Détection de l encrassement dans un échangeur de chaleur par observateurs de type Takagi-Sugeno

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1 Déteton de l enrassement dans un éangeur de aleur par observateurs de type akag-sugeno Sabrna Delrot o te ts verson: Sabrna Delrot. Déteton de l enrassement dans un éangeur de aleur par observateurs de type akag-sugeno. Autre. Unversté de Valenennes et du Hanaut-Cambress,. Franças. <NN : VALE>. <tel-7393> HAL Id: tel-7393 ttps://tel.arves-ouvertes.fr/tel-7393 Submtted on 5 Ot HAL s a mult-dsplnary open aess arve for te depost and dssemnaton of sentf resear douments, weter tey are publsed or not. e douments may ome from teang and resear nsttutons n Frane or abroad, or from publ or prvate resear enters. L arve ouverte plurdsplnare HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de douments sentfques de nveau reere, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de reere franças ou étrangers, des laboratores publs ou prvés.

2 èse de dotorat Pour obtenr le grade de Doteur de l Unversté de VALENCIENNES E DU HAINAU-CAMBRESIS Spéalté Automatque Présentée et soutenue par Sabrna, DELRO. Le 4/6/, à Valenennes Eole dotorale : Senes Pour l Ingéneur (SPI) Equpe de reere, Laboratore : Laboratore d Automatque, de Méanque et d Informatque Industrelles et Humanes (LAMIH) Déteton d'enrassement dans les éangeurs termques par observateurs de type akag-sugeno Présdent du jury - Guerra, erry Mare. Professeur, Unversté de Valenennes et du Hanaut Cambréss. JURY Rapporteurs - Guelton, Kevn. Maître de Conférenes HdR, Unversté de Rems. Examnateurs - Guerra, erry Mare. Professeur, Unversté de Valenennes et du Hanaut Cambréss. Dreteurs de tèse - Dambrne, Mel. Professeur, Unversté de Valenennes et du Hanaut Cambréss. - M'Saad, Moammed. Professeur, Eole Natonale Supéreure d'ingéneurs de CAEN. - Busawon, Krsna. Doteur, Unversté de Nortumbra. - Co-dreteur de tèse : Delmotte, Franços. Professeur, Unversté d'artos.

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4 Remerements Lors de ette tèse j'a eu l'oason de renontrer beauoup de personnes que je tens à remerer tout partulèrement. out d'abord je tens à remerer Kevn Guelton Professeur au CReSIC ans que Moammed M'Saad Professeur au GREYC qu ont aepté de rapporter ma tèse. Je remere également erry-mare Guerra Professeur et dreteur du LAMIH ans que Krsna Busawon Professeur à l'unversté de Nortumbra qu ont aepté de fare parte du jury et qu ont partpé à la problématque de ma tèse. Je remere ben entendu les membres de l'équpe ASHM du LAMIH dont je fas parte ave tout partulèrement mes dreteurs de tèse, Mel Dambrne et Franços Delmotte sans qu je ne seras pas là pour érre es mots. Je remere auss le pro du mode glssant Moamed Djema ans que Jmmy Lauber qu s'est HDRsé, Sébasten Delprat et son véule ybrde, Mkael Delfoort le derner matre de onférene arrvé, Antone Dequdt qu garde toujours le sourre et Laurent Vermeren le premer à m'avor fat déouvrr l'automatque lors de mon ursus unverstare. Passons aux doteurs et dotorants. Commençons par les doteurs, Mlka et sa légendare bonne umeur et eux qu sont parts avant mo Elad, Hem et Souad égale à elle-même et le derner doteur de l'équpe Sam, et les dotorants Doudou, Clément, Vet, Abdelafd et ben sûr tout eux que je n'a pas té. Je tens à remerer auss le professeur Sylvan Lalot pour m'avor fourn les données de l'éangeur termque. Je voudras rajouter mes "vosns et vosnes de bureau" fasant parte de l'équpe de boméanque qu mettaent de la bonne umeur. Je tens pour fnr à remerer ma famlle et mes ams. out partulèrement mon mar qu m'a soutenu tout au long de e traval et notre pett garçon Clément qu lu, est arrvé en ours de route et a ms de la joe dans e long parours. Et je rajoute Pernelle et Séb qu m'ont motvé pour ommener ette tèse et me soutenaent régulèrement par mal. Enfn, je remere tous eux que je n'a pas tés et qu m'ont soutenu ou qu ont ontrbué à la fnalté de ette tèse.

