Exercice 1 : Calculer les expressions : Correction :

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1 Exercice 1 : Calculer les expressions : A = ; B = ; C = ; D = A = B = C = D = A = B = C = D = A = 48. B = 90. C = 330. D = 290.

2 Exercice 2 : Calculer les expressions suivantes : A = ( + ) ; B = ( ) ; ( ) D = 4 ( 15 3) ; E = 24 ( 5 + 3) ; ( ) C = ; F = A = 14 ( 8 + 4) B = 5 ( 11 7) C ( ) = A = B = 5 4 C = 30 6 A = 2. B = 20. C = 5. D = 4 ( 15 3) E = 24 ( 5 + 3) F ( ) = D = 4 5 E = 24 8 F = 21 5 D = 20. E = 3. F = 105.

3 Exercice 3 : Calculer les expressions suivantes : A = ; B = ; C = ; D = ; E = ; F = A = B = C = A = B = 12 2 C = A = 27. B = 10. C = 33. D = E = F = D = 9 8 E = F = D = 1. E = 35. F = 29.

4 Exercice 4 : Calculer les expressions : A = ; B = ; C = ; D = A = B = C = D = A = B = 2,5 3 C = D = 12 4 A =10. B = 7,5. C = D = 3.

5 Exercice 5 : Calculer les expressions suivantes : A = ; 9 B = 2 ; 3 D = ; E = ; 18 C = 3 + ; 2 21 F = A = B = 2 C = A = B = 3 2 C = A = 8. B = 1. C = 12. D = E = F = D = 14 5 E = 7 3 F = D = 9. E = 4. F = 11.

6 Exercice 6 : Calculer les expressions suivantes : A = ( + ) ; ( ) C = 4 + ( 25 3) 2 + ( ) ; B = ; 18 D = A = 56 ( ) B ( ) A = 56 ( ) B = ( ) A = B = 8 4 A = 32. B = 2. C = 4 + ( 25 3) 2 + ( ) = D = D = C = ( 36 27) ( ) C = D = C = 57. D = 25.

7 Exercice 7 : Réécrire les expressions suivantes en remplaçant les traits de fraction par le signe, puis les calculer : A = ; B = ; 5 10 C = ; D = A = B = C = D 10 = 25 5 = A = ( ) 7 B = 4 ( 5 + 3) C = ( 45 5) 3 D ( ) A = 21 7 B = 4 8 C = 9 3 D = 10 5 A = 3. B = 0,5. C = 3. D = 2.

8 Exercice 8 : Recopier chaque ligne en ajoutant des parenthèses pour que les égalités soient vérifiées : a) = 35 ; b) = 6 ; c) = 51 ; d) = 5. a) 5 ( 4 + 3) = 35. b) 15 ( 5 + 4) = 6. c) 6 ( 4 + 5) 3 = 51. d) ( ) ( ) = 5.

9 Exercice 9 : Calculer : a) la somme de 13 et de 9 ; b) la différence de 26 et de 9 ; c) le produit de 8 par 7 ; d) le quotient de 54 par 9. a) La somme de 13 et de 9 : A = A = 22. b) La différence de 26 et de 9 : B = 26 9 B = 17. c) Le produit de 8 par 7 : C = 8 7 C = 56. d) Le quotient de 54 par 9 : 54 D = 9 D = 6.

10 Exercice 10 : Calculer : a) le produit de 3 par la somme de 2 et de 5 ; b) la différence de 10 et du produit de 2 par 3 ; c) le quotient de la somme de 6 et de 4 par 2. a) Le produit de 3 par la somme de 2 et de 5 : A = 3 ( 2 + 5) A = 3 7 A = 21. b) La différence de 10 et du produit de 2 par 3 : B = B = 10 6 B = 4. c) Le quotient de la somme de 6 et de 4 par 2 : C = 2 C = ( ) C = 10 2 C = 5.

11 Exercice 11 : On pense à un nombre. On lui ajoute 2 et on multiplie le total par 3. On trouve 21. Ecrire une expression qui permet de calculer ce nombre, puis le calculer. N = N = 7 2 N = 5. On a donc pensé au nombre 5.

