1 GEL Chapitre 14 : associations de dipôles en régime sinusoïdal - résonance

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1 4.. 'objectif de l'étude de dipôles passifs en régime sinusoïdal montage utilisé pour étudier un dipôle résistif, capacitif ou inductif G.B.F. i(t) eff A v(t) r = Ω i(t) dipôle eff voie de l oscilloscope CH visualise v(t) ri(t) est négligeable devant v(t) voie 2 de l oscilloscope CH 2 visualise x i(t) r.i(t) masse de l oscilloscope et masse du G.B.F. GND = ground Un multimètre sur position "~" ou "alternatif" ou "MS" mesure les valeurs efficaces eff et eff 'oscilloscope sert à mesurer le déphasage de la tension v(t) par rapport au courant i(t) : = u - i = 2π τ T 4.2. la bobine réelle le modèle équivalent série : est la résistance du cuivre de la bobine, prenons = 50 Ω est l'inductance, prenons = 2,2 mh à fréquence constante f = 2 khz faisons varier eff et relevons la courbe eff = f( eff ) eff () eff est proportionnel à eff et si on calcule ce coefficient de proportionnalité on trouve eff 3 = eff 52,5.0-3 = 57, eff (ma) c'est l'impédance réelle en Ω. Donc, à fréquence constante, est constant et = 57, Ω conclusion : à fréquence constante l'impédance est constante ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page /

2 à 2 khz, l'oscillogramme montre qu'il y a un déphasage entre courant et tension = 360 τ T = 360 0,8 div 0 div = 29 si on change la valeur de Umax on observe que ne change pas conclusion : à fréquence constante l'impédance complexe est constante ici = [ 57, Ω ; 29 ] = j sensibilités verticales : v : / div. v2 = ri : 20 m / div. (r = Ω) sensibilité horizontale : 50 µs / div. à tension constante Ueff = 3 et à fréquence variable on relève : eff et on en déduit l'impédance réelle = U eff eff = 3 eff conclusion : l'impédance varie avec la fréquence ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 2 /

3 calcul de et avec la représentation vectorielle U loi de la maille : = + U d'où le diagramme vectoriel suivant U comme = et U = ω le diagramme vectoriel devient ω et en divisant partout par il vient le triangle des impédances ω les relations dans le triangle rectangle permettent de calculer l impédance réelle = 2 + (ω) 2 et le déphasage introduit par la bobine = arctan ω application numérique : = 50 Ω, = 2,2 mh, f = 2 khz donne ω = 2,2 x 0-3 x 2π x 2000 = 27,6 Ω = 2 + (ω)2 = ,62 = 57, Ω = arctan ω = arctan 27,6 50 = 29 ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 3 /

4 calculs à l'aide des complexes loi de la maille : = + U U donne =. + U =. + jω. jω d'où la représentation : en écrivant que = = + jω et en simplifiant par on obtient l impédance complexe de l'association série : = + jω jω ce qui donne l impédance réelle, module de : = 2 + (ω)2 et le déphasage introduit par la bobine, argument de : = arctan partie imaginaire de partie réelle de donc = arctan ω on obtient le même résultat qu'avec les vecteurs et plus rapidement puisqu'il n'est pas nécessaire de faire un diagramme à l'échelle ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 4 /

5 4.3. un condensateur C en parallèle avec une résistance la tension est commune avec les deux composants C C et la loi de nœuds s'écrit i(t) = i (t) + i C (t) donc = + C d'où le diagramme ci-contre C et comme =, = et C = on en déduit = et le triangle des admittances = = Finalement on en déduit ( )2 = ( )2 + () 2 de même pour la phase négative = arctan avec le calcul complexe puis = ( )2 + () 2 et = côté opposé côté adjacent ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 5 / ( )2 + () 2 = - arctan l impédance complexe obtenue rapidement en calculant d'abord l'admittance équivalente, somme des admittances Y = + j = + j ce qui donne l impédance réelle = le déphasage = - arctan l angle de pertes δ = (en radians) est défini pour un condensateur C ayant une résistance de pertes ( ) 2 + ()2 δ