5 Sommare ABCD NOAIONS... 5 INRODUCION GENERALE... 6 CHAPIRE. ENCRASSEMEN E ECHANGEUR HERMIQUE INRODUCION.... GENERALIES SUR LES ECHANGEURS DE CHALEUR E ENCRASSEMEN..... Le prnpe de fontonnement..... Dfférents types d'éangeurs termques L'enrassement MODELISAION D UN ECHANGEUR HERMIQUE Modèle ave une seton Modèle général Améloraton du modèle et prse en ompte de l enrassement Coeffent de transfert termque global Effet de l enrassement sur les paramètres du modèle Modèle de l éangeur retenu....4 CONCLUSION... 4 CHAPIRE. UN BREF EA DE L'AR SUR L'OBSERVAION DES SYSEMES DYNAMIQUES INRODUCION OBSERVABILIE Défntons est d observablté loale fable QUELQUES RAPPELS SUR LES OBSERVAEURS OBSERVAEURS DE YPE AKAGI-SUGENO Généraltés sur les modèles flous de type akag-sugeno Construton d'un modèle akag-sugeno Cas d'une seule non-lnéarté Cas général Les observateurs de type akag-sugeno ave prémsses mesurables Les observateurs de type akag-sugeno ave prémsses non mesurables Les observateurs à entrées nonnues CONCLUSION CHAPIRE 3. BAERIE D OBSERVAEURS INRODUCION PRINCIPE APPLICAION A L'ECHANGEUR HERMIQUE Représentaton sous forme akag-sugeno de l éangeur de aleur Syntèse de l observateur Battere d'observateurs SIMULAIONS Battere de 6 observateurs sur le modèle à deux setons Battere de 6 observateurs ave le système de dmenson nfne Varaton du nombre d'observateurs Fateur d'enrassement CONCLUSION CHAPIRE 4. LES OBSERVAEURS FLOUS POLYNOMIAUX INRODUCION OBSERVAEUR FLOU POLYNOMIAL Modèle flou polynomal Polynômes sommes de arrés

6 Sommare Observateur flou polynomal Cas d un système nomnal Cas d un système nertan APPLICAION A L ECHANGEUR HERMIQUE Modèle polynomal flou nertan Observateur Résultats Syntèse de l observateur Smulatons CONCLUSION... 8 CHAPIRE 5. OBSERVAEURS FLOUS S A ENREES INCONNUES INRODUCION OBSERVAEUR FLOU DE YPE S AVEC PERURBAIONS Construton de l observateur S ave perturbatons Prse en ompte de performane par plaement de pôles Applaton à l éangeur termque RESULAS OBENUS Smulaton sur le modèle à deux setons Smulaton sur le modèle de dmenson nfne CONCLUSION CONCLUSION GENERALE... LISE DES FIGURES E ABLEAUX... RÉFÉRENCES PERSONNELLES... 3 ANNEXE

7 Notatons EBCBD, n empérature du flude aud en entrée de l'éangeur termque ( C), n empérature du flude frod en entrée de l'éangeur termque ( C), empérature du flude aud de la premère seton de l'éangeur ( C), empérature du flude frod de la premère seton de l'éangeur ( C), empérature du flude aud de la deuxème seton de l'éangeur ( C), empérature du flude frod de la premère seton de l'éangeur ( C) m Débt massque du flude aud en entrée de l'éangeur termque (kg.s - ) m Débt massque du flude frod en entrée de l'éangeur termque (kg.s - ) * τ Paramètre onstant dépendant du système partuler (s) * τ Paramètre onstant dépendant du système partuler (s) * α * β R f Paramètre relatf à l'enrassement Paramètre relatf à l'enrassement Fateur d'enrassement A Are de surfae d éange termque du flude frod (m²) A Are de surfae d éange termque du flude aud (m²) Capatés termques massques du flude frod (J kg - K - ) Capatés termques massques du flude aud (J kg - K - ) M Masse du flude aud dans l éangeur (kg) M Masse du flude frod dans l éangeur (kg) U Coeffent de transfert termque global (W/m.K) Coeffent de transfert termque du oté aud de l'éangeur (W/m.K) Coeffent de transfert termque du oté frod de l'éangeur (W/m.K) 5