12 Exercice 12 : On pense à un nombre. On le multiplie par 5 et on enlève 4 au résultat. On trouve 6. Ecrire une expression qui permet de calculer ce nombre, puis le calculer. N = ( 6 + 4) 5 N = 10 5 N = 2. On a donc pensé au nombre 2.

13 Exercice 13 : Paul part faire ses courses avec un billet de 10. A la boulangerie, il achète trois chocolatines à 0,6 chacune et une baguette à 90 centimes. A la poste, il prend quatre timbres à 0,53 chacun. Enfin, chez l épicier, un demi-kilogramme de pommes à 3 le kg. 1) Ecrire une expression qui permet de calculer la somme d argent qu il lui reste quand il rentre chez lui. 2) Calculer cette somme d argent. 1) = 10 ( 3 0, 6 + 0, , ) E ou E = , 6 0,9 4 0, ) E = 10 ( 3 0, 6 + 0, , ) ou E = , 6 0,9 4 0, E = 10 ( 1,8 + 0,9 + 2,12 + 1,5 ) E = 10 1,8 0,9 2,12 1,5 E = 10 ( 2, 7 + 2,12 + 1,5) E = 8,2 0,9 2,12 1,5 E = 10 ( 4,82 + 1,5 ) E = 7,3 2,12 1, 5 E = 10 6,32 E = 5,18 1,5 E = 3,68. E = 3, 68. Il lui reste donc 3,68.

14 Exercice 14 : Ce matin, un fermier a ramassé 166 œufs. Il les a rangés dans 8 boîtes de 12 œufs et dans des boîtes de 6 œufs. Il lui est alors resté 4 œufs. 1) Ecrire une expression qui permet de calculer le nombre de boîtes de 6 œufs utilisées. 2) Calculer le nombre de boîtes de 6 œufs utilisées. 1) E = 166 ( ) 6 ou ( ) E = E = ) E = 166 ( ) 6 ou ( ) E = 166 ( ) 6 E = ( ) 6 E = ( ) 6 E = 66 6 E = 66 6 E = 11. E =11. Le fermier a donc utilisé 11 boîtes de 6 œufs.

15 Exercice 15 : Trouver le nombre manquant dans chaque égalité : a) = 14 ; b) = 11 ; c) = ; d) ( ) 16 4 = 4. a) = 14. b) = 11. c) =. d) 16 ( 4) 8 = 4.

16 Exercice 16 : Calculer les expressions suivantes : A = ; a) ( ) ( ) B = ; 4 C = b) ( ) c) ( ) = A = B = a) A = ( ) 4 ( ) b) B ( ) ( ) A = B = A = 615. B = B =1150. c) C = ( 23+ 2) C = 3 [ ] C = 3 [ ] C = C = 1740.

17 Exercice 17 : Recopier chaque ligne en ajoutant des parenthèses pour que les égalités soient vérifiées : a) = 3 ; b) = 110 ; c) = 0 ; d) = 28. a) 30 ( 6 + 4) = 3. b) ( ) c) 5 ( ) = 0. d) ( ) = = 28.

18 Exercice 18 : Recopier et compléter avec les signes «+» ou pour que chaque égalité soit vérifiée : a) = 13 ; b) = 30 ; c) = 10 ; d) = 21. = ; e) ( ) = ; f) ( ) a) = 13. b) = 30. c) = 10. d) = =. e) ( + ) =. f) ( )

19 Exercice 19 : Recopier et compléter avec les signes «+» ou, ou pour que chaque égalité soit vérifiée : a) = 11 ; b) = 36 ; = ; c) ( ) d) ( )...4 = 3,75 ; e) = 16 ; f) = = 36. a) = 11. b) = 8. c) ( ) d) ( ) 4 = 3, 75. e) = 16. f) = 0.

