Modélisations Théorique et Numérique des Polymères Fondus en Conduites Cylindriques Déformables

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1 UNIVESITÉ MOHAMMED V-AGDAL FACULTÉ DES SCIENCES ABAT N d ode 598 THESE DE DOCTOAT Pésentée p : Nom et Pénom : MOHAMED DIOUICH Discipline : Pysique Spécilité : Mécnique des Fluides et Envionnement Su le Tème : Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Cylindiques Défombles Soutenue le 9 septembe, devnt le juy composé de: Pésident Om FASSI FEHI : Pofesseu de l enseignement supéieu à l Fculté des Sciences de bt Secétie pepétuel de l'acdémie Hssn II des Sciences Tecniques Exminteus Abdell El HAMMOUMI : Pofesseu de l enseignement supéieu à l Fculté des Sciences de bt Kml GUEAOUI : Pofesseu de l enseignement supéieu à l Fculté des Sciences de bt Bennsse BAHA : Pofesseu de l enseignement supéieu à l ENSET de Mommedi Abdeim MABTI : Docteu en Mécnique des Fluides, CNSS Csblnc

2 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles A l mémoie de mon pèe

3 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles emeciement Le pésent tvil été élisé u sein de l Equipe de Modélistion en Mécnique des Fluides et Envionnement du Lbotoie de Pysique Téoique de l Fculté des Sciences de bt Un tès gnd meci à Monsieu Kml GUEAOUI, Pofesseu de l Enseignement Supéieu à l Fculté des Sciences de bt et esponsble de l Equipe de Modélistion en Mécnique des Fluides et Envionnement, pou voi ccepté l diection de cette tèse S disponibilité, son expéience, ses qulités scientifiques, pédgogiques et tout simplement umines ont été sns conteste à l oigine du si bon déoulement de cette tèse Je suis tès sensible à l onneu que me fit Monsieu Om FASSI FEHI, Pofesseu de l Enseignement Supéieu à l Fculté des Sciences de bt, en cceptnt l pésidence du juy, mlgé ses multiples occuptions et ses nombeuses cges Qu il veuille touve ici, l expession de m gtitude pou l intéêt qu il poté à mon tvil Je tiens ussi à emecie vivement Monsieu Abdell El HAMMOUMI, Pofesseu de l Enseignement Supéieu à l Fculté des Sciences de bt, pou s ête pencé su mon tvil en qulité de ppoteu et pou l petinence de ses commenties insi son ide pécieuse Je emecie vivement Monsieu Bennsse BAHA, Pofesseu de l Enseignement Supéieu à l Fculté des Sciences et Tecnique Mommedi, pou l intéêt qu il poté à ce tvil et pou voi ccepté d ête ppoteu et de consce une ptie de son temps à l nlyse de mon tvil Je suis églement tès econnissnt enves Monsieu Abdeim MABTI, Docteu en pysique, pou voi ccepté de fie ptie de ce juy Enfin, je ne suis oublie mes collègues du lbotoie en pticulie A EL ALLATI et tous mes collègues notmment M SAMMOUDA et I ABEDANE Je suis eueux de leu témoigne ici toute m econnissnce et m symptie Je souite ussi emecie m fmille pou m voi constmment soutenue tout u long de ces nnées Meci encoe à tous Momed DIOUICH 3

4 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles ésumé L'injection des polymèes est une tecnique de fbiction de pièces ou objets encoe ml mîtisée su le pln de l ecece Cette tecnique doit cependnt éponde à une demnde industielle de plus en plus pessnte et exigente Il s'git, dns le cs des temoplstiques de fonde un polymèe initilement sous fome de poudes ou de gnulés dns une pesse à injecte et de le foce à s'écoule à l'étt fondu dns un moule fixé su l pesse Le polymèe se efoidit los en épousnt l fome de l'empeinte Les pmètes de bse de l tnsfomtion sont: l tempétue, l pession, l vitesse, le volume, et le temps Le but essentiel de note tvil est l simultion des pénomènes temomécniques u cous de l pse de emplissge Cette simultion pemet de donne l étt de l mtièe pendnt et à l fin de cette pse L modélistion du emplissge consiste à ésoude numéiquement les tois équtions de continuité, quntité de mouvement et l énegie Cette ésolution consiste à étudie l écnge temique ente le polymèe fondu (tité dns deux cs fluide compessible ou fluide incompessible) qui coule et le moule (dont l poi peut ête igide ou défomble) Pou cel, on utilise l métode numéique des difféences finies pou ésoude les tois équtions pécédentes Cette métode de clcul numéique donne l tempétue à cque instnt u cous de l écoulement de l mtièe à pti de l éqution de l consevtion de l énegie insi que le pofil de l vitesse à ptie de l éqution de l quntité de mouvement L utilistion du modèle pseudoplstique temo-dépendnt de l viscosité qui tient compte de l vition de l viscosité en fonction du tux de cisillement et de l tempétue nécessite d étbli un couplge des équtions d écnge temique et mécnique ce qui pemet de tce l cte de l viscosité le long de l moule Mots clé : injection, polymèe fondu, fluide compessible, poi défomble, modèle pseudoplstique temo-dépendnt, modélistion numéique, difféences finies 4

5 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles Abstct Te polyme injection is tecnique fo mking pts o objects ic is still pooly contolled in tems of esec Tis tecnique, oeve, must meet industil demnd moe ugent nd demnding it is bout, in te cse of temoplstic, to melt polyme initilly s podes o gnules in n injection molding mcine nd to foce it to flo in te molten stte in mold fixed to te pess Te polyme is ten cooled nd mtcing te spe of te impession Te pincipl pmetes of te tnsfomtion e: tempetue, pessue, velocity, volume, nd time Te min pupose of ou study is te simultion of temomecnicl penomen duing te filling pse Tis simultion llos to give te stte of te mteil duing nd t te end of tis pse Te modeling of filling is to solve numeiclly te tee equtions : continuity, momentum nd enegy Te solution is to investigte te et excnge beteen te molten polyme (discussed in bot cses compessible fluid o incompessible fluid) floing nd te mold (te ll cn be igid o defomble) Fo tis, e use te numeicl metod bsed on finite diffeences to solve te tee bove equtions Tis metod povides te tempetue pofile t ec instnt duing te flo fom te eqution of enegy Te pofile of te speed cn be povide fom te eqution of te momentum Te use of temo-pseudoplstic model depending on te viscosity ic eflects te cnge in viscosity vesus se te nd tempetue equies coupling of equtions of et excnge nd mecnic bevio Tis tecnique llos s to d te mp of viscosity long te mold Keyods: injection, polyme melt, compessible fluid, defomble ll, temo pseudoplstic model, numeicl modeling, finite diffeences 5

6 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles Liste des publictions M Diouic, K Gueoui, M Smmoud, YM Hddd () «Te Effect of te eologicl Ccteistics of te molten polyme On Its Flo in igid Cylindicl Tubes» Adv Studies Teo Pys, Vol 6, no, M Diouic, K Gueoui, M Smmoud, I Abedne, YM Hddd () «Te effect of electic field on te flo of compessible ionied fluid in cylindicl tube» Adv Studies Teo Pys, Vol 6, no 3-6, M Diouic, K Gueoui, YM Hddd, A El mmoumi, M Keoum, O Fssi Fei () «Mtemticl modeling of Non Pemnent Flos of Molten polymes» Intentionl evie of Mecnicl Engineeing (IEME) Vol4, N6, M Diouic, K Gueoui, YM Hddd, M Smmoud, A El mmoumi, M Keoum, O Fssi Fei () «Numeicl nd Teoeticl Modelling of unstedy Flos fo Incompessible Fluid in igid Conducts Appliction to Molten Polymes Flo» Intentionl evie on Modelling nd Simultion (IEMOS) Vol 3, N 6, M Smmoud, K Gueoui, M Diouic, A El Hmmoumi, A Iben Bim () «Non-Dcy Ntul Convection Het Tnsfe long Veticl Cylinde Filled by o Poous Medi it Vible Poosity» Intentionl evie of Mecnicl Engineeing (IEME) Vol 6, N 4, 6 M Smmoud, K Gueoui, M Diouic, A El Hmmoumi, A Iben Bim () «Te Vible Poosity Effect on te Ntul Convection in non-dcy Poous Medi» Intentionl evie on Modelling nd Simultion (IEMOS) Vol 4, N 5, pp 7-77 Pocessing: 7 M Diouic, K Gueoui, M Smmoud, YM Hddd () «A Ne Numeicl Code to Study te Flo of Molten Polymes In Elstic Pipes» AES- ATEMA Intentionl Confeence Advnces nd tends in Engineeing nd tei Applictions, ig, Ltvi: July -5, pp M Smmoud, K Gueoui, M Diouic, YM Hddd () «Non-Unifom Poosity Effect on Ntul Convection in Non-Dcy Poous Medi» AES-ATEMA Intentionl Confeence Advnces nd tends in Engineeing nd tei Applictions, ig, Ltvi: July -5, pp

7 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles Liste des Communictions M Diouic, K Gueoui, A El Hmmoumi, M Keoum, Communiction à l deuxième enconte Ntionle de Pysique Téoique ognisée à Oujd, les 4 et 5 décembe 9, sous le tite : «Modélistion Mtémtique des écoulements des Polymèes Fondus en Conduites igides» M Diouic, K Gueoui, A El Hmmoumi, M Keoum, Communiction à l enconte Ntionle des Jeunes Ceceus à Csblnc les 4 et 5 décembe 9, sous le tite : «Modélistion Numéique des écoulements de Fluides Compessibles en Conduites igides Appliction ux Polymèes Fondus» 3 M Diouic, K Gueoui, Communiction à Intentionl Confeence on Quntum infomtion Teoy (QIT) : Teoeticl Foundtions nd Applictions, Lbotoy of Teoeticl pysics -4 Juillet 9 bt; «Mise en Fome des Mtièes plstiques (Polymèes)» 4 M Diouic, K Gueoui, Communiction à l Pemièe enconte Ntionle su les Modélistions Numéique et Mtémtiques en Mécnique de Fluide et en Envionnement ognisée à bt le Jnvie sous le tite : «Ecoulement des polymèes Fondus en Conduites igide» 5 M Diouic, K Gueoui, A El Hmmoumi, M Keoum, Om Fssi-Fei, Communiction à un Congé Intentionl à Mkec : Fift Intentionl Confeence on Teml Engineeing: Teoy nd Applictions My -4,, Mkes, Moocco, sous le tite: «Numeicl simultion of compessible fluid flos in defomble conducts Appliction to molten polymes» 6 M Diouic, K Gueoui, Communiction à, Scientific Dys on Teoeticl Pysics: Teoeticl Foundtions nd Applictions, Lbotoy of Teoeticl pysics - my bt; «Modélistion des écoulements des polymèes Fondus en Conduites igides» 7 M Diouic, K Gueoui, M Smmoud, M Tibi, A Hii Communiction u ème Congès de Mécnique Oujd, Du 9 u vil ; «Nouvelle ppoce des écoulements des polymèes fondus en conduites élstiques» 8 M Diouic, K Gueoui, M Smmoud, Communiction à un Congé Intentionl à omni : Intentionl Confeence on Stuctul Anlysis of Advnced Mteils, Septembe 7-,, Bucest (omni) ; «Study te effect of coupling fluid compessible - defomble ll on te flo of molten polymes» 7

8 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles 9 M Diouic, K Gueoui, M Smmoud, M Tibi, Communiction à un Congé ntionl, Deuxième Jounée Ntionle su les Modélistions Numéiques et Mtémtiques en Mécnique et en Envionnement, 7 jnvie ; «L Effet de l Ntue de l Poi su les Écoulements des Polymèes Fondus Pendnt l Pse d Injection» M Smmoud, K Gueoui, M Diouic, Communiction à l Pemièe enconte Ntionle su les Modélistions Numéique et Mtémtiques en Mécnique de Fluide et en Envionnement ognisée à bt le Jnvie sous le tite : «Etude Numéique de l Convection Ntuelle dns un Cylinde empli p un Milieu Poeux et Stué p un Fluide Netonien» M Smmoud, K Gueoui, M Diouic, A Mbti, A Hii, Communiction à un Congé ntionl, Deuxième Jounée Ntionle su les Modélistions Numéiques et Mtémtiques en Mécnique et en Envionnement, 7 jnvie ; «Etude Numéique de L Effet de l Viscosité effective su l Convection Ntuelle en Milieu Poeux à Poosité Vible» M Smmoud, K Gueoui, M Diouic, Communiction u ème Congès de Mécnique Oujd, Du 9 u vil ; «Effet de l Vition de l Poosité su l Convection Ntuelle dns un Milieu Poeux Non-Dcien» 8

9 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Tble des mtièes» Tble des Mtièes Liste des symboles utilisés 3 Liste des Tbleux 5 Liste des Figues 6 Intoduction Généle 8 Cpite I : Génélités 3 I Polymèes : Ognistion d une mcomolécule 4 I Intoduction 4 I3 Acitectue d une mcomolécule 6 I3 Polymèes à molécules linéies 6 I3 Polymèes à molécules mifiées 8 I33 Polymèes à molécules éticulées 8 I4 Encinement des unités constitutives 9 I4 Les omopolymèes 9 I4 Les copolymèes 9 I5 Dimensions et msses des mcomolécules 3 I5 Distibution de msse molie 3 I5 Msse molie moyenne 3 I53 Degé de polyméistion 3 II Assemblge des mcomolécules et emploi des polymèes 33 II Coésion des polymèes 33 9

10 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Tble des mtièes» II Enegie de coésion 34 II3 Clssifiction des polymèes 35 II3 Les polymèes temoplstiques 35 II3 Les élstomèes 35 II33 Les polymèes temoducissbles : 36 II4 Domine d étt stuctul 36 II4 Les tempétues cctéistiques d un polymèe 36 II4 Effet de l tempétue su l mobilité des molécules 37 II43 Ett stuctul 37 II5 Les djuvnts 38 II5 Les plstifints 38 II5 Les stbilisnts 39 II6 Utilistions des polymèes dns l vie ptique 4 III Mise en fome des mtièes plstiques 44 III Moulge p injection : 46 III Desciption d une pesse à injecte 46 III Difféentes pties de l pesse à injection 5 III3 Le cycle de moulge p injection 54 III4 Mise en œuve de l pse d injection (emplissge) 55 III5 Ett du polymèe dns le moule 57 IV Compotement éologique du polymèe 58 IV Notions généles su l viscosité 59 IV Impotnce de l ntue du fluide et de l écoulement 6 IV Ntue du fluide 6 IV Ntue de l écoulement 6

11 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Tble des mtièes» IV3 Influence de l tempétue et de l pession 6 IV3 Tempétue 6 IV3 Pession 6 IV4 Les difféents modèles de viscosité : 6 IV4 Modèle Netonien 6 IV4 Modèle Pseudo-plstique 6 IV43 Modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt 63 IV5 Compessibilité du Fluide 66 V Conclusion 66 Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème 67 I Intoduction 68 II Compotement éologique de l poi 68 II Loi de compotement éologique de l conduite 68 II Système d équtions intégées su l épisseu de l poi 74 II3 Fome dimensionnelle 79 III Compotement éologique du fluide 84 III Intoduction 84 III Eqution de continuité 85 III3 Éqution de quntité de mouvement 87 III4 Eqution de l énegie 9 IV Adimensionnlistion et simplifiction des équtions 9 IV Adimensionnlistion l éqution de continuité 93 IV Adimensionnlistion de l éqution de quntité de mouvement 93 V Conclusion 99

12 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Tble des mtièes» Cpite III : Métode de ésolution I Intoduction II Métode des difféences finies 4 II Gille de clcul 4 II Le développement en séie de Tylo 6 II3 Constuction des scéms pou l déivée d ode un et deux 6 III Conclusion 9 Cpite IV : ésultts et discussions I Intoduction II Pocessus de ésolution III Test de convegence IV Données du pogmme 3 V ésultts et intepéttions 3 VI Conclusion 3 Conclusion Généle 33 éféences bibliogpiques 36 Annexe 44

13 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Listes des symboles utilisés» Liste des symboles utilisés : Viscosité ppente C v : Cleu spécifique : Conductivité témique dile : Conductivité témique xile P : Pession : Densité Volumique T : Tempetue f v : Fction de volume libe : Volume du polymèe E : Enegie d ctivtion M : Msse molie d une unité monomèe N : Nombe d unités Monomèe g : Constnte des g pfits : Viscosité de éféence e : Nombe de eynolds : Nombe de Womesley G : Nombe de Get G f : Nombe de Giffit e : Coefficient d expnsion temique : Nombe sns dimension X : Nombe sns dimension E : Module d Young A : Défomtion dile de l poi 3

14 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Listes des symboles utilisés» B : Défomtion xile de l poi u : Composnte dile de l vitesse : Composnte xile de l vitesse : Coefficient de poisson E c : Enegie de coésion T g : Tempétue de tnsition viteuse T f : Tempétue de fusion T d : Tempétue de décomposition témique K : Consistnce du mtéiu A éf : ppot ente l énegie d ctivtion et g l constnte des g pfits : yon u epos de l conduite : Vecteu déplcement de l conduite ij : Symbole de Konecke D : Tenseu de tux de défomtion L : Longueu de l conduite u epos 4

15 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Listes des Tbleux» Liste des Tbleux TABLEAU : FOMULES CHIMIQUES DE QUELQUES POLYMÈES COUANTS 8 TABLEAU : LES POLYMÈES NATUELS 4 TABLEAU 3 : LES THEMOPLASTIQUES TYPES 43 TABLEAU 4 : LES ÉLASTOMÈES TYPES 44 TABLEAU 5 : EXEMPLE DE PAAMÈTES POU LA LOI WLF 64 TABLEAU 6 : QUELQUES ÉNEGIES D ACTIVATION POU LA LOI D AHENIUS 65 TABLEAU 7 : EXEMPLES DE FACTEU DE PIÉZODÉPENDANCE 65 5

