Espaces vectoriels normés

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1 Espaces vectorels ormés Marc SAGE 13 avrl 006 Table des matères 1 Sommes de fermés et d ouverts U sev strct est d téreur vde 3 U crtère de cotuté pour les formes léares 3 4 Dstace à u fermé 3 5 Covergece de polyômes das K [] 4 6 Précompacté et procédé dagoal 5 7 Théorème de Resz 5 8 U amuse-gueule 6 9 Quad le crochet de Le vaut l detté 6 10 Théorème de Markov-Kakuta 7 11 Compacté et jectvté 7 1 De l art de be couper u espace e deux 8 13 Normes varates par symétre 9 14 Pot extrémaux et théorème de Kakuta (o commutatf) 10 1

2 O abrégera "(sous-)espace vectorel" e "(s)ev" et "ev ormé" e ev. Das tout ce qu sut, les ev sot sur le corps K = R ou C. O rappelle qu u espace de Baach (ou tout smplemet u Baach) est u ev complet. La boule uté ouverte d u ev sera géérquemet otée B, de sorte qu ue boule de cetre a et de rayo r s écrra B (a; r) = a + rb. O otera de même S la sphère uté. L térêt de ces otatos est de s habtuer à vsualser des sommes de partes d u ev. Le lecteur essaera de vor (par exemple das le pla complexe ou das l espace) pourquo o a les relatos 8 < B + B = ( + ) B S + B = B f0g = S 0<r< : rs S + B = 3B B = S. 1<r<3 rs Les (cq) premers exercces sot des applcatos drectes du cours, le gere de pettes choses dot o a souvet beso et qu o retrouve au beso, mas qu l vaut meux avor das u co de sa tête. O retedra le crtère "précompact + complet = compact" du sxème exercce. Le derer exercce, be au-dessus des autres, motre u théorème de pot xe à l ade de méthode avacées ; l vaut doc plus le vor comme u m-problème. 1 Sommes de fermés et d ouverts Motrer que la somme d u ouvert avec mporte quo reste ouverte. Motrer que la somme d u fermé et d u compact est fermée. Cotre-exemple pour la somme de deux fermés? Sot u ouvert et A ue parte quelcoque. est ue réuo de boules ouvertes S! (! + r!b) et A est réuo de ses sgletos fag ; o a doc + A = [ (! + r! B) + [ fag = [ (a +! + r! B),! aa qu est ue réuo de boules ouvertes, doc ouvert, CQFD. Soet F u fermé et K u compact. Sot (f + k ) ue sute covergete de F + K. Appelos l la lmte. O extrat de (k ) ue sous-sute k '() covergete vers u k K, doc la sute f'() coverge vers l k, qu dot rester das le fermé F, d où l = (l k) + k F + K. Cec motre que F + K est fermé. Pour deux fermés, le résultat devet faux. Cosdéros les fermés Z et p Z de R. Leur somme est dese car p est rratoel, doc vaudrat R s elle état fermée. Or, Z+ p Z est déombrable et pas R.! aa U sev strct est d téreur vde Motrer qu u sev strct F d u ev E est d téreur vde. S ce état pas le cas, F cotedrat ue boule x 0 + r 0 B. Pusque F est stable par traslato, la boule r 0 B = (x 0 + r 0 B) x 0 est das F, et comme F est stable par dlatato, F cotet toutes les boules r 0 B, doc F cotet tout l espace, ce qu est cotrare aux hypothèses.

