vitesse de groupe [m/s] Comme l on a pu voir dans l article 1, l évolution fréquentielle d un signal temporel (ou l évolution temporelle du contenu fréquentiel) peut être connue, par le biais d outils de traitement de signal tel que le spectrogramme. Cet outil peut être utilisé pour connaître le degré de dispersion d un signal d ondes guidées. En effet, dans un guide d ondes, les vitesses de groupe et de phase aussi bien que la longueur d ondes évoluent souvent en fonction de la fréquence, comme il peut être observé, à titre d exemple, dans la fi gure 1, pour le cas de la vitesse de groupe. La vitesse de groupe est le quotient de la distance parcourue par l onde et du temps mis pour parcourir cette distance (temps de vol). Cette dernière est fi xe tant qu aucune contrainte susceptible d engendrer une déformation relativement importante n est appliquée sur la structure en question. Par conséquent, le temps de vol doit forcément dépendre de la fréquence. Le spectrogramme (ou équivalent) peut être utilisé pour calculer les courbes de dispersion expérimentales. La formulation suivante réécrit ce qui précède au moyen de simples égalités mathématiques : V(f) = d / t t = d [V(f)] 1, V(f) ( t = g(f) (1) où V, d, t et f sont respectivement la vitesse de groupe, la distance, le temps, la fréquence et g, une fonction. Il est à noter que les cas de vitesse de groupe nulle et négative sont exclus de la présente étude. En examinant minutieusement les courbes de dispersion de la vitesse de groupe (celles de la fi gure 1 par exemple), il est possible de classer son comportement, en fonction de la fréquence, en trois types de plages. Pour illustrer clairement cette constatation, le mode 3 a été isolé de la fi gure 1 et montré dans la suivante (fi gure 2) Fréquence [Hz] x 1 5 Figure 1 : Exemple de courbes de dispersion de vitesses de groupe (ces courbes sont tributaires du matériau de la structure en question, de sa géométrie dans la plan normal à la direction de propagation et de ses dimensions dans ce plan). 1. Institut de Soudure, Plate-forme RDI CND, 4, boulevard Henri-Becquerel, 5797 Yutz (France). Tél. : s.yaacoubi@institutdesoudre.com 2. Institut de Soudure Industrie, Direction Innovation, 9 rue des Vanesses, Villepinte (France). I NOVEMBRE-DÉCEMBRE 214 I SOUDAGE ET TECHNIQUES CONNEXES _318_P_41_46_ETUDES_ET_RECHERCHE.indd 41 21/11/14 8:18
2 CONJONCTURE ÉTUDES ET RECHERCHE Croissant Quasi-constant Décroissant Croissant Quasi-constant Décroissant Figure 2 : Zooms au niveau de la figure 1 : sur le mode 3, celui qui a une fréquence de coupure d environ 75 khz (à gauche) et sur les 3 modes existants entre 8 et 1 khz (à droite). f(t) = c 1 [t] 1 c 2 (3) avec c 1 = d/a et c 2 = b/a. L équation précédente est défi nie physiquement pour tout f >. Il faut donc que t soit inférieur à d/b. Dispersif avec compression, les basses fréquences sont plus rapides que les hautes (se propagent à des vitesses plus élevées) et arrivent donc plus tôt. Par analogie avec le cas précédent, un scénario d une vitesse évoluant en fonction de la fréquence est donné dans la fi gure c1. Le temps qui lui est associé est présenté dans la fi gure c2. L étude menée dans cette section et les constatations soulignées seront exercées, dans la section suivante, sur des exemples réels issus de la base de données de l Institut de Soudure. Comme il peut y être remarqué, les trois plages précédemment décrites peuvent coexister dans le même mode sur une large gamme de fréquence ou sur une relativement courte pour différents modes. D une manière plus générale et sans se restreindre à ces deux cas spécifi ques, lesdites plages peuvent être déclinées comme suit : Purement non dispersif, ce qui revient à dire mathématiquement que la vitesse ne dépend pas de la fréquence, tel est le cas du mode T(,1) dans un tube ou une barre et du mode SH dans une plaque, tous placés dans le vide. En exploitant l équation standard (1), la courbe de dispersion du temps de vol associée peut être aisément tracée. La figure 3 (a1 et a2) illustre ce cas. Les courbes de dispersion théoriques sont souvent tracées sous formes de lignes sur une gamme fréquentielle relativement large. La zone «multicolore», quant à elle, simule la courbe de dispersion obtenue expérimentalement ; son étendue fréquentielle dépend de la bande passante du transducteur utilisé. Ce cas sera revisité plus loin dans les exemples industriels, ce dernier étant le cas le plus usité actuellement in situ. Concernant les autres modes, il existe des zones fréquentielles où la dispersion est très minime et peut de ce fait, rentrer dans cette catégorie. Les zones dénommées «quasi-constants» dans la figure 2 en est un exemple, donné à titre indicatif. Dispersif avec dilatation (c'est-à-dire le signal temporel se dilate en fonction du temps). Dans ce cas, la fréquence décroît avec le temps, ce qui implique que les basses fréquences sont plus lentes que les hautes fréquences et arrivent donc plus tard au récepteur. L idée est illustrée dans les figures b1 et b2 où la vitesse évolue linéairement en fonction de la fréquence : V(f) = a f + b (2) où : a et b sont respectivement la pente, l ordonnée à l origine. En injectant (1) dans (2), la fréquence s exprime en fonction du temps par : Figure 3 : Trois scénarios d évolution de la vitesse de groupe en fonction de la fréquence (a1, b1 et c1) et les évolutions du temps de propagation associées (a2, b2 et c2) : c'est la valeur constante de la vitesse ; le temps correspondant est d/c. 2. EXEMPLES INDUSTRIELS 2.1 EXEMPLE 1 : SIGNAL SÉVÈREMENT BRUITÉ La figure 4 présente un exemple de résultat non réellement exploitable à cause du bruit. On s en sert juste pour argumenter le pouvoir de cette technique. Ce signal et le diagramme temps-fréquence correspondant sont représentés en fonction de la distance au lieu du temps (figure 5). Réellement, le A-scan (figure du haut) représente l amplitude de l onde, à son arrivée au récepteur, en fonction du temps de propagation (qui est le temps que l onde a mis depuis sa génération jusqu à sa réception, comme décrit dans ce qui précède). Si l on connaît la vitesse de propagation de cette onde, on peut présenter le signal en fonction de la distance parcourue en utilisant la relation triviale entre le temps, la distance et la vitesse (voir équation 1). Le signal peut donc s appeler «spatial» au lieu de «temporel». Pour une meilleure cohérence avec la terminologie adoptée dans le tout ce qui précède et dans le premier article [1], on maintient dans le reste de l article l appellation «signal temporel». Il en va de même du diagramme temps-fréquence, qui peut également s appeler distance-fréquence. On s intéresse en premier lieu au signal temporel, sans faire attention au diagramme temps-fréquence. Visiblement, ce signal contient 4 zones (I, II, III et IV) à part la première partie (qui est le signal d excitation) à laquelle nous reviendrons à la fin de cette section avec plus de détails. En ce qui concerne ces zones, leur création, vis-à-vis du contenu fréquentiel, est purement qualitative. En effet, il n est pas évident de : savoir exactement où placer la limite entre les différentes zones ; quantifier (ou du moins estimer) les fréquences principales présentes dans chaque zone. 42S OUDAGE ET TECHNIQUES CONNEXES I NOVEMBRE-DÉCEMBRE 214 I 141_318_P_41_46_ETUDES_ET_RECHERCHE.indd 42 21/11/14 8:18
