Partie II TEMPERATURES DANS LE REACTEUR

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1 Spé y Devoir n 2 THERMODYNAMIQUE Ce problème étudie quelques aspects des phénomènes intervenants dans une centrale nucléaire de type Réacteur à Eau Pressurisée (ou PWR en anglais) qui est le modèle le plus répandu en France. Les données numériques correspondent au modèle de puissance 900 MW, qui équipe de nombreuses centrales (par exemple à Saint Laurent des Eaux et à Dampierre en Burly). Le schéma de principe de l installation est le suivant : 1 barres de contrôle 2 cœur 3 cuve 4 pressuriseur 5 pompe primaire 6 échangeur de chaleur 7 turbine 8 condenseur 9 eau de refroidissement 10 alternateur 11 rotor 12 stator 13 transformateur 14 vers le réseau haute tension (380 kv) Les parties sont indépendantes et l ordre de leur présentation dans l énoncé ne préjuge pas de leur difficulté relative. Cependant, il devra en être abordée au moins une à choisir entre I et II, et une à choisir entre III et IV. L ordre de grandeur du barême provisoire est le suivant : I sur 3,5 points, II sur 7,5 points, III sur 3,5 points et IV sur 5,5 points. Partie I DIFFUSION DE NEUTRONS On étudie la diffusion unidirectionnelle de neutrons dans un barreau de d uranium enrichi cylindrique d axe Ox et de section droite d aire S, s étendant entre les abscisse x = 0 et x = L et l on note n(m, t) le nombre de neutrons par unité de volume. Cette diffusion satisfait à la loi de Fick, soit r r J x t D n x t N (, ) = (, ) ux, avec un coefficient de diffusion D = 22 m 2.s -1, x Spé y page 1/6 Devoir n 2

2 D autre part, du fait de réactions nucléaires entre les neutrons et les noyaux fissiles d uranium, des neutrons sont produits dans le matériaux pendant que d autres sont absorbés. Globalement, il se crée plus de neutrons qu ils n en disparaît: ainsi, dans un élément quelconque de volume δτ(m) pendant une durée dt, il apparaît une quantité δn P = K n(m, t) δτ(m).dt neutrons, où K = 3, s -1 est une constante positive homogène à l inverse d un temps et caractéristique des réactions nucléaires. On admet en première approximation que J N doit s annuler à tout instant aux extrémités du cylindre en x = 0 et x = L. En revanche on supposera que J N (x, t) ne s annule pas à l intérieur du cylindre. I-1) Établir l équation aux dérivées partielles dont n(x, t) est solution. I-2) Déterminer n(x) à une constante multiplicative près en régime stationnaire. Montrer que ce régime n est possible que pour une valeur particulière L S de L. Calculer L S. I-3-a) En régime quelconque, chercher n(x, t) à une constante multiplicative près sous la forme n(x, t) = h(x).g(t). b) En déduire que n(x, t) diverge si L est supérieur à une valeur critique L C que l on explicitera et que l on calculera. Interpréter physiquement ce cas. Dans un réacteur nucléaire à neutrons lents, on utilise un composant modérateur (eau ordinaire, eau lourde ou graphite) qui absorbe certains neutrons avant qu ils ne provoquent de nouvelles réactions ce qui permet d augmenter la taille des barreaux utilisés. Une valeur typique est de 3 mètres. Partie II TEMPERATURES DANS LE REACTEUR Dans un réacteur nucléaire, un fluide caloporteur (par exemple l eau liquide sous pression du circuit primaire dans un système REP) évacue l énergie produite par les réactions nucléaires dans les barreaux combustibles. Sur un exemple simplifié nous allons évaluer la température maximale atteinte par le combustible en régime stationnaire. Le combustible est sous forme de crayon cylindrique de rayon b 0 et le longueur L. Chaque barre est refroidie par une circulation d eau liquide sous pression dans un espace annulaire entourant la barre (figure ci-dessous). La gaine extérieure a un rayon b 1. T E (x) EAU A T 1 EAU A T 2 x x + dx r b 0 b 1 BARRE DE COMBUSTIBLE EAU A T 1 T E (x) EAU A T 2 La température d entrée de l eau est T 1, sa température de sortie T 2, sa vitesse d écoulement v, sa masse volumique ρ, sa chaleur massique c. On suppose la chaleur massique c indépendante de la température et de la pression. II-1) La puissance thermique φ e évacuée par l eau est égale à 67 kw par crayon. Spé y page 2/6 Devoir n 2