3 3 U crtère de cotuté pour les formes léares Sot ' ue forme léare sur u ev E. Motrer que ' est cotue ss Ker ' est fermé. E dédure qu u hyperpla est sot fermé, sot dese. Le oyau de ' peut toujours d écrre comme mage récproque du fermé f0g, doc est fermé s ' est cotue. Récproquemet, supposos que ' e sot pas cotue. Il revet au même (par léarté) de dre que ' est pas cotue e 0,.e. (9" 0 > 0) (8 > 0) (9x E) (kxk < et j' (x)j > " 0 ). Pour = 1, o obtet ue sute (x ) tel que kx k < 1 (doc x! 0) et j' (x )j morée par " 0 > 0. O va exhber ue sute das Ker ', e posat y = a x '(a) '(x où a = x ) 1 = Ker ' ; y est be dé e car j' (x )j > 0 1 est o ul. De plus, '(x est borée par 1 x ) " 0, doc '(x )! 0. As, y! a '(a) qu dot rester das le oyau a par hypothèse de fermeture, ce qu est masfestemet mpossble vu que ' '(a) = 1. Sot à préset H = Ker ' u hyperpla. S ' est cotue, H est fermé par ce qu précède. Das le cas cotrare, o dspose comme précédemmet d ue sute (x )! 0 telle que j' (x )j sot morée par u " 0 > 0, '(a) ce qu permet d approcher tout pot a de E par ue sute de H e cosdérat a '(x x ), d où la desté de H. Il reste à remarquer que H e peut être à la fos dese et fermé, so l vaudrat l espace tout eter. Remarque. Ce crtère de cotuté est à reter : l e mage pas de pa, l est smple à démotrer, et cela fat toujours plasr aux examateurs de vor que les caddats ot u peu de culture... 4 Dstace à u fermé Sot F u fermé d u ev E. Motrer que l applcato "dstace à F " est 1-lpschtzee (doc cotue). Motrer que la dstace d u pot a à F est toujours attete e dmeso e. Motrer que l asserto précédete tombe e défaut e dmeso e e cosdérerat l espace E des foctos réelles cotues sur [0; 1] ormé par kk 1 + kk 1, le fermé F des applcatos s aulat e 0 et la focto costammet égale à 1. Sot a et b deux pots de E. Pour tout f de F, o a d où (e preat l mum sur les f F ) d (a; F ) ka fk ka bk + kb fk, d (a; F ) ka bk + d (b; F ). U argumet de symétre permet de coclure. Sot d la dstace de otre pot a à otre fermé F. L dée est de se rameer à d = 0 pusque cette derère égalté caractérse l apparteace à otre fermé. Posos pour cela F 0 = F +ds, fermé comme somme d u fermé et d u compact (S est u fermé boré et E est de dmeso e), et motros que la dstace de a à F 0 vaut zéro. Cela doera u f F et u s S tel que a = f + ds, d où af! = ksk = d, CQFD. Par dé to de d, l y a ue sute (f ) das F telle que af!! d. Le cas d = 0 état trval, o supposera d > 0. O peut! alors ormalser af, de sorte que (fare u dess pour vsualser la lge qu sut)!! af af d af! = af! {z } 1 d af!! 0, CQFD. borée car coverge 3

4 Motros que d (; F ) = 1 est pas attete. E approchat par ue applcato de F a e par morceaux x s 0 x 1 f (x) =, 1 so o vot que k f k = 1 + Z 1 0 j f j = 1 + 1! 1, d où d (; F ) 1. Cepedat, pour u f F, la codto f (0) = 0 doe u vosage de 0 où f < 1, mettos f 1 sur [0; "], ce qu mplque kf k kf k 1 + Z " La dstace d (; F ) vaut doc 1 mas est jamas attete. 0 jf j jf j (0) + " > 1. Remarque. Les espaces foctoels, archetypes des ev de dmeso e, fourmllet de cotreexemples à de ombreuses proprétés. Il faut doc toujours commecer par regarder ce qu se passe das C 0 ([0; 1]) avat de chercher alleures des choses complquées... 5 Covergece de polyômes das K [] Sot A ue K-algèbre ormée et N. Motrer que Pk! P das K [] =) P! x das A k (x k )! P (x) das A. x k O commece par rameer le problème à des choses plus smples e écrvat kp k (x k ) P (x)k = kp k (x k ) P (x k ) + P (x k ) P (x)k kp k (x k ) P (x k )k + kp (x k ) P (x)k. {z } {z } terme 1 terme Le problème sera réglé s l o motre que chacu des termes 1 et ted vers 0. Le terme peut être réglé mmédatemet e voquat la cotuté de la focto polyomale a 7! P (a). Quad au terme 1, otos P k P = =0 (k), (k) de sorte que le réel M k := max =0;:::; ted vers 0 lorsque k! 1. E otat > 1 u majorat de la sute covergete (x k ), o a alors kp k (x k ) P (x k )k = k[p k P ] (x k )k = (k) x k (k) x k M k kx k k M k =0 car >1 =0 =0 M k = M k k1! 0. =0 =0 4