16 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Liste des Figues» Liste des Figues FIGUE : STUCTUE DE MOLÉCULES AMIFIÉES 8 FIGUE : STUCTUES DE MOLÉCULES ÉTICULAIES 9 FIGUE 3 : EFFET DU DEGÉ DE POLYMÉISATION SU LA ÉSISTANCE MÉCANIQUE 33 FIGUE 4 : EFFET D UN PLASTIFIANT SU LA STUCTUE MOLÉCULAIE 4 FIGUE 5 : CYLINDE DE PLASTIFICATION ET MOULE 46 FIGUE 6 : SCHÉMA D UNE PESSE À INJECTE ÉLECTIQUE À VIS DE PLASTIFICATION 48 FIGUE 7 : EXEMPLES DE DIFFÉENTS SYSTÈMES DE PLASTIFICATION DE PESSE À INJECTE D APÈS (OSATO, ) 49 FIGUE 8 : PÉSENTATION MACHINE DU MOULAGE PA INJECTION 49 FIGUE 9 : MACHINE DE MOULAGE PA INJECTION UNITÉ D INJECTION 5 FIGUE : MACHINE DE MOULAGE PA INJECTION UNITÉ DE SEAGE 5 FIGUE : PÉSENTATION DU MOULE 5 FIGUE : BASE DU MOULE 5 FIGUE 3 : LES CANAUX DU MOULE 53 FIGUE 4 : CONCEPTION DU MOULE 53 FIGUE 5 : ETAPES DU POCÉDÉ D'INJECTION-MOULAGE DES THEMOPLASTIQUES 55 FIGUE 6 : VITESSE ET TEMPÉATUE DU POLYMÈE LOS DE L ÉCOULEMENT PENDANT LA PHASE D INJECTION 58 FIGUE 7 : ALLUE GÉNÉALE D UNE COUBE D ÉCOULEMENT DU POLYMÈE FONDU 6 FIGUE 8: GÉOMÉTIE DE LA CONDUITE 68 FIGUE 9: LE PINCIPE DU CALCUL THÉOIQUE FIGUE : LE PINCIPE DU CALCUL NUMÉIQUE 3 FIGUE : GILLE DE CALCUL STUCTUÉE D 5 FIGUE : POFIL DE LA VITESSE AXIALE POU DEUX VALEUS DU NOMBE DE GIFFITH G f 4 FIGUE 3: POFIL DE LA TEMPÉATUE POU DEUX VALEUS DU NOMBE DE GIFFITH 6 G f 4 FIGUE 4: POFIL DE LA VISCOSITÉ APPAENTE POU DEUX VALEUS DE LA VISCOSITÉ DE EFEENCES 5 FIGUE 5: POFIL DE LA VITESSE AXIALE POU DEUX VALEUS DE LA VISCOSITÉ DE EFEENCES 5 FIGUE 6: POFIL DE LA VITESSE AXIALE POU DEUX VALEUS DE L INDICE DE COMPOTEMENT DU FLUIDE M 6 FIGUE 7: POFIL DE LA VISCOSITÉ APPAENTE POU DEUX VALEUS DE LA L INDICE DE COMPOTEMENT DU FLUIDE M 6 FIGUE 8: POFIL DE LA TEMPÉATUE POU DEUX VALEUS DE LA L INDICE DE COMPOTEMENT DU FLUIDE M 7 FIGUE 9: POFIL DE LA VITESSE AXIALE POU DEUX VALEUS DU NOMBE DE GIFFITH G f 8

17 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Liste des Figues» FIGUE 3: POFIL DE LA TEMPÉATUE POU DEUX VALEUS DU NOMBE DE GIFFITH G f 8 FIGUE 3: POFIL DE LA VITESSE AXIALE POU DEUX VALEUS DU NOMBE DE WOMESLEY 9 FIGUE 3: POFIL DE LA TEMPÉATUE POU DEUX VALEUS DU NOMBE DE WOMESLEY FIGUE 33: POFIL DE LA VITESSE AXIALE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL FIGUE 34: POFIL DE LA TEMPÉATUE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL FIGUE 35: POFIL DE LA VISCOSITÉ APPAENTE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL FIGUE 36: POFIL DE LA MASSE VOLUMIQUE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL FIGUE 37: POFIL DU TAUX DE CISAILLEMENT ADIMENSIONNEL EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL 3 FIGUE 38: POFIL DE LA VISCOSITÉ APPAENTE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU TAUX DE CISAILLEMENT ADIMENSIONNEL 3 FIGUE 39: POFIL DE LA VITESSE AXIALE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL 4 FIGUE 4: POFIL DE LA TEMPÉATUE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL 4 FIGUE 4: POFIL DE LA VISCOSITÉ APPAENTE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU TAUX DE CISAILLEMENT 5 FIGUE 4: POFIL DE LA MASSE VOLUMIQUE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL 6 FIGUE 43 : POFIL DE LA VITESSE AXIALE POU DEUX VALEUS DU NOMBE DE GIFFITH GF 7 FIGUE 44 : POFIL DE LA VITESSE AXIALE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL POU DEUX VALEUS DE M 8 FIGUE 45 : POFIL DE LA VISCOSITÉ APPAENTE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL POU DEUX VALEUS DE M 8 FIGUE 46 : POFIL DE VITESSE AXIALE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL 9 FIGUE 47 : POFIL DE TEMPÉATUE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL 9 FIGUE 48 : POFIL DE VISCOSITÉ APPAENTE ADIMENSIONNELLE EN FONCTION DU AYON ADIMENSIONNEL 3 FIGUE 49 : POFIL DE LA VITESSE AXIALE EN FONCTION DU TEMPS ET DU AYON ADIMENSIONNEL 3 FIGUE 5 : POFIL DE LA TEMPÉATUE EN FONCTION DU TEMPS ET DU AYON ADIMENSIONNEL 3 7

18 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Intoduction Généle» Intoduction Généle 8

19 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Intoduction Généle» A l fin du XIXème siècle, le tvil de l fonte et de l cie coît notblement u sein de l Euope et ces mtéiux continuent de nos jous à ête lgement employés Cependnt, un nouveu type de mtéiu v ente su l scène industielle mondile pogessivement à pti de l seconde moitié du XIXème siècle, il s git des polymèes L pemièe mtièe plstique est née ux Etts-Unis ves les nnées 86, c étit de l cétte de cellulose Elle fut une découvete p les fèes Hytt Ces denies ont ensuite, en 869, moulé du nitte de cellulose ou celluloïd, obtenu à pti du cmpe et de l cellulose, fin de emplce l ivoie dns l fbiction des boules de billd De même, le coutcouc qui est un élstomèe connu depuis le XVIIIème siècle, pend son envol à l fin du XIXème siècle gâce à l'invention des pneumtiques (ppuyée plus td p l'explosion de l poduction utomobile) et le succès des bicyclettes Les polymèes sont donc lgement utilisés dns le monde et leu cmp d ppliction este vste En effet, on les touve dns l éonutique, l industie utomobile, le domine médicl, l infomtique, l téléponie mobile, les vêtements, l immobilie, mis ussi dns l golimentie [`49] Qu est-ce qu un polymèe? C est une mcomolécule composée d un tès gnd nombe de molécules cbonées (un encînement de monomèes) qui peut se stuctue de fçon linéie (polymèes linéies), pésente des mifictions létoies (polymèes bncés) ou systémtiques et égulièes (dendimèes) On peut les touve sous fome ntuelle (ex : polysccides, coutcouc) ou obtenus p modifiction cimique d un polymèe ntuel (ex : métylcellulose) ou encoe entièement syntétisés p voie cimique (ex : polystyène, polyisopène) p une éction de polyméistion Cette syntétistion commence éellement u début du XXème siècle gâce u pogès de l cimie de syntèse Dès los, les temoplstiques tels que le polystyène ou le polycloue de vinyle voient le jou et se épndent pogessivement dns les pys industilisés gâce à des pocédés industiels de mise en fome Notons que l ppition de l plstugie en Euope eu lieu en Fnce à Oyonnx, non loin de Lyon, où l on vu l pemièe pesse à injecte ves 93 Aujoud ui Oyonnx bite le Pôle Euopéen de Plstugie (céé en 99) et l ncienne Ecole Supéieue de Plstugie (céée en 93) devenue ujoud ui le Site de Plstugie de l INSA de Lyon, qui, vec le lycée Abe Cme, foment une plte-fome dédiée à l plstugie [47], [48] Même si, de nos jous, les polymèes connissent une utilistion gndissnte, leus pocédés de mise en fome ne sont ps encoe totlement mîtisés En effet, les polymèes fondus, en mouvement tès lent, s écoulent comme des liquides mis, en mouvement pide, ils se compotent comme des coutcoucs où les pénomènes viscoélstiques sont pépondénts De plus, les popiétés temomécniques de ces mtéiux étnt complexes à cctéise et pouvnt vie considéblement à l inst de l éologie, leu mise en fome devient un poblème pysique complexe vec des enjeux économiques tès impotnts L optimistion des pocédés de moulge, d extusion ou de pocédés tels que le otomoulge ou le soudge des composite à mtice temoplstique est indispensble pou les industiels En oute, dunt ces pocédés, il est constmment nécessie de foce un fluide polymèe à s dpte à des fomes pescites D où, de nombeux défuts dns le poduit finl, comme cette «peu de equin» qui est un désste pou le fbicnt de poduits extudés De plus, il est cli que vu les coûts élevés d une pesse à injecte ou d un moule, les industiels veulent Constmment, d une pt, éduie les coûts de poduction en méliont le endement, et 9

20 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Intoduction Généle» d ute pt, pefectionne l qulité des poduits gâce à l optimistion des tecniques de mise en fome [3], [34] En plstugie et notmment dns les pocédés de mise en fome de polymèes tels que l extusion et l injection, une bonne connissnce de l temique du polymèe est un point clé pou mélioe l qulité des pièces, c est-à-die vec le moins de défuts possible, et l epoductibilité du pocédé vec l même pécision et le même étt de sufce des pièces [47] En effet, le polymèe peut ête fotement sollicité ; cuffé et mlxé, il v psse de l étt fondu à l étt solide en une fome désiée, p difféentes tecniques de efoidissement suivnt le pocédé de mise en fome utilisé Ce cngement d étt et les vitions de ses cctéistiques pysiques, à l inst de l viscosité, sont dus ux vitions de tempétue qu il subit dunt le pocessus Dès los, l ecece du cmp temique dns le polymèe est tès utile, voie indispensble u contôle des pocédés de mise en fome Cependnt, losque le polymèe sous fome fondue est mis en mouvement, p exemple, dns une buse d injection, l temique de bse n est plus suffisnte pou explique tous les pénomènes En effet, en plus de l conduction et de l diffusion dns le polymèe fondu, l dissiption visqueuse v engende des souces temiques volumiques tès significtives qui doivent ête pises en compte dns le biln des tnsfets de cleu Le couplge temomécnique u sein du polymèe fondu s impose donc fin de bien compende les pénomènes pysiques c les écuffements céés p l énegie de dissiption visqueuse sont fonction du débit et donc des vitesses de cisillement [6], [64] Le moulge p injection est le pocédé le plus utilisé pou l élbotion en séie des pièces en mtièe plstique Il consiste à injecte de l mtièe fondue et cude dns un moule foid Ainsi le polymèe subit des tnsfomtions temomécniques impotntes qui conditionnent l qulité du poduit fini L modélistion de l étt de l mtièe dns le moule ppote une ide considéble u mouliste dunt l détemintion des pmètes de moulge Le cycle de moulge p injection est bituellement divisé en tois pses, pse de emplissge, compctge, efoidissement [44] Les tvux scientifiques su les pses de emplissge ont longtemps gdés un cctèe de pionnie Plusieus scéms de modélistion des pses de emplissge ont initilement été développés, les pemies tvux téoiques ont été effectués il y une tentine d nnées, ils sont dns des géométies simples Des uteus supposent génélement que le polymèe un compotement de type, «loi puissnce» et ils ésolvent à cque ps de temps et de fçon couplée une éqution d équilibe dynmique sttionnie et une éqution de biln temique insttionnie comme WINTE, GUTFINGE et BOYE, WHITE, KAMAL [6] En, ONG-YOU CHANG et WEN-HSIEN YONG (Ntionl Tsing-Hu Univesité, HSIN-cu TAIWAN 343-OC) ont étudié l pse de emplissge d une pièce vec l métode de tux de pésence et ésolution numéique p l métode des volumes finis [7] En, DAVID Gci, GUY Goubebisse et MICEL Joulin ont étudié l pse de emplissge d une plque suivnt les équtions de consevtions [8]

21 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Intoduction Généle» Une étude été fite p le pofesseu AGASSANT [9], c est une étude tès ppofondie pou l modélistion de l pse de emplissge, c est un cs de moule de disque injection p le cente, p l métode de mise à plt En, une étude été fite p le MAGNINB [] et dns ce tvil, il étudié les pmètes dépendnt du emplissge du moule, utilisé l métode Euléienne- Lgngienne bitie En, une étude été fite p le DJELLAB M et HELLELY [] Ils ont fit une étude su pièce p l métode numéique (Métode des Difféences Finis, Métode de ésolution Explicite) L pésente étude s intéesse à l pemièe pse de ce pocédé, dite l pse de emplissge, qui est l pse dynmique de tnsfet de l mtièe à l intéieu du moule Il s git de suive l évolution des pmètes éologiques du polymèe fondu dns une empeinte du moule sous fome cylindique L étude dynmique de cette pse epose su les équtions de continuité et les équtions de Nvie stocks L écnge de cleu se poduit essentiellement dns le sens de l épisseu Ce pénomène se étudié en utilisnt l éqution de consevtion de l énegie Le polymèe fondu se considéé comme étnt un fluide non Netonien et compessible L ésolution des équtions doit teni compte de l loi de compotement éologique du polymèe fondu Dns note cs nous utiliseons un modèle pseudoplstique temo-dépendnt qui donne l viscosité en fonction du tux de cisillement et de l tempétue Note mémoie se compose d une intoduction généle, de qute cpites et d une conclusion généle Le pemie cpite pésente, dns l pemièe ptie, une evue des stuctues des polymèes et leu compotement et des pocédés de moulge des mtièes plstiques Dns l deuxième ptie, à cuse de l gnde influence de l viscosité su l écoulement du polymèe dns le moule ; on psse en evue quelques notions desciptives de ce pmète et des lois qui le gouvenent Des modèles mtémtiques décivnt l viscosité vec les consistnces coespondntes sont ussi pésentées L ccent est mis su le modèle Pseudoplstique et le modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt Le deuxième cpite pésente les pincipes de l mécnique des milieux continus utilisés pou étudie les pénomènes de moulge Il tite en détil les équtions qu'on utilisées pou détemine les pmètes mécniques et temiques du moulge Le toisième cpite est conscé à expose en détil l métode numéique utilisée, l métode des difféences finies, pou ésoude les équtions obtenues Le qutième cpite est divisé en qute pties :

22 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Intoduction Généle» Dns l pemièe ptie: le polymèe est supposé Non netonien (le modèle Pseudoplstique temo-dépendnt) et incompessible en conduite igide ; Dns l deuxième ptie : on suppose que le polymèe est Non Netonien (le modèle Pseudo-plstique) et compessible en conduite igide ; Dns l toisième ptie: on suppose que le polymèe est Non Netonien (le modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt) et compessible en conduite igide ; Dns l qutième ptie: on suppose que le polymèe est Non Netonien (le modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt) et compessible en conduite élstique Note tèse se cevée p une conclusion généle et p des pespectives pou l continution de ce tvil

23 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Cpite I : Génélités «Si tu veux svoi où tu vs, egde d où tu viens» 3

24 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» I Polymèes : Ognistion d une mcomolécule I Intoduction Depuis longtemps, l ou l omme utilise les métux, l ntue emploie les polymèes, pesque tous les systèmes biologiques sont constitués de polymèes qui ssuent : Des fonctions mécniques, comme le bois, les os etc L égultion des fonctions cimiques, dns les veines, l ADN, les cellules vivntes etc Le développement industiel des polymèes ppelés coumment mtièes plstiques, s ppuie à l eue ctuelle su des bses de pysique et de cimie fomnt l «science des polymèes» Il est d usge de distingue qute gndes clsses de mtéiux : les métux et leus lliges ; les cémiques et les vees ; les polymèes ; les mtéiux composites Les polymèes foment un goupe de mtéiux, constitués de longues molécules ppelées mcomolécules, dont les noms usuels sont les mtièes plstiques, les coutcoucs Le concept de mcomolécule été fomulé u début du vingtième siècle p le cimiste pionnie llemnd, Studinge Il étudi, dès 9, l stuctue et les popiétés de ces molécules géntes et inbituelles à cette époque Ses tvux, constitunt l bse de l science des polymèes, lui pemient de ecevoi le pix Nobel de cimie beucoup plus td, en 953 Les ypotèses de Studinge fuent tès contovesées p les scientifiques d los ; en effet ceux-ci pensient que «les polymèes étient fomés de petites molécules soudées» ente elles, ou de pticules colloïdles Cependnt, le concept de mcomolécule fut véifié p les études (cistllogpie p yon X) de l stuctue des polymèes ntuels de Mk et Meye, insi que p l péption de polymides et de polyestes p Cotes, dns les nnées 93 L syntèse totle de mcomolécules p éction cimique de polycondenstion fut d une fécondité impotnte, c elle ouvet l voie à l syntèse d utes types de mcomolécules P l suite, les pincipes fondmentux su les polymèes fuent énoncés Un énome tvil couonné en 974, p le pix Nobel de cimie ttibué à Floy, pemis d sseoi les connissnces expéimentles et téoiques de l science des polymèes qui est ivé à mtuité, à cette époque (découvete de l mopologie des lmelles cistllines) L qut de l fin du denie siècle été mqué p l explosion des connissnces de l science des polymèes, gâce à l ppition de concepts pysique ou mtémtiques 4

