Correction du devoir n 13 (devoir maison) Terminale ES

Transcription

1 Correcton du devor n (devor mason Termnale ES Eercce Un groupe ndustrel possède deu usnes Alpha et Bêta. L usne Alpha emploe 0 % des salarés, l usne Bêta 70 %. La répartton des salares mensuels dans les deu usnes est la suvante : Salare mensuel s en euros Pourcentage des salarés de l usne Alpha Pourcentage des salarés de l usne Bêta 800 s < s < s < s < s < E «le salaré gagne au mons 00 par mos» ; A «le salaré travalle dans l'usne Alpha» ; B «le salaré travalle dans l'usne Bêta».. a Ω = ensemble des salarés du groupe. La lo sur Ω est équréparte p ( A = = 0, ; p ( B = = 0, 7 b. On cherche P( A E = p( A PA ( E P( A = 0, ( PA ( E = = 0,68 onc P( A E =0,68 0,=0, Pour l usne Bêta : P( B E = P( B PB ( E = 0,7 = 0,7 0,78 = 0, 546 c. E = ( E A ( E B Les événements E A et E B sont ncompatbles donc : p( E = p( E A + p( E B = 0,04 + 0,546 = 0,75. On consdère mantenant les deu los numérques X et Y dont les valeurs et les los de probabltés sont données dans les tableau suvants :,4,, 4,8 P X = 0, 0,5 0, 0,07 0,04 ( y,4,, P Y = y 0, 0,4 0, 0, (

2 a. E ( X = 0, +,4 0,5 +, 0, +, 0,07 + 4,8 0,04 =, 7 V ( X = ( 0, +,4 0,5 +, 0, +, 0,07 + 4,8 0,04,7 =,709-,94=0,785 σ (X = 0, 785 = 0,89 E( Y = 0, +,4 0,4 +, 0, +, 0,,7 ( 0, +,4 0,4 +, 0, +, 0,,7 V ( Y = =0,4807 σ( Y = 0,4807 0,69. b. Les salares moyens sont les mêmes dans les usnes Alpha et Bêta mas les salares sont mons dspersées dans l usne Bêta. Eercce 0 V 055 0, 05 F R 0,45 0,05 V 05 F 0,8 R On chost au hasard un étudant de cette unversté. p V = p( p ( V = 0,55 0, = 0, (formule de l ntersecton a. On cherche ( b. On cherche ( V = p( p ( V = 0,45 0,05 = 0, 05 p. c. V = ( V ( V avec V et V ncompatbles. onc p ( V = p( V + p( V = 0,+ 0,05 = 0, 5 d. F = ( F ( F

3 onc p( F = p( p ( F + p( p ( F (formule des probabltés totales p ( F = 0,55 0, + 0,45 0,5 = 0,5 e. On cherche p F ( F p 0,55 0, ( = = 0,7 p( F 0,5 Eercce. f( = ln( - + ln - ln( + ln ne pose pas de problème d estence onc f est défne sur ] ; [. ln( + ln ln( + 0 Condton d estence : appartent à ] ; [ Résoluton : ln( + ln ln( + ln(( ln( ( car lna + lnb = on peut enlever les logarthmes = ( 4 4 ( 5 = = 6 = = = ; = = 5 ln(ab pour a et b postfs et lna = lna pour a postf -² Soluton : En tenant compte de la condton d estence, = ] ;] S.

4 Eercce 4 Prmtves sur ] 0 ; + [ de la foncton f telle que : f ( = u' = = prmtve = ln u = ln( u 5 u' = = prmtve = ln u = ln( u 5 5 onc F( = ln( + + ln( k, k R Eercce 5 Sot la foncton f défne sur ] ; + [ 0 par : ln(0, f ( = + Parte. Étude de foncton. lm ln(0, = 0 ln(0, lm ln(0, = lm = donc lm f ( = > lm = + > 0 onc l ae des ordonnées est asymptote vertcale à (C. ln(0,. f ( = + ln(0, lm = 0 (donné dans l'énoncé + donc lm f ( = + lm = 0 + onc la drote d équaton y = est asymptote vertcale à (C. ln(0, u u' v uv'. = dérvée = v v

5 0, u( = ln(0, u'( = = 0, (ln(0, ln(0, onc '( 0 f = + = ln(0, 4. Varatons de f. On cherche le sgne de f '( =. ln(0, = 0 ln(0, = ln(0, = ln e = ln( e 0, = e e = = 0e 0, 00,85 où les varatons de f : ln( e f ( 0e = + 0e = +,005 0e 5. f est contnue sur ]0, 00[ car dérvable. f est strctement crossante sur ]0, 00[. ln(0 Pour tout de ]0, 00[, f ( ] ; f (00] avec f ( 00 = +, 0> ] ; f (00] donc l équaton f ( = 0 admet une unque soluton α dans l'ntervalle ]0, 00[ f (,0 et f (,95 donc α ] ; [ f (, 0,08 et f (,4 0,67 donc α, où le sgne de f ( :

6 Parte. Applcaton économque Une entreprse constate que pour un nombre d'objets comprs entre 0 et la producton et la vente de mllers d'objets dégage un bénéfce total de B( mllers d'euros, où B( est défn par :. 000 = mllers B ( = 4 + ln(0,,9 B ( = + ln(0, Bénéfce moyen pour 000 objets = 9 =, 000 B (,5 = 5,5 + ln(0,5 4,4 44 Bénéfce moyen pour 500 objets =, B( B( + ln(0, ln(0,. Bénéfce moyen = = = = + = f ( 0. f ( 0 pour α avec α, Le bénéfce moyen est postf à partr de 00 objets (à la centane près Pour tout [ 0 ; + [, f ( +, e onc le bénéfce moyen ne pourra jamas attendre,5.