5 6 Précompacté et procédé dagoal Ue parte d u ev est dte précompacte s o peut la recouvrr par u ombre de boules de rayo " pour tout " > 0. Motrer qu u précompact complet est compact. Sot K u précompact complet. Sot (x ) ue sute de K, dot o veut trouver ue valeur d adhérece. S (x ) statoe, l y a re à fare ; das le cas cotrare, qutte à extrare, o peut supposer (x ) jectve. E recouvrat K par u ombre de boules de rayo 1, l u de ces boules a 0 + B cotet ue té de terme x, d où ue sous-sute x '0 () das a0 + B. O recouvre esute par des boules de rayo 1, et l ue d elles cotet ue té de termes x '0 (), d où ue sous-sute x '0 ' 1 () das ue boule a1 + 1 B. O costrut as de proche e proche des sous-sutes x '0 ' 1 :::' k () das ue boule ak + 1 B. Il est fortemet k cosellé de fare u dess pour compredre ce que l o fat... E ectuos u procédé dagoal, e posat () = ' 0 ' 1 ::: ' (). O vér e asémet que est ue extractrce et que à k xé la sute x () est extrate de x k ' 0 ' 1 :::' k (). O a doc x () a k + 1 B k pour k, d où 8p; q > k; x (q) x 1 (p) < k, ce qu motre que x () est de Cauchy, doc coverge par complétude de K. Cela fourt ue valeur d adhérece à la sute (x ), CQFD. Remarque. Reter la méthode du procédé dagoal : lorsque l o dspose d ue sute de sutes, dsos (u ;p ) ;pn, l est souvet judceux de cosdérer la sute dagoale (u ; ) N a de recouper les proprétés à l des sutes (u ;p ) N et (u ;p ) pn. 7 Théorème de Resz Motrer que l o e peut pas recouvrr la boule uté fermée d u ev de dmeso e par u ombre de boules utés ouvertes. E dédure que la boule uté fermée d u ev E est compacte ss E est de dmeso e (théorème de Resz). Rasoos par l absurde et écrvos B S =1 (! + B). Regardos l ev V egedré par les!. E état de dmeso e, l y u pot a de E hors de V. Motros que la dstace de a à V est attete. O trodut pour cela l applcato "dstace au pot a" dé e sur V : V! R : v 7! ka vk. est morée, doc a u mum d (a; V ), qu est > 0 so a serat das V pusque ce derer est fermé. Comme de plus (v) kvk kak, o peut se placer sur ue boule rb avec la certtude qu e dehors o at > f + 1 (predre r > kak + f + 1) Sur cette boule, qu est compacte car fermée borée das V (qu est de dmeso e!), attet so mum car est cotue, mettos k v! v! 0 ak = m. Le vecteur 0a k v 0ak! état! das la boule uté de E, l est das ue! + B, dsos v 0a k v 0ak!! < 1, mas o e dédut alors a (v 0 + k v! 0 ak! ) = k v! {z } 0 a + k v! 0 ak! k < k v! 0 ak = f = f ka vk, absurde. V vv V Sot mateat E u ev de dmeso e et supposos que sa boule uté fermée B est compacte. E la recouvrat par B S bb (b + B), o peut e extrare u recouvremet B S =1 (b + B), ce qu est évdemmet absurde au vu de ce que l o vet d établr. La boule uté fermée état par alleurs u fermé borée, elle est toujours compacte e dmeso e, ce qu coclut la démostrato du théorème de Resz. 5