3 APPORT DE L ANALYSE TEMPS-FRÉQUENCE DANS LE CONTRÔLE PAR LA TECHNIQUE DES ONDES-GUIDÉES Figure 4 : Signal temporel (en haut) et diagramme temps-fréquence (en bas), le code couleur allant du vert au rouge correspond à l amplitude minimale de la TFCT à sa valeur maximale. Faisons appel maintenant au diagramme temps-fréquence. L on peut remarquer aisément l existence de 4 fréquences : 1. Une première fréquence, qui est la plus haute, et qui avoisine 18 khz. Celle-ci apparaît de temps en temps ce qui n est pas trop interpellant puisqu'elle est relativement trop haute par rapport à la fréquence centrale du transducteur utilisé. Comme il est connu, plus la fréquence s éloigne de la fréquence centrale, moindre est l amplitude acquise. 2. Une deuxième fréquence qui avoisine 15 khz. Plus présente que la première, elle apparaît assez régulièrement, mais avec des amplitudes non uniformes. Par exemple, dans la zone indiquée par «étoile», cette composante est trop faible L information ne peut pas être décelée du signal temporel. 3. Une troisième fréquence d environ 9 khz dont l amplitude correspondante est importante, en comparaison avec celles des deux premières fréquences. A l instar de 2., cette composante fréquentielle est quasi-absente dans la zone marquée par «étoile», qui correspond à la zone II du signal temporel. 4. Une quatrième fréquence de presque 5 khz, continûment présente à l exception de deux courtes durées : la première s étendant sur presque 1 cm aux alentours de la distance 5 cm et l autre, entre 3,9 m et 4,2 m. En conclusion, quatre composantes fréquentielles existent et possèdent différents degrés d importance. Grâce au diagramme temps-fréquence, ces fréquences sont déterminées avec précision. Une simple Transformée de Fourier (amplitude du signal versus la fréquence) pourrait faire apparaître les 4 composantes fréquentielles principales et la bande passante qui entoure chacune, qui pourraient se chevaucher entre elles. Cependant, la notion du temps est perdue. Autrement dit, dans une telle représentation, on ne saura pas affi lier une composante fréquence à son temps d arrivée et identifi er sa durée de présence (voir le premier article [1] pour de plus amples détails). Une fois le diagramme temps-fréquence obtenu et l analyse réalisée, des opérations de filtrage, segmentation ou autres peuvent être effectuées pour avoir une présentation finale claire et mieux exploitable par le non-spécialiste. La représentation temps-fréquence a permis : d identifier les coordonnées de l information, le temps et la fréquence ; de statuer sur l importance de cette dernière. Nota : Retour au signal d excitation Le signal d excitation, affiché aussi bien dans le diagramme temporel que dans le diagramme tempsfréquence, n est pas réellement celui de l excitation. Celui utilisé pour générer les ondes guidées contient beaucoup moins de cycles (période temporelle). Le signal est bruité, dans la réception, par des artéfacts électroniques ce qui est un phénomène presque courant et peut être remarqué dans plusieurs littératures, mais sans sérieux impacts sur les résultats à acquérir. Ce phénomène est mis en clair dans le diagramme temps-fréquence. 2.2 EXEMPLE 2 : AMÉLIORATION DE LA DISTANCE D INSPECTION On reprend ici un exemple d un signal temporel obtenu sur site et qui a été présenté dans le premier article [1] pour donner une idée sur la distance de propagation qui peut être atteinte. Le signal temporel et le diagramme temps-fréquence associé sont représentés respectivement dans la fi gure 5 du haut et du bas. On peut y remarquer que le diagramme temps-fréquence a permis d améliorer sensiblement la distance de propagation de l ordre d une trentaine de mètres (soit 2 %!). Ceci est assuré grâce au débruitage implicite effectué par la Transformée de Fourier de Courte Durée. Comme il peut être également remarqué, le contenu fréquentiel des réflecteurs géométriques diminue au fur et à mesure qu on s éloigne du traducteur. On peut constater que les hautes fréquences n ont pas suffi samment d énergie pour atteindre regagner le traducteur. Un traducteur de large bande sera privilégié dans ce cas de fi gure, mais à condition de n exciter qu un mode unique et non dispersif et ce, pour assurer une analyse la plus fi able possible. 2.3 EXEMPLE 3 : PHÉNOMÈNE DE COMPRESSION ET DILATATION DES MODES QUI COHABITENT! Le signal temporel présenté dans la figure 6 est obtenu sur un tube ayant trois irrégularités géométriques espacées. Chacun des trois échos correspond à une irrégularité. À partir du signal temporel, il Figure 5 : Signal temporel (en haut) et diagramme temps-fréquence (en bas). Grâce au filtrage effectué par le biais de la représentation temps-fréquence, une information a été décelée à ( 18 m) et à 18 m. Cette représentation a donc poussé les limites de l inspectabilité. I NOVEMBRE-DÉCEMBRE 214 I SOUDAGE ET TECHNIQUES CONNEXES _318_P_41_46_ETUDES_ET_RECHERCHE.indd 43 21/11/14 8:18
