Propagation sur une corde

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1 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 8 V ropagaion sur une orde Nous poursuions l éude du formalisme de DIRAC par l analse de phénomènes de propagaion en dimension. Ces phénomènes son régis par une équaion différenielle du seond ordre qui es don susepible d une inerpréaion dans e formalisme. Ae le soui onsan de priilégier l inerpréaion phsique des phénomènes, nous raions un eemple simple de propagaion d une onde à une dimension, don la représenaion phsique orrespond à la propagaion d une perurbaion le long d une orde endue. Cee siuaion présene une analogie formelle ae les eemples raiés préédemmen qui es mise à profi pour dégager une inerpréaion phsique des soluions déduies du formalisme de DIRAC. I quaion de propagaion La orde supposée infinimen longue es araérisée par sa ension, e sa densié linéique de masse. lle es disposée le long de l ae des. A l insan, une perurbaion es imposée à l erémié de la orde siuée en sous la forme d un déplaemen de faible ampliude Y M suian l ae O. Cee perurbaion se propage sur la orde e aein l absisse à l insan / si désigne la iesse de propagaion de l onde (Figure V-). Y M / O Figure V- : Représenaion d une perurbaion se propagean le long d une orde endue La mise en équaion de la propagaion s effeue en onsidéran un moreau de orde MM de longueur ds infinimen pei. On onsidère qu au passage de l onde, e moreau de orde ne subi pas de déplaemen horizonal suian l ae O, mais seulemen un déplaemen erial suian O d ampliude Y M. Ce déplaemen erial es régi par la relaion fondamenale de la dnamique.

2 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 9 Le segmen MM es infinimen pei e la ension qui s applique à haque erémié de e segmen es représenée figure V-. S il n a pas de mouemen des poins de la orde suian O, la proeion de la relaion fondamenale de la dnamique suian O s éri : ds (V-) Cee relaion es ompaible ae le fai que l angle θ peu êre onsidéré omme pei (e qui n es pas apparen sur la figure qui a éé dilaée pour des raisons de lisibilié), e que les omposanes horizonales de (d) e de () son sensiblemen opposées. -() M ds M θ (d) O d Figure V- : représenaion d une porion de orde infinimen peie e des ensions eerées. Suian O, la proeion de la relaion fondamenale de la dnamique donne l équaion du mouemen du poin de la orde d absisse qui ibre erialemen : ds ( sin θ( d) sin θ() ) (V-) are que l angle θ es pei, on peu uiliser les approimaions suianes : sin( θ ) g( θ) (V-3) d où on dédui : sin θ( d) sin θ() d d (V-4) soi, à parir de (V-) e en enan ompe du fai que ds es sensiblemen égal à d : (V-5) Il s agi de l équaion de propagaion dans laquelle (,) représene la posiion de l ordonnée de la orde à la posiion e à l insan. La iesse de propagaion es égale à :

3 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 3 (V-6) II Le formalisme de DIRAC n se referan à la méhode uilisée par Dira, nous herhons les onsanes α e α qui permeen de ransformer l équaion différenielle du seond ordre en une équaion différenielle du premier ordre au arré. La différene par rappor au hapires préédens réside dans le fai que haun des ermes de l équaion ompore une dériée parielle. (, ) α α (, ) (V-7) Après déeloppemen de l epression enre rohes au arré, on onlu par idenifiaion que es onsanes doien érifier simulanémen les rois ondiions : (α )² (α )² α α α α (V-8) Les maries de AULI M, M, M 3 définies dans les hapires préédens son onnues omme soluions à es ondiions : M M M 3 (V-9) Si on adope es maries omme susepibles de représener α e α, alors (,) doi égalemen reêir un araère mariiel, sous la forme d une marie olonne à deu élémens (, ), haque élémen représenan une ordonnée e aan don la dimension d un (, ) longueur, pour des raisons d homogénéié. L équaion dérian la propagaion de l onde s éri dans le formalisme de DIRAC : α α (, ) (V-) où le ouple (α, α ) peu êre hoisi parmi les 3 possibiliés offeres par les maries de AULI : (M, M ), (M, M 3 ), (M, M 3 ). On reherhe les soluions de l équaion (V-) en enlean le arré, e on es ainsi ramené à résoudre une équaion différenielle du premier ordre : α α (, ) (V-)