6 8 U amuse-gueule Sot P u polyôme arbtrare de K []. Exhber ue orme sur K [] pour laquelle la sute ( ) tede vers P. P k sot arbtraremet pett pour grad. Il serat agréable d m- O veut ue orme pour laquelle k poser (par exemple) k P k = 1 ; mas a-t-o le drot de le fare? Pour assez grad, les P sot lbres (ls sot tous de degrés d érets pour > deg P ) ; e s sprat de la dé to d u edomorphsme e xat l mage d ue base (après tout, ue orme est presque léare...), o dé t ue orme sur Vect >deg P f P g par ( P ) = j j. >deg P >deg P Il est asé de vér er les proprétés d ue orme. Pour prologer cette orme à K [] tout eter, o complète la famlle précédete e ue base de K [] et o evoe les élémets rajoutés sur mporte quo de postf (0 fera l a are). S l o e souhate pas avor recours à Zor pour compléter ue famlle lbre e dmeso e, o peut cosdérer la famlle 1; ; ; :::; deg P ; deg P +1 P; deg P + P; :::. 9 Quad le crochet de Le vaut l detté Sot f et g deux edomorphsmes d u ev tels que [f; g] := fg gf = Id. Motrer qu ls e peuvet être tout deux cotus. O pourra calculer [f; g ]. O tute pour des pettes valeurs de que [f; g ] = g 1. Motros cela par récurrece. Pour = 1 : c est l hypothèse. Esute, o compose par g à drote das l hypothèse de récurrece : [f; g ] = g 1 =) fg +1 g fg = g, et pusque fg = Id +gf, o obtet f; g +1 = fg +1 g gf = fg +1 g fg + g [f; g] = g + g Id, CQFD. Ce fat état établ, preos les ormes : g 1 = kfg g fk fg 1 g + fgg 1 kfk kgk g 1. S g 1 6= 0 pour tout, o dot avor kfk kgk! 1, absurde. Das le cas cotrare, g est lpotet, mettos d dce p, mas alors 0 = [f; g p ] = pg p 1 6= 0, absurde. Remarque. S E état de dmeso e, le résultat sera trval e preat la trace de fg gf = Id. 6

7 10 Théorème de Markov-Kakuta O appelle corps covexe d u ev tout covexe compact o vde. Sot K u corps covexe d u ev et f ue applcato a e cotue de K das K. E cosdérat la moyee des térés d u pot arbtrare, motrer que f admet u pot xe. Gééralser à ue famlle e d applcatos a es de K das K commutat deux à deux, pus à ue famlle (commutatve) o écessaremet e. Sot a u pot K. O regarde comme suggéré l sobarycetre a = 1 a + f (a) + f (a) + ::: + f 1 (a), qu reste das K par covexté de ce derer. K état de plus compact, o extrat aturellemet ue sous-sute a '() covergete vers u a 1. Par léarté de f, o a f (a ) a = f (a) a. Or, K état boré (car compact), la sute f (a) est borée, ce qu doe e preat la lmte c-dessus f (a 1 ) = a 1 par cotuté de f, d où le pot xe recherché. Das le cas d ue famlle e f 1 ; :::; f, o trodut l esemble K 0 des pots xes par les f 1 ; :::; f 1. K 0 est o vde par hypothèse de récurrece, covexe par léarté des f et stable par f car tout le mode commute. f admet doc u pot xe das K 0 K, d où u pot xe pour tout le mode das K. S mateat (f ) I est ue famlle de cardal quelcoque, o se ramèe au cas par compacté e rasoat par l absurde. E e et, l esemble Fx f est u fermé comme mage récproque du fermé f0g par l applcato cotue Id f, doc s l tersecto des Fx f état vde, o pourrat e extrare ue tersecto e vde, absurde par ce ce précède. 11 Compacté et jectvté Sot f ue applcato cotue d u ev E das lu-même, jectve sur u compact K, et localemet jectve sur K : 8k K; 9r; f jectve sur k + rb. Motrer qu l y a u ouvert coteat K où f est jectve. Rasoos par l absurde. Pour tout eter, l ouvert K + 1 B dot doc coter deux pots dstcts x et y ayat même mage par f. Pour se rameer à des pots de K, o remarque que la dstace à x est cotue sur le compact K, doc attet so mum e u K, lequel est alors à dstace modre de 1 de x vu que ce derer est das K + 1 B. Il y a de même u Y! K tel que y Y < 1. O peut alors, par compacté de K, extrare de ( ; Y ) ue sous-sute '() ; Y '() covergete vers u (x1 ; y 1 ) K, de sorte que x '() ; y '() coverge auss vers cette lmte. E utlsat la cotuté de f, l vet f (x 1 ) = lm f x '() = lm f y'() = f (y1 ), d où x 1 = y 1 par jectvté de f sur K. Il reste à voquer l jectvté locale autour de cette valeur commue pour aboutr à ue cotradcto, vu que tout vosage de x 1 = y 1 cotet ue té de termes x '() et y '(). 7

