Intégrales généralisées et intégrales doubles : exercices

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1 Inégrles générlisées e inégrles doubles : exercices BCPST 2 4/5 Exercice Eudier l convergence des inégrles suivnes e les clculer le cs échén (on veiller à vérifier l crédibilié des résuls obenus à l ide des représenions grphiques fournies) : ) 2 d. f : [; + [ R x x 2 2) d. f : [; + [ R x x 3) 4) d, où α es un réel. α ln() d. f : [; + [ R x ln(x) x

2 5) e d. f : [; + [ R x e x 6) x 2 + d. f : [; ] R x x 2 + 7) e cos() d. f : [; + [ R x e x cos(x) 8) e d. f : [; + [ R x x e x 2

3 9) ( + )( + 2) d. f : [; + [ R x (x + )(x + 2) Exercice 2 Eudier l convergence des inégrles suivnes e les clculer le cs échén (on veiller à vérifier l crédibilié des résuls obenus à l ide des représenions grphiques fournies) : ) d. f : ]; ] R x x 3

4 2) d. f : ]; ] R x x 3) 4) d, où α es un réel. α ln() d. f : ]; ] R x ln(x) 5) 2 e d. f : ]; 2] R x x e x 4

5 Exercice 3 Soi un réel ou. Soi b un réel ou + (vec < b dns le cs où e b son des réels). Soi f une foncion coninue sur ], b[. Les énoncés suivns son-ils correcs? (lorsque l énoncé es incorrec, une jusifiion es endue) ) L inégrle impropre b f() d converge si e seulemen si l foncion ϕ : (], b[) 2 R dme une limie finie en (, b). 2) Si =, b = + e que pour ou x de [, + [, x x f() d converge. (x, y) y f() d = lors l inégrle impropre x f() d Exercice 4 ) Soi un réel ou. Soi b un réel ou + (vec < b dns le cs où e b son des réels). On suppose que g es une foncion elle que, pour ou x de ], b[, g(x) =. Déerminer l nure de l inégrle impropre b 2) Soi λ un réel non nul. Soi f l foncion suivne : g(x) dx e l clculer en cs de convergence. f : R R { λe λx si x x sinon. ) On noe A l ensemble des réels λ el que l inégrle On suppose désormis que λ es un élémen de A. b) Déerminer f(x) dx. c) Monrer que l inégrle xf(x) dx es bien définie e l déerminer. f(x) dx converge. Déerminer A. 5

6 3) Soien e b deux réels els que < b. Soi f l foncion suivne : f : R R x b si x [, b] sinon. ) Monrer que l inégrle b) Monrer que l inégrle f(x) dx es bien définie e l déerminer. xf(x) dx es bien définie e l déerminer. Exercice 5 On considère l foncion f suivne : [ [ 3 f : 4, + R ( 4 n n ( 2 n )) 4 n si (( 4 n n 2 n + ) ) 4 n si sinon ) Compléer l représenion grphique de f : x x [ n ] 4 n, n ] n, n + 4 n, n N ], n N. 2) L foncion f dme-elle une limie en +? 3) Monrer que l inégrle 3 4 f() d converge e l déerminer. Exercice 6 Jusifier l convergence des inégrles suivnes e les clculer : ) 2) 2 e 2 + d. (ln()) 2 d. 6

7 3) 4) 5) 6) 4 2 ln() d. e + d d. 2 + d. Indicion : on pourr s inéresser à l dérivée de l foncion f suivne : f : R R x Arcn ( x ) 7) où es un réel non nul. ln ( + ) 2 d. Exercice 7 Le bu de ce exercice es de monrer que l inégrle ) On inrodui les foncions F e G suivnes : e 2 d converge. F : [; + [ R G : [; + [ R x x ) Déerminer les vriions de l foncion G. b) Monrer que l inégrle sur [; + [. e 2 d x x e d. e d converge e en déduire que l foncion G es mjorée c) Monrer que, pour ou de [; + [, on : e 2 e. d) En déduire que l foncion F es mjorée sur [; + [. e) Monrer que F dme une limie finie en +. Que peu-on en déduire? 2) Jusifier que l inégrle 3) Conclure. e 2 d converge. Exercice 8 ) Jusifier qu il exise un réel sricemen posiif A el que : x A, xe x x 2. 2) En déduire que l inégrle e d converge. 7