20 Exercice 1 : Calculer les sommes : 2 3 A = ( ) + ( ) ; B = ( 2) + ( + 3) ; C = ( 1) + ( 5) ; ( 5) ( 1) D = + +. A = ( 2) + ( 3) B = ( 2) + ( + 3) C = ( 1) + ( 5) D = ( + 5) + ( 1) A = 5. B = 1. C = 6. D = 4.

21 Exercice 2 : Calculer les sommes : A = ( ) + ( ) ; B = ( 56) + ( + 24) ; C = ( 34) + ( + 26) ; ( 167) ( 113) D = +. A = ( 25) + ( 32) B = ( 56) + ( + 24) C = ( 34) + ( + 26) D = ( 167) + ( 113) A = 57. B = 32. C = 8. D = 280.

22 Exercice 3 : Calculer : 2 3 A = ( ) ( + ) ; B = ( 2) ( 3) ; C = ( 5) ( 1) ; ( 1) ( 5) D = +. A = ( 2) ( + 3) B = ( 2) ( 3) C = ( 5) ( 1) D = ( 1) ( + 5) A = ( 2) + ( 3) B = ( 2) + ( + 3) C = ( 5) + ( + 1) D = ( 1) + ( 5) A = 5. B = 1. C = 4. D = 6.

23 Exercice 4 : Calculer : A = ( ) ( + ) ; B = ( 22) ( 53) ; C = ( 565) ( 125) ; ( 125) ( 565) D = +. A = ( 20) ( + 34) B = ( 22) ( 53) C = ( 565) ( 125) D = ( 125) ( + 565) A = ( 20) + ( 34) B = ( 22) + ( + 53) C = ( 565) + ( + 125) D = ( 125) + ( 565) A = 54. B = 31. C = 440. D = 690.

24 Exercice 5 : Calculer : A = ( ) + ( ) ; B = ( 200) + ( + 200) ; C = ( 200) ( 200) ; ( 200) ( 200) D = +. A = ( 200) + ( 200) B = ( 200) + ( + 200) C = ( 200) ( 200) D = ( 200) ( + 200) A = B =. C = ( 200) + ( + 200) D = ( 200) + ( 200) C = 0. D = 400.

25 Exercice 6 : Calculer : 0 8,53 A = + ( ) ; B = 0 ( 8,53) ; ( ) D = ( + 423,56) + 0 ; E = 0 + ( + 27, 4) ; 0 ( 27,4) C = + 423,56 0 ; F = +. A = 0 + ( 8,53) B = 0 ( 8,53) ( ) A = 8,53. B = 0 + ( + 8,53) C = 423,56. B = 8,53. C = + 423,56 0 D = ( + 423,56) + 0 E = 0 + ( + 27, 4) F = 0 ( + 27,4) D = 423,56. 27,4 E =. F = 0 + ( 27, 4) F = 27,4.

26 Exercice 7 : Recopier et compléter le tableau : a b a + b a b a + b a b ,2 3,2 a b a + b a b a + b a b ,2 3,2 2 4, 4 4,4 2

27 Exercice 8 : Recopier et compléter le tableau : a b c a + b b c ,5 3 0,5 2,3 3,1 4,6 + ( a + b) + c a + ( b + c) Que remarque-t-on? a b c a + b b c + ( a + b) + c a + ( b + c) ,5 3 0,5 1,5 3, ,3 3,1 4,6 0,8 7,7 5,4 5,4 On remarque que, dans chacun des quatre cas, on a : ( a + b) + c = a + ( b + c ). On admet que cette propriété est vraie pour tous nombres relatifs a, b et c : on dit que l addition est une opération associative.

28 Exercice 9 : Recopier et compléter le tableau : a b a b b a ,2 + 6,7 + 4,8 7,8 Que remarque-t-on? a b a b b a ,2 + 6,7 7,9 7,9 + 4,8 7,8 12,6 12, 6 On remarque que, dans chacun des quatre cas, le nombre a b = b a. ( ) b a est l opposé du nombre a b, soit : On admet provisoirement que cette propriété est vraie pour tous nombres relatifs a et b.