6 4.4. le circuit C série U UC C loi de la maille = + U + UC donne le diagramme vectoriel comme = et U = ω et U C =, le diagramme vectoriel devient C U UC et en divisant partout par il vient le triangle des impédances ω ω - ω - les relations dans ce triangle rectangle permettent de calculer l impédance réelle = (2 + (ω - ) 2 ) et le déphasage = arctan Avec la méthode des complexes on obtient la même chose : l impédance complexe est = + jω ω + j = + jω - j = + j(ω - ) elle donne l impédance réelle = ( 2 + (ω - )2 ) le déphasage introduit par le circuit C est alors = arctan ω - ω - ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 6 /

7 e phénomène de résonance série la fréquence de résonance fr est la fréquence pour laquelle ( ωr - ω r = r ) = 0 r 2 = 0 ω r 2 = r C ω r = C f r = 2π C à cette fréquence =, =, = 0 et suivant la valeur de comparée à ω r = r on a soit une résonance aiguë soit une résonance floue. Exemple : prenons = 0 Ω, = 2,2 mh et C = 0 µf = 0 les formules précédentes permettent de tracer, eff = et = v - i en fonction de la fréquence de v (Ω) (ma) ( ) la fréquence de résonnance est de fr = 073 Hz f < fr le circuit C série est capacitif f = f r le circuit C série est résistif f > f r le circuit C série est inductif ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 7 /

8 4.5. le circuit C parallèle C C C la loi des noeud = + + C donne le diagramme vectoriel des courants C la longueur des vecteurs est =, =, = ω et C = on obtient les diagrammes ω ω et en divisant par ou ω de ce dernier triangle, il vient 2 = 2 + ω 2 = ( ) 2 + ( - ω ) 2 = - arctan ( - ω ) ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 8 /

9 Avec la méthode des complexes on obtient la même chose : l impédance complexe est l'inverse de la somme des admittances : = + = jω + j - j pour trouver = ω + j + j( - ω ) qui donne l impédance réelle = ( ) 2 + ( - ω ) 2 et le déphasage introduit par le circuit C est alors = - arctan ( - ω ) la résonance parallèle la fréquence de résonance fr est la fréquence pour laquelle ( r - ω r ) = 0 et comme pour le circuit série f r = à cette fréquence =, =, = 0. 2π C S il n y a pas de résistance, = +, l impédance à la résonance est infinie, il n y a pas de courant qui «passe» ; c est pour cette raison qu on appelle le circuit C parallèle «circuit bouchon». ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 9 /

10 Exemple : prenons = 00 Ω, = 2,2 mh et C = 0 µf = 0 les formules précédentes permettent de tracer, eff = et = v - i en fonction de la fréquence de la tension v (Ω) (ma) belle résonance aigue! ( ) la fréquence de résonnance est toujours de f r = = 073 Hz 2π C f < f r le circuit C parallèle est inductif f = f r le circuit C parallèle est résistif f > f r le circuit C parallèle est capacitif ci- dessous, = 0 Ω, on a alors une résonance floue (Ω) ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page 0 /

11 4.6. vocabulaire et modèles électriques équivalents : 'impédance s écrit + j X où est la résistance et X est la réactance si X est positif, le dipôle est inductif et X = + ω si X est négatif, le dipôle est capacitif et X = - 'admittance Y Y s écrit G + j B où G est la conductance et B la susceptance. exemple : si on trouve pour un dipôle à 000 Hz une impédance de = j Son impédance réelle est = = 50 Ω, sa résistance est de = 30 Ω sa réactance est de X = - 40 Ω et correspond à un condensateur tel que = ω = C C = 40 x 2π x 000 = 4 µf 30 Ω 4 µf le schéma électrique équivalent série est à 000 Hz Son admittance Y = j = [ : 0 ] [50 Ω : - 53 ] = [ 50 ; 0 - (-53 ) ] = [ 0,020 S ; + 53 ] = 0,02 + 0,06 sa conductance est de 0,02 siémens donc 2 ms sa susceptance est de 0,06 siémens donc 6 ms ycée ouis Armand - MUHOUSE Physique Appliquée - HASSENBOEHE page /