2 h Devoir surveillé Mardi 5 février 2008

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1 h Devoir surveillé Mardi 5 février 008 Exercice 1 10 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, u, v). On prendra pour unité graphique 1 cm. 1 Question de cours On rappelle que : «Pour tout vecteur w non nul, d affixe z on a : z = w et arg(z) = ( u, w)». Soient M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives m, n et p tels que m n et m p. a) Démontrer que : arg p m n m = ( MN, MP). b) Interpréter géométriquement le nombre p m n m. On considère les points A, B, C et D d affixes respectives z A = 4 + i, z B = 1 + i, z C = 5 i et z D = i. Placer ces points sur une figure. Soit f l application du plan dans lui-même qui, à tout point M d affixe z associe le point M ' d affixe z ' tel que : z ' = (1 + i) z 4 i. a) Préciser les images des points A et B par f. b) Montrer que f admet un unique point invariant Ω, dont on précisera l affixe ω. 4 a) Montrer que pour tout nombre complexe z, on a : z ' z = i ( i z). b) En déduire, pour tout point M différent du point ω, la valeur de MM ' et une mesure en radians de l angle MΩ ( MM ', MΩ). c) Quelle est la nature du triangle ΩMM '? d) Soit E le point d affixe z E = 1 i. Ecrire z E sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E ' associé au point E. Exercice Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, u, v) (unité graphique : cm). On considère les points A, B et C d affixes respectives z A = 1 + i -, z B = 1 i - et z C =. 1 Placer ces points sur un dessin. a) Vérifier que : z B z C z A z C = e i π/. b) En déduire la nature du triangle ABC. c) Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ 1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle Γ 1. a) Etablir que l'ensemble Γ des points M d affixe z qui vérifient : (z + z) + z z = 0 est un cercle de centre Ω d affixe. Préciser son rayon. Construire Γ. b) Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ. 4 On appelle r 1 la rotation de centre A et d angle π. a) Quelles sont les images des points A et B par la rotation r 1? Construire l'image C 1 du point C par la rotation r 1 puis calculer son affixe. b) Déterminer l'image du cercle Γ par la rotation r 1. 5 Soit r une rotation. Pour tout point M d affixe z, on note M 0 l image de M par r et z 0 l affixe de M 0. On posera : z 0 = a z + b, avec a et b des nombres complexes vérifiant a = 1 et a 1. On suppose que r transforme le cercle Γ en le cercle Γ 1. a) Quelle est l image du point Ω par r? En déduire une relation entre a et b. b) Déterminer en fonction de a l affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient un cercle fixe que l'on définira. Vérifier que ce cercle passe par C 1.

2 Exercice On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f (0) = 1 f (x) = 1 x ( ln x) + 1 si x > 0 On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i ; j ). 1 a) Calculer lim f (x). Que peut-on en déduire pour la fonction f? b) Déterminer la limite de f en +. a) Etudier la dérivabilité de f en 0. b) Montrer que f est dérivable sur l intervalle [ 0 ; + [ et calculer f '(x) pour x > 0, f ' désignant la fonction dérivée de f. Etudier le sens de variations de f sur [ 0 ; + [, puis dresser son tableau de variations. 4 Montrer que l'équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l intervalle [ 0 ; + [. Déterminer une valeur approchée décimale de α à 10 près. 5 Calculer une équation de la tangente D à la courbe C f au point d abscisse x = 1. 6 Construire la courbe C f et la tangente D (unité graphique : cm). CORRECTION

3 Exercice 1 Amérique du Sud novembre 006 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, u, v ). On prendra pour unité graphique 1 cm. 1 Question de cours On rappelle que : «Pour tout vecteur w non nul, d affixe z on a : z = w et arg(z) = ( u, w)». Soient M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives m, n et p tels que m n et m p. a) Démontrer que : arg p m n m = ( MN, MP). arg p m n m = arg (p m) arg (n m) = ( u, MP) ( u, MN) = ( u, MP) + ( MN, u) = ( MN, MP). b) Interpréter géométriquement le nombre p m n m. p m n m = p m n m = MP MN On considère les points A, B, C et D d affixes respectives z A = 4 + i, z B = 1 + i, z C = 5 i et z D = i. Placer ces points sur une figure. Soit f l application du plan dans lui-même qui, à tout point M d affixe z associe le point M' d affixe z' tel que : z' = (1 + i) z 4 i. a) Préciser les images des points A et B par f. z A ' = (1 + i) (4 + i) 4 i = 4 + i + 8 i 4 i = 5 i. z B ' = i. b) Montrer que f admet un unique point invariant Ω, dont on précisera l affixe ω. ω = (1 + i) ω 4 i ω = i. 4 a) Montrer que pour tout nombre complexe z, on a : z ' z = i ( i z). z ' z = (1 + i ) z 4 i z = i z 4 i. i ( i z) = 4 i + i z = z ' z b) En déduire, pour tout point M différent du point ω, la valeur de MM ' et une mesure en radians de l angle ( MM ', MΩ). MΩ z ' z = i (ω z) donc z' z ω z = z z' = i donc ( MM', MΩ) = arg ( i) = π z ω MM' MΩ = z z' z ω = c) Quelle est la nature du triangle ΩMM '? ΩMM ' est rectangle en M. d) Soit E le point d affixe z E = 1 i. Ecrire z E sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E ' associé au point E. z E = 1 i = e i π/ E ' est sur la perpendiculaire à (MΩ) passant par M et sur le cercle de centre M de rayon MΩ Exercice Amérique du Nord juin 00 Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, u, v ) (unité graphique : cm). On considère les points A, B et C d affixes respectives z A = 1 + i -, z B = 1 i - et z C =. 1 Placer ces points sur un dessin. a) Vérifier que : z B z C = e i π/. z A z C 1 i 1 + i = i ( i ) = + i 9 + b) En déduire la nature du triangle ABC. = i 1 = i 1 = 1 + i B est l'image de A par la rotation de centre C d'angle π donc ABC est équilatéral. c) Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ 1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle Γ 1. Le centre de Γ 1 est l'isobarycentre de ABC donc d'affixe : z A + z B + z C = 1 + i 1 i + = 0. Le rayon est égal à : z C 0 =. a) Etablir que l'ensemble Γ des points M d affixe z qui vérifient : (z + z) + z z = 0 est un cercle de centre Ω d affixe. Préciser son rayon. Construire Γ. (x + i y + x i y) + x + y = 0 x + 4 x + y = 0 (x + ) + y = 4. Γ est le cercle de centre Ω, point d'affixe ω =, de rayon. b) Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ. ΩA = 1 + i + = 1 + i = donc A appartient Γ ΩB = 1 i + = 1 i = donc B appartient Γ