8 c. 1 De l art de be couper u espace e deux Sot E u R-ev et H u hyperpla assocée à ue forme léare ' o ulle. Motrer que E H est pas coexe par arcs ss ' est cotue. O pourra motrer e lemme que, s ue parte de E est cocée etre u covexe et l adhérece de ce covexe, alors cette parte est coexe par arcs. Commeos par motrer le lemme. Sot C otre covexe et la parte cocée : C C. Sot x u pot de. x est das l adhérece de C, doc s approche par ue sute (c ). Pusque C est covexe, tous les segmets [c c +1 ] restet das C, ce qu fourt ue lge brsée c 0! c 1! c! ::: qu a l ar de termer e x. S c état vramet le cas,.e. s o avat u chem de c 0 à x, état doé u autre pot x 0 = lm c 0 das, o relerat x 0 à c 0 0 de la même faço, pus c 0 0 à c 0 par covexté de C, d où u chem de x à x 0 et la coexté par arcs de. Essayos de décrre plus formellemet otre lge brsée, le problème se posat évdemmet autour de x. Commeços par predre la lge brsée avec otre ma par u bout, dsos c 0, et suspedos-là vertcalemet e lassat fare la gravté. O obtet ue corde vertcale avec u œud à l emplacemet de chaque c : c 0 j c 1 j Qutte à extrare de (c ) ue sute c '() telle que c '(+1) c '() < 1, o peut supposer que la logueur l = P kc! c +1 k de la corde est e et doc que so autre bout est x! O peut de plus supposer que les œuds sot tous dstcts, qutte à extrare ue sous-sute jectve s ce est pas fasable, cela sg e que (c ) statoe,.e. vaut costammet x à partr d u certa rag, d où x C et le problème est résolu. Il est alors aturel de dé r otre lge brsée comme sut : posos l = P =1 k c! 1 c k la logueur le corde jusqu au œud c, de sorte que la corde [0; L] se parttoe e sous-cordes [l ; l +1 ] sur-lesquelles otre lge brsée est e fat drote (l faut rajouter le sgleto L correspod au bout x), et dé ssos 8 < [0; L]! E : [l ; l +1 ] 7! l+1 : l +1 l c + l l +1 l c +1. L 7! x état a e sur chaque [l ; l +1 ] et se recollat be e les l (o s est arragé pour avor (l ) = c ), elle est cotue sur [0; L[. Pour le pot L (.e. pour attedre x), o le fat à la ma. Sot " > 0. À partr d u rag N, o sat que c! x sera de orme < " pour > N. Pour plus grad que l N, mettos [l ; l +1 ] avec > N, o aura alors (e otat t u pods pour alléger) k () xk = ktc + (1 t) c +1 xk = kt (c x) + (1 t) (c +1 x)k t k c! xk + (1 t) kc! +1 xk t" + (1 t) " = ". Cela coclut de motrer la cotuté de et par coséquet la coexté par arcs de. Reveos à otre problème. L dée et de partoer E H e deux dem-espaces selo le sge de ', dsos E + = ' 1 R + E = ' 1 R. S ' est cotue, E + et E sot deux ouverts dsjots o vdes (' est o ulle!) partoat E H, doc E H est pas coexe, doc e saurat être coexe par arcs. Notre tuto est cofortée : u pla coupe très ettemet l espace usuel e deux bouts. Das le cas cotrare, H = Ker ' est dese, et là otre tuto se perd pas étoat, vu qu o est e dmeso e (so ' sera cotue). O va applquer le lemme à la parte E H cocée etre le E + et E +. Il est asé de vér er que E + est covexe, et la desté de H pemet d obter celle de E + : état doé u pot a E, l y a ue sute (h ) das H qu ted vers e + a où e + est prs quelcoque das E +, de sorte que e + h est ue sute de E + qu ted vers a. O e dédut E + E H E = E + et o applque le lemme pour coclure. 8