8 Exercice 9 Soi un réel. Soi b un réel sricemen supérieur à ou +. Soien f e g deux foncions coninues sur [, b[. On suppose que, pour ou x de [, b[ on : Le risonnemen suivn es-il correc? f(x) g(x). pour ou de [, b[ : f() g() d où pour ou x de [, b[ : d où b f() d b g() d. x f() d x g() d Exercice Le bu de ce exercice es de prouver que, pour ou x de ], + [, l inégrle bien définie e d éudier quelques propriéés de l pplicion Γ suivne : Γ : ], + [ R x x e d. x e d es ) Soi x un réel sricemen posiif. Le bu de cee quesion es de monrer que l inégrle x e d es bien définie. ) Jusifier que, pour ou de ], ], on : En déduire que l inégrle x e x. x e d es bien définie. b) i) Déerminer lim + x e 2. ii) En déduire qu il exise un réel c pprenn à l inervlle [, + [ el que : iii) Monrer que l inégrle c) Conclure. 2) Monrer que, pour ou x de ], + [, on : Indicion : inégrer pr pries. c, x e e 2. x e d es bien définie. Γ(x + ) = xγ(x). 3) En déduire que, pour ou n de N : Γ(n + ) = n! 8

9 Eudier l convergence des inégrles suivnes : ) 2) 3) 4) 5) 6) 7) π 2 ln() d. Arcn() d. cos() 2 cos() n() d. d. d. sin() sin ( ) + 2 d. + ln() d. ) Pour ou n de N, on pose I n = ) Soi n un élémen de N. Exercice Exercice 2 n e d. i) Jusifier qu il exise un réel A pprenn à l inervlle [, + [ el que : ii) En déduire que, I n es bien définie. A, n e 2. b) Déerminer, pour ou n de N, une relion enre I n+ e I n. c) En déduire, pour ou n de N, une expression explicie de I n en foncion de n. 2) Pour ou n de N, on pose I n = ( + x 2 ) n dx. ) Jusifier que, pour ou n de N, I n es bien définie. b) Monrer que l suie (I n ) n es monoone. En déduire que l suie (I n ) n es convergene. c) Déerminer, pour ou n de N, une relion enre I n+ e I n. d) En déduire, pour ou n de N, une expression explicie de I n en foncion de n. ) Jusifier que l inégrle impropre 2) On inrodui l foncion f suivne : 3 Exercice 3 ln() Monrer que f es décroissne sur [3, + [. d diverge. f : [3, + [ R x ln(x) x 9

10 3) Jusifier que, pour ou enier n de N el que n 3 : n+ n ln() d ln(n) n. 4) En déduire que l série n 3 ln(n) n es divergene. 5) Quelle es l nure de l série n ln(n) n? ) Déerminer l nure de l inégrle 2) Déerminer l nure de l inégrle 3) Déerminer l nure de l inégrle 4) Déerminer l nure de l inégrle Exercice 4 e x e x dx. dx. e x x dx. e x x dx. Exercice 5 Nous serons dns le prochin chpire menés à uiliser le résul fondmenl suivn : L inégrle 2 dx converge e on : 2 dx = 2π. ) Le bu de cee première quesion es de jusifier l convergence de l inégrle I = ) On pose J = 2 dx. Peu-on relier l convergence des inégrles I e J? b) Conclure à l ide du héorème de comprison. 2) Le bu de cee quesion es de vérifier numériquemen l crédibilié de l églié : 2 dx = 2π ( ). ) A quelle églié fisn inervenir J l églié ( ) es-elle équivlene? b) Expliquer pourquoi l pproximion J c) Consruire un lgorihme permen d pprocher 2 dx es priori sisfisne. 2 dx e conclure. 2 dx.