25 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» novteus, et des nouvelles métodes de cctéistion (diffusion des neutons et des yons X, micoscopie électonique, spectoscopie simultion et modélistion numéique ) Bien que l industie des polymèes ctuellement bien développée, son esso souffet pendnt longtemps du mnque de connissnce de leu stuctue Elle démé u XIX e siècle : Ves 839, p l découvete de l Améicin Cles Goodye et de l Anglis Toms Hncock, à popos du cngement des popiétés élstiques du coutcouc ntuel, en le cuffnt dns du soufe Le pocédé industiel de vulcnistion p le soufe étit né Ce titement ctuellement utilisé, pemet de poduie un coutcouc du et ésistnt ; Ves 85, p l poduction industielle de coutcouc ntuel vulcnisé Celle ci bénéfici dès le début d une coissnce impotnte, pou tteinde une poduction notble de tonnes p n, à l fin du XIX e siècle Plusieus étpes ont mqué l pogession de cette industie dont plein esso se situe u milieu du XX e siècle : En 846, l mise u point de l fbiction du nitte de cellulose, poduit inflmmble, touve son ppliction dns les mées, sous le nom de coton-poude (fulmicoton), pou les cnons En 87, l fbiction du celluloïd, à pti du fulmicoton, pemet l commecilistion de l pemièe mtièe plstique qui du pès de qunte ns Ce poduit fut un substitut de l ivoie ntuel (boules de billd), de l cone et de l écille En 89, Coss, Bevn, Bedle, ouvent l voie à l fbiction de fibes de viscose pou le textile tificiel et l poduction de films de cellopne, en déposnt un bevet à pti de l cellulose (polymèe ntuel) En 9, l poduction de l Bkélite devient possible gâce à l invention du cimiste Bekelnd C est le pemie polymèe temoducissble complètement syntétique à ête commecilisé En effet, vnt cette dte, les mtièes plstiques étient obtenues à pti de polymèes ntuels ; elles étient donc semi-syntétiques ; le succès de ce nouveu poduit encouge le développement d utes ésines à bse de pénols notmment Ente 9 et 94, los que l science des polymèes fit d énomes pogès, les mtièes temoplstiques commencent à ête poduites en gnde quntité De plus, pendnt ces nnées, les ésines temoducissbles pennent un esso impotnt, notmment dns le domine des ticles ménges I Définition d un polymèe 5

26 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Un polymèe est une substnce composée de longues cînes moléculies ppelées mcomolécules Une mcomolécule ésulte de l encînement p liison covlente, d unité constitutives ou goupes d tomes ppelés «mèes» povennt du gec «meos» qui signifie ptie P exemple, dns l mcomolécule suivnte : A A A A A A A A A L unité constitutive est A ; est fomée d un goupe d tomes qui se épète A l écelle d une centine de nnomètes l plupt des mcomolécules se pésentent sous fome de fils longs et souples Ces longues molécules souples confèent ux polymèes leu tout pincipl qui éside dns l fcilité de mise en ouve et leu gnde défombilité Les éctions cimiques qui pemettent de psse d un constitunt cimique ppelé monomèe à l mcomolécule A n s ppellent polyméistion Mcomolécule : molécule de msse moléculie élevée génélement constituée p l épétition en gnd nombe d tomes ou de goupes d tomes ppelés «unités constitutives» et déivnt de molécules de fible msse moléculie Unité constitutive : tome ou goupe d tomes, qui constituent une ptie fondmentle de l stuctue d une mcomolécule Motif constitutif : l plus petite unité constitutive dont l épétition conduit à une mcomolécule égulièe Monomèe : espèce cimique constituée d entités moléculies dont ccune peut conduie à une ou plusieus unités constitutives d un polymèe I3 Acitectue d une mcomolécule I3 Polymèes à molécules linéies n En génél, ils sont fomés de molécules dites linéies dont le squelette pincipl de l cîne est constitué p des tomes de cbone ou p d utes goupes d tomes ; ce squelette compote donc deux extémités Su les tomes de cbone, fomnt le squelette de l cîne, sont geffés soit des tomes comme le cloe, le fluo ou des goupements d tomes Ce sont les goupements ltéux Les molécules linéies peuvent ête flexibles et souples Leu souplesse povient de l fcilité vec lquelle les goupements tomiques peuvent effectue des ottions utou des liisons covlente En génél, les molécules linéies (ou mifiées) ne foment ps de éseu tidimensionnel stble ; elles sont souvent encevêtées et foment des nœuds pysiques de éticultion qui 6

27 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» peuvent dispîte soit p élévtion de l tempétue, soit sous continte mécnique Ces molécules constituent pinciplement les polymèes temoplstiques Exemple : Monomèe CH CH Etylène Polymèe CH CH n Polyétylène CH C H CH 3 Popylène CH C H Butène CH C H CH CH 3 Cl Cloue de vinyle CH CH CH 3 Polypopylène n CH CH n CH Polybutène CH CH Cl CH 3 Polycloue de vinyle n 7

28 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» CF CF Tét-fluooétylène CF CF n Polytétfluooétylène Tbleu : Fomules cimiques de quelques polymèes counts [] I3 Polymèes à molécules mifiées Le squelette d une molécule linéie peut compote des bnces ltéles, c'est-à-die d utes petites molécules identiques bncées ltélement su le squelette de l cîne pinciple Ce sont les mifictions, celles-ci sont cctéisées p leu nombe et leu tille Dns ce cs, l mcomolécule mifiée compote plusieus extémités mifiction Extémités Cine pinciple Figue : stuctue de molécules mifiées [] I33 Polymèes à molécules éticulées : On peut constuie un éseu tidimensionnel de mcomolécules en le elint cimiquement ente elles L jonction ou «pontge» ente cînes pinciples peut se fie : 8

29 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Soit p un ou quelques tomes : S, O, C c est le pontge cimique, Soit p des bins de cînes plus u moins longs Le point de jonction ente deux cînes est ppelé le nœud de éticultion, ces polymèes sont dits éticulés Ce sont en génél les élstomèes et les temoducissbles Figue : Stuctues de molécules éticulies [] I4 Encinement des unités constitutives L polyméistion ésulte de l encînement des goupes d tomes «unités constitutives» ou «mèes» qui peuvent se lie ente eux On distingue deux gndes fmilles d ssocition de ces goupes d tomes : Les omopolymèes ; Les copolymèes I4 Les omopolymèes Ce sont des polymèes dont l stuctue est fomée p l épétition d une seule «unité constitutive» Ils sont obtenus p polyméistion d une espèce monomèe P exemple, un monomèe A peut p polyméistion fome l mcomolécule composée de n unités constitutives A liées ente eux p des liisons covlentes A A A A A A A A A Ou bien n I4 Les copolymèes 9

30 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Ces mtéiux sont obtenus p polyméistion : De deux espèces de monomèes : bipolymèes De tois espèces de monomèes : tepolymèes Les bipolymèes contiennent donc deux unités constitutives A et B, on distingue les fmilles suivntes : I4 Les copolymèes sttistiques Les unités constitutives A et B se éptissent le long de l cîne en suivnt une sttistique Les copolymèes désodonnés (ndom) complètement font ptie de cette fmille ; dns ce cs pticulie, les unités constitutives sont épties de fçon létoie P exemple : A B A A A B B A B B B A I4 Les copolymèes ltenés : A B A B A B A B A B A B Les copolymèes sttistiques et ltenés ont des popiétés intemédiies ente celles des deux omopolymèes A B fomés à pti des deux monomèes difféents n et n I43 Les copolymèes séquencés linéies : Ce sont des molécules ou cque unité constitutive est épétée plusieus fois de suite (block) pou fome de longues séquences P exemple : copolymèes «dibloc» AB : A A A A A B B B B B copolymèes «tibloc» ABA : A A A A A B B B B B B B A A A A I44 Les copolymèes séquencés et geffés : 3

31 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» L exemple le plus simple est celui d une cîne d un omopolymèe pincipl, su lequel des cînes secondies d un ute polymèe sont geffées P exemple : B B B B B B B B A A A A A A A A A A A A B B B B B B I5 Dimensions et msses des mcomolécules I5 Distibution de msse molie Un polymèe compote des mcomolécules de tille difféentes, ccune contennt en 3 5 génél de à unités constitutives ; toutes les molécules d une tille donnée foment une espèce «i» L longueu moyenne de cîne dépend de l conduite sevnt à fbique le polymèe Si cque espèce «i» contient de l espèce «i» vut los : N moles, ccune de msse molie M, l fction mssique i i i N M msse des moles de l' espèce i msse totle du polymèe i i Et i NiM i i i (I) Tndis que l fction en nombe de molécules de l espèce «i» vut : x i Ni N i i nombe de moles de l' espèce i nombe de moles du polymèe (I) Un polymèe est défini p une distibution des msses molies qui est discontinue, puisque l ugmenttion des msses molies ne peut se fie que de fçon discontinue (p «ps» de vleu M qui est égl à l msse molie de l unité constitutive dns un omopolymèe) I5 Msse molie moyenne Comme il est impossible d obteni des mcomolécules d une seule espèce «i» c'est-à-die d une seule longueu ou isomoléculie, les polymèes sont polymoléculies et on ffie à un mélnge de msses molies, il convient de ple de msse molie moyenne d un écntillon donné 3

32 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» I5 L msse molie moyenne en nombe Est définie su l bse du nombe mélnge : N i des cînes de msses M n i N M i i N i i I5 L msse molie moyenne en poids Est clculée à pti des fctions en poids i x M i i M n M i constitunt l espèce «i» du M : i des cînes «i» : (I3) M M i i i i i N M i N M i i i (I4) I53 Degé de polyméistion Dns un omopolymèe, le degé de polyméistion est le ppot ente l msse molie d une mcomolécule M et l msse molie de l unité constitutive ou du mèe M x M M (I5) Le degé de polyméistion donne donc le nombe «d unités constitutives» p mcomolécule ; elle enseigne donc su l longueu de cette molécule On définit un degé de polyméistion moyen compte tenu de polymoléculité : M n xn Degé de polyméistion en nombe M (I6) M x Degé de polyméistion en poids M (I7) Beucoup de popiétés des polymèes dépendent du degé de polyméistion moyen, comme l monte l figue ci-dessous ; l ésistnce à l tction d un polymèe à cînes linéies vie fotement vec x n 3

33 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Pou un degé de polyméistion moyen x n inféieu à 3, et dns cetines conditions de tempétue, le polymèe n oppose ucune ésistnce à l tction, c les molécules top coutes glissent les unes su les utes, losqu un effot est ppliqué Il en ésulte que les popiétés d un même cops vient vec l longueu des molécules, bien que l unité constitutive (l mèe) it l même fomule cimique Il n y donc ps un ensemble unique de popiété pou une unité constitutive de fomule cimique donnée ésistnce à l tction (MP) Degé de polyméistion 5 Figue 3 : Effet du degé de polyméistion su l ésistnce mécnique [] II Assemblge des mcomolécules et emploi des polymèes II Coésion des polymèes Nous vons vu qu un polymèe est fomé de longues molécules constituées d une succession d unités constitutives ; ces denièes sont ssemblées p des liisons covlentes, donc fotes P conte, les mcomolécules sont liées ente elles p des foces de fible intensité, s étblissnt ente des tomes poces pptennt à des cînes difféentes Ce sont des liisons secondies de type de Vn de Wls ou ydogène Ces foces de fible intensité s execent ussi ente deux tomes d une même cîne (dns les pses mopes) Il en ésulte que l coésion ente deux cînes et p suite celle d un polymèe tout entie est ssuée p l somme de toutes ces liisons fibles ente les tomes En simplifint les coses, on peut concevoi un polymèe comme un empilement d unités stuctules que l on suppose indéfombles On ssimile ces denièes ux unités constitutives et on les epésente p des spèes L coésion des unités constitutives et donc celle du polymèe est los ssuée p les liisons fibles (Vn de Wls ) 33

34 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» II Enegie de coésion L énegie de coésion d un polymèe cctéise l solidité de l ssemblge de toutes les mcomolécules contenues dns ce solide P définition, l énegie de coésion molie E c d un solide est l énegie nécessie pou sépe totlement toutes ses molécules Elle est du même ode de gndeu que l énegie de sublimtion (Pou un liquide, l équivlent est l énegie de vpoistion) Pou le cs des polymèes, cette énegie E c se éfèe à une mole de «l unité constitutive» (ou mole de mèe) de l mcomolécule, plutôt qu u polymèe tout entie Le volume, à l équilibe, de cette mole de l unité constitutive est V Si est l distnce ente deux unités constitutives de deux cînes voisines, ces unités sont ttiées p les foces dues ux liisons secondies ente cînes, et d ute pt tenues à l éct l une de l ute p les foces de épulsion qui ppissent losque leus obitles occupées commencent à se ecouvi L énegie potentielle d intection ente ces deux unités constitutives est de l fome (Potentiel de Lennd-Jones pou les liisons de Vn de Wles) : A Attction devn de Wls B U 6 épulsion des obitles (II8) A Et B sont des constntes cctéistiques pou un polymèe donné ; puisque le volume 3 4 d une unité constitutive est égle à on en déduit que le volume V d une mole d unité 3 3 constitutive est tel que V est popotionnel à et p suite : U A V B 4 V (II9) ( A Et B sont deux nouvelles constntes) Le volume d équilibe d une mole d unités constitutive est V et coespond u minimum de l fonction U : V d U d V V V = (II) 34

35 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Où L énegie de coésion V égle à V : A B V E c coespond u minimum deu, soit U min obtenu pou l vleu de E c U min B V 4 (II) II3 Clssifiction des polymèes II3 Les polymèes temoplstiques Ils foment le goupe le plus impotnt pmi les polymèes de syntèse Ils sont constitués de mcomolécules linéies ou mifiés L coésion ente les cînes moléculies est ssuée p liisons secondies (Vn de Wls ou ydogène ) Ils sont sensibles à l effet de l tempétue Cetines de ces polymèes sont semi cistllins ; ils contiennent los des égions cistllines odonnées et des ones mopes, ils sont donc bipsés D utes sont complètement mopes ; dns ce cs ils sont monopsés Ils sont igides à bsse tempétue et leu igidité diminue p une élévtion de l tempétue Ils cquièent une gnde plsticité à cud et se mollissent si l tempétue est supéieue à l tempétue de tnsition viteuse T (- C 5 C envion) Ils sont insi fciles à mette en fome p cuffge jusqu à fusion si nécessie, puis moulge p injection, suivi d une solidifiction Leu ecyclge ne pose ps de poblème compte tenu de l évesibilité de leu plsticité vec l tempétue g Il fut emque que le ecyclge ne peut ps se fie de «fçon infinie» c, los des opétions de mise en œuve, l cleu dégde plus ou moins les cînes Comme tous les polymèes, ils se dégdent p élévtion top gnde de l tempétue ( T d ), il se poduit une modifiction iévesible, vec une destuction des liisons cimiques fotes du squelette moléculie ou des cînes ltéles En généle, l stbilistion temique à cout teme, à plus de 3 C, est du à l pésence de liisons fots ; cycles omtiques dns l cîne II3 Les élstomèes Ce sont des mtéiux mopes Ils sont constitués de mcomolécules linéies vec quelques pontges ente des cînes Ces liisons étnt ssuées p des tomes (S, C ou O) 35

36 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» L éction cimique conduisnt à ces liisons covlentes ente cînes s ppelle l vulcnistion Cette opétion confèe u polymèe une stuctue tidimensionnelle tès souple et tès défomble, c le nombe de pontge ou le tux de éticultion est fible Dns l utomobile, les pneumtiques sont des élstomèes et l on compte envion un pontge pou envion cent «unités constitutives» Utilisés u-delà de leu tempétue de tnsition viteuse, les coutcoucs ont une gnde cpcité de défomtion évesible Gâce ux pontges ente cînes et sous contintes, les molécules du coutcouc ne glissent ps les unes p ppot ux utes, le solide peut insi etouve s fome initile losque l continte est elâcée II33 Les polymèes temoducissbles Ils sont mopes et sont fomés p un éseu tidimensionnel de mcomolécules Le tux de éticultion est de à fois plus élevé que les élstomèes Ils sont igides, compte tenu de leu tux de éticultion élevé Le mot temoducissble pot à confusion ; en effet, il vient du fit que, à l oigine pou obteni une éticultion impotnte donc un ducissement, on pocédit p «cuisson» des mtièes constitunt le polymèe L mise en œuve de ces polymèes est souvent lente à cuse du temps que met l éction cimique de polyméistion sevnt à les fbique A cud, ils se dégdent p uptue des cînes moléculies puisqu ils ne sont ps susceptibles de fonde ; ils sont difficilement ecyclbles Losqu on cuffe un tel polymèe mope, il quitte son étt viteux u pssge de l tempétue de tnsition viteuse et cquiet une cetine souplesse jusqu à s tempétue de décomposition ; il est donc infusible A l difféence des temoplstiques, ils ne peuvent ps ête mis en fome p cuffge Ces mtéiux temoducissbles sont tès employés comme mtice dns les mtéiux Composites stuctuux ; ils sont utilisés tès souvent u dessous de leu tempétue de tnsition viteuse T g qui est en génél élevée II4 Domine d étt stuctul II4 Les tempétues cctéistiques d un polymèe Losque l tempétue ugmente, un polymèe peut tvese qute domines d étt stuctul délimités p tois tempétues : L tempétue de tnsition viteuse mope du polymèe T g : qui est obsevée dns l pse 36

