Etalonnage d une caméra
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- Nadine Lortie
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1 Ealonnage d une caméra (on parle aussi de calibrage) Parick Héber & Denis Laurendeau (Dernière révision : juin 216) 1
2 Noion de plan image normalisé (parfois uilisé pour simplifier les développemens) 2
3 En plus du modèle de caméra sénopé non-inverseur vu précédemmen, on rerouve aussi dans la liéraure le concep de plan image normalisé illusré ci-dessous, qui facilie les manipulaions pour cerains problèmes: Si on revien au modèle général de la projecion de perspecive: p = s m = K 3x3 R R 3x4 P w le faceur d échelle s implique que l échelle du du problème es inconnue. Le plan image normalisé assume que la focale du sénopé (paramère f dans la marice des paramères inrinsèques K) es uniaire (f = 1) e que le paramère q de K es nul. 3
4 Avec la géomérie ci-dessus pour le plan image normalisé, la projecion de perspecive peu s écrire (avec f = 1): u = x z v = y z u v w = X Y Z 1 en posan p = u v 1 on peu écrire: p = 1 z P c es le erme en 1/f vu précédemmen avec f =1 z p = M P 4
5 Calibrage avec le plan image physique 5
6 Pour le plan image physique Si on veu ravailler en vraies grandeurs (i.e. dans le plan image physique pluô que dans le plan image normalisé), il fau ransformer les coordonnées images mesurées en mm en coordonnées images exprimées en pixels. On peu modéliser cee operaion par les expressions suivanes: u = κ f x z v = ι f y z les paramères κ e ι représenen des faceurs d echelle en pixels / mm pour les axes x e y du plan image e f es la disance focale du sénopé e défini le grossissemen de l image. On pose généralemen α = κ f e β = ι f de sore qu on n a pas à calibrer f comme el, mais simplemen a e b 6
7 Nous avons aussi vu que le repère image capeur es décalé de u e v par rappor au repère image, ce qui revien à écrire: u = α x z + u v = β y z + v Si les axes du repère affine de la caméra ne son pas orhogonaux, on doi prendre en compe la siuaion géomérique suivane dans le modèle lors du calibrage: axe v v v c q poin image axe u u c u sin θ = v v c an θ = v u u c en enan compe de la ranslaion v c = en enan compe de la ranslaion y z u c = αx z mis à l echelle selon l axe u β y z sin(θ + v αco θ y z 7 + u
8 Avec ces derniers développemen on peu écrire la ransformaion permean de passer du plan image normalisé au plan image physique: Poin image sur le plan image physique p c = K p = α αco(θ u β sin(θ v 1 p Poin image sur le plan image normalisé À la diapo 4 on a déjà éabli que: p = 1 z Avec ce qui précède on peu écrire: P camera p = 1 z α αco(θ u β sin(θ v P camera 8
9 Dans le repère de la caméra, on peu donc écrire que la projecion de perspecive a pour expression: z p = α αco(θ u β sin(θ v 1 P camera 9
10 [ [ Dans le repère world, on peu finalemen écrire que la projecion de perspecive pour laquelle il fau calibrer les paramères a pour expression: z p c = K R R 1 P world Conversion du plan image normalisé au plan image physique (marice 3 x 3) Veceur de padding (3 x 1) Veceur expriman la ranslaion du repère world dans le repère caméra (veceur 3 x 1) Marice expriman la roaion du repère world dans le repère caméra (marice 3 x 3) On peu aussi simplifier à l expression vue au chapire précéden: z p c = K R R P world 1