29 Exercice 10 : Recopier l expression et compléter le par le signe «+» ou le signe pour que l égalité soit vraie : a) ( + 10) ( 14) = ( 4) ; b) ( 10) ( 8) ( 18) = + ; c) ( 9) ( 15) = ( + 6) ; d) ( 32) ( 17) ( 49) + =. a) ( + 10) ( + 14) = ( 4). b) ( 10) ( 8) ( 18) + = +. c) ( 9) ( 15) = ( + 6). d) ( 32) ( + 17) ( 49) =.

30 Exercice 1 : Démontrer que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles. On sait que les droites ( AB ) et ( CD ) sont perpendiculaires à la droite ( ) BC. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. CD sont parallèles. Donc les droites ( AB ) et ( ) Par conséquent On en déduit que Il en résulte que

31 Exercice 2 : Démontrer que les droites ( ) et ( d ) sont perpendiculaires sachant que les droites( d ) et ( d ) sont parallèles. On sait que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles, et que la droite ( ) est perpendiculaire à la droite ( ) Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. d sont perpendiculaires. On en déduit que les droites ( ) et ( ) d.

32 Exercice 3 : On donne : ( d1 ) // ( d 2 ) ( ) // ( ) d d. 2 3 Démontrer que les droites ( d 1) et ( 3 ) d sont parallèles. On sait que les droites ( d 1) et ( d 3 ) sont perpendiculaires à la droite ( 2 ) Or, si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. d sont parallèles. Donc les droites ( ) 1 d et ( ) 3 d.

33 Exercice 4 : On considère la figure ci-contre : Démontrer que les droites ( d 2 ) et ( 3 ) d sont parallèles. On sait que les droites ( d 2 ) et ( d 3 ) sont perpendiculaires à la droite ( 1) Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. d sont parallèles. Donc les droites ( ) 2 d et ( ) 3 d.

34 Exercice 5 : Sur la figure ci-contre, les droites d sont parallèles. ( d ) et ( ) Démontrer que les droites ( ) et ( d ) sont perpendiculaires. On sait que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles et que la droite ( ) est perpendiculaire à la droite ( ) Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. d sont perpendiculaires. Donc les droites ( ) et ( ) d.

35 Exercice 6 : 1) a) Tracer une droite ( MN ). b) Tracer la perpendiculaire à la droite ( MN ) qui passe par le point N. Placer sur cette droite un point R distinct du point N. c) Tracer la perpendiculaire à la droite ( NR ) qui passe par le point R. Placer sur cette droite un point S distinct du point R. 2) Démontrer que les droites ( MN ) et ( RS ) sont parallèles. 1) a) b) et c) Figure : Facile! 2) On sait que les droites ( MN ) et ( RS ) sont perpendiculaires à la droite ( ) NR. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. RS sont parallèles. Donc les droites ( MN ) et ( )

36 Exercice 7 : 1) Citer deux droites parallèles. Justifier la réponse. d sont parallèles. d et ( 6 ) Citer une droite perpendiculaire à la droite ( d 6 ). Justifier la réponse. 2) Dans cette question, les droites ( ) 1 1) Les droites ( d 3 ) et ( 4 ) En effet : d sont parallèles. On sait que les droites ( d 3 ) et ( d 4 ) sont perpendiculaires à la droite ( 2 ) Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. d sont parallèles. Par conséquent, les droites ( ) 3 Remarque : d et ( ) 4 d. Compte tenu des données, on ne peut pas démontrer que les droites ( d 1) et ( 6 ) droites ( d 2 ) et ( d 5 ) sont parallèles. 2) La droite ( d 7 ) est perpendiculaire à la droite ( 6 ) En effet : d. d sont parallèles, ni que les On sait que les droites ( d 1) et ( d 6 ) sont parallèles et que la droite ( d 7 ) est perpendiculaire à la droite ( 1) Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. d. On en déduit que la droite ( ) 7 Remarque : d est perpendiculaire à la droite ( ) Compte tenu des données, on ne peut pas démontrer que les droites ( d 3 ) et ( 5 ) les droites ( d 4 ) et ( d 5 ) sont perpendiculaires. 6 d. d sont perpendiculaires, ni que