37 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» L tempétue de fusion T f : qui ne concene que l pse cistlline du polymèe En toute igueu, l pse cistlline fond su une plge de tempétue et non à une tempétue fixe comme un cops pu ; l tempétue pécédente T est los définie comme l tempétue moyenne de fusion des f ones cistllines de polymèes L tempétue de décomposition temiquet d, ou les liisons covlentes du squelette des mcomolécules commencent à se ompe sous l ction de l cleu founie ux molécules Le polymèe ped donc son intégité II4 Effet de l tempétue su l mobilité des molécules Losque l tempétue psse de tès bsses tempétues à l tempétue de décomposition temique L énegie temique founie ux molécules ugmente leu mobilité ; en effet, les ottions utou des liisons C C du squelette des cînes deviennent de plus en plus fciles, puisque l ctivtion temique pemet de psse d une confomtion à une ute confomtion voisine Le nombe de liisons de fible intensité (Vn de Wls) ente les molécules diminue u fu et à mesue que l tempétue ugmente, ce qui libèe des mouvements moléculies, en effet, l cleu est cpble de bise une ptie de ces liisons fibles II43 Ett stuctul II43 L étt solide viteux T T g Dns l pse cistlline si elle existe, les molécules sont ngées et lignées, p conte les molécules de l pse viteuse n ont ucun ode ; elles foment des «pelotes» encevêtées Dns les deux cs pécédents, en plus des liisons covlentes qui pemettent l existence des cînes, cetines unités constitutives sont liées p liisons fibles (Vn de Wls) qui ssuent l coésion de l ensemble des cînes L mobilité des molécules de l pse viteuse est d utnt plus fible que l tempétue est bsse Ce qui confèe en génél à tous les polymèes, une bonne igidité, une ésistnce mécnique coecte et une fible cpcité de défomtion Avec un fible déplcement des unités constitutives p ppot à leu position d équilibe II43 L étt coutcoutique T g T T f ou T Il est du à l pse mope, et il existe ptiquement dns tous les polymèes ; il déme génélement ux envions de l tempétue de tnsition viteuse T et il est limité supéieuement p l tempétue de fusion des ones cistllines si elles existent, ou p l tempétue de décomposition temiquet d d g 37

38 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Dns cet étt, l pse cistlline losqu elle existe, n évolue ps vec l tempétue ; elle conseve s stuctue et este identique à celles des bsses tempétues T P conte, l pse mope voit constmment son ognistion moléculie cnge p un déplcement des molécules, dû à l ctivtion temique, ou à l sollicittion ppliquée (continte ) Ce cngement d étt p ppot à l étt viteux décit pécédemment, est ccompgné d une uptue d une ptie des liisons fibles (Vn de Wls) ente molécules p gittion temique, et d une ugmenttion impotnte du volume du polymèe Il en ésulte une plus gnde fcilité de mouvement des molécules, c est insi que l mobilité moléculie tès fible à l étt viteux, coit en fonction de l élévtion de l tempétue L étt coutcoutique est dû à l pse mope comme il été signlé ; il est une conséquence de l mobilité moléculie qui pemet un déploiement des cînes dns le sens de l continte ppliquée entînnt une défomtion Losque cette continte est elâcée il y etou à l étt initil L llongement du mtéiu se d utnt plus élevé que le tux de éticultion est fible, c'est-à-die que l longueu des cînes ente deux nœuds de éticultions est gnde D ute pt si les nœuds de éticultions sont suppimés, l mémoie de l étt initil dispît et l évesibilité de l défomtion ussi II433 L étt fluide T de ou T f T T d T g Cet étt n intéesse que les polymèes temoplstiques, il est boné supéieuement p l tempétue de décompositiont d Et inféieuement p l one de désencevêtement moléculie, soit p l plge de fusiont f Dns ce domine, l pse cistlline n existe plus puisque le polymèe se touve u dessus de son point de fusion T il n y plus qu une pse mope f Les nœuds d encevêtement ynt dispu et les molécules glissnt les unes su les utes ; il y écoulement du mtéiu comme pou un fluide Dns cet étt, les cctéistiques Mécniques sont fibles, peu de igidité, bsse continte d écoulement du mtéiu Un tel polymèe est mlléble, il est donc tès popice à une mise en fome sous fible continte II5 Les djuvnts Il est possible de modifie les popiétés pysiques (vec des plstifints) ou cimiques (vec des stbilisnts) des polymèes en les mélngent vec des poduits en génél ogniques, ppelés djuvnts II5 Les plstifints 38

39 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Un solvnt loud jouté à un polymèe diminue les intections ente cînes, les molécules de solvnt s insént ente les mcomolécules du polymèe Comme le monte l figue cidessous, celui-ci, initilement igide, se tnsfome pès plstifiction en un solide souple L pete de igidité povient d une possibilité limitée de glissement des cînes, les unes su les utes Non seulement l igidité, cctéisée p le module d Young dns le scém de l figue cidessous, diminue vec l concenttion en plstifint, mis ussi d utes gndeus cctéistiques du polymèe P exemple, pou le cloue de vinyle (PVC), l tempétue de tnsition viteuse psse de 8 C à C, si on joute un plstifint L figue ci-dessous, monte que les plstifints peuvent ête utilisés en gnde quntité dns un polymèe Ils tteignent pfois un poucentge voisin de du poids du polymèe II5 Les stbilisnts Ils sont destinés à etde ou à suppime les pénomènes contibunt à ltée l stuctue des polymèes, pendnt leu mise en œuve ou los de leu utilistion Ils sont utilisés en fible concenttion 3 On note les pincipux types suivnts : les «nti-oxygène» : ils etdent l oxydtion temique qui dégde notmment les popiétés mécniques du polymèe Ils sont utilisés en pticulie pou le polyétylène, les élstomèes en tès fible concenttion, fin de ne ps modifie les popiétés pysiques et l couleu du polymèe Ce sont les pénols, les mines, les posptes, le noi de cbone les stbilisnts temiques : ils ont pou mission de etde le déggement d cide cloydique, Hcl, et l fomtion de composés coloés, dns les polymèes cloés comme le polycloue de vinyle (PVC) les stbilisnts vis-à-vis de l lumièe : ce sont les pigments ogniques en pticulie le noi de cbone, les bsobeus de yonnements ults violet (qui empêcent l pénéttion de UV dns le polymèe), ce sont des cops ogniques Ils évitent les éctions potocimiques notmment vec les coutcoucs ; ces éctions sont néfstes c elles diminuent leu élsticité coutcoutique, et même les ende cssnts, en modifint leu tux de éticultion 39

40 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» + Polymèe linéie Plstifint Polymèe Plstifié Figue 4 : Effet d un plstifint su l stuctue moléculie [] II6 Utilistions des polymèes dns l vie ptique L usge des polymèes est en pleine expnsion, ils sont tès utilisés dns beucoup d industies comme l éonutique, l cyogénie, les tnspots, les ticles de spot ou l électoménge et bien d utes domines comme le secteu médicl, p exemple L intéêt des polymèes éside dns leu légèeté, mis leus popiétés mécniques sont médioces p ppot à celles des métux ou leus lliges On les touve dns beucoup de Poduits de l vie counte comme l peintue, les coutcoucs, les plstiques, les fibes tificielles de syntèse pou le textile, le ppie, les ticles ménges etc Les tbleux suivnts donnent quelques exemples de polymèes types vec leus usges : 4

41 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Polymèe Mèe ou Unité constitutive Cellulose C6 H 9O6 n Emploi Bse de toute l vie végétle, en tnt que constitunt pincipl des pois cellulies cistllisé Lignine Amope L ute gnd constitunt des pois cellulies de tous les végétux Potéines NH C C H O Ptiellement cistllisé n Tbleu : Les polymèes ntuels [7] Temoplstique Mèe ou Unité constitutive Usge Polyétylène (PE) H H C C H H n Ptiellement cistllisé Tubes, filmes minces, Bouteilles, tsses, isoltion électique, embllge Polypopylène (PP) H H C C CH H 3 n Les mêmes pplictions que le PE, mis plus lége, plus igide, plus ésistnt à l lumièe 4

42 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Ptiellement cistllisé Polytétfluooétylène F F C C F F n Téflon Bon polymèe pou l tenue à ute tempétue, vec un coefficient de fottement et une désion tès fibles Pôles qui n ttcent ps plies, joints Ptiellement cistllisé Polystyène (PS) H H C C n H C 6H 5 Objets moulés bon mcé Incopotion de butdiène pou fie du polystyène coc Expnsion u CO pou fbique les embllges counts (mousses) Amope Polycloue de vinyle (PVC) H H C C H Cl n Emploi dns les bâtiments (câssis de fenêtes ) endu souple pou l fbiction du simili-cui, de tuyux, de vêtements, films minces 4

43 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Amope Polymétcylte de métyle (PMMA) H H C C n COOCH H 3 Pespex, lucite, plexiglss, ltoglss, feuilles tnspents, moulges, ublots d vion, pebise feuilletés Amope Nylon (Polymide 6) C6 HNO n Ptiellement cistllisé à l étt étié Textiles, codges, moulges Tbleu 3 : Les temoplstiques types [7] Elstomèes Mèe ou Unité constitutive Usge Polyisopène (N) H C C H H CH 3 H C C H n Coutcouc ntuel Amope, suf ux gndes défomtions 43

44 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Polybutdiène (PBD) H C C H H H C C H H n Coutcouc tificiel, pneumtique Amope, suf ux gndes défomtions Polycloopène H C C H H H C C Cl H n Néopène Coutcouc ésistnt u pétole, utilisé pou des joints d étncéité Amope, suf ux gndes défomtions Tbleu 4 : les élstomèes types [7] III Mise en fome des mtièes plstiques Depuis bien longtemps u niveu de l industie, on utilisit les mtéiux ogniques bsés essentiellement su l cimie du cbone, pou l constuction des pièces dns plusieus domines Depuis les nnées vingt, on découvet un nouveu mtéiu mcomolécules (polymèe), qu on utilise dns tout les domines (mécnique, électonique, optique ) Mis l mise en fome des polymèes n est ps comme les utes nciens mtéiux (fe, cuive, cie,), cette mise en fome du polymèe à plusieus métodes et tecniques 44

45 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Pmi ces métodes on cite:[3] Extusion des temoplstiques : est une tecnique de tnsfomtion des mtièes temoplstiques qui pemet d obteni des objets finis ou semi-ouvés p un pocessus tecnologique continu (tubes) Extusion soufflge : pemet de fbique un cops ceux dns un moule sns utilise de noyux pou fie une fome intéieue non démontble (bouteilles, ésevois ) Clndge : est une tecnique de fbiction de feuilles, de plques ou de films p lminge d une mtièe temoplstique ente plusieus cylindes pllèles constitunt l mcine ppelée Clnde Temofomge : l tecnique de temofomge utilise les mtéiux semi-ouvés tels que les plques ou feuilles igides en mtièe temoplstique pou les tnsfome en objets tidimensionnels vec une épisseu de poi poce de l épisseu du mtéiu de dépt Compession-Tnsfet : le moulge p compession epésente l plus ncienne tecnique de tnsfomtion ppliquée à pti des nnées 9 ux poudes temoducissbles pénoliques et minoplstes L métode consiste à pesse diectement l mtièe dns l empeinte d un moule à cud Injection multipge des temoplstiques : on peut vouloi obteni des pièces composées de difféentes mtièes ou couleus, ce que l on défini comme plusieus pses Injection des temoplstiques llégés : on intoduit ou on génèe, dns un temoplstique fondu, des g, on les lisse s expnsé et on solidifie le temoplstique Le ésultt donne un poduit llégé Injection-soufflge : pemet de élise des cops ceux qui pésentent de bonnes popiétés mécniques Cette tecnique est essentiellement ésevée ux temoplstiques Injection des temoducissbles : se cctéisent p leu éseu mcomoléculie tidimensionnel temostble Cel nécessite que l mise en fome (dns l empeinte du moule) soit fite vec l éticultion, c est à die l cétion du éseu tidimensionnel définitif L mise en œuve elève donc à l fois de l cimie (éticultion, dosge stœciométique des composnts) et l pysique (écoulement des fluides, temique) Moulge p ottion (oto moulge) : est conçu pou élise des cops ceux de toutes dimensions L métode de fbiction est tès simple L mtièe temoplstique est intoduite dns un moule sous fome de poude tès fine, le moule est femé puis cuffé ; pendnt que l mtièe devient fluide, l ensemble est mis en 45

46 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» double ottion (ou ottion plus une oscilltion) pou que l mtièe tpisse toutes les pois Losque l mtièe est fondue et coectement éptie dns l empeinte, le moule est intoduit dns un système de efoidissement [3] III Moulge p injection : Le moulge p injection est une tecnique de fbiction de pièces en gnde ou tès gnde séie Il concene vnt tout les mtièes plstiques et les élstomèes (coutcoucs) mis ussi dives métux et lliges à point de fusion eltivement bs : lliges d'luminium, de inc (Zmk) ou encoe litons III Desciption d une pesse à injecte Une pesse à injecte, ou mcine d injection moulge, est constituée de deux unités pinciples : l unité d injection, ou de plstifiction, et l unité de moulge (moule et système de femetue) (Figue 5) Le plus souvent, les difféences notbles ente les types de mcines concenent l unité de plstifiction (Figue 5) Notons qu il existe des pesses veticles bien que les pesses oiontles soient les plus féquentes Pmi ce type de mcines, deux gnds goupes se distinguent : les pesses yduliques et les pesses électiques Elles pésentent ccune des pticulités plus ou moins intéessntes et dptées à cetines fbictions Figue 5 : Cylinde de plstifiction et moule [4] 46

47 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Les considétions essentielles à eteni dns le cs des temoplstiques tecniques sont les suivntes: Dessin ppopié ssunt l ésistnce nécessie pou suppote les utes pessions Qulité coecte des mtéiux de constuction du moule, pticulièement dns le cs des ésines enfocées Dessin convenble des ceminements d écoulement de l ésine, pou son tnsfet ves l bonne loclistion dns l pièce Disposition suffisnte d évents, pou pemette l évcution de l i en vnt du font de mtièe pénétnt dns le moule Tnsfet temique soigneusement clculé pou contôle le efoidissement et l solidifiction des pièces moulées Ejection fcile et unifome des pièces moulées Une mcine d injection moulge se cctéise génélement p s cpcité mximum d injection et s foce de femetue L pemièe cctéistique peut ête donnée en msse de polystyène stndd ou en volume (cm 3 ) L cpcité d injection éelle est compise ente 3 et 7% de cette cpcité mximle, ceci en fonction du compotement en pse fondue de l mtièe à tnsfome et des limites de sécuité mcine (étpe de compctge) L foce de femetue est génélement expimée en tonne, et coespond à l foce de femetue mximum du moule que peut minteni l pesse vnt, pendnt et pès le emplissge du moule p l mtièe fondue Toutefois, de nombeux utes citèes peuvent ête pécisés pou défini u mieux une pesse à injecte Ils sont d utnt plus impotnts qu ils seont nécessies u coix d une mcine pfitement dptée à une gmme d objets à fbique : p exemple les distnces ente plteux et ente colonnes doivent ête de dimensions comptibles vec celles du moule L Figue 6, monte les éléments essentiels d une mcine d injection moulge Pmi ces éléments, c est l unité de plstifiction qui nous intéesse tout pticulièement dns le cs des bio-polymèes En effet, le ppot longueu / dimète de l vis de plstifiction, l égultion temique du foueu et de l bse de l témie, l longueu et l géométie de l buse d injection sont utnt de cctéistiques à pende en compte pou l fusion de l mtièe sns dégdtion de celle-ci 47

48 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Figue 6 : Scém d une pesse à injecte électique à vis de plstifiction [4] L duée totle du cycle de moulge peut vie de deux secondes à plusieus minutes, et concene un nombe de pièces llnt de l unité à plusieus diines, éjectées à cque ouvetue du moule L pidité du cycle de moulge peut se touve esteinte p l cpcité de tnsfet temique du moule, suf losque le temps d ouvetue femetue éjection ou l cpcité de plstifiction de l mcine sont limités Au dépt, le moule est femé, l vis est eculée Une cetine quntité de polymèe fondu est ccumulée en bout de vis (figue 6) Le véin fit vnce l vis qui pousse le polymèe dns le moule et emplit l cvité moulnte Il existe plusieus types de mcines du moulge p injection (Figue 7) : pesse à injecte à piston, à vis de plstifiction, à injection multiple (à piston, à vis, à piston et à vis), etc 48

49 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Figue 7 : Exemples de difféents systèmes de plstifiction de pesse à injecte d pès (osto, ) [6] Figue 8 : Pésenttion mcine du moulge p injection [3] 49

50 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» III Difféentes pties de l pesse à injection III Unité d injection L unité d injection est esponsble de l écuffement et de l injection de l mtièe du polymèe dns un moule L pemièe ptie de cette unité est ppelée témie, elle est constuite de fçon à conteni une gnde quntité de gnulés du polymèe Pou le fonctionnement de l témie, on entme un pemie pocessus de l opétion et qui consiste à limente l mcine en mtièe pemièe Une fois le mécnisme de ce système enclencé, on cuffe l mtièe jusqu à liquéfction du polymèe On ssue ensuite l injection du polymèe «liquéfié» L poussée de l mtièe est élisée p un be filté ppelé vis vec des gdtions de dimète pou cque longueu impotnte, ce denie ide l ugmenttion de l foce de poussée de l mtièe jusqu u seuil d injection Le efoidissement de cette ptie du moule se fit souvent p l eu, l vis de l mcine se déplçnt ltentivement selon deux modes : ottion et vncement (ou tnsltion xil) pou élise l ugmenttion de l poussée de mtièe plstique vec une gnde pession, le tout étnt limenté p un cicuit ydulique, l mtièe ive jusqu u seuil d injection du moule à l étt fondu Sous l effet du fottement se cée une ute fome d énegie ppelée «souce de dissiption» Figue 9 : Mcine de moulge p injection Unité d injection [3] III Unité de sege Avnt l'injection du polymèe fondu dns le moule, il y deux éléments de sege intégé à l mcine et qu il fut pende en compte fin de élise l femetue du moule, l un est fixé à l injecteu, et l ute mobile et ce fin d ssue une meilleue femetue Les deux plteux qui potent le modèle de l fome désiée sont suppotés p qute bes pou ssue le glissement du plteu moule Le sege ydulique est ctionné p un 5