8 Introduton générale FBBDCD Le pénomène d enrassement dans les éangeurs termques est un sujet d atualté. En effet, l enrassement résulte de la boue ausée par des suspensons nsolubles, de la roulle ausée par la orroson et pour fnr d'un dépôt (du tartre). out e, s l est prs à temps, peut être nettoyé à mondre oût. On ne peut pas se permettre non plus une fréquene de nettoyage trop grande, ela augmenterat les oûts de produton des usnes par des pertes de produtons dues aux arrêts néessares au nettoyage ou par une augmentaton des oûts d entreten. Mas à l nverse, s on ne prend pas en ompte le pénomène d enrassement dans les éangeurs termques, l y aura une augmentaton des pertes énergétques, une ausse de la onsommaton de l eau, de l életrté et de arburant - e qu apportera auss un mpat sur l envronnement dû à une augmentaton de CO². Mas pour des gros éangeurs termques où l aessblté est rédute l est dffle de savor s elu- est enrassé ou non. En effet, les métodes utlsées le plus ouramment pour déteter l'enrassement reposent sur l utlsaton de apteurs spéfques souvent oûteux et ne permettant qu une déteton loalsée, sur la mesure de la varaton de masse de l éangeur ou de l effaté de l éangeur à travers le oeffent de transfert es deux dernères métodes exgeant des ondtons de fontonnement très partulères : l arrêt pour la premère et un fontonnement en régme permanent pour la seonde. Ces métodes se révèlent don restrtves et oûteuses D où le sujet de la tèse qu rentre en jeu et qu onsste à déteter l enrassement dans les éangeurs termques suffsamment tôt pour mettre en plae un système d entreten. Il exste de nombreuses métodes permettant la déteton de défauts telles que des tenques de reonnassanes de formes, de lassfaton ou enore des tenques néesstant un modèle du proessus. C'est ette dernère métode que nous allons développer par l'ntermédare d'observateurs non lnéares. La tèse onsste à onevor des tenques de déteton de l'enrassement dans des éangeurs termques basées sur le développement d'observateurs non lnéares. Dfférentes strutures d observateurs seront défnes afn de pouvor observer la varaton de deux paramètres aratérsant l état d enrassement à partr de la onnassane unquement des débts ans que des températures en entrée et en sorte de l éangeur termque. Par la même oason, es observateurs permettront d estmer l état du système (températures nternes de l éangeur). 6

9 Introduton générale Nous verrons dans le premer aptre le prnpe de fontonnement d un éangeur termque ans qu'une lassfaton des éangeurs de aleur ave leurs dfférents modes de transfert. Des types d enrassements seront abordés ans que leurs effets non désrables. L éangeur tubulare à ontre ourant sera modélsé afn de pouvor l utlser par la sute et répondre à la problématque. Le aptre, quant à lu, onsste en un état de l'art des prnpaux types d'observateurs exstants pour des systèmes lnéares ou non lnéares. Pour ommener la noton d'observablté est abordée dans e aptre. Pus un réaptulatf sur les observateurs est présenté en ommençant par les métodes les plus smples développées dans le adre des systèmes lnéares pour ontnuer vers des métodes plus omplexes applables aux as non lnéares telles que la prse en ompte de perturbatons ou d'entrées nonnues. Ce aptre onsare une grande parte aux observateurs de systèmes non lnéares en passant par un modèle de type akag-sugeno qu a une part mportante pour ette tèse. Les tros aptres suvants présenteront des métodes pour la déteton d enrassement à travers dfférentes métodes d observateurs se basant sur un modèle de akag-sugeno. Pour es tros aptres, des tests de valdaton par smulaton sont réalsés. Une premère smulaton sera effetuée sur le modèle smplfé vu au aptre et une deuxème smulaton sera fate à partr du modèle pysque, sous forme de dérvées partelles, valdé expérmentalement. Le aptre 3 présente une premère métode basée sur les observateurs de type akag-sugeno. Étant donné que pour notre modèle de l éangeur termque, un observateur lassque de type akag-sugeno n est pas possble (dû à un ertan nombre de non-lnéartés et d nonnues), le problème a