37 Exercice : 1) Compléter : Le périmètre d un carré de côté a est : P =... Le périmètre d un rectangle de longueur L et de largeur l est : P =... Le périmètre d un cercle de rayon R est : P =... L aire d un carré de côté a est : A =... L aire d un rectangle de longueur L et de largeur l est : A =... L aire d un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l angle droit sont a et b est : A =... L aire d un triangle de base b et de hauteur associée h est : A =... L aire d un disque de rayon R est : A =... 2) ( C ) est un cercle de rayon 5 cm. On note ( ) a) Calculer le périmètre P du cercle ( C ) : donner la valeur exacte en cm, puis la valeur arrondie au mm. D le disque associé. b) Calculer l aire A du disque ( D ) : donner la valeur exacte en cm 2, puis la valeur arrondie au mm 2. 1) Compléter : Le périmètre d un carré de côté a est : P = 4 a. Le périmètre d un rectangle de longueur L et de largeur l est : = 2 L + 2 l P ou = 2( L + l) P. Le périmètre d un cercle de rayon R est : P = 2 π R. 2 L aire d un carré de côté a est : A = a. L aire d un rectangle de longueur L et de largeur l est : A = L l. a b L aire d un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l angle droit sont a et b est : A =. 2 b h L aire d un triangle de base b et de hauteur associée h est : A =. 2 2 L aire d un disque de rayon R est : A = π R. 2) ( C ) est un cercle de rayon 5 cm. On note ( ) a) Calculer le périmètre P du cercle ( ) D le disque associé. C : donner la P = 2 π R valeur exacte en cm, puis la valeur arrondie au mm. P = 2 π 5 P = 10π cm (valeur exacte en cm) P 31,4 cm (valeur arrondie au mm). b) Calculer l aire A du disque ( D ) : donner la valeur exacte en cm 2, puis la valeur arrondie au mm 2. A = π R 2 2 A = π 5 A = 25π cm² (valeur exacte en cm²) A 78,54 cm² (valeur arrondie au mm²).

38 Exercice :

39

40 Exercice p 25, n 37 : Calculer les expressions : a) ; b) a) A = b) ; c) 10 ( 15) ; d) ( 30) ( 45). B = + c) C = 10 ( 15) d) D = ( 30) ( 45) A = 10. B = 15. C = D = C = 25. D = 15.

41 Exercice p 25, n 38 : Calculer les expressions : a) 7,5 + 3, 2 ; b) 7,5 3, 2 ; c) 4,8 9,8 ; d) 4,8 9,8. a) A = 7,5 + 3, 2 b) B = 7,5 3,2 c) C = 4,8 9,8 d) D = 4,8 9,8 A = 4,3. B = 10,7. C = 5. D = 14,6.

42 Exercice p 25, n 39 : Calculer les expressions : a) 1, 25 1, 25 + ; b) 13,5 ( 13,5) a) A = 1, 25 1,25 + b) 13,5 ( 13,5) ; c) 3, 48 9,1 B = c) 3,48 9,1 ; d) 4,8 ( 9,8). C = d) D = 4,8 ( 9,8) A = 0. B = 13,5 + 13,5 C = 12, 58. D = 4,8 + 9,8 B = 0. D = 5.

43 Exercice p 25, n 40 : Calculer les expressions : a) + ( ) ( ) ; b) ( 3+ 1) 2 ( 4 5) ; c) ( ) a) A = 3+ ( 1 2) ( 4 5) b) B = ( 3 + 1) 2 ( 4 5) c) ( ) A = 3 + ( 1) ( 1) B = 4 2 ( 1) C = + ( ) C = A = B = C = A = 3. B = 5. C = 5.