51 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» moteu qui pousse le plteu mobile ves le plteu fixe, et exece suffismment de foce pou minteni le moule femé, tout le mtéiel est ensuite injecté et efoidi Apès efoidissement, le moule est ensuite ouvet p le moteu de sege Le système d'éjection, evient ves l'ièe, ivé ves le milieu de plteu, il est ctionné p l be d'éjection et pousse l ptie solidifiée à l sotie de l cvité ouvete [3] Figue : Mcine de moulge p injection Unité de sege [3] III3 Outillge Le moulge p injection se fit gâce à une mcine en cie ou en luminium et à plusieus composntes, on y touve deux pties essentielles : cylinde de plstifiction, et moule L pemièe tnsfome le polymèe sous fome de gnulés en étt liquide à tves le pssge de ce denie dns le cylinde cuffé à ute tempétue «ésistnce» jusqu u seuil d injection L deuxième qui est le moule subit les opétions suivntes : ) Femetue du moule pès éception du polymèe fondu, ) emplissge du moule en polymèe fondu, 3) Le efoidissement de l mtièe dns le moule se fit de fçon égulièe et pogessive fin d ssue une poduction en séie du modèle désié, 4) Ejection du modèle fini 5

52 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Figue : Pésenttion du moule [3] III4 Le moule L conception du moule influence de mnièe décisive l qulité et l économie de l pièce injectée L spect de l pièce, s ésistnce mécnique, s téncité, ses cotes, s fome et son coût dépendent de l qulité du moule Le Cops du moule et l cvité du moule sont ccun monté et ptgées su deux pties du moule mobile et fixe A l fin de l injection du polymèe fondu dns l cvité du moule on obtient l pièce sous s fome complète, pou l éjecte, on doit ctionne l be d éjection (Figue ), qui pote le plteu, cette denièe pote l pièce ves l ièe en etouvnt s position initile Figue : Bse du moule [5] 5

53 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» III5 Cnux de moule Le polymèe fondu coule dns une cvité du moule, l opétion est élisée à pti du seuil d injection qui diige le fluide ves le moule Pou ssue le efoidissement plusieus cnux sont utilisés ; ceux-ci entouent le moule À l fin de emplissge, le polymèe fondu ente dns l cvité du moule p l'intemédiie d'un potil qui diige le flux de cleu Le polymèe fondu est solidifié gâce ux cnux de efoidissement, l pièce moulée doit ête évcuée p l éjecteu Les cnux cuds utilisés de fçon à élise l tnsfomtion de l mtièe de l étt solide à l étt liquide Figue 3 : Les cnux du moule [3] Figue 4 : Conception du moule [3] 53

54 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Suppot Plte : Suppot de plque Ejecto Box: Boite de l éjection Ejecto B: B de l éjection Ejecto Plte: plque de l éjection Ejecto Pin: boce de l éjection Ejecto etining Plte: plque de mintien de l éjecteu Mold coe : Bse de moule Pt : Ptie Cvity : Cvité unne : Ecoulement Spue: seuil Mold Cvity : Cvité de moule Locting ing : Bgues Gte : mtièe de polymèe Cooling Cnnel : cnl de efoidissement III3 Le cycle de moulge p injection Etpe (Figue 5): l pse de dosge Les gnulés de polymèe tombent depuis une témie dns un ensemble vis-foueu Ils sont ensuite fondus pogessivement p ction conjuguée des collies cuffnt le foueu, et du cisillement de l mtièe povoqué p l ottion de l vis et l fiction des gnulés (ente eux et conte les outillges) L mtièe fondue est los convoyée en vnt de l vis (vi un clpet ntietou), dns l'espce céé p le ecul pogessif de cette denièe los de s ottion Etpe (Figue 5b): l pse d'injection Gâce à un mouvement de tnsltion de l vis, ctionnée p un véin, et u clpet nti-etou qui dns cette pse empêce l mtièe de ebousse cemin, le polymèe fondu est tnsféé du ésevoi à un moule vi des cnux Etpe 3 (Figue 5c): l pse de compctge Le moule, composé de deux pties, une fixe et une mobile, est à ce moment tenu sous pession pou este femé, pendnt que de son côté l mtièe est compctée p l vis, jusqu'à tteinde une pession unifome dns l cvité du moule (églement ppelée empeinte), dns lquelle du polymèe fondu continue à ête injecté pou compense le étécissement, ou etit, de l mtièe qui efoidit Etpe 4 (Figue 5d): l pse de efoidissement Losque le polymèe est entièement figé u niveu du ou des seuils d'injection, il n'est plus nécessie d'pplique une pession de mintien, et l pièce continue de se efoidi jusqu'à ce qu'elle soit complètement solidifiée L vis peut los epende son cycle de ottion à l'étpe Etpe 5 (Figue 5d): l pse d'éjection Le moule s'ouve, et l pièce fomée est éjectée du moule 54

55 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Figue 5 : Etpes du pocédé d'injection-moulge des temoplstiques [7] En ce qui concene les temoplstiques, l plupt d'ente eux, mopes ou semi cistllins, peuvent ête injectés, moyennnt bien sû des difféences dns le pocédé, en fonction du type de polymèe, des dimensions et de l qulité ececée des pièces III4 Mise en œuve de l pse d injection (emplissge) Les considétions pécédentes, nous montent qu u cous du emplissge du moule il se psse des pénomènes impotnts pou l qulité de l pièce et top complexes pou vouloi les ésoude vec des moyens simples Si nous egdons mintennt l pt qu occupent les équipements de églge des pmètes su une pesse en temes de coût, nous voyons qu il fut les entbilise u mieux Avnt d bode l desciption popement dite de l pse d injection, il nous semble indispensble de ppele s définition de bse pou qu elle nous seve de guide, dns le pocédé de tnsfomtion des mtièes plstiques p injection, l pse d injection consiste à étbli les pmètes pysiques suivnts : Tempétue du moule tempétue de l mtièe vitesse de popgtion de l mtièe en fonction de l couse de l vis-piston 55

56 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» pession su l mtièe en fonction du temps Les vleus de ces pmètes doivent ête étblies pou que l mtièe, los du emplissge du moule, it un compotement optiml en fonction de l fome de l empeinte, gntissnt insi l qulité de l pièce L pemièe opétion consiste à mette le moule à l bonne tempétue Pou des moules qui fbiquent des pièces tecniques, cette tempétue vie ente 7 et C (exemple : polymide, polycbonte, ABS, polyoxymétylène) Pou des ticles destinés à l embllge ou à des tâces méngèes, ni l stbilité dimensionnelle, ni le compotement à l ftigue ne pésentent des exigences tès stictes On cece un pix de fbiction fible, donc des cdences élevées; l tempétue de ces moules peut vie ente 7 et 4 C [] L tempétue de l mtièe vie selon s ntue En ègle généle, on etient que les mtièes mopes ont une foucette de églge plus lge que celle des polymèes cistllins; les fbicnts donnent toujous su ce pln tous les enseignements L pse de emplissge elle-même compote tois étpes : emplissge pessuistion compenstion Le emplissge est l pse dynmique de l injection L uile de l commnde ydulique ive dns le véin d injection et, de ce fit, l vis-piston se déplce ves l vnt Le clpet de l embout de l vis se feme (l bgue s juste su son siège en ièe) et le plstique, sous l effet du mouvement, se compime et monte en pession Qund l pession ive à l vleu qui pemet de vince l ésistnce de l mtièe dns le ne du cylinde, le plstique pénète dns le moule, psse p le cnl d limenttion (cotte) et commence à empli l empeinte p son seuil L vitesse de popgtion du plstique dns l empeinte se diectement liée à l vitesse du déplcement de l vis-piston Le pmète pincipl est donc l vitesse de déplcement de l vis-piston expimée en mm/s, que l on obtient à pti du débit d uile expimé en cm3/s Notons que, pendnt cette pse de tvil, l pession de commnde u une consigne de vleu mximle fin de dispose de l foce nécessie pou vince les petes de cge de l écoulement, u fu et à mesue que le plstique vnce dns l empeinte Ves l fin du emplissge du moule, qund les petes de cge des écoulements du plstique deviennent impotntes, ppocnt de 7 % de l pession disponible, l injection tteint s pse de pessuistion Dns cette pse de tvil, l pession ydulique de commnde povoque l ouvetue de l souppe de sûeté qui fit etoune u ésevoi une ptie du débit ydulique Cette pete de débit lentit l vitesse de déplcement de l vis-piston jusqu à son êt totl qui signifie que l empeinte est emplie Le moule étnt empli, l pse dite de compenstion commence et il se poduit los l commuttion En fin de emplissge, le plstique occupe le volume totl de l empeinte, mis l mtièe continue à s écoule vec un tès fible débit ssocié à l compessibilité du polymèe à l tempétue considéée Le plstique, à ce stde, est à une tempétue élevée S msse volumique coît vec l pession que cetins uteus ppellent pession de bouge 56

57 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» P conduction, le plstique ped s cleu, le efoidissement n entîne ps de modifiction de l msse volumique tnt que l pession intene existe, ce qui explique que l pession execée dns le moule est beucoup plus élevée que l pession de emplissge Il fut, pou cel, qu une cetine quntité de mtièe soit mintenue sous pession à l extémité du cylinde d injection, que l on ppelle mtels Qund le plstique, sous l effet du efoidissement, tteint un étt de viscosité tel que l pession de compenstion bisse, Seule l pse de efoidissement continue jusqu à ce que l objet tteigne l tempétue qui pemet de le démoule L injection est teminée [8] III5 Ett du polymèe dns le moule III5 Temique L fmille des polymèes compote un gnd nombe de mtéiux ux popiétés tès difféentes Nénmoins, une popiété commune est leu tès fible conductivité temique, envion fois plus fible que celle du cuive A tite d exemple, il fut s pou qu un efoidissement supeficiel tteigne l pofondeu de mm Cette popiété explique l fible épisseu des pièces plstiques injectées De plus, le polymèe est injecté à l étt fondu, c est-à-die à une tempétue supéieue à s tempétue de tnsition viteuse Tc pou les mopes et à s tempétue de fusion pou les semi-cistllins Au cous du efoidissement, il v cnge de pse et l fible conductivité temique entîne de fots gdients de tempétues Il v donc se fome une "peu" en sufce Cette couce solide des popiétés mécniques difféentes du polymèe fondu, notmment pou le fottement à l poi [] Ce gdient de tempétue povoque un gdient dns les popiétés éologiques et temiques du polymèe Le système ici est donc pticulièement complexe à ésoude, sutout si on s intéesse à l intefce vec le moule : l ntue du polymèe en contct vec l sufce est difficile à détemine III5 Écoulement du polymèe dns le moule L étude de l écoulement du polymèe dns l empeinte du moule egoupe énomément de pénomènes Pendnt l injection, le pénomène est non isoteme L vitesse du fluide le long des pois est souvent considéée nulle [] Il se fome une gine foide de mtièe solide qui mène l ptie centle de l veine à s expnsée pou empli l section et continue à s écoule Le débit de polymèe fondu se fit pinciplement ente ces gines L figue (III3) monte l évolution de l vitesse et de l tempétue du polymèe los de l écoulement dns l empeinte L fote vition de tempétue s explique p l muvise conductivité temique des polymèes et l duée tès coute de cette pse du cycle Les vitions de vitesse sont impotntes De plus, le cisillement pès de l poi povoque un écuffement locl du fluide Au cous de l pse suivnte de compctge, le débit dns l cvité est eltivement fible L vitesse d écoulement vie peu ente le cente et les pois L pièce se solidifie u cous 57

58 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» de l pse de efoidissement Dès que ses popiétés mécniques pemettent de pocéde à l éjection sns ltée l pièce, celle-ci est éjectée et efoidit à l i libe Figue 6 : Vitesse et tempétue du polymèe los de l écoulement pendnt l pse d injection [7] IV Compotement éologique du polymèe L éologie est l science qui étudie l défomtion des cops sous l effet des contintes ppliquées en tennt compte du temps (ou vitesse d ppliction de contintes) Plus génélement, elle étudie l eltion ente l continte et l défomtion en fonction du temps dns le mtéiu [] Les pocédés de péption de poduits (solutions, pâtes, etc) ou de l mise en fome des pièces (en métllugie, en plstugie, etc), nécessitent immnqublement l étude de l écoulement de l mtièe Il est donc nécessie de connîte le compotement de l mtièe pou détemine les foces mises en jeu D une mnièe généle, l éologie suppose que : Le mtéiu est continu (ps de vide dns le mtéiu) Cque point du cops se déplce de fçon continue Deux points du cops infiniment voisins vnt l défomtion le sont encoe pès l défomtion Les popiétés pysiques du cops vient d une fçon continue d un point à un ute On peut clsse l éologie en tois types : L éologie expéimentle : elle détemine expéimentlement l eltion de compotement ente les contintes et l vitesse de défomtion L éologie stuctule : elle explique le compotement du mtéiu à pti de s stuctue 58

59 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» L éologie téoique : elle founie des modèles mtémtiques en nombe limité des compotements indépendmment de l stuctue micoscopique [] Les geux, liquides ou solides se divisent en deux clsses : Les fluides netoniens : ce sont tous les g et un gnd nombe de liquides; leu éqution éologique est simple Ces cops ne possèdent qu une cctéistique éologique : l viscosité Les cops à éqution éologique compliquée : ce sont des liquides non netoniens et les solides Dns le cs des polymèes, l éologie n étudie donc que les déplcements qui sont gnds p ppot à l tille des mcomolécules Les mouvements intmoléculies et l encevêtement des cînes sont des mouvements que l éologie p ntue ne peut ps décie En evnce, ces mouvements locux sont à l bse de l expliction du compotement éologique des polymèes fondus IV Notions généles su l viscosité Les polymèes fondus sont constitués de l entelcs de plusieus cînes polymèes de longueus et de msses sttistiques Plus ces denièes cctéistiques sont gndes et plus l stuctue du fluide polymèe est complexe L intepéttion de ce pénomène est explicitée p [Gessley 967] et [Buece, 968] qui s ppuient su le concept d encevêtement des mcomolécules En ptique, pou qu un encevêtement se fome ou se défome, il fut que le mouvement de l molécule due u moins un cetin temps λ O, les mouvements des mcomolécules sont l ésultnte des contintes de cisillement imposées u polymèe Donc le temps de contct ente deux mcomolécules est une fonction du tux de cisillement Dès los que le tux de cisillement devient supéieu à /λ, l densité d encevêtement diminue et l viscosité églement Losqu il est inféieu, l densité d encevêtement este constnte et l viscosité ussi On ple dès los de plteu netonien pou cette one de viscosité «constnte», nettement visible su les coubes de viscosité en fonction du tux de cisillement Ces coubes d écoulement sont génélement epésentées su une écelle logitmique et l pente de l décoissnce de viscosité définit l indice de pseudo-plsticité du polymèe Un scém d une telle coube est donné en (figue 7) 59

60 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Figue 7 : Allue généle d une coube d écoulement du polymèe fondu [7] IV Impotnce de l ntue du fluide et de l écoulement IV Ntue du fluide Il est commode pou étudie l éologie des liquides (en génél) de pote su un gpique les vleus de τ en fonction de D (gdient de vitesse) Su un tel gpique l viscosité ppente est égle à l pente de l tngente à l coube obtenue, encoe ppelée coube éologique ou é-gmme Un fluide netonien ne possède qu une seule cctéistique éologique, l viscosité Dns les mêmes conditions de tempétue et de pession, ce ppot est constnt quel que soit le gdient de vitesse, tnt que l écoulement este lminie L coube cctéistique est une doite pssnt p l oigine IV Ntue de l écoulement L véitble définition de l viscosité implique l existence de ce qu on ppelle l écoulement lminie (ou mieux écoulement lmellie) dns lequel le mouvement ou mieux le glissement d une couce du liquide su l ute s effectue sns tnsfet de mtièe d une couce à l ute, l viscosité étnt définie comme le fottement ente ces couces Il y une cetine vitesse mximum, dite vitesse citique, dont l vleu dépend d un cetins nombes de fcteus (vitesse, viscosité, densité, fome du écipient), u delà de lquelle le mouvement eltif d une couce de liquide ne peut ps se fie sns qu il y it tnsfet de mtièe de l une à l ute : u delà de cette vitesse se touve l écoulement tubulent Les molécules ou les pticules plus gndes pssent los d une couce à l ute et le pénomène bsobe une quntité d énegie considéble Il en ésulte en définitive qu une quntité d énegie beucoup plus gnde que dns le cs d un écoulement lminie est nécessie pou minteni cet écoulement tubulent L ugmenttion de l énegie nécessie se eflète p l existence d un effot de cisillement 6

61 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» ppent beucoup plus gnd, c est à die que l vleu clculée de l viscosité η se beucoup plus élevée en écoulement tubulent qu en écoulement lmellie IV3 Influence de l tempétue et de l pession IV3 Tempétue L viscosité dépend fotement de l tempétue Aussi doit-on toujous, pou conseve un sens à l mesue, pécise l tempétue à lquelle elle été fite Dns un liquide, l viscosité décoît pidement en fonction de l tempétue suivnt l loi suivnte [3] : T T ù : l viscosité C (IV) IV3 Pession L ction de l pession est invese L viscosité dynmique η coît à peu pès popotionnellement à l pession, du moins jusque ves à 3 tmospèes ; ensuite, elle ugmente plus vite Pou les liquides, l msse volumique ρ étnt ptiquement indépendnte de l pession, les ésultts pécédents s ppliquent églement à l viscosité cinémtique ν En ptique, on ne tient ps compte de ces vitions qui sont petites p ppot à celles dues à l tempétue L viscosité est un pmète tès impotnt dns l'étude de l'écoulement du polymèe, cette denièe qui est d envion 6 à 8 fois celle de l'eu, est fonction de cetin pmète qui sont: Le poids moléculie du polymèe; L tempétue; L pession; Le tux de cisillement ; L viscosité est une mesue de l fiction intene d un liquide Pou l détemine, on pplique une foce mesuble su le liquide et l on mesue en même temps l vitesse de défomtion, ou vice ves IV4 Les difféents modèles de viscosité : Considéons un liquide visqueux cisillé ente deux plques pllèles de sufce S, distntes d une épisseu ; l'une des plques est nimée p ppot à l'ute de l vitesse u Cet écoulement est compble à l écoulement d un fluide ente deux pois fixes [] On distingue Tois types de modèle de viscosité : 6