11 Pour simplifier, on écri: ρ 3x3 = R = ρ 1 ρ 2 ρ 3 où les ρ i i = 1,2,3 son les lignes de la ransposée de la marice de roaion e R = x y z où le veceur représene la ranslaion du repère world dans le repère caméra On peu rendre la noaion encore plus compace pour les fins du calibrage en écrivan simplemen z p c = M 3x4 P 4x1 world = m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 31 m 22 m 32 m 23 m 33 m 24 m 34 P 4x1 world ou encore z p c = m 1 m 2 m 1 3 P 4x1 world élémens non-nuls quand c es une ransformaion projecive 11
12 En uilisan l expression de K e ρ on a pour les élémens de M m 1 m 2 m 3 = α ρ 1 αco(θ ρ 2 + u ρ 3 β sin(θ ρ 2 + v ρ 3 ρ 3 α x αco(θ y + u z β sin(θ y + v z z Marice 3 x 3 Veceur 3 x 1 La marice M compore 12 composanes, mais seulemen 11 son indépendanes car si on me m 34 en évidence, il peu êre assimilé au faceur d échelle de p c dans z p c = M 3x4 P 4x1 world 12
13 Calibrer la caméra consise à esimer les 11 m ij indépendans. A parir de ces 11 m ij indépendans m ij, on peu, si cela s avère necessaire, esimer les paramères inrinsèques α, β, θ, u, v e les paramères exrinsèques (les ρ i e i ) Il exise plusieurs méhodes pour esimer les composanes de la marice M. La plupar de ces méhodes uilisen une cible de calibrage qui conien des poins don les coordonnées son connues dans le repère world. On observe les images de ces poins dans le repère image physique. On obien les correspondances avec lesquelles on esime les composanes de la marice M avec une approche d opimisaion. p c P world 13
14 Principe général 14
15 Approche de calibrage linéaire Revenons à l expression z p c = m 1 m 2 m 1 3 P 4x1 world qu on peu développer comme sui pour explicier la procédure de calcul u c v c s = m 1 m 2 m 3 P w où P w = X w Y w Z w 1 15
16 Chaque poin de calibrage fourni une paire u ci v ci s i P wi avec laquelle on peu écrire une équaion qu on peu ransformer ainsi: u ci = m 1 P wi, v ci = m 2P wi m 3 P wi m 3 P wi u ci m 3 m 1 P wi = v ci m 3 m 2 P wi = qui son des équaions de plans car, si on les développe, prennen la forme Ax wi + By wi + Cz wi + D = pour u ci avec une forme semblable pour v ci 16
17 Les inconnues à esimer son les m ij. En reravaillan les équaions pour u ci e v ci en foncion des m ij on arrive à: P wi m 1 + m 2 + u ci P wi m 3 = m 1 P wi m 2 + v ci P wi m 3 = pour chaque poin de calibrage i. Si i= 1..n, on a n paires de correspondances poin image poin obje e on peu donc écrire 2n équaions sous forme maricielle: P w1 4x1 P wn 4x1 4x1 P w1 4x1 P wn u c1 P w1 v c1 P w1 u cn P wn v cn P wn 2nx12 m 11 m 12 m 33 m 34 12x1 = 17
18 Ici, le veceur 12 x 1: m 11 m 12 m 33 m 34 12x1 es la marice M écrie sous forme de veceur. L équaion maricielle de la page précédene es un sysème d équaions linéaire homogène de forme Q m = qu on résou avec une méhode comme la décomposiion en valeurs singulières ( Singular Value Decomposiion - SVD) (nous verrons en quoi consise la SVD plus ard). 18
19 Esimaion des paramères inrinsèques e exrinsèques à parir de la marice caméra 19
20 Dans ceraines applicaions (don nous discuerons plus ard), la connaissance de la marice M es suffisane. Dans d aures cas, on peu êre inéressé à obenir les paramères inrinsèques e exrinsèques du modèle sénopé. Les éapes qui suiven monren commen ces paramères inrinsèques e exrinsèques peuven êre obenus de la marice M. 2
21 La première éape consise à decomposer la marice M en deux sous marices: M 3x4 = A 3x3 b 3x1 3x4 Avec ce qu on a vu à la p. 12, on peu écrire: s a 1 a 2 a 3 = α ρ 1 αco(θ ρ 2 + u ρ 3 β sin(θ ρ 2 + v ρ 3 ρ 3 (1) faceur d échelle 21