44 Exercice p 25, n 41 : Calculer les expressions : A = + + ; B = ( 11+ 4) + 17 ( 9 1) ; ( ) ( 9 1) C = + +. A = ( 11 4) 17 ( 9 1) C = A = B = C = 32 8 A = B = 6. C = 40. A = 0. B = + + ( ) ( )

45 Exercice p 25, n 42 : Calculer les expressions : ( ) D = 6,8 4, 7 0,8 ( 0, 7) ; E = 6,8 ( 4,7 0,8) ( 0, 7) ; ( 6,8 4, 7) 0,8 ( 0, 7) F =. ( ) D = 6,8 4, 7 0,8 ( 0, 7) E = 6,8 ( 4,7 0,8) ( 0, 7) F = ( 6,8 4, 7) 0,8 ( 0, 7) D = 6,8 0,8 4, 7 + 0, 7 6,8 3, 9 0, 7 E = + F = 2,1 ( 0,8 + 0, 7) D = 6 4 E = 3,6. F = 2,1 1,5 D = 2. F = 0,6.

46 Exercice p 25, n 43 : Calculer astucieusement les expressions algébriques : A = ; B = ; C = 1, 4 3,7 + 0,6 1,3. A = B = C = 1, 4 3,7 + 0,6 1,3 A = B = C = 1, 4 + 0,6 3,7 1,3 A = B = C = 2 5 A = 6. B = 50. C = 3.

47 Exercice p 25, n 44 : Calculer astucieusement les expressions algébriques : 2, ,5 7 E = ; F = 1,5 36, 4 1,5 + 6, 4. D = + + ; ( ) D = 2, ,5 + 7 E = ( 5) 3 1 F = 1,5 36, 4 1,5 + 6, 4 D = 2,5 + 3, E = F = 30. D = E = 0. D = 7.

48 Exercice p 23, n 10 : Calculer les expressions en faisant apparaître les étapes du calcul : A = ; C = 7 2 ( 8) ; D = 7 2 ( 8). A = ( 8) A = C = = 7 2 ( 8) C = + D = 7 [ 2 + 8] D A = 4. C = 22. D = 7 10 D = 70.

49 Exercice p 23, n 11 : Calculer les expressions en faisant apparaître les étapes du calcul : A = ; C = A = C = A = 5 24 C = A = 19. C = 26.

50 Exercice p 23, n 12 : Calculer les expressions en faisant apparaître les étapes du calcul : B = ; C = A = ; ( ) A = B = ( 16 7) 8 C = A = B = 9 8 C = A = 40. B = 72. C = 5.

51 Exercice p 23, n 13 : Calculer les expressions en faisant apparaître les étapes du calcul : B = ; A = ; ( ) D = C = ; ( ) A = B = ( 16 12) 4 C = D = 8 ( 4 2) 4 A = 16 3 B = 4 4 C = 2 8 D = A = 13. B = 1. C = 6. D = 4 4 D = 16.

52 Exercice p 23, n 14 : Calculer les expressions en faisant apparaître les étapes du calcul : A = ; D = A = C = ; ( ) D = C = ( ) A = 24 8 C = 9 10 D = A = 16. C = 1. D = 18 5 D = 90.

53 Exercice 1 : 1) Que représente la droite ( d ) pour le segment [ ] 2) Justifier que le triangle RDG est isocèle en R. DG? Justifier la réponse. 1) On sait que la droite ( d ) est perpendiculaire au segment [ ] DG et passe par son milieu. Or, la médiatrice d un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. DG. Donc la droite ( d ) est la médiatrice du segment [ ] 2) On sait aussi que le point R appartient à la médiatrice ( d ) du segment [ ] DG. Or, si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant de ses extrémités. Donc le point R est équidistant des points D et G. Par conséquent, le triangle RDG possède deux côtés de même longueur, [ RD ] et [ RG ] : il est donc isocèle en R.