62 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Modèle Netonien Modèle Pseudoplstique Modèle Pseudoplstique temo-dépendnt S il existe de nombeux modèles éologiques, quelques lois «clssiques» eviennent pinciplement dns l littétue conscée ux écoulements des polymèes, et donc ux spects plutôt Pseudo-plstique Beucoup de ces lois découplent les dépendnces de l viscosité vec le cisillement et l tempétue, se foclisnt su un seul spect Le lien peut toutefois ête étbli p l utilistion du pincipe d équivlence temps-tempétue Nous llons commence p ppele quelques unes de ces lois les plus clssiques : IV4 Modèle Netonien L viscosité été définie p Neton comme le coefficient de popotionnlité ente l continte de cisillement et l vitesse de cisillement epenons le cs d un fluide netonien contenu ente deux plteux, le plteu inféieu est fixe L foce F nécessie pou nime le plteu supéieu d une vitesse u est popotionnelle à cette vitesse : F k u L continte de cisillement est popotionnelle à l vitesse de cisillement : Le coefficient de popotionnlité ente et s ppelle l viscosité dynmique IV4 Modèle Pseudo-plstique L plupt des polymèes n ont ps un compotement netonien Cel signifie que leu viscosité n est ps indépendnte de l vitesse de cisillement mis décoit en fonction de l vitesse de cisillement L Pseudo-plstique est l popiété d un mtéiu qui expime le fit que l viscosité soit une fonction décoissnte du tux de cisillement [] Les modèle éologiques poposes sont : IV4 Loi Ostld de Wele Cette loi [Ostld, 93], [De Wele, 93] est églement ppelée loi puissnce et s écit tditionnellement sous l fome [3] K m (IV3) Où K est l consistnce du mtéiu (en Ps m ) et m l indice de pseudo-plsticité (m = pou un fluide netonien ; m = pou un cops igide plstique) Cette loi le défut de ne ps pésente de plteu netonien à fible tux de cisillement Elle est donc souvent complétée 6

63 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» p une vleu de viscosité seuil, pou les fibles tux de cisillement En evnce, cette loi est nomlement bien dptée pou les fots tux de cisillement IV4 Loi de Coss L loi de Coss [Coss, 965] l vntge de pésente le plteu netonien à fible tux de cisillement (IV4) Où λ est le temps cctéistique de l encevêtement, l viscosité du plie netonien à fible tux de cisillement et η un deuxième plteu netonien à tux de cisillement élevé, m m, indice de loi de puissnce Ce denie n ynt jmis été obsevé pou un polymèe fondu [Agssnt, 996], on pend Ce qui donne [3] : m (IV5 ) IV43 Loi de Ceu-Ysud Le modèle de l loi de puissnce s pplique su une plge limitée de l coube de viscosité En élité à des fibles tux de cisillement les polymèes ont un compotement netonien, c-à d que l viscosité est indépendnte du tux de cisillement Ceu développé un modèle qui epésente complètement l coube de viscosité et qui pend en cge ce plteu, son modèle s écit : m (IV6) Où λ le même sens que pou l loi de Coss Le pmète set à juste l tnsition plus ou moins pide ente le plteu netonien et l ptie loi puissnce L loi de Ceu coespond à l vleu = [Ceu, 97], [Ysud et l 98] IV43 Modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt Le modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt tient compte de l vition de l viscosité en fonction du tux de cisillement et de l tempétue Une ugmenttion de tempétue ésulte en une diminution de l viscosité du à l ugmenttion de mobilité des cînes de 63

64 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» polymèes En ègle généle, l viscosité des polymèes mopes est plus sensible ux vitions de l tempétue que l viscosité des polymèes semi-cistllins IV43 Loi de Willims, Lndel et Fey (WLF) C T Téf DT Téf T e éf m (IV7) C et D sont deux pmètes cctéistiques du mtéiu étudié En ptique cette loi est pplicble ente l tempétue de tnsition viteuse Tg et Tg+, l loi d Aenius est péféble Dns l mise en fome des mtièes plstiques, d Agssnt et l, il est pécisé quelques vleus de C et D : Tbleu 5 : Exemple de pmètes pou l loi WLF [3] En cs de méconnissnce de ces pmètes C et D, [Bid et l 977] suggèent l utilistion des vleus suivntes : C = 744 et D = 56 K (si l tempétue de éféence est pise égle à Tg) IV43 Loi d Aenius T éf e A éf T Téf (IV8) A éf epésente le ppot de l énegie d ctivtion et l constnte des g pfits Les tempétues sont expimées en K [Agssnt et l, 996] A tite d infomtion, nous epenons quelques lignes du tbleu écpitultif d Agssnt, qui donne des odes de gndeu des énegies d ctivtion pou des polymèes fondus : 64

65 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» Tbleu 6 : Quelques énegies d ctivtion pou l loi d Aenius [3] Dns note étude on dopte le modèle suivnt : A éf T Téf T éf e (IV9) Avec m (IV) IV433 Vition de l viscosité en fonction de l pession Sns epende tout le isonnement pésenté p [Agssnt et l, 996], nous nous contentons ici de ppele une loi de piéodépendnce e P (IV) Où χ est le coefficient de piéodépendnce On ppelle églement quelques odes de gndeu de χ : Tbleu 7 : Exemples de fcteu de piéodépendnce [3] 65

66 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite I : Génélités» IV5 Compessibilité du Fluide L fction de volume libe est le ppot du volume libe V f su le volume totl Vt p unité monomèe A pti des définitions de l msse volumique, du nombe de molécules contenues dns l spèe de yon et de l expession du ppot cctéistique de Floy, l fction de volume libe est donnée p [3], [4]: g f v E exp T 3 (IV) Les définitions de l fction de volume libe et du volume du p unité monomèe donnent l'expession de l msse volumique : M f v (IV3) N V Conclusion Si les polymèes connissent ujoud ui un tel succès, les pocédés de mise en fome sont encoe loin d ête pfitement mîtisés En effet, les polymèes sont des mtéiux ux popiétés complexes, évolunt vec les contintes ppliquées, l tempétue et l pession Gonflements, etits, défomtions sont quelques uns des poblèmes encontés los de l Mise en fome, que ce soit p moulge, extusion ou ute Ceci end l optimistion des pocédés tès difficile Pou joute à cette sitution, le pix d un moule ou d une filièe d extusion est tès élevé Le moinde défut de conception coûte extêmement ce à l entepise et il n est ps envisgeble de teste plusieus moules «juste pou voi» Fot eueusement le développement de l infomtique pemet ujoud ui de simule des écoulements complexes dns des géométies tidimensionnelles élboées De fit, l simultion numéique constitue une ltentive ppécible, notmment en temes de coût Les ésultts de cette tecnique sont toutefois fotement tibuties de l qulité de l modélistion et de l pmétistion Ainsi l simultion est d utnt plus fible qu on connît vec pécision l msse volumique, l loi de compotement éologique, l tempétue imposée, le débit, l pession etc Bien entendu, il est souvent impossible de connîte vec pécision tous ces pmètes Ainsi, l tempétue imposée u moyen d une cuffeette ne se ps focément omogène su tout l espce ecouvet De même, l dépendnce de l msse volumique à l tempétue n est ps focément connue vec pécision Enfin l simultion numéique coespond à l ésolution d un système d équtions difféentielles ptielles et nécessite, donc l connissnce des conditions limites, pfois difficiles voie impossibles à évlue 66

67 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème 67

68 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» I Intoduction L modélistion des écoulements des polymèes fondus, s vèe tès délicte p le fit que, dns ces écoulements intevient un gnd nombe de pmètes de ntues diveses L étude de ces écoulements conduit souvent à des équtions tès complexes Ces complexités peuvent poveni d une pt de l loi de compotement du fluide étudié (Netonien, non Netonien, ) ; insi que des conditions ydodynmiques et d ute pt de l ntue de l poi (igide, élstique ou viscoélstique, ) L objet du pésent cpite consiste à ppele quelques lois de compotement éologiques ussi bien pou le polymèe fondu que pou l poi et de défini les modèles éologiques que nous poposons d utilise [47], [48], [54] II Compotement éologique de l poi Note conduite est un tube xisymétique, souple à poi mince, isotope et poeuse, de longueu L, d xe de évolutionoz, de msse p et de yon u epos u,, t,, t, t e e Z Figue 8: Géométie de l conduite [83] II Loi de compotement éologique de l conduite L symétie de l conduite utou de l xe OZ entîne l indépendnce de toutes les vibles p ppot à l coodonnée imutle, Le déplcement xil de l poi est : B, t Le déplcement dil de l poi est : A, t 68

69 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» En l bsence d effots volumiques, l défomtion de l conduite est décite p l éqution : p d div dt (II) Avec :, t A, te B, te (II) : Étnt le vecteu déplcement de l conduite Note milieu est isotope En élsticité clssique, l loi de compotement est donnée p : ij ij E ij E kk (II3) Avec ij est le symbole de Konecke, E le module d Young et le coefficient de Poisson D où E kk (II4) Avec : Alos : Finlement : E kk (II5) (II6) E (II7) D ute pt : E (II8) D où finlement : E (II9) 69

70 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» Aussi : D où finlement : E (II) E (II) On donc le système suivnt : E (II) E (II3) E (II4) Les équtions (II) et (II3) peuvent s écie sous l fome : E (II5) E (II6) D où : E E (II7) On peut donc tie l expession de en fonction des utes pmètes : E E (II8) D ute pt on ussi : E E (II9) 7

71 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» D où E E (II) O : E (II) E (II) E (II3) Alos : E (II4) D où le système suivnt: E E (II5) E E (II6) E (II7) On coodonnée cylindique le tenseu de tux de défomtion s écit sous l fome : 7

72 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 7 u u u u u u u u u u u u u u u u u u D Le vecteu déplcement de l conduite est : e t B e t A t,,, Avec : U t A, et U t B, D où B, Et A U A B A U U A u u u Le système d équtions (II5), (II6) et (II7) devient los : (II8) (II9)

73 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 73 Avec : B A E Dns le système de coodonnées cylindique e e e o,,,, nous vons : e div e div e div div Où : div div div Du fit de l xisymétique cylindique de l conduite ces expessions se éduisent à : A E B E B A E A E (II3) (II3) (II3) (II33) (II34) (II35) (II36) (II37)

74 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 74 L défomtion de l conduite est décite p l éqution : div dt d p En supposnt les effets d inetie de l poi négligebles p ppot ux effets élstiques [34], Qui s écit ussi sous l fome : II Système d équtions intégées su l épisseu de l poi En multiplint le système des équtions (III) p l quntité et en l intégnt de à, nous obtenons le système des équtions suivnt : t A p t B p t A p t B p (II38) (II39) (II4) (II4) (II4) (II43) (II44) div div

75 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 75 Tout clcul fit pou l éqution (II45) donne: p d d d d d d d t A D où p d d d t A p d d d t A d d d d t A p d d d d t B p (II45) (II46) (II47) (II48) (II49)

76 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 76 On pose : d I continte ciconféentielle moyenne D où : I d d t A p D ute pt tout clcul fit pou l éqution (II46) donne: p d d d t B D où p d d d d t B On pose : d J Continte nomle moyenne Et d K D où p K J t B En fisnt un développement en séie en fonction de l vible éduite jusqu à l ode deux, les quntités I, J et K s écivent sous l fome suivnte : Clcul de I : (II5) (II5) (II5) (II53)

77 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 77 d B A E d I d B E d EA I O : D où : d B E d EA I O : D ou : d B E d EA I Alos : 3 d B E EA I Clcul de J : d A B E J (II54) (II55) (II56) (II57) (II58) (II59)

78 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 78 d d EA d B E J Alos : d AE B E J Clcul de K : d A B E K d d EA d B E K d d EA K D où : 3 d EA K En négligent l intégle potnt su [34], et en emplçnt les quntités I, J et K p leus vleus clculées, le système des équtions (II45) et (II46) devient : B E EA t A p A E EA B E t B 3 p (II64) (II65) (II6) (II6) (II6) (II63)

79 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 79 Au système des équtions (II64) et (II65) on joute les conditions ux limites coespondnt à l sufce de séption fluide - poi, [3], [34]: t u P u Avec : ext t P P P Où : P et ext P sont espectivement les pessions à l intéieu et à l extéieu du tube, L viscosité ppente du fluide, u et espectivement les vitesses dile et xile du fluide Scnt que A E le système d équtions (II64) et (II65) devient : II3 Fome dimensionnelle Du fit du nombe impotnt de pmètes qui inteviennent dns le système des équtions ci-dessus, il est intéessnt de les écie sous l fome dimensionnelle fin de pouvoi fie B A E A E u P t A t p A E EA B E u t B 3 p (II68) (II69) (II66) (II67)

80 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 8 les simplifictions nécessies Pou cel, nous posons les cngements de vibles suivntes :, L, t t,, ul u, L P P t t, L B B, A A,,, L Où : L est l longueu de l conduite u epos, une viscosité netonienne, une vitesse cctéistique dns l diection xile Pou l éqution (II68) : ẑ L B L  E ẑ L  E û L P L t  t p D où : ẑ B E  E ẑ  E û P L t  4 t p On pose : T c T X Où L T c le temps de convection dns l diection xile (II7) (II7)

81 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 8 T e T X Où C L T e le temps cctéistique lié à l élsticité de l poi 3 X p C v C X 4 Où C v (l vitesse de popgtion du cisillement) On multiplie l denièe éqution p l quntité 3 L T on u : t û P X X X  E ÂE ẑ B E ẑ  E X t  X En négligent les temes d ode supéieue ou égl à deux en et en, l éqution (II7) devient : t 4 ÂE ẑ B E X P X X X Pou l éqution (II69) : ẑ L E  ẑ L E ẑ B L E ẑ û L ŵ t B L 3 p D où :  ẑ L E ẑ L  E ẑ B L E ẑ û L ŵ t B T L p (II7) (II73) (II74) (II75)

82 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 8 On multiplie cette éqution p l quntité L T on u : ẑ û ŵ X X X Â ẑ Â ẑ ẑ B X t B X En négligent les temes d ode supéieue ou égl à deux en et en, l éqution (II76) devient: Finlement, on obtient le système suivnt : D ute pt on : A D où : A A A Alos, on expime les quntités, A, A comme suit : Â ẑ ẑ B X ŵ X X X t B X 4 3 t 4 ÂE ẑ B E X P X X X Â ẑ ẑ B X ŵ X X X t B X 4 3 (II76) (II77) (II78) (II79)

83 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 83 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ẑ Â Â ẑ Il vient donc : Si on dopte le cngement de vible suivnt pou les pois défombles: x Avec d où x Alos on u : Â E ẑ B E X P X X X t 4 ẑ Â ẑ B X ŵ X X X t B X 4 3 (II8) (II8) (II83)

84 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» ŵ ŵ x x O : x D où x Alos : ŵ ŵ x Le système (II8) et (II8) devient : X X E B E P t X X 4 ẑ  (II84) B X X ŵ X B  X 3 t X 4 x ẑ ẑ x (II85) A ce système d éqution, on joute les conditions initiles suivntes :  à t  t à t B à t B t à t III Compotement éologique du fluide III Intoduction On peut décie le mouvement d un fluide tel que le polymèe p un ensemble d équtions ux déivées ptielles déduites des lois fondmentles de l mécnique et de l 84

85 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» temodynmique, c'est-à-die les lois de consevtion de l msse (éqution de continuité), de l quntité de mouvement ( éqution de quntité de mouvement), et de l énegie (éqution de l énegie), pou pose de fçon complète un poblème en dynmique des fluides, ils convient d joute ux équtions du mouvement des conditions initiles et des conditions ux limites (ou conditions ux fontièes) [46], [55], [56] III Eqution de continuité L loi de continuité expime l consevtion de msse de l écoulement du fluide, c'est-à-die le fit qu il n y ni cétion ni destuction de msse pendnt le mouvement des fluides, pou démonte l éqution de continuité, on considèe une sufce S peméble et fixe, délimitnt le système ouvet de volume, ou v epésente l vitesse, n, le vecteu unitie noml à l sufce élémentie ds oienté ves l extéieu du volume [4], [4] Le volume bitie, ppelé volume de contôle et dont l fome dns le système ctésien des vibles x, y, et est indépendnt du temps t, il est immobile dns l espce, l msse de fluide à l intéieu du volume u temps t est : m t d (III) A l instnt t, l msse de fluide été déplcée os du volume de sote que le nouveu t t m t t volume ~ contient l msse ~ L consevtion de l msse du fluide suppose que le tux de vition de tenu de l déivée pticulie on peut écie : D Dt m m est nul Compte L msse du nouveu volume t t pemie teme, m t t epésente l msse dns le volume fixe, à l instnt t t ~ (III), bien que consevée, se compose de deux temes ; le et l msse nette du fluide qui epésente l difféence ente l quntité du fluide qui sot et celle qui ente : m t t m t t m t s (III3) Le teme m s epésente le débit mssique net à tves l sufce S D ute pt p définition : 85

86 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» D où : Avec : Dm Dt m Dt m lim D ~ t m lim t m lim t m t m t t t t m t t t t m t m t t t m t m S t d t S m d t S (III4) (III5) (III6) Le débit mssique élémentie, d à tves l sufce élémentie ds comme expession : ms dm v ds v n ds S n (III7) Où v n est l pojection de v d pès l nomle n, p conséquent : m v n ds S S (III8) D où : Dm Dt d t S v n ds (III8) Alos : t d v n ds S (III9) Qui epésente l fome généle ou intégle de l éqution de continuité dns l écoulement du fluide Si on pplique les fomules de Guss on obtient : S v n ds v d (III) 86