4 CONJONCTURE ÉTUDES ET RECHERCHE Figure 6 : Signal temporel (en haut) et diagramme temps-fréquence associé (en bas). Figure 7 : Signal temporel (en haut) et diagramme temps-fréquence (en bas). est clair que le comportement de chaque écho est à dominance dispersive. Il reste à savoir si le mode axisymétrique, généré initialement, est présent dans la réfl exion (co-polarisation). Ce type d information est utile dans la classifi cation de défauts. À partir de l examen de la représentation temps-fréquence, il en résulte que : le 1 er écho contient au moins deux modes dispersifs ayant des vitesses différentes et où l un apparaît légèrement en retard par rapport à l autre. Le phénomène de dispersion par dilatation est présent dans les deux cas, sauf que pour le premier mode, la dilatation est concave tandis que pour le second, elle est convexe. Une telle propriété pourrait être exploitée dans la caractérisation de défauts ; les échos (2) et (3) ont un comportement similaire en termes de dispersion par compression. 2.4 EXEMPLE 4 : DÉTECTION D UNE PETITE HÉTÉROGÉNÉITÉ AÉRIENNE Du fait de l importante relative de son étendue, des techniques UT comme le TOFD ou le multiélément ne pouvaient pas être utilisées. Le contrôle de cette zone, pour évaluer l importance de cette corrosion, a alors été réalisé par ondes guidées. La figure 8 est une photographie de cette zone ainsi que les signaux obtenus en ondes guidées, à deux fréquences temporelles, par le biais d un système magnétostrictif. À au moins une des fréquences, un écho provenant de la zone corrodée est détecté. L analyse tempsfréquence montre que l écho contient au moins deux modes chevauchés, possédant deux comportements fréquentiels opposés de dilatation (1) et de compression (2), comme introduit dans la figure 1 b1, b2, c1 et c3. Les angles et θ, correspondant respectivement à (1) et (2) et de signes opposés, sont introduits pour illustrer les déviations de ces modes par rapport à la normale (temps = constante), qui désigne une dispersion nulle, ce qui est le cas d une soudure (voir (3)). Ces modes sont issus d une conversion du mode T(,1), initialement généré, prouvant donc que la géométrie du réfl ecteur n est ni uniforme ni perpendiculaire à la direction de propagation. En tenant compte de la taille du transducteur utilisé et de la distance séparant le réfl ecteur du transducteur, on conclut tout naturellement que l écho, détecté dans le signal temporel, correspond à un défaut, typiquement une corrosion. Basée sur une méthodologie développée par l Institut de Soudure, d autres signaux ont été acquis et un traitement mathématique a été réalisé pour en déduire non plus la perte de section mais la perte d épaisseur. Le résultat est de 26 % de perte d épaisseur. Cette valeur a été confirmée ultérieurement par une mesure directe : la perte d épaisseur, obtenue par le biais d une jauge, a été de 23 %. La décision ayant été prise d enlever le support. Le signal temporel présenté dans la fi gure 7 du haut est bruité et contient de nombreux mini-échos, qui sont dus manifestement à des modes subsidiaires indésirables. L exploitation de ce type de signal pour la recherche de défaut n est pas évidente. Le recours à d autres outils d analyse tels que le diagramme temps-fréquence semble être une nécessité. Dans la fi gure du bas, on voit clairement une réponse non cohérente avec le comportement global du signal (chute brutale de la fréquence). Celle-ci correspond à l irrégularité présente sur le tube objet de cette étude. 