4 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 3 Le déeloppemen mariiel uilisan les maries M e M perme d érire epliiemen le ssème d équaions différenielles érifié par (,) e (,) : (,) (, ) (,) (, ) (V-) (,) (, ) (, ) (,) (V-3) e enore ae les maries M e M 3 : (,) (, ) (,) (, ) (V-4) (, ) (,) (,) (, ) (V-5) e enore ae les maries M e M 3 : (,) (, ) (,) (, ) (V-6) (, ) (, ) (,) (,) (V-7) ou enore en inersan les maries M e M 3 : (,) (, ) (,) (, ) (V-8)

5 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 3 (,) (,) (, ) (, ) (V-9) III Une inerpréaion énergéique III. - Inerpréaion en ermes d énergie sokée Le arré qui apparaî dans l équaion différenielle issue du formalisme de DIRAC suggère, omme dans les éudes préédenes, de s inéresser à l aspe énergéique du ssème éudié. La masse d un élémen de longueur ds es égale à ds, e possède une énergie inéique lors de son mouemen erial suian O : d ds (V-) à laquelle on peu assoier une densié linéique d énergie inéique : (V-) ). Au passage de l onde, la orde subi un éiremen infiniésimal égal à ds-d (figure V- De la relaion : ds d d (V-) on dédui l éiremen infiniésimal : ds d d (V-3) e l énergie poenielle assoiée : d d (V-4) à laquelle on peu assoier une densié linéique d énergie poenielle en uilisan l égalié au premier ordre (ds ~d) :

6 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 33 (V-5) n résumé, les densiés d énergie inéique e poenielle éhangées par haque poin de la orde lors du passage de l onde s eprimen oues les deu sous une forme quadraique faisan inerenir la première une dériée par rappor au emps, la seonde une dériée par rappor à l espae : (V-6) Suian une démarhe omparable à elle des hapires préédens, nous herhons le hangemen de ariable qui perme d eprimer les deu densiés à l aide d une seule e même formule, que nous hoisissons par eemple elle de l énergie inéique : (V-7) On es ondui à l idenifiaion d une ordonnée équialene de déplaemen de l élémen de longueur ds suian l ae O elle que : (V-8) L uilisaion de ee ordonnée équialene perme d eprimer les densiés d énergie inéique e poenielle emmagasinées dans une forme analogue : p (V-9) L ordonnée (,) e l ordonnée équialene (,) son liées par l équaion différenielle (V-8) que l on peu réérire : (V-3) Si nous dérions la relaion i-dessus par rappor à l espae, nous obenons en uilisan l équaion d onde (V-5) :

7 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 34 (V-3) soi enore après simplifiaion par la dériée parielle par rappor au emps : (V-3) De (V-3) e (V-3), nous déduisons que les deu ordonnées (,) e (,) qui permeen de aluler respeiemen la densié d énergie inéique e poenielle sokée dans l élémen de orde ds son soluions du ssème d équaions différenielles : (V-33) que l on peu érire en équaion mariielle : (,) (, ) (,) (, ) (V-34) où nous reonnaissons la soluion déduie du formalisme de DIRAC ae les maries de AULI M 3 e M. III. - quaion différenielle propre à haune des ordonnées (,) e (,) Le paragraphe prééden a permis, sur des onsidéraions énergéiques, de relier par un ssème d équaions différenielles les ordonnées (,) e (,) qui son assoiées à un mouemen erial de haque poin de la orde d absisse. Ces ordonnées doien érifier haune une équaion d onde propre rappelée idessous : (V-35) Il rese à érifier si le ssème (V-35) peu apparaîre direemen dans le formalisme de DIRAC qui agi sous forme mariielle. Ce formalisme doi en effe êre omplèemen ohéren ae l équaion d onde de dépar e doi permere en pariulier de rerouer direemen les soluions des deu équaions (V-35). Si on déeloppe es deu équaions sous la forme :