54 Exercice 2 : 1) Justifier que le point E appartient à la médiatrice du segment [ BC ]. 2) Justifier que la droite ( EF ) est la médiatrice du segment [ BC ]. 3) A quoi correspond le point d intersection de la droite ( EF ) et du segment [ ] 1) On sait que E est équidistant des points B et C. BC? Justifier la réponse. Or, si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à sa médiatrice. Donc le point E appartient à la médiatrice du segment [ BC ]. 2) On sait aussi que F est équidistant des points B et C, donc d après la propriété précédente, le point F BC. appartient à la médiatrice du segment [ ] La médiatrice du segment [ BC ] passe par les points E et F : c est donc la droite ( ) 3) D après la question précédente, la droite ( EF ) est la médiatrice du segment [ ] Or, la médiatrice d un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. BC. EF. BC. Par conséquent, le point d intersection de la droite ( EF ) et du segment [ BC ] est le milieu de [ ]

55 Exercice 3 : Dans la figure ci-contre, réalisée à main levée : ABC = 67 ACB = 59 B, C et D sont alignés ( AD ) est la bissectrice de l angle BAC. 1) a) Calculer la mesure de l angle BAC. Justifier. b) En déduire la mesure de l angle BAD. 2) On note ( m ) la médiatrice du segment [ AB ] et ( ) Démontrer que les droites ( m ) et ( h ) sont parallèles. 1) a) Mesure de l angle BAC : h la hauteur du triangle ABC issue de A. Dans le triangle ABC, les angles ABC et ACB mesurent respectivement 67 et 59. Or, la somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180. Donc : ABC + ACB + BAC = BAC = BAC = 180 donc BAC = BAC = 54. L angle BAC mesure donc 54. b) Mesure de l angle BAD : On sait que la droite ( AD ) est la bissectrice de l angle BAC. Or, la bissectrice d un angle est la droite qui passe par son sommet et qui le partage en deux angles adjacents de même mesure. Donc : BAD = 1 BAC 2 BAD = BAD = 27. L angle BAD mesure donc 27.

56 2) On sait que ( m ) est la médiatrice du segment [ ] AB. Or, la médiatrice d un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. AB. Donc la droite ( m ) est perpendiculaire à la droite ( ) En outre, on sait que ( h ) est la hauteur du triangle ABC issue de A. Or, dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Donc la droite ( h ) est perpendiculaire à la droite ( AB ). Ainsi, les droites ( m ) et ( h ) sont toutes deux perpendiculaires à la droite ( ) AB. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. h sont parallèles. Il en résulte que les droites ( m ) et ( )

57 Exercice 4 : Démontrer que les droites ( SR ) et ( GI ) sont perpendiculaires. On sait que les points S et R sont équidistants des points G et I. Or, si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à sa médiatrice. GI. Donc les points S et R appartiennent à la médiatrice du segment [ ] La médiatrice du segment [ GI ], qui passe par les points S et R, est donc la droite ( ) Or, la médiatrice d un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. GI sont perpendiculaires. Il en résulte que les droites ( SR ) et ( ) SR.

58 Exercice 5 : C Démontrer que les points C, D et E sont alignés : D A E B Exercice 5 : C Démontrer que les points C, D et E sont alignés : A E On sait que les points C, D et E sont équidistants des points A et B. Or, si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à sa médiatrice. Donc les points C, D et E appartiennent à la médiatrice du segment [ AB ] : par conséquent, ils sont alignés. B D

59 Exercice 6 : Construire, uniquement à la règle non graduée et au compas, L qui sont équidistants de A et B. tous les points de la ligne ( ) Expliquer la réponse. Exercice 6 : Construire, uniquement à la règle non graduée et au compas, L qui sont équidistants de A et B. tous les points de la ligne ( ) Expliquer la réponse. Les points de la ligne ( L ) équidistants de A et B sont les points d intersection de la ligne ( L ) et de la médiatrice du segment [ ] il y en a donc exactement cinq (croix en vert). AB :

60 Exercice p 25, n 46 : Tester si l égalité x 3,5 = x + 2,5 est vraie pour chaque valeur de x : a) x = 3,5 ; b) x = 3. a) Si x = 3,5 : Alors : x 3, 5 = 3, 5 3,5 = 7 et x ( ) + 2,5 = 3,5 + 2,5 = 3,5 + 2, 5 = 6. Donc, si x = 3,5, l égalité x 3,5 = x + 2,5 est fausse. Le nombre 3,5 n est pas (une) solution de l équation x 3,5 = x + 2,5. b) Si x = 3 : Alors : x 3, 5 = 3 3, 5 = 0, 5 et x + 2,5 = 3+ 2,5 = 0, 5. Donc, si x = 3, l égalité x 3,5 = x + 2,5 est vraie. Le nombre 3 est (une) solution de l équation x 3,5 = x + 2,5.