2.5 EXEMPLE 5 : DÉTECTION D UN DÉFAUT SOUS SUPPORT L exemple d application relaté ici concerne la recherche de corrosion sous support. Ceci n est pas limitatif. Lors d un contrôle visuel, une zone corrodée au niveau d un support a été identifiée. Figure 8 : Détection et dimensionnement d une corrosion sous support : photographie (a, b), signaux obtenus à 2 fréquences et diagramme temps-fréquence à la fréquence la plus faible. 44S OUDAGE ET TECHNIQUES CONNEXES I NOVEMBRE-DÉCEMBRE 214 I 141_318_P_41_46_ETUDES_ET_RECHERCHE.indd 44 21/11/14 8:18
5 APPORT DE L ANALYSE TEMPS-FRÉQUENCE DANS LE CONTRÔLE PAR LA TECHNIQUE DES ONDES-GUIDÉES 2.6 EXEMPLE 6 : EN VUE DU DIMENSIONNEMENT D UN DÉFAUT EN EXPLOITANT LE PHÉNOMÈNE DE CONVERSION DE MODES La figure 9 présente un exemple de résultat expérimental de détection d une entaille perpendiculaire à l axe de propagation (i.e. circonférentielle). Les entailles peuvent surgir dans les structures tubulaires lors des manutentions et installations (construction de lignes, ), suite à des chocs par des objets tranchants. Les entailles peuvent par ailleurs simuler des fissures (dues à la fatigue de la structure par exemple), mais à une échelle plus grande. Le signal temporel et le diagramme temps-fréquence associé sont tracés respectivement en haut et en bas de la même figure. Quatre échos y figurent et peuvent correspondre, de gauche à droite, à : un signal d excitation, incluant le champ proche et la zone morte ; un écho de réflexion dû à la soudure. Puisque chacun parmi la soudure et le mode incident (via un traducteur circonférentiel) est axisymétrique, un seul mode est à détecter par réflexion et est de même nature que celui incident : (T(,1) T(,1)) ; un écho de réflexion par l entaille. Celui-ci est symétrique et non-dispersif. Le mode correspondant est donc symétrique co-polarisé avec le mode incident T(,1) ; un 2 e écho de réfl exion par l entaille. Celui-ci est non symétrique et dispersif. Le fait qu il arrive avec un retard égal à (t2 t1) indique que sa vitesse de groupe est plus basse que celle de l écho principal. Le ou les modes contenus dans cet écho est ou sont induits par une conversion modale de T(,1), et puisque le transducteur employé n est pas sensible aux modes longitudinaux, le(s) mode(s) converti(s) ne peut/peuvent être que de fl exion. Comme il peut être remarqué, l amplitude du(es) mode(s) de fl exion est faible devant celle de T(,1). Ceci peut être expliqué par au moins deux raisons : la conversion modale a eu lieu à haute fréquence (f2), où l énergie doit être très faible à cause de la limite de la bande passante du traducteur utilisé ; le traducteur est conçu pour générer et recevoir le déplacement particulaire de cisaillement (i.e. les mouvements radiaux et axiaux sont théoriquement filtrés). Par conséquent, le(s) mode(s) de flexion reçu(s) est/sont produit(s) par un déplacement circonférentiel partiel. La pression acoustique résultante est donc relativement faible (force partielle locale / surface totale du traducteur). Dans ce cas, si une sonde multiélément est utilisée, des amplitudes plus élevées devraient être acquises, ce qui offrirait la possibilité d évaluer l extension circonférentielle d une telle entaille, comme décrit dans la littérature [2]. Figure 9 : Résultat de détection d une entaille: signal temporel (en haut) et temps-fréquence (en bas). Figure 11 : Rapport de la réflexion du mode de flexion F sur celle du mode axisymétrique A en variant l extension circonférentielle de l entaille C% (normalisée par le périmètre) [2]. En se basant sur la théorie il pourrait être possible de déterminer l extension circonférentielle en se basant sur le rapport des modes de fl exion et de torsion. La fi gure 11 en montre un exemple. 