9 13 Normes varates par symétre L Sot E u ev mue d ue base e (e 1 ; :::; e ) telle que, e otat s la symétre par rapport à l hyperpla j6= Ke j parallèlemet à Ke, la orme sur E est varate par les s. Motrer que la orme croît lorsque l o s éloge de l orge selo les e, au ses où (8; j j j j) =) e e. O det e la sphère uté de E avec la parte de K correspodate. Détermer e f!. S O pourra perturber u vecteur maxmsat le produt de ses coordoées. Les hypothèses géométrques se tradusat formellemet par 8! K ; e = j j e, o ous demade essetellemet de motrer =1 (8; 0 ) =) =1 e e. S cela est vra, e e fasat varer qu ue coordoée, l applcato ( R! R + 7! e + P j6= je j dot décroître sur R et croître sur R +, et l est clar que l o a récproque e rasoat coordoée par coordoée. Or, o a là ue focto qu a le bo goût d être à la fos pare (par hypothèse sur les e ) et covexe (car kk est covexe), doc qu vare comme souhaté. Ploum. Observer das u premer temps que, à! S xé, o a toujours l égalté e e! = =. Nous allos motrer que ce morat est e fat attet. Suvos l dcato de l éocé e cosdérat l applcato : S! R +! 7! Q j j, cotue sur le compact S (o est e dmeso e) doc attegat so supremum e u vecteur u utare. Qutte à symétrser u, o peut toujours supposer que ses coordoées sot postves, et même strctemet vu que (u) Nous allos motrer que u réalse l égalté P e u,.e. e k P = e j k 1 k P e j k > 0. P e u =. Il s agt évdemmet de motrer la secode égalté 8! S; u. L éocé ous vte à perturber u : o le fat selo la drecto d u vecteur utare! xé e posat u " = u + ". Par dé to de u, o a u" (u). ku " k 9

10 Qutte à predre " > 0 assez pett, les coordoées de u " restet postves, d où Le résultat tombe e fasat tedre " vers 0. Y u + " ku " k Y 1 + " u Y u ku " k 1 + " u + o (") (kuk + j"j kk) = (1 + ") = 1 + " + o (") + o (") u + o ("). 14 Pot extrémaux et théorème de Kakuta (o commutatf) Sot C u covexe d u ev. O appelle pot extrémal de C tout pot e C qu est das l téreur d aucu segemet de C : e [ab] C =) e = a ou b. O otera Extr C l esemble des pots extrémaux de C. O rappelle qu u corps covexe est u compact covexe o vde. Le théorème de Kre-Mlma a rme qu e dmeso e tout corps covexe est eveloppe covexe de ses pots extrémaux ; e partculer, u corps covexe admet u pot extrémal (éocé qu écesste l axome du chox e dmeso e). Le théorème de Carathéodory permet de motrer qu e dmeso e l eveloppe covexe d u compacte est compacte. Prélmares. Sot C u corps covexe d u ev et c C. Motrer que c est extrémal ss 8a; b C; c = a + b =) a = b = c. Sot f : C! C ue applcato a e jectve. Motrer que f 1 (Extr C) Extr C. Sot C u covexe et K ue parte o vde. Motrer l mplcato C Cov K =) Extr (C) K. Théorème de Kakuta. Sot K u corps covexe d u ev de dmeso e et G u groupe d applcatos a es de K das K. O suppose que G est équcotu : 8" > 0; 9 > 0; 8g G; (ku vk < =) kg (u) g (v)k < ") (oter l terverso des quat cateurs 8g et 9 par comparaso à u goupe d applcatos cotues). O veut motrer que K admet u pot xe par tous les élémets de G. a) Motrer qu l exste C 0 u corps covexe G-stable et mmal pour ces proprétés (utlser le lemme de Zor). b) Motrer que K 0 := Extr (C 0 ) est le plus pett compact o vde G-stable das C 0. O va motrer par la sute que K 0 est rédut à u seul élémet. c) Pour x; y K 0, prouver l exstece d ue sute (g ) G N telle que lm g (x) = lm g (y). d) Coclure #K

11 Sot e Extr C et a; b C tels que e = a+b a+b. Par dé to d u pot extrémal, o dot avor = a ou b, ce qu mpose das les deux cas a = b et e = a = b. Supposos récproquemet que c C vér e la proprété 8a; b C; c = a + b =) a = b = c et motros que c est extrémal. S c est sur u segmet [ab], mettos c = a+b avec + = 1 et 0 1 (par symétre de et ), e cosdérat le symétrque b 0 = () a + ( 1) b mposet l ecadre- 0 1 de b par rapport à b (fare u dess!), o a c = b+b0. Or, les codtos + = 1 met 0 1 1, ce qu motre que b 0 est be sur le segmet [ab] et doc das C. E applquat l hypothèse, l vet c = b, CQFD. Sot c u atécédet d u pot extrémal e. Pour motrer que c est extrémal, utlsos le crtère c-dessus., alors e = f (c) = f(a)+f(b) car f préserve le barycetre, doc e = f (a) = f (b) par extrémalté de e S c = a+b et a = b par jectvté de f, ce qu