C13 Modélisation des mécanismes

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1 1 INTRODUCTION LIAISONS CINEMATIQUES ENCASTREMENT SPHERE-PLAN (PONCTUELLE) PIVOT PIVOT-GLISSANT GLISSIERE HELICOÏDALE SPHERIQUE (ROTULE) SPHERIQUE A DOIGT (ROTULE A DOIGT) PLANE (APPUI-PLAN) SPHERE-CYLINDRE (LINEAIRE ANNULAIRE) RECTILIGNE (LINEAIRE RECTILIGNE) GRAPHE DE LIAISONS LIAISONS EQUIVALENTES LIAISON EQUIVALENTE A N LIAISONS EN SERIE LIAISON EQUIVALENTE A N LIAISONS EN PARALLELES SCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL INTRODUCTION Les contacts surfaciques : contact de type surface plane, cylindrique, sphérique, conique, Les contacts linéiques : contact de type ligne droite, circulaire, Les contacts ponctuels : contact en un point (ex : sphère sur plan). Remarque : dans la réalité les contacts ponctuels et linéiques n existent pas. Lorsque la zone de contact est très petite devant la dimension des solides, on fera l hypothèse d un contact ponctuel. De même, si la largeur d une surface de contact est très faible (au regard des solides) et une longueur du même ordre de grandeur que les solides, on supposera ce contact ponctuel. 1/12

2 L ensemble des contacts entre deux solides (ou deux groupes de solides) forme ce que l on appelle une liaison. Une liaison autorise certains mouvements que l on appelle les degrés de libertés (DDL) et bloque les autres. On parle aussi de mobilités. Le mouvement d un solide par rapport à un autre est décomposable en 6 mouvements élémentaires : 3 rotations (Rx, Ry et Rz) et 3 translations (Tx, Ty et Tz). Le degré de mobilité correspond au nombre de degré de liberté entre deux solides reliés par une liaison. Figure 1 Exemple d un livre sur une table. C est l analyse des surfaces en contact qui permet d en déduire les mobilités. 2 LIAISONS CINEMATIQUES Il existe 11 liaisons usuelles et normalisées entre deux solides. Chaque liaison est considérée comme parfaite : les contacts géométriques sont parfaits et sans jeu. 2.1 Encastrement 2/12

3 2.2 Sphère-plan (ponctuelle) 2.3 Pivot 3/12

4 2.4 Pivot-glissant 2.5 Glissière 4/12

5 2.6 Hélicoïdale Liaison à 1 seul degré de liberté car la rotation et la translation sont couplées. Le pas est le rapport entre la translation et la rotation (cf. tableau des liaisons). 2.7 Sphérique (rotule) 5/12

6 2.8 Sphérique à doigt (rotule à doigt) 2.9 Plane (Appui-Plan) 6/12

7 2.10 Sphère-cylindre (linéaire annulaire) 2.11 Rectiligne (linéaire rectiligne) 7/12

8 3 GRAPHE DE LIAISONS Une classe d équivalence est l ensemble des pièces reliées entre elles par des liaisons encastrement. Un mécanisme est un ensemble de pièces ou classes d équivalence reliées entre elles par des liaisons. Un schéma cinématique est une représentation (2D, 3D) graphique d un mécanisme au travers de ses liaisons. Un graphe de liaisons est une représentation schématique de la structure d un mécanisme. Il fait apparaître : - les classes d équivalences placées dans une bulle ; - les liaisons entre les classes d équivalence représentées par des traits (ou des lignes) entre les bulles et renseignés par la définition complète de la liaison (cf. tableau des liaisons). 8/12

9 4 LIAISONS EQUIVALENTES 4.1 Liaison équivalente à n liaisons en série Définition n 1 Soit solides en liaisons séries suivant la chaîne suivante : La liaison équivalente aux n liaisons est la liaison qui autorise le même mouvement relatif du solide «n» par rapport au solide «0». Torseur équivalent Le torseur cinématique équivalent, en un point A, à n liaisons en séries est égal à la somme des torseurs cinématiques des n liaisons exprimées en un point commun (noté A ici) : Applications OBJET {V eq } A = {V (Sn S 0 )} = {V A (Si S i 1 )} A Remplacer des liaisons à géométrie de contact ponctuelle ou linéaire par des assemblages de liaisons simples à contact surfacique. L intérêt étant de transmettre des actions mécaniques plus importantes. 0 L10 1 L21 2 Ln/n-1 n n i=1 Liaisons simples à contact ponctuel / linéique : Sphère plan, cylindre plan, Sphère cylindre. Liaisons simples à contact surfacique : Appui plan, sphérique, pivot glissant REALISATION D UNE LIAISON SPHERE PLAN (PONCTUELLE) 2 E Appui plan Sphérique 1 0 L10 1 L Exercice 1 : Démontrer que la liaison équivalente est une sphère-plan de normale (E, y ) 9/12

10 REALISATION D UNE LIAISON SPHERE CYLINDRE 0 B 1 2 E Pivot glissant Rotule 0 L10 1 L21 2 Exercice 2 : Démontrer que la liaison équivalente est une sphère-cylindre de centre E et d axe (E, x ) REALISATION D UNE LIAISON LINEAIRE-RECTILIGNE E 2 Appui plan Pivot L10 1 L21 2 Exercice 3 : Démontrer que la liaison équivalente est une linéaire-rectiligne de normale y et d axe (E, x ) 4.2 Liaison équivalente à n liaisons en parallèles Définition Deux solides sont en liaisons parallèles s ils sont reliés suivant la chaîne cinématique ci-contre. La liaison équivalente aux n liaisons associées en parallèles est i la liaison qui est compatible avec les n liaisons L TORSEUR EQUIVALENT Le torseur cinématique équivalent, en un point A, à n liaisons en parallèle est égal à chaque torseur cinématique des n liaisons exprimées au même point A. 1 2 i [1, n], {V eq } A = {V i (S 1 S 2 ) } A 10/12

11 4.2.2 Applications REALISATION D UNE LIAISON GLISSIERE A Pivot glissant 2 B 1 1 Pivot glissant 2 Exercice 4 : On pose AB = a. y. Démontrer que la liaison équivalente est une liaison glissière de direction x REALISATION D UNE LIAISON SPHERIQUE A DOIGT 2 Sphère plan O 1 A 1 2 Sphérique Exercice 5 : On pose OA = b. x. Démontrer que la liaison équivalente est une liaison sphérique à doigt d axe (Oy ) et de centre O. 11/12

12 4.3 Schéma cinématique minimal Liaison pivot entre arbre 1 et bâti 0 Pour réaliser cette liaison pivot, la solution technique retenue est l utilisation de deux roulements à billes situés à chaque extrémité de l arbre 1, modélisables, l un par une liaison rotule et l autre par une liaison linéaire annulaire. Graphe de liaison : Arbre 1 Graphe de structure Arbre 1 Pivot d axe (AB) Linéaire annulaire de centre B et de direction x Rotule de centre A Bâti 0 Bâti 0 Schéma cinématique minimal : Schéma d architecture : Un schéma cinématique minimal fait apparaître les liaisons équivalentes entre chaque classe d équivalence d un mécanisme. Il est utilisé pour étudier les mouvements des pièces d un mécanisme (positions, vitesses, accélérations). 12/12