22 1- Calcul du faceur d echelle s Avec la roisième ligne de l equaion (1) on a que : s a 3 = ρ 3 (2) e, en prenan le module de chaque côé de (2): s a 3 = ρ 3 = 1 (3) e donc : s = ε a 3 où ( ε = 1 (4) 22
23 2- Calcul de ρ 3 Avec (4) e (2) : ρ 3 = s a 3 (5) 3- Calcul de u En prenan le produi scalaire de la première ligne de (1) avec ρ 3 on a: Avec (6) e (5): s a 1 ρ 3 = α ρ 1 ρ 3 αco(θ ρ 2 ρ 3 + u ρ 3 ρ 3 (6) u = s 2 a 1 a 3 23
24 4- Calcul de v En prenan le produi scalaire de la deuxième ligne de (1) avec ρ 3 on a: s a 2 ρ 3 = β sin(θ ρ 2 ρ 3 + v ρ 3 ρ 3 (7) Avec (7) e (5): v = s 2 a 2 a 3 (8) 24
25 5- Calcul de a En prenan le produi vecoriel de la première ligne de (1) avec uilisan une fois de plus (5) on a: ρ 3 e en s a 1 ρ 3 = s 2 a 1 a 3 = α ρ 2 co(θ ρ 1 (9) Si on prend le module des veceurs de chaque côé de l égalié en (9) on a: s 2 a 1 a 3 = α ρ 2 αco(θ ρ 1 = α ρ 2 αco(θ ρ 1 α ρ 2 αco(θ ρ (1) En développan (1) e en isolan a, on obien: α = s 2 a 1 a 3 sin(θ a es > par définiion (11) 25
26 6- Calcul de b En prenan le produi vecoriel de la deuxième ligne de (1) avec uilisan une fois de plus (5) on a: ρ 3 e en s 2 a 2 a 3 = β sin(θ ρ 2 + v ρ 3 ρ 3 = β sin(θ ρ 2 ρ 3 + v ρ 3 ρ 3 = β sin(θ ρ 1 (12) Si on prend le module des veceurs de chaque côé de l égalié en (12) on a: s 2 a 2 a 3 = En isolan b dans (13) on obien: β sin(θ ρ 1 β sin(θ ρ = β sin(θ (13) β = s 2 a 2 a 3 sin(θ b es > par définiion (14) 26
27 7- Calcul de q Pour calculer a e b de (11) e (14), il fau connaîre q. En revenan à (1), on peu effecuer l opéraion suivane: a 1 a 3 a 2 a 3 = αβco(θ s 4 sin(θ (15) On peu aussi prendre le produi du module des deux veceurs à gauche de (15): a 1 a 3 a 2 a 3 = s 4 αβ sin(θ 2 (16) 27
28 Le rappor de (15) e (16) donne: a 1 a 3 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 = cos(θ (17) On a donc pour q : θ = cos 1 a 1 a 3 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 (18) Rappelons que q es rès près de 9 pour les caméras numériques modernes. 28
29 8- Calcul de ρ 1 Si on revien à (12): β sin(θ ρ 1 = s 2 a 2 a 3 (12) On peu isoler ρ 1 ρ 1 = s2 sin(θ β a 2 a 3 (19) 9- Calcul de ρ 2 ρ 2 = ρ 3 ρ 1 (2) Par une propriéé de la marice de roaion. 29
30 À cause de (4), il y a deux soluions possibles pour la marice de roaion dépendan du signe de s. L ambiguïé peu êre levée en observan la géomérie du problème de formaion d image pendan la phase de calibrage en vérifian la plausabilié de la soluion par inspecion. 3
31 1- Calcul des paramères exrinsèques de ranslaion En revenan à l équaion de projecion de perspecive éablie à la p. 1: z p c = K R R P world qu on peu écrire plus simplemen: z p c = K 3x3 3x1 ρ 3x3 y z x 1 P w = s A b P w On a que: K 3x3 x y z = s b x e donc: (21) y z = s K 1 b 31
32 En résumé s = ε a 3 Inrinsèques où ( ε = 1 ρ 3 = s a 3 Exrinsèques u = s 2 a 1 a 3 v = s 2 a 2 a 3 θ = cos 1 a 1 a 3 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 α = s 2 a 1 a 3 sin(θ β = s 2 a 2 a 3 sin(θ ρ 1 = s2 sin(θ β ρ 2 = ρ 3 ρ 1 x y z = s K 1 b a 2 a 3 32
CHAPITRE 13. EXERCICES 13.2 1.a) 20,32 ± 0,055 b) 97,75 ± 0,4535 c) 1953,125 ± 23,4375. 2.±0,36π cm 3
Chapire Eercices de snhèse 6 CHAPITRE EXERCICES..a), ±,55 b) 97,75 ±,455 c) 95,5 ±,475.±,6π cm.a) 44,, erreur absolue de,5 e erreur relaive de, % b) 5,56, erreur absolue de,5 e erreur relaive de,9 % 4.a)
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