87 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» Où est l divegence D où : v d t t v (III) (III) Qui s écit en coodonnées cylindique [4], [44]: t u (III3) III3 Éqution de quntité de mouvement L quntité de mouvement d une pticule fluide, 87 I t est définie p le poduit de l msse de l pticule, m et de son vecteu vitesse v Dns le cs génél d un volume de contôle, à un temps t on détemine l quntité de mouvement gâce à l éqution : I t m t dv v d (III4) D pès l deuxième loi de Neton, le tux de vition de l quntité de mouvement I t est égl à l ésultnte de toutes les foces F gissnt su l msse m, à l sufce S et à l intéieu de celle-ci, p conséquent : DI F (III5) Dt Dns un intevlle de temps t, l msse m se meut vec le fluide et, p définition, l déivée pticulie devient : DI I ~ t t I t lim (III6) Dt t t Où l quntité de mouvement du fluide se touvnt dns le volume mobile ~ à t t obéit à l fomule : I t t I t t I ~ I (III7)

88 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» Où I I epésente l difféence nette des quntités de mouvement qui entent dns le volume et qui en sotent pendnt l intevlle du temps t, on l expime p l intégle : I I v n v t (III8) ds S D où : Alos : DI Dt I lim t DI Dt t I t t t I t t S I I t v n v ds v d v n v ds S F F F (III9) (III) (III) L ésultnte de toutes les foces F gissnt su l msse compose des foces mssiques et des foces de sufce : F F m F S m du volume de contôle se Les foces mssiques F m epésentent l somme de toutes les foces intenes, comme les foces gvittionnelles et les foces électomgnétiques (s il y lieu), on peut les expime sous l fome : F m f d (III3) Où f, ynt l significtion d une ccélétion, epésente l foce intene p unité de msse D ute pt, les foces de sufce dns le cs du fluide éel sont composées de foces de pession et de viscosité, contenues dns le tenseu des contintes P ynt neuf composntes en un point du fluide en mouvement Les foces de sufce sous fome intégle deviennent : F S n P ds Pd (III4) S L fome intégle du téoème de quntité de mouvement s écit [4], [4]: (III) t v d v n v ds f d S n P ds S (III5) 88

89 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 89 Anlysons l intégle S ds P n : On : I p P p Pession ydosttique : Tenseu de viscosité p p p y x y yy yx x xy xx Avec : I L éqution (III5) devient : P f v v v t D où : f p v v v t O : v v v v v v D où : f p v v v v t v t v div f p div v v t v v t v (III6) (III7) (III8)

90 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» III4 Eqution de l énegie Cette éqution se fonde su le biln énegétique d un g omogène et visqueux dns un volume bitie immobile dns l écoulement et de sufce extéieu peméble On sit que le biln d énegie exige un tnsfet de quntité de mouvement et de cleu, le biln d énegie découle du pincipe de consevtion d énegie du fluide de volume à l instnt t, qu on expime p : E t e v d (III9) Où e est l énegie intene p unité de msse et le teme contennt v epésente l énegie cinétique à l intéieue du volume, le tux de vition de l énegie totle dns le DE temps,, est égle à l puissnce execée p les foces mssiques à l intéieue du Dt volume de contôle et u tnsfet de cleu q à tves l sufce S, l éqution d énegie, sous fome intégle, devient : e v t d nqds nv e v ds v np ds S S S f vd (III3) D où l éqution d énegie [4], [4]: e v t v e v p v q f v (III3) Qui s écit ussi sous l fome suivnte : E v E p v q f v t (III3) Avec : E e u On ussi les équtions de l quntité de mouvement : 9

91 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 9 On multiplie l éqution (III33) p u et l éqution (III34) p et on effectue l somme on obtient : f u f u u u u u u u u u p p u Dt u D O on : v f q div gd p v v pdiv Dt u e D Qui s écit ussi sous l fome : Dt u D v f q div gd p v v pdiv Dt De L éqution devient los : f u u u p Dt Du f u p Dt D (III33) (III34) (III35) (III36) (III37)

92 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 9 v f u u u u u u u u u vgd p v f q div vgd p v pdiv Dt De L éqution d énegie s écit sous l fome suivnte : i S q div v pdiv Dt De Avec : u u u u u u u u u S i IV Adimensionnlistion et simplifiction des équtions P souci de simplifiction d écitue, les dépendnces en temps et en vibles sptiles des difféentes gndeus seont délibéément omises Dns le but de mette en évidence des nombes sns dimension cctéistiques de l écoulement et dont l ode de gndeu pou l ppliction envisgée pemet de mesue l impotnce eltive des difféentes contibutions, on intoduit les gndeus dimensionnelles suivntes [3], [64], [64]:, L, T t t, L u u,, L P P t t L,, (III38) (III39) (III4) (III4)

93 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» Où : est une vitesse cctéistique de l écoulement dns l diection xile, T l péiode du mouvement, L l longueu de l conduite, une viscosité netonienne et l msse volumique du polymèe losqu il est considéé comme étnt incompessible IV Adimensionnlistion l éqution de continuité L éqution de continuité s écit sous l fome : t u (III4) D où : T t L u L (III43) Qui s écit p simplifiction comme suit : T t L u L (III44) Où : X t ẑ û X ŵ (III45) Avec : T X L IV Adimensionnlistion de l éqution de quntité de mouvement On le système d éqution suivnt : 93

94 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 94 Pou l éqution (III46) du système : On : 3 3 f ŵ ẑ L û L ẑ û ẑ L û L p L ŵû ẑ L ûû L û t T L En multiplint cette éqution p l quntité 3 L et on intoduit le nombe de eynolds e et ussi le nombe de Womesley T, il vient: ex ẑ û ŵ ẑ ẑ ŵ û 3 û ẑ ŵ û 3 û p ẑ ŵû e û û e t û 4 On néglige les temes en ou plus on u: p f u u u p Dt Du f u p Dt D (III46) (III47) (III48) (III49)

95 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 95 pou l éqution (III47) du système : On : f ẑ ŵ ẑ L ẑ û L ẑ ŵ ẑ L ŵ ẑ p ŵŵ ẑ L ûŵ L t ŵ T On multiplie cette éqution p l quntité et en intoduisnt le nombe de eynolds e et le nombe de Womesley T, on u: ẑ ŵ û ẑ 3 ẑ ŵ ẑ ẑ û ŵ ẑ p ẑ ŵŵ e û ŵ e t ŵ En intoduisnt le nombe de eynolds e et le nombe de Womesley T, on u: e e f u p u t En négligent les temes en ou plus et comme f qui epésente l foce de pesnteu suivnt l diection est nulle, il vient : ŵ ẑ p ŵŵ ẑ ûŵ t ŵ e e (III5) (III5) (III53) (III54)

96 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 96 Pou l éqution de l énegie On : u u u u u u u u u T T P u P e e u t e En intoduisnt le nombe de eynolds e, le nombe de Womesley T, L C G le nombe de Get et G f le nombe de Giffit on u: f f f f f ẑ ŵ û 3 û ŵ ẑ û ẑ ŵ û ẑ ŵ û T P T ẑ T G T G T ŵ ẑ G G T û G G t T G G X On néglige les temes en,, e et, l éqution pécedente devient: f f f f ŵ ẑ ŵ û T P T T G T ŵ ẑ G G T û G G t T G G X (III55) (III56) (III57)

97 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 97 Apès simplifictions les équtions s écivent sous l fome suivnte : u t X p p u t e e f f f f ŵ ẑ ŵ û T P T T G T ŵ ẑ G G T û G G t T G G X A ce système d équtions on joute les conditions ux limites suivntes : t B ŵ T T Dns le cs d une poi défomble et du fit de l vition de l limite géométique de l écoulement suivnt l xe o, il est plus commode d effectue un cngement de vible de l mnièe suivnte : x Avec x On obtient le système d équtions suivnt : (III6) (III58) (III59) (III6) (III6)

98 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» 98 x ŵ ẑ x ẑ ŵ x û x x t x P X x ŵ x x x ẑ p x ŵ ŵ ẑ e x ŵ t x ẑ ŵ ŵ e x ŵ û x x e t ŵ f f f f x ŵ x T x x x G x ŵ T ẑ x T ŵ ẑ G G T xû x x G G x T t x t T G G X A ce système d éqution on joute les conditions ux limites suivntes : x ŵ x x û t B x ŵ t  x û On emque que le nombe d inconnus est supéieu u nombe d équtions fin de feme le système d équtions on joute l expession de l densité volumique cité u pgpe (IV5) du cpite I (III63) (III64) (III65) (III66)

99 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite II : Fomultion Mtémtique du Poblème» V Conclusion Les équtions locles tduisnt l consevtion de quntité de mouvement, l consevtion de l msse et de l énegie constituent un système de 3 équtions ux déivées ptielles en, u et en T d ode suivnt les vibles sptiles, et d ode un tempoel En génél, ces équtions n dmettent ps de solutions nlytiques ce qui oblige à un ecous ux métodes de ésolution numéiques Nous veons dns le pocin cpite comment ésoude de tels systèmes d équtions 99

100 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» Cpite III : Métode de ésolution

101 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» I Intoduction L pédiction du tnsfet temique et des pénomènes qui ont lieu à l écoulement des fluides peut ête obtenue p tois métodes : l expéience, le clcul téoique et le clcul numéique [35], [46], [55] L expéience Pincipe : P l expéience, on tente d isole ou de epoduie tout ou une ptie d un pénomène pysique à pti de modèles à l écelle nomle ou éduite Avntges : L expéience founit l infomtion l plus sûe su un pénomène pysique (compée ux modélistions téoiques) Inconvénients : Les modèles à l écelle nomle sont souvent tès coûteux Les modèles à l écelle éduite sont moins coûteux mis l extpoltion des ésultts à l écelle nomle est pfois difficile Les sondes de mesue intusives génèent des petubtions et donc epésentent des souces d eeus Le clcul téoique Pincipe : Le pincipe du clcul téoique est illusté à l figue suivnte : Figue 9: Le pincipe du clcul téoique [35] Avntge : On peut die que le clcul téoique : - ne nécessite ps, en génél, de gos moyens de clcul ; - n est ps coûteux ; - founit des solutions exctes ; - founit des ésultts à tès gnde vitesse

102 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» Inconvénients : - Le domine d ppliction est extêmement limité p ppot à l élité pysique (domine simplifié); - conditions idélisées ; - géométies simples ; - pénomènes linéies ou fiblement non linéies ; - ement, peut ête ppliqué pou les poblèmes 3D Le clcul numéique (modélistion et simultion) Le modèle mtémtique constitué p une éqution difféentielle ux déivées ptielles (EDP) ou p un système d EDP est tnsfomé, à l ide d une métode de discétistion dns un système d équtions lgébiques [56] Pincipe : Le pincipe du clcul numéique est illusté à l figue Ci-dessous ; Les métodes de discétistion les plus connues sont : - métodes des difféences finies (MDF) ; - métodes des éléments finis (MEF) ; - métodes spectles (MS) ; - métodes des volumes finis (MVF) L lgoitme de ésolution numéique implique l métode d intégtion tempoelle et de découplge, comme p exemple, les lgoitmes SIMPLE, SIMPLE, SIMPLEC et PISO,

103 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» Figue : Le pincipe du clcul numéique [68] Avntge : Le clcul numéique : - pemet le clcul d une solution numéique pou pesque tous les poblèmes ptiques ynt un modèle mtémtique ; - pésente de l pidité (pemet de modifie l géométie, les conditions ux limites, etc) ; - pésente une infomtion complète su tous les cmps, tous les points et à tout instnt; - l possibilité de simule des conditions éelles exceptionnelles ; - l possibilité de simule des conditions idéles Inconvénients : - tout dépend du modèle mtémtique initil ; 3

104 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» - difficulté pou sélectionne l bonne solution en cs de solutions multiples u poblème mtémtique ; - pfois, plus coûteux que l expéience Dns note étude, nous vons opté pou ésoude les équtions obtenues l utilistion de l métode numéique des difféences finies II Métode des difféences finies Cette métode est bsée su l tecnique du développement en séies de Tylo qui pemet d ppoxime l vleu d une fonction en un point donné si on connît l vleu de l dite fonction insi que toute ces déivées en un point voisin en espce ou en temps Cette tecnique pemet de développe des scéms pou emplce les déivées pemièes et secondes des EDP pou pouvoi envisge une solution numéique p clculteu [35], [66] Pou obteni une solution numéique il fut tout d bod défini un domine numéique constitué p un ensemble de points discets ppelé gille de clcul Les vleus instntnées et locles des vibles dépendntes du poblème sont définit su l ensemble des points de l gille de clcul L difféence ente cette vue numéique à tves un cetin nombe de points et l distibution continue excte epésente l eeu commise p l métode numéique Il est tout à fit logique de pense que plus le nombe de points est impotnt plus l visulistion est clie, un peu comme les pixels d une poto numéique [56], [68] L étpe suivnte consiste à ppoxime ou emplce toutes les déivées ptielles p des scéms discets (difféence finies) L EDP se tnsfomée en éqution lgébique Cette éqution lgébique est ensuite ppliquée su l ensemble des nœuds de l gille de clcul Le ésultt se un système d éqution compotnt utnt d équtions que d inconnues (nœuds) Ce système se ensuite ésolu p une métode ppopiée Le ésultt se une distibution discète de l solution su l ensemble des points du domine de clcul [35] II Gille de clcul 4

105 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» Figue : Gille de clcul stuctuée D [68] Avnt de commence, il fut touve un moyen qui nous pemett de loclise sptilement et tempoellement tous les points de l solution numéique C est ce qu on v ppele cétion de l gille de clcul Dns l suite, on v ésonne su un espce pln (D) et l extension pou le 3D se fite de mnièe intuitive L Figue II epésente l mnièe l plus diecte pou epée les points suivnt l pocédue stuctuée C est un peu comme une mtice, cque point se ffecté de deux indexes (i, j) qui le positionneont p ppot à ces voisins Soit U, l vible à clcule S vleu ux difféents points de l gille s écit de l mnièe suivnte: U i, j U x x, y (II) U i, j U x U i, j U x, y x, y y (II) (II3) U i, j U x, y y (II4) 5

106 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» II Le développement en séie de Tylo U U x x, y U x, y x x, y U x, y U U x x x U U x x x n n x! x! n U n x n U n x x n! n x n! n (II5) (II6) Le teme, epésente les temes omis d ode (n+ à l infini) Téoiquement, on u n besoin d un nombe infini de temes pou pouvoi clcule l vleu deu x x, y ptique, on se limite à un nombe fini de teme et tout le este se considéé en tnt que l eeu de l ppoximtion (eeu de tonctue) [35] II3 Constuction des scéms pou l déivée d ode un et deux En ngent l éqution (II5), on obtient le scém ux difféences vnt: En x U x x, y U x, y U x (II7) L éqution (II6), donne le scém ux difféences ièe : x U x, y U x x, y U x (II8) Le scém ux difféences centées s obtient en soustynt l éqution (II6) de l éqution (II5) : x x, y U x x, y U x x U (II9) L déivée seconde est obtenue en dditionnnt l éqution (II5) à l éqution (II6) : U x U x x, y U x, y Ux x, y x (II) 6

107 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» Les scéms ci-dessus s écivent sous fome indicielle : U x i, j U i, j U x i, j (II) U x i, j U i, j U x i, j (II) U x i, j U i, j U x i, j (II4) U x i, j U i, j U x i, j U i, j (II5) En ppliqunt ces scéms ux équtions de continuité, de quntité de mouvement et de l énegie on obtient des équtions lgébiques sous l fome : A i, j i, j Bi, j i, j Ci, j i, j Di, j Avec epésente n impote quelle gndeu pysique (II6) Le pincipe de l métode de double blyge pemet d écie [46]: i, j i, j i, j i, j (II7) Où encoe : i, j i, j i, j i, j (II8) En intoduisnt l éqution (II8) dns l éqution (II6), il vient : j i, j i, j Bi, j i, j Ci, j i, j Ai, j i, j Di, j A i, L éqution (II9) peut sous mette sous l fome : i, j Ci, j j Ai, j i B i, D i, i, j B i, Une compison ente l éqution (II7) et l éqution (II) donne : i, j B i, Ci, j j Ai, j i j Ai, j i, j j Ai, j i, j (II9) (II) (II) 7

108 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» Et i, j j Ai, j i, j j Ai, j i, j D i, B i, (II) Les fomules de écuences (II) et (II) sont mocées à l ide de l donnée de de issus des conditions ux limites et Los du pemie blyge llnt de i jusqu ài imx, on détemine les fonctions et L gndeu pysique se déteminée los du blyge invese llnt de i i mx jusqu ài En ppliqunt l métode de difféences finis à l éqution de l quntité de mouvement suivnte : On obtient : Avec (i, ŵ t j ) k e k (i, j ) b (i, j ) e ẑ ûŵ ŵŵ (i, j ) e X (i, j ) c (i, k t j ) (i, j ) d i, j i, j i, j i, i k p ŵ ẑ (i, (i, j ) i, j j b i, j i, i, j i, i j ) j c i, j i, e f e k k i, j ŵ i, j i, j e k k i, j i, j i j, j P j P k d i, j, t j i, j i j f j (i, j ) k (II3) (i, j ) (II4) 8

109 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» En ppliqunt l métode des difféences finies à l éqution de l énegie suivnte : X G G f T G G û T ŵ T t G f P T T G f ẑ G ŵ ŵ û ẑ f T (II5) On obtient : T Avec (i, j ) T k (i, j ) b ( i, T j )T e T k T (i, j ) c (i, ( i, i, j j ) T k G X G f T j ) T (i, j ) d K i, j t k T G (i, ( i, f j ) j ) f T (i, j )T k (i, j ) (II6) e b c f T T i, j i, j G G f f G G G i G i k k i, j i, j i j T, f G G k k i, j i, j i j T, f On effectue l même cose pou les utes équtions puis on pplique l métode du double blyge pou ésoude toutes les équtions f f III Conclusion Les systèmes des équtions que nous vons obtenues u cpite pécédnt n dmettent ps de solution nlytique, ce qui nous conduit à ecece des solutions ppocés p voie numéique Nous vons opté pou l emploi d une métode ux difféences finies, cette métode de ésolution consiste à se donne un pofil de vitesse initil stisfisnt ux conditions ux limites, qui pemettent d moce les clculs L ésolution du système des 9

110 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite III : Métode de ésolution» équtions pemet l détemintion le pofil de l vitesse xile et dile dns les deux cs de l poi (igide et élstique), le pofil de tempétue, le pofil de l viscosité ppente et le tux de cisillement