8 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 35 (V-36) l ensemble des soluions peu se déomposer en deu groupes. remier groupe : (V-37) Ce premier groupe de parenhèses prend l ériure mariielle : (,) (, ) (,) (, ) (V-38) où nous reonnaissons la soluion déduie du formalisme de DIRAC ae les maries de AULI M e M 3. Deuième groupe : (V-39) Ce deuième groupe de parenhèses prend l ériure mariielle : (,) (, ) (,) (, ) (V-4) où nous reonnaissons la soluion déduie du formalisme de DIRAC ae les maries de AULI M 3 e M. IV Conlusion Le formalisme e l inerpréaion formulée sur les ssèmes osillans se ranspose sans diffiulés apparenes à l équaion d onde faisan inerenir des éhanges d énergie sous la forme inéique e poenielle. On peu en faire les mêmes ommenaires qui ne son pas reproduis.

9 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 36 ar rappor au hapires préédens, l inroduion de deu dériées parielles inrodui une subilié qu il es imporan de souligner e qui a nous amener à disinguer la reherhe d une ordonnée équialene pour une onde progressie e une onde saionnaire. IV. Le as d une onde progressie Considérons une onde progressie de la forme : A (,) (V-4) Cee onde progressie es soluion de l équaion au dériées parielles : (, ) (, ) (V-4) e la reherhe d une ordonnée équialene (,) soluion du ssème (V-33) : (, ) (,) (,) (, ) (V-43) ondui à proposer de manière riiale, au u de la relaion (V-4) érifiée par une onde progressie, la soluion : (,) (,) (V-44) Cela signifie qu au passage d une onde progressie, il n a pas d éhange enre les énergies inéique e poenielle aahées à un poin d absisse de la orde. Les deu éoluen simulanémen de manière analogue. On le érifie en érian epliiemen les deu formes d énergie : (V-45) e qui donne en uilisan (V-4) (,) (,) (V-46) On en onlu que dans le as d une onde progressie, l absisse équialene (,) es égale à l absisse phsique (,), e que sa reherhe e son inerpréaion ne présenen pas d inérê dans le formalisme de DIRAC.

10 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 37 IV. Le as d une onde saionnaire Il en a différemmen lorsqu on onsidère une onde saionnaire qui érifie égalemen l équaion d onde, mais qui es onsiuée inrinsèquemen par deu ondes progressies qui éoluen dans des direions opposées. Dans ee siuaion, haque poin de la orde ibre ae une ampliude différene, mais pour un poin donné de la orde, l énergie s éhange alernaiemen sous la forme poenielle e inéique. (,) our le érifier, onsidérons une onde saionnaire à une dimension : Asin(k)sin( ω) (V-47) e alulons les densiés d énergies inéiques e poenielles orrespondanes : ω k A A sin (k)os ( ω) os (k)sin ( ω) (V-48) On noe que : k ω A k A (V-49) A e que pour une absisse fiée, les densiés d énergies inéique e poenielle s éhangen en quadraure dans le emps omme dans n impore quel ssème osillan. Il deien alors possible d ehiber epliiemen l ordonnée équialen (,) qui a permere de aluler les deu densiés d énergies ae la même formule : de (V-43), on dédui : (, ) A os(k) os( ω) (V-5) On érifie alors que l énergie poenielle peu s eprimer sous la même forme que l énergie inéique, mais ae l ordonnée équialene (,) : faisan usage de (V-49), on obien effeiemen : A os (k) sin ( ) p ω ω k A os (k) sin ( ω) (V-5) n onlusion, il semble que le formalisme de DIRAC appliqué à l équaion d onde à une dimension roue une inerpréaion simple en erme d ondes saionnaires. Dans e formalisme, l ordonnée phsique (,), e l ordonnée équialene (,) représenen les ordonnées d un poin de la orde sur deu modes saionnaires omplémenaires. Ces deu ordonnées saisfon au ssème imposé par les maries de AULI e permeen ae deu

11 hp://parik.audon.pagesperso-orange.fr Janier 38 grandeurs aan la même dimension d eprimer l énergie inéique e l énergie poenielle ae la même relaion. Nous allons onfirmer e poin de ue lors de la généralisaion à une propagaion en rois dimensions qui a êre proposée au hapire suian.