61 Exercice p 25, n 47 : Tester si l égalité x ( x ) a) x = 5,5 ; b) x = 1. a) Si x = 5,5 : + 5 = est vraie pour chaque valeur de x : Alors : x ( ) et ( x ) ( ) Donc, si 5,5 Le nombre 5,5 b) Si x = 1 : + 5 = 5,5 + 5 = 5,5 + 5 = 10,5 ( ) ( ) ( ) = 5, = 5, = 6, = 6,5 + 4 = 10, 5. x =, l égalité x + 5 = ( x 12) + 4 est vraie. est (une) solution de l équation x ( x ) Alors : x ( ) et ( x ) ( ) + 5 = = 1+ 5 = = ( ) ( ) ( ) = = = = = 15. Donc, si 1 Le nombre 1 x =, l égalité x + 5 = ( x 12) + 4 est fausse. n est pas (une) solution de l équation x ( x ) + 5 =

62 Exercice p 155, n 1 : I K [ BC] [ AC] Démontrer que les droites ( IK ) et ( AB ) sont parallèles. Dans le triangle ABC, I est le milieu du côté [ BC ] et K le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, les droites ( IK ) et ( ) AC. AB sont parallèles.

63 Exercice p 155, n 2 : O J [ SR] [ ST ] SR = 6 cm TR = 5 cm ST = 3cm Calculer la longueur du segment [ OJ ]. Justifier la réponse. Longueur OJ : Dans le triangle RST, O est le milieu du côté [ RS ] et J le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, on a : 1 OJ = RT 2 1 OJ = 5 2 OJ = 2,5 cm. Le segment [ OJ ] mesure donc 2,5 cm. ST.

64 Exercice 1 : On considère la figure ci-contre. 1) Calculer la longueur EG. Justifier. 2) Calculer la longueur BC. Justifier. 3) Démontrer que les droites ( FG ) et ( BD ) sont parallèles. 1) Longueur EG : Dans le triangle ACD, E est le milieu du côté [ AC ] et G le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, on a : 1 EG = CD 2 1 EG = 6,5 2 EG = 3,25 cm. Le segment [ EG ] mesure donc 3,25 cm. 2) Longueur BC : Dans le triangle ABC, E est le milieu du côté [ AC ] et F le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, on a : 1 EF = BC 2 donc BC = 2 EF BC = 2 2,7 BC = 5, 4 cm. Le segment [ BC ] mesure donc 5,4 cm. AD. AB. 3) Dans le triangle ABD, F est le milieu du côté [ AB ] et G le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, les droites ( FG ) et ( ) AD. BD sont parallèles.

65 Exercice 2 : On considère la figure ci-contre. A Démontrer que les droites ( DF ) et ( AC ) sont parallèles. B C F D E Dans le triangle ACE, D est le milieu du côté [ CE ] et F le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, les droites ( DF ) et ( ) AE. AC sont parallèles.

66 Exercice 3 : A On considère la figure ci-contre dans laquelle CG = 3,5 cm. 1) Démontrer que les droites ( CH ) et ( EG ) sont parallèles. 2) Calculer la longueur BH. Justifier. E D C B H G F 1) Dans le triangle AEG, C est le milieu du côté [ AE ] et H le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, les droites ( CH ) et ( ) 2) Longueur BH : Dans le triangle ACG, B est le milieu du côté [ AC ] et H le milieu du côté [ ] Donc, d après le théorème de la droite des milieux, on a : 1 BH = CG 2 1 BH = 3,5 2 BH = 1,75 cm. Le segment [ BH ] mesure donc 1,75 cm. AG. EG sont parallèles. AG.