3 a) Compte tenu des valeurs de T 1 ett 2 indiquées ci-dessous, pourquoi l eau est - elle sous pression (environ 155 bar) dans tout le circuit primaire? b) Une autre technique consiste à utiliser comme fluide caloporteur de l eau à une pression plus réduite, inférieure à la pression de vapeur saturante de l eau à 323 C. Quels peuvent être les avantages et inconvénients de ce type de réacteur? c) Exprimer en fonction de c, T 1, T 2 et φ e le débit massique D M de l eau permettant d évacuer la puissance thermique indiquée pour un crayon. (On rappelle que la masse δm qui traverse la section S pendant δt est δm = D M δt). En déduire la vitesse v d écoulement de l eau en fonction de ρ, b 1, b 2 et D M. Calculer numériquement ces valeurs. Données :T 1 = 286 C; T 2 = 323 C; L = 3,0 m; b 1 = 5,32 mm; b 0 = 4,75 mm; ρ = 1000 kg.m -3 ; c = 4180 J.kg -1.K -1. La documentation technique indique qu un réacteur du type étudié contient 157 assemblages de 264 crayons chacun. La puissance thermique délivrée par le réacteur est de 2775 MW et le débit volumique total d eau circulant dans le circuit primaire de m 3.h 1. II-2) L énergie produite est liée au flux de neutrons dans la barre c est à dire au nombre de neutrons passant par unité de temps à travers la section de la barre de combustible. On admet que ce flux de neutrons est réparti le long de la barre de combustible selon la loi: F HG I K J. Ce flux J N est indépendant de la distance r à l axe. Le flux d énergie J N (x) = J 0 sin πx L thermique produit est proportionnel à ce flux de neutrons. Il est évacué à la périphérie de la barre dans l eau. Pour une tranche d épaisseur dx, il peut s écrire : dφ e (x) = A. sin πx L est une constante que l on va déterminer en fonction des données. a) On admet que dans l eau, la température T E ne dépend que de x. En étudiant le bilan thermique d une masse δm passant de x à x + dx, montrer que : F I HG K J. T E (x) = T 0 + α.a.cos πx L F HG I K J.dx ; A Déterminer α, T 0 et A en fonction de L, φ e, T 1 et T 2. b) On note T P (x) la température de surface de la barre de combustible en contact avec l eau. L échange thermique entre l eau et le combustible est caractérisé par un coefficient d échange h tel que : dφ = h. T P T E.dS où ds est la surface latérale de la tranche d épaisseur dx de combustible en contact avec l eau. On donne: h = 10 5 W.m -2.K -1. Exprimer la température de surface T P (x) de la barre du combustible en contact avec l eau. c) T P (x) est maximale pour une abscisse x M. Calculer x M et T P (x M ). II-3) Pour déterminer la répartition de la température T(r, x) dans la barre du combustible, on admet que l énergie produite dans le combustible par les réactions nucléaires est évacuée essentiellement radialement par conduction thermique. La conductivité thermique λ du matériau combustible est λ = 2,8 W.m -1 K -1, indépendant de la température. L énergie produite par unité de volume dépend de x (voir question précédente) mais pas de r. On considère une tranche cylindrique de combustible de rayon r, d épaisseur dx, ayant pour axe celui de la barre de combustible. a) Exprimer, à partir de la loi de Fourier, le flux de puissance thermique traversant la surface latérale du cylindre élémentaire ainsi défini. Spé y page 3/6 Devoir n 2