4 4 On appelle r 1 la rotation de centre A et d angle π. a) Quelles sont les images des points A et B par la rotation r 1? A est le centre de la rotation r donc l'image de A par r est A. ABC est équilatéral direct donc C est l'image de B par r. Construire l'image C 1 du point C par la rotation r 1 puis calculer son affixe. z C1 z A = e i π/ (z C z A ) donc z 1 = 1 + i i ( i ) = 1 + i + i + i + = 1 + i i = 1 + i + + i = + i b) Déterminer l'image du cercle Γ par la rotation r 1. L'image de Γ est le cercle de centre Ω', image de Ω par r, de rayon. ω' = z A i (ω z A ) = 1 + i 1 + i = + i 5 Soit r une rotation. Pour tout point M d affixe z, on note M 0 l image de M par r et z 0 l affixe de M 0.On posera : z 0 = a z + b, avec a et b des nombres complexes vérifiant a = 1 et a 1. On suppose que r transforme le cercle Γ en le cercle Γ 1. a) Quelle est l image du point Ω par r? En déduire une relation entre a et b. Ω' = O ω' = 0 a ω + b = 0 a + b = 0 b = a. b) Déterminer en fonction de a l affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient un cercle fixe que l'on définira. Vérifier que ce cercle passe par C 1. z C ' = a z C + b = a + a = 4 a a = 1 donc z C ' = 4 donc C ' est sur le cercle de centre O de rayon 4. z C1 = + i = = 4 donc C 1 est sur le cercle.

5 Exercice Polynésie septembre 00 On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f (0) = 1 On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i ; j ). Partie A 1 a) Calculer lim f (x). Que peut-on en déduire pour la fonction f? Si x appartient à [ 0 ; + [, f (x) = x x ln x + 1 lim x + 1 = 1 f (x) = 1 x ( ln x) + 1 si x > 0 donc lim f (x) = 0 = f (0). f est continue en 0. lim x ln x = 0 b) Déterminer la limite de f en +. lim x + 1 x = + donc lim f (x) =. x + lim ( ln x) = x + a) Etudier la dérivabilité de f en 0. f (x) f (0) Si x > 0, = f (x) x 0 x = 1 x ( ln x) = x x ln x lim x + 1 = 1 f (x) lim x ln x = 0 donc lim = 0. f est donc dérivable en 0 et f '(0)= 0. x b) Montrer que f est dérivable sur l intervalle [ 0 ; + [ et calculer f '(x) pour x > 0, f ' désignant la fonction dérivée de f. Les fonctions x 1 x, x 1 et x ln x sont dérivables sur ] 0 ; + [ donc f est dérivable sur ] 0 ; + [. On a vu que f est dérivable en 0 donc f est dérivable sur [ 0 ; + [ u (x) = 1 x et u' (x) = x v (x) = ln x et v' (x) = x Etudier le sens de variations de f sur [ 0 ; + [, puis dresser son tableau de variations. pour tout réel x > 0, f '(x) est du signe de 1 ln x 1 ln x 0 ln x 1 x e donc f '(x) = x ( ln x) + x x = x x ln x x = x (1 ln x) 4 Montrer que l'équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l intervalle [ 0 ; + [. Déterminer une valeur approchée décimale de α à 10 près. x 0 e + f '(x) + 0 f est continue et strictement décroissante sur [ e ; + [, f (e) = 1 + e > 0 et lim f (x) =. x + 0 ] ; f (e) ] donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire, l'équation f (x) = 0 admet une solution unique dans [ e ; + [ f (4,70) < f (α) < f (0,69) donc α 4,69. D'après les variations de f, l'équation f (x) = 0 n'a pas de solution dans [ 0 ; e [ 5 Calculer une équation de la tangente D à la courbe C f au point d abscisse x = 1. f (0) = 1 f (x) = 1 x ( ln x) + 1 si x > 0 f (x) e f (1) = 1 1 ( ln 1) + 1 = + 1 = 5 et f '(1) = 1 (1 ln 1) = l'équation de D est : y = 5 + (x 1) c'est à dire y = x + 1

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