3. CONCLUSION L article présente différents exemples industriels argumentant le pouvoir de la représentation temps- Figure 1 : Photographie de l entaille objet de cet exemple d application de l analyse temps-fréquence. fréquence en termes de débruitage, identification du contenu fréquentiel et son évolution en fonction du temps, séparation de l information, tracé des courbes de dispersion... En ce qui concerne la séparation modale, elle n est pas toujours possible. En effet, quand : le réfl ecteur (défaut ou autres) est relativement proche du capteur, un seul écho atteint le capteur (c'est-à-dire les modes contenus dans cet écho n ont pas eu suffisamment de temps pour se séparer, avant qu ils soient détectés par le capteur, et/ou les vitesses des modes sont quasi-identiques, même si le capteur est relativement loin de la source, les modes se propagent ensemble, formant ainsi un seul écho. La représentation temps-fréquence n est pas capable non plus de séparer les modes contenus dans un seul écho surtout quand ils ont le même comportement fréquentiel en fonction du temps (par exemple tous sont non-dispersifs). D autres méthodes sont alors nécessaires pour effectuer la séparation modale désirée [3]. L analyse temps-fréquence peut être couplée à d autres algorithmes (tels que la segmentation) pour améliorer ses performances quant [4] : au débruitage ; I NOVEMBRE-DÉCEMBRE 214 I SOUDAGE ET TECHNIQUES CONNEXES _318_P_41_46_ETUDES_ET_RECHERCHE.indd 45 21/11/14 8:18
6 CONJONCTURE ÉTUDES ET RECHERCHE Figure 12 : Spectrogramme bruité (à gauche) et après débruitage et segmentation à droite [4]. à la séparation de sources disjointes dans le plan temps-fréquence ; caractérisation de signaux. Ci-dessus quelques exemples illustratifs extraits de cette référence. 4. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES Certaines références ont été citées dans le texte et d'autres sont en fort lien avec, sans qu'elles soient appelées. [1] S. Yaacoubi, M. El Mountassir et D. Chauveau, «Apport de l'analyse temps-fréquence dans le contrôle par la technique des ondes guidées partie 1 : besoin et bases académiques», Soudage et Techniques Connexes, vol. 68, n o 9/1, 214. [2] A. Demma, «The interaction of guided waves with discontinuities in structures», PhD Thesis, Imperial College London, 23. [3] Peter McKeon, «A Fundamental Study To Enable Ultrasonic Structural Health Monitoring of A Thick-Walled, Composite, Overwrapped Pressure Vessel», Phd at Georgia Tech Lorraine, 214. [4] Fabien Millioz, «Deux approches de segmentation temps-fréquence : détection par modèle statistique et extraction de contour par le champ de vecteurs de réallocation», Thèse de doctorat à l institut Polytechnique de Grenoble, 29. K. luangilai, W Punurai and L. Jacobs, «Guided Lamb wave propagation in composite plate/concrete component», J. of Engineering Mechanics, December 22, pp M. Niethammer, L. Jacobs, J. Qu and J. Jarzynski, «Time - frequency representations of Lamb waves», J. of Acoutical Society of America, 19 (5), pp L. Cohen, «Time-frequency analysis», Prence-Hall, Englewood Cliffs. D. Dai, and Q. He, «Structure damage localization with ultrasonic guided waves based on a time-frequency method», Signal Processing, 96 (214), pp «Time-Frequency Method for Nonlinear System Identifi cation and Damage Detection», Structural Health Monitoring, June 1, 28, 7 : L. Laguerre, J.-C Aimea, M Brissaud, «Magnetostrictive pulse-echo device for non-destructive evaluation of cylindrical steel materials using longitudinal guided waves», Ultrasonics, volume 39, Issue 7, April 22, pp W. H. Prosser, Michael D. Seale and Barry T. Smith, «Timefrequency analysis of the dispersion of Lamb modes», Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 15 (5), (May 1999), pp S OUDAGE ET TECHNIQUES CONNEXES I NOVEMBRE-DÉCEMBRE 214 I 141_318_P_41_46_ETUDES_ET_RECHERCHE.indd 46 21/11/14 8:18
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