4 b) Exprimer l énergie produite par unité de temps dφ(r, x) dans le cylindre élémentaire, en fonction de r, b 0 et dφ e (x). b) Montrer que T(r, x) satisfait à une équation différentielle de la forme : 1 T( r, x) F πx = E sin r r H G I L K J où E est une constante à déterminer. c) Déterminer T(r, x). d) Montrer que sur l axe du cylindre, la température T(0, x) atteint une valeur maximale T M en x = x M que l on déterminera. e) Calculer numériquement x M et T M. II-4) Discuter les différentes approximations utilisées. Que pensez-vous des résultats obtenus? Le matériau combustible est du dioxyde d uranium UO 2 ; il a une faible conductivité thermique mais sa température de fusion est élevée (2800 C) Partie III: RENDEMENT DE LA CENTRALE Le fluide caloporteur F 0 du circuit primaire passe par un échangeur thermique où il vaporise l eau du circuit secondaire F 1. Cette vapeur entraîne la turbine de l alternateur produisant l énergie électrique. L'eau issue de la turbine est à l'état de vapeur, le rôle du condenseur est de faire passer l'eau de l'état vapeur à l'état liquide. Le fluide F 0 sort du réacteur nucléaire à pression constante p et à la température T 2. Il est envoyé, dans ces conditions, dans l échangeur puis il en sort à la température T 1 et est renvoyé dans le réacteur, sa pression restant égale à p durant tout le cycle. On raisonnera sur une masse du fluide F 0 égale à 1 kg. La chaleur massique de l eau est c indépendante de la température et de la pression. 1) Calculer la quantité de chaleur q 1 cédée par 1 kg de fluide F 0 au fluide F 1, en admettant que la quantité de chaleur perdue par F 0 est entièrement reçue par F 1. 2) On suppose, pour simplifier, que le fluide F 1 effectue un cycle réversible entre l'échangeur (source chaude) et une source froide à la température constante T 0. a) Calculer le travail W 1 reçu par F 1 lorsqu'il reçoit la quantité de chaleur q 1. b) Comme T 2 est voisin de T 1, on peut écrire T 2 = T 1 + T avec T << T 1. Quelle est alors l expression de W 1 en fonction de c, T, T 0 et T 1? Quel est son signe? 3-a) Comment faut-il choisir T 1 pour que W 1 soit maximal, les températures T 2 et T 0 étant fixées? Calculer la valeur numérique T 1M de T 1 correspondante pour les valeurs de T 0 =27 C et T 2 = 324 Cs. b) Quel serait l expression du travail W MAX maximal obtenu par kilogramme de fluide F 0 si la valeur de T 1M était obtenue? c) Exprimer la quantité de chaleur q 1 cédée par kilogramme de fluide F 0 à la source froide. Spé y page 4/6 Devoir n 2

5 WMAX d) Exprimer le rendement thermique de l'opération RTH =, Q désignant Q la quantité de chaleur totale qu'on pourrait retirer du fluide F 0 en le refroidissant de la température T 2 à la température T 0 sous pression constante. Calculer sa valeur numérique. Dans une centrale, on utilise trois échangeurs thermiques dans le circuit primaire. Le rendement atteint alors 30%. Partie IV TOUR DE REFROIDISSEMENT Une tour de refroidissement sert à refroidir l eau venant du condenseur. Cette eau chaude est pulvérisée à une certaine hauteur dans la tour et tombe en pluie dans un bassin à la base de celle-ci. Elle se refroidit au contact de l air atmosphérique qui circule de bas en haut en se réchauffant et en se chargeant en humidité. On considère le fonctionnement en régime permanent, avec les conditions suivantes : en (1), l eau liquide arrive à la température θ 1 = 35 C, sous la pression p 0 (p 0 = 10 5 Pa) avec un débit massique D 1 ; en (2), l eau liquide sort à la température θ 2 = 15 C, sous la pression p 0, avec un débit massique D 2 (D 2 < D 1 car une partie de l eau s est vaporisée) ; H2O 3 S3 l air atmosphérique pénètre en (3) à la base de la tour, à la température θ 3 = 12 C ; il est légèrement humide, c est-à-dire que la pression partielle de la vapeur d eau vaut p = r. p où r 3 est le taux d humidité (avec r 3 = 0,4) et p S3 est la pression de vapeur saturante de la vapeur d eau à la température θ 3 ; la pression totale de cet air humide est p 0 ; cet air ressort en (4) à la température θ 4 = 25 C avec un taux d humidité r 4 = 0,9 (c est-à-dire p' = r. p ) sous la pression totale p 0. H2O 4 S4 Ce courant d air humide est caractérisé par un débit d air sec noté q 0. 4 GRILLES 1 ARRIVEE DE L EAU DE REFROIDISSEMENT (CHAUDE) 3 AIR ATMOS- PHERIQUE 2 EAU REFROIDIE On néglige les variations d énergie cinétique dans les écoulements. Spé y page 5/6 Devoir n 2