111 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» Cpite IV : ésultts et discussions

112 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» I Intoduction Dns ce cpite, nous vons opté à ce que les ésultts soient pésentés selon les qute difféents cs à svoi : Cs I : le polymèe est epésenté p un fluide Non netonien (modèle Pseudoplstique temo-dépendnt) et incompessible en conduite igide ; Cs II : le polymèe est epésenté p un fluide Non Netonien (modèle Pseudoplstique) et compessible en conduite igide ; Cs III : le polymèe est epésenté p un fluide Non Netonien (modèle Pseudoplstique temo-dépendnt) et compessible en conduite igide ; Cs IV : le polymèe est epésenté p un fluide Non Netonien (modèle Pseudoplstique temo-dépendnt) et compessible en conduite élstique II Pocessus de ésolution Les clculs sont mocés p un pofil initil qui peut ête bsolument quelconque pouvu qu il stisfsse ux conditions ux limites Toutefois, pou éduie le temps de clcul, on coisit un pofil initil qui soit sse poce du pofil éel On dopte pou cel un pofil coespondnt à un écoulement pemnent d un fluide netonien dns une conduite cylindique igide L ésolution du système des équtions de l poi pemet de détemine les composntes xile et dile du déplcement A l ide de ces composntes du déplcement et de l éqution de l écoulement, on détemine les composntes dile et xile de l vitesse A l ide de ces composntes de l vitesse et de l éqution de l tempétue, on détemine l tempétue L vleu coigée de l vitesse pemet de éitée jusqu à convegence de l solution III Test de convegence Le test de convegence de l solution du poblème étudié pote su l vitesse xile Si m est le nombe de cycles de clcul et l ppoximtion fixée à l vnce, on impose à l vitesse xile de véifie : sup m m m

113 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» IV Données du pogmme L cleu spécifique =8 JKg - K - L msse volumique =78 Kg m -3 L pession de sotie L pession d entée Le yon L épisseu L longueu L viscosité =3 MP =7 MP = m =5 m = m =4 Ps L conductivité témique=7 Wm - K - V ésultts et intepéttions Cs : Écoulement des polymèes fondus en conduite igide (Fluide Non Netonien et incompessible epésenté p le modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt) Le modèle de l viscosité dopté pou ce cs est définit p: Avec : Où : T ef exp E g T Te f Tef b m E : L énegie d ctivtion 3

114 tempétue dimensionnelle vitesse xile dimensionnelle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» g : L constnte des g pfits T éf : L tempétue de éféence : L viscosité C,4,35,3,5 Gf=5 - Gf= -,,5,,5, -,5,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue : Pofil de l vitesse xile pou deux vleus du nombe de Giffit G f,4,35,3,5,,5 Gf=5 - Gf= -,,5,,95,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 3: Pofil de l Tempétue pou deux vleus du nombe de Giffit G f L influence du nombe de Giffit su les pofils des vitesses et des tempetues est illustée Su les figues et 3 Nous emquons su ces deux figues que l'ugmenttion du nombe Giffit, G, conduit à une diminution de l vitesse xile et de l tempétue, cel est sns f 4

115 vitesse xile dimensionnelle viscosité ppente dimensionnelle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» doute due, d une pt, à une ugmenttion des fictions ente les difféentes couces coxiles de fluide et p conséquent une diminution de vitesse xile D ute pt, l ugmenttion du Nombe de Giffit pou ête vu comme une ugmenttion du coefficient d expnsion temique et donc une ugmenttion de l éct ente les pticules fluides et p conséquent une diminution de l tempétue Nous obtenons des ésultts qulittivement similies à ceux obtenus p d'utes uteus [77] viscosité de éféence =5 Ps viscosité de éféence =4 Ps 8 6 4,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 4: Pofil de l viscosité ppente pou deux vleus de l viscosité de efeences,4,35,3 viscosité de éféence=5 Ps viscosité de éféence=4 Ps,5,,5,,5, -,5,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 5: Pofil de l vitesse xile pou deux vleus de l viscosité de efeences Su les figues 4 et 5, nous illustons l influence de l viscosité de éféence du fluide su les pofils de l viscosité ppente et l vitesse xile On peut note à pti de ces gpes que l'ugmenttion de Ce pmète entîne une ugmenttion de l viscosité ppente et 5

116 viscosité ppente dimensionnelle vitesse xile dimensionnelle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» donc une ugmenttion du fottement ente les difféentes pticules fluides et p conséquent une diminution de l vitesse xile Nous obtenons des ésultts qulittivement similies à ceux obtenus p d'utes uteus [73], [75] et [76],55,5,45,4 m=7 m=6,35,3,5,,5,,5, -,5,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 6: Pofil de l vitesse xile pou deux vleus de l indice de compotement du fluide m 6 4 m=7 m= ,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 7: Pofil de l viscosité ppente pou deux vleus de l l indice de compotement du fluide m 6

117 tempétue dimensionnelle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions»,5,4,3, m=7 m=6,,,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 8: Pofil de l tempétue pou deux vleus de l l indice de compotement du fluide m L'influence de l'indice de compotement du fluide, m, su l vitesse xile, l viscosité ppente et l tempétue est illusté su les figues 6, 7 et 8 On note su l figue 7, losque ce pmète, m, psse de,6 à,7, l viscosité ppente ugmente le long de l diection dile de l conduite Ce ésultt est tout à fit noml puisqu une ugmenttion de et p l indice de compotement du fluide entine une ugmenttion de l viscosité T ef conséquent, d pès l expession de l viscosité ppente utilisée, une ugmenttion de cette denièe Ce ésultt est semblble à celui obtenu p d utes uteus tvillnt dns les mêmes conditions [83], [84] et [85] L'ugmenttion de l viscosité ppente est tduite espectivement su les figues 6 et 8 p une diminution de l vitesse xile et une ugmenttion de l tempétue Ceci peut ête expliqué p le fit que l viscosité ppente ugmente l fiction ente les pticules fluides et p conséquent conduit à une diminution de l vitesse et une ugmenttion de l tempétue Nous obtenons des ésultts qulittivement similies à ceux obtenus p d'utes uteus [83], [84] et [85] Cs : Écoulement des polymèes fondus en conduite igide (Fluide Non Netonien et compessible epésenté p le modèle Pseudo-plstique) L expession de l viscosité ppente utilisée dns ce cs est illustée p l eltion suivnte: E exp T Te f Où : 7

118 dimensionless tempetue dimensionless xil velocity Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» E : : L énegie d ctivtion L constnte des g pfits T éf : L tempétue de éféence : L viscosité C,5 Gf= 99 - Gf= 4 -,,5,,5,,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 9: Pofil de l vitesse xile pou deux vleus du nombe de Giffit G f,5 Gf= 99 - Gf= 4 -,,5,,95,9,85,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 3: Pofil de l tempétue pou deux vleus du nombe de Giffit G f 8

119 dimensionless tempetue dimensionless xil velocity Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» On emque su les figues 9 et 3 que l'ugmenttion du nombe du Giffit, Gf, conduit à une diminution de l vitesse xile du fluide et du pofil de tempétue Ce ésultt s explique, d une pt, p le fit qu une ugmenttion de ce nombe s ccompgne d une éduction des fottements ente les difféentes couces coxiles du fluide et donc une diminution du pofil des vitesses, d ute pt, une ugmenttion de ce nombe s ccompgne d une ugmenttion de l éct ente les pticules fluides et p conséquent une diminution du pofil des tempétues Nous obtenons des ésultts qulittivement similies à ceux obtenus p d'utes uteus [79] On note p illeus, en compnt les figues et 3 ux figues 9 et 3, que les pofils dns ce cs sont plus pboliques que dns le pemie cs 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 5, 4,5 4, 3,5 3,,5,,5,,5, -,5,,,4,6,8, dimensionless dius Bit= 44-3 Bit= Figue 3: Pofil de l vitesse xile pou deux vleus du nombe de Womesley,3 Bit= 44-3 Bit= 764-3,5,,5,,5,,95,9,85,,,4,6,8, dimensionless dius 9

120 dimensionless xil velocity Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» Figue 3: Pofil de l tempétue pou deux vleus du nombe de Womesley Su les figues 3 et 3est illusté l influence du nombe de Womesley, su le pofil de l vitesse xile et le pofil de l tempétue On peut note que l éduction de ce pmète, qui se tduit p pseudoplsticité plus mquée, est ccompgnée d'une éduction de l viscosité ppente qui implique une éduction des fictions ente les couces coxiles et, p conséquent, une ugmenttion des mplitudes de l vitesse xile et de l tempétue Nous obtenons des ésultts qulittivement similies à ceux obtenus p d'utes uteus [83] Cs 3: Écoulement des polymèes fondus en conduite igide (Fluide Non Netonien et compessible illusté p le modèle Pseudo-plstique temodépendnt) Dns ce cs, nous vons opté, fin de epésente l viscosité ppente du fluide, pou l utilistion du modèle de Sisko définie p [8] : Où : A, B et C sont des constntes d B expc T d,4,,,8,6 =L/4 Z=L/ Z=3L/4,4,, -,,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 33: Pofil de l vitesse xile dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel

121 dimensionless ppent viscosity dimensionless tempetue Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions»,6,4,, Z=L/4 Z=L/ Z=3L/4,8,6,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 34: Pofil de l tempétue dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel Z=L/4 Z=L/ Z=3L/ ,,,,,3,4,5,6,7,8 dimensionless dius Figue 35: Pofil de l viscosité ppente dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel Su les figues 33, 34 et 35 sont illustés les pofils de l vitesse xile, de l tempétue et de l viscosité ppente en fonction du yon de l conduite pou difféentes sections (=L/4, =L/ et =3L/4) On note su les figues 33 et 34 qu u fu et à mesue que le polymèe vnce dns l conduite les mplitudes de l vitesse xile dimensionnelle et de l tempétue dimensionnelle

122 dimensionless density Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» ugmentent Ceci peut s explique p le fit que le polymèe devient plus fondu et p conséquent les molécules se désencevêtent et glissent les unes su les utes plus fcilement impliqunt donc une élévtion de l vitesse xile et de l tempétue On constte su l figue 35 que l viscosité ppente dimensionnelle poce de l sotie de l conduite diminue Ce ésultt peut s explique p le fit que le polymèe est dns l étt fondu puisque s tempétue est gnde et p conséquent le tux de éticultion (le nombe de nœuds de éticultion du éseu tidimensionnel, p unités de volume de polymèe), est tès fible ce qui poduit à une diminution de l viscosité du polymèe P illeus, on note que l viscosité ppente ugment losqu on s ppoce de l poi de l conduite Ceci peut s intepéte que le polymèe se solidifie poce de l poi de l conduite,,,999999,999998,999997,999996,999995,999994,999993,99999,99999,99999,999989,999988, Z=L/4 Z=L/ Z=3L/4,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 36: Pofil de l msse volumique dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel

123 dimensionless ppent viscosity dimensionless se te Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions»,35,3,5,,5,,5 Z=L/4 Z=L/ Z=3L/4,,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 37: Pofil du tux de cisillement dimensionnel en fonction du yon dimensionnel Z=L/4 Z=L/ Z=3L/4 -,,,,4,6,8,,,4,6,8,, dimensionless se te Figue 38: Pofil de l viscosité ppente dimensionnelle en fonction du tux de cisillement dimensionnel Su l figue 36 est illusté le pofil de l densité volumique le long du yon dimensionnel de l conduite pou difféentes sections Le pssge de l étt solide à l étt fondu du polymèe entine une cute du module d Young et p conséquent, l densité volumique du polymèe vie tès peu et diminue losqu on s ppoce de l sotie de l conduite 3

124 dimensionless tempetue dimensionless xil velocity Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» L figue 37 monte le pofil du tux de cisillement en fonction du yon dimensionnel de l conduite pou tois difféentes sections (=L/4, =L/ et =3L/4) On note su cette figue que le tux de cisillement tteint son mximum à =4 Su l figue 38 est illusté le pofil de l viscosité ppente dimensionnelle en fonction du tux de cisillement On constte que losque le polymèe vnce dns l conduite l viscosité ppente dimensionnelle diminue vec l ugmenttion du tux de cisillement dimensionnel,6,4,,,8,6 t=t/4 t=t/ t=3t/4,4,, -,,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 39: Pofil de l vitesse xile dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel,6,4,, t=t/4 t=t/ t=3t/4,8,6,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 4: Pofil de l tempétue dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel 4

125 dimensionless ppent viscosity Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» 8 6 t=t/4 t=t/ t=3t/4 4 -,,,,,3,4,5,6,7,8 dimensionless dius Figue 4: Pofil de l viscosité ppente dimensionnelle en fonction du tux de cisillement Su les figues 39, 4 et 4 sont illustés les pofils de l vitesse xile dimensionnelle, de l tempétue dimensionnelle et de l viscosité ppente en fonction du yon dimensionnel de l conduite pou difféents instnts (t=t/4, t=t/ et t=3t/4) On constte su les figues 39 et 4 que losque le temps s écoule l vitesse xile et l tempétue diminuent Ce ésultt peut s explique p le fit que poce de l poi les tomes sont fiblement déplcés de leu position d équilibe et que les mouvements moléculies sont difficiles ce qui entine l diminution de l vitesse xile dimensionnelle et de l tempétue dimensionnelle Ce ésultt est qulittivement semblble à ceux obtenus p d utes uteus tvillnt dns des conditions similies [8], [83], [84], [85] Su l figue 4 on emque que l viscosité ugmente poce de l poi cel justifie qu il y solidifiction du polymèe dns cette égion 5

126 dimensionless density Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions»,,999998,999996, t=t/4 t=t/ t=3t/4,99999,99999,,,4,6,8, dimensionless dius Figue 4: Pofil de l msse volumique dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel Su l figue est illusté le pofil de l densité volumique en fonction du yon dimensionnel de l conduite pou tois difféents instnts On emque que poce de l poi l densité volumique dimensionnelle s ppoce de l unité cel nous indique que le polymèe peut ête considéé comme incompessible poce de l poi Cs 4: Écoulement des polymèes fondus en conduite élstique (Fluide Non Netonien et compessible epésenté p le modèle Pseudo-plstique temo-dépendnt) Le modèle de l viscosité dopté pou ce cs est définit p: Avec : E T ef exp T Te f Tef b m Où : 6

127 vitesse xile dimensionnelle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» E : : L énegie d ctivtion L constnte des g pfits T éf : L tempétue de éféence : L viscosité C,5,4,3 Gf=5 - Gf= -,,,,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 43 : Pofil de l vitesse xile pou deux vleus du nombe de Giffit Gf L figue 43 illuste le pofil de l vitesse xile pou deux vleus du nombe de Giffit, Gf On peut note que l éduction de ce pmète, qui se tduit p une pseudoplsticité plus mquée, est ccompgnée d'une éduction de l viscosité ppente qui implique une éduction des fictions ente les couces coxiles 7

128 viscosité ppente dimensionnelle vitesse xile dimensionnelle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions»,5,4,3, m=9 m=,,,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 44 : pofil de l vitesse xile dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel pou deux vleus de m 4 8 m=9 m= 6 4,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 45 : pofil de l viscosité ppente dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel pou deux vleus de m Les figues 44 et 45 montent les pofils de l vitesse xile dimensionnelle et de l viscosité ppente dimensionnelle pou deux vleus de l indice du fluide, m, on constte qu une ugmenttion de ce pmète entine une ugmenttion du fottement ente les pticules 8

129 tempétue dimensionnelle vitesse xile dimensionnelle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» fluides ce qui povoque l ugmenttion de l mplitude de l viscosité ppente et p conséquent une ugmenttion de l vitesse xile,6,5,4,3 3T/4 T/ T/4,,,,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 46 : pofil de vitesse xile dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel,5,4,3, 3T/4 T/ T/4,,,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 47 : pofil de tempétue dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel 9

130 viscosité ppente dimensionselle Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» T/4 T/ T/4 4,,,4,6,8, yon dimensionnel Figue 48 : pofil de viscosité ppente dimensionnelle en fonction du yon dimensionnel Su l figue 48 on emque que l viscosité diminue poce de l poi cel justifie que l élsticité de l poi empêce l solidifiction du polymèe dns cette égion Su les figues 46, 47 et 48 sont illustés les pofils de l vitesse xile dimensionnelle, de l tempétue dimensionnelle et de l viscosité ppente en fonction du yon dimensionnel de l conduite pou difféents instnts (t=t/4, t=t/ et t=3t/4) On constte su les figues 46 et 47 que losque le temps s écoule l vitesse xile et l tempétue ugmente Ce ésultt peut s explique p le fit que poce de l poi élstique les tomes sont fotement déplcés de leu position d équilibe et que les mouvements moléculies sont fciles ce qui entine l diminution de l vitesse xile dimensionnelle et de l tempétue dimensionnelle sous l effet de l élsticité de l poi Ce ésultt est qulittivement semblble à ceux obtenus p d utes uteus tvillnt dns des conditions similies [8], [83], [84], [85] Su l figue 48 on emque que l viscosité diminue poce de l poi cel justifie que l élsticité de l poi empêce l solidifiction du polymèe dns cette égion 3

131 Modélistions Téoique et Numéique des Polymèes Fondus en Conduites Défombles «Cpite IV : ésultts et Discussions» Figue 49 : Pofil de l vitesse xile en fonction du temps et du yon dimensionnel Figue 5 : Pofil de l Tempétue en fonction du temps et du yon dimensionnel Su les figues 49 et 5 sont illustés les pofils des vitesses xiles et des tempétues simultnément en fonction du temps et de l vible dile Su les deux figues, on emque que les pofils des vitesses et des tempétues sont pboliques p ppot à l vible dile et tteignent leus mximums su l xe de l conduite On emque ussi que p ppot à l vible temps, losque les vitesses ugmentent, à cuse des diminutions des fottements, les tempétues elles diminuent Nous obtenons des ésultts qulittivement similies à ceux obtenus p d'utes uteus [83], [84], [85] 3