mpose c = a = b comme souhaté. Sot e Extr (C). e est e partculer u pot de C Cov K, doc u barycetre de pots de K, mettos e = P =1 k. Posos = P = et rameous-ous à u barycetre à deux pots e = 1 k 1 + = k. Le caractère extrémal de e mpose ou be e = k 1, ou be e = P motre que e K. = k, et ue récurrece mmédate sur a) O cosdère l esemble K des corps covexe G-stables de K ordoé par l cluso verse. Sot C ue chaîe de K. L tersecto de C est claremet covexe comme tersecto de covexes, et c est ue tersecto de fermés das le compact K doc u compact. S cette tersecto état vde, o e extrarat par compacté ue tersecto vde e, mas cec est mpossble car ue sute décrossate de compacts o vdes est d tersecto o vde. Cec motre que l tersecto de C est u corps covexe, doc u élémet de K ; comme de plus cet élémet more C, o peut applquer le lemme de Zor : K admet u élémet maxmal C 0 pour l ordre verse. b) K 0 est o vde par Kre-Mlma et compact car fermé das C 0. De plus, d après les prélmares, pour tout g G o a g (Extr (C 0 )) Extr (C 0 ), d où G (Extr (C 0 )) Extr (C 0 ) et G (K 0 ) K 0 par cotuté. K 0 est doc be u compact o vde G-stable de C 0. S mateat K 0 K 0 est u autre compact o vde G-stable de C 0, alors Cov K 0 est u covexe o vde, compact comme eveloppe covexe d u compact (o est e dmeso e!) et G-stable car les applcato a es coservet le barycetre ; Cov K 0 est doc u corps covexe clus das Cov C 0 = C 0, et la mmalté de C 0 mpose l égalté C 0 = Cov K 0, d où Extr (C 0 ) K 0 (cf. prélmares) et K 0 K 0 e preat l adhérece. K 0 est doc be le plus pett compact o vde G-stable de C 0. c) Soet x; y K 0. G x+y est u compact (fermé das K) o vde G-stable et clus das C0 (le mleu x+y est das C 0 qu est G-stable et fermé), doc cotet K 0 Extr (C 0 ). Pour e Extr (C 0 ), o peut x+y doc trouver ue sutes g! e, et e extrayat g '() (x) ; g '() (y)! (u; v), o obtet u+v = e, d où u = v car e est extrémal. d) Sot " > 0 : 9; 8g G; (ku vk < =) kg (u) g (v)k < "). Pour assez grad, o a kg (x) g (y)k <, et o applque ce qu précède à g 1 G pour obter kx yk < ". Cec teat pour tout " > 0, o dot avor x = y. K 0 est as rédut à u seul élémet a (o a déjà dt qu l état o vde), et comme l est G-stable, a est xe par tous les élémets de G, CQFD. Remarque. Le théorème de Kakutat permet de trvalser u problème téressat, à savor que les groupes orthogoaux sot les sous-groupes compacts maxmaux de GL (R). Cela revet à motrer qu u sousgroupe compact G de GL (R) est clus das u groupe orthgoal. Le problème revet à trouver ue matrce S dé e postve telle que 8g G; gsg = S. 11

12 E cherchat u tel S das l eveloppe covexe des gg où g décrt G, laquelle est e fat u corps covexe K (eveloppe covexe d u compact), le problème revet à cherche u pot de K xe par les applcatos bg : S 7! gsg. O motre asémet que fbgg gg est u sous-groupe compact de GL (M (C)), doc boré, doc équcotu, et o peut applquer Kakuta pour coclure. Kakuta permet égalemet de motre l exstece d ue mesure de Harr sur les groupes compacts. Qu est-ce qu ue mesure de Harr? Pour les groupes s, l est souvet judeux de cosdérer la moyee d ue applcato réelle dé e sur G dé e par Z f (g) dg := 1 jgj f (g). gg L têret de cette moyee est qu elle est varate par traslato, au ses où Z Z 8h G; f (gh) dg = f (g) dg, ce qu permet par exemple de motrer que tout groupe d applcatos a es stablsat u covexe admet u pot xe sur ce covexe (cosdérer l sobarycetre des mages d u pot quelcoque). Ue mesure de Harr sur u groupe G est ue mesure sur G varate par traslato, ce qu permet de dé r ue moyee comme c-dessus sur les groupes compacts dot fot be sûr parte les groupes s et d e utlser les proprétés avatageuses. 1