6 L air sec est considéré comme un gaz parfait diatomique (γ = 7 ) de masse molaire 5 M AIR = 29 g.mol 1. La vapeur d eau sera, si nécessaire, assimilée à un gaz parfait, de masse molaire M EAU. IV-1) Le mélange air sec et vapeur d eau constituant l air humide peut être considéré comme un mélange idéal. On note D VAP3 (resp D VAP4 ) le débit massique de la vapeur d eau à la base de la tour (resp au sommet). a) Écrire la relation entre la pression partielle de l air sec (notée p A ), p 0, r et p S à la base ou au sommet de la tour. ri ps M i EAU b) En déduire que, en ces deux points, on a DVAP = q q i 0 = α i 0. p r p M c) Calculer numériquement α 3 et α 4. d) En écrivant la conservation de la masse de l eau présente dans la tour entre t et t + dt, trouver une relation entre D 1, D 2, α 3, α 4 et q 0. IV-2) On note h L (θ), h V (θ) et h A (θ) respectivement les enthalpies massiques de l eau liquide, de l eau vapeur et de l air sec. a) Étudier la variation d énergie interne d une masse δm d air humide passant de la base au sommet de la tour. On pourra noter δq l échange thermique reçu par δm. En déduire une relation contenant, entre autres, h A (θ 4 ), h A (θ 3 ), h V (θ 4 ) et h V (θ 3 ). b) Étudier de même la variation d énergie interne d une masse δm d eau liquide entre les états (1) et (2). En déduire une relation contenant, entre autres, h L (θ 2 ) et h L (θ 1 ). c) En étudiant la variation d enthalpie du système de deux masses δm + δm correspondant à la même durée dt, établir une relation entre D 1, D 2, q 0, α 3, α 4, h L (θ 1 ), h L (θ 2 ), h V (θ 3 ), h V (θ 4 ), h A (θ 3 ) et h A (θ 4 ). d) En déduire l expression de l énergie thermique transmise par unité de temps à l atmosphère par l eau de refroidissement. On la notera P TH et on l exprimera en fonction de q 0, α 3, α 4, h V (θ 3 ), h V (θ 4 ), h A (θ 3 ) et h A (θ 4 ). IV-3) On donne P TH = 2000 MW. a) Calculer la valeur numérique de h A (θ 4 ) h A (θ 3 ). b) Calculer numériquement les débits q 0, D 1 D 2 et D 1. Commenter les valeurs obtenues. Données : pression de vapeur saturante de la vapeur d eau : à θ 3 = 12 C, p S3 = 1382 Pa ; à θ 4 = 25 C, p S4 = 3124 Pa. enthalpies massiques de l eau (liquide ou vapeur) θ (en C) h L (en kj.kg 1 ) h V (en kj.kg 1 ) 12 C 2523,0 15 C 62, ,6 25 C 2546,8 35 C 146, ,9 0 i Si AIR Spé y page 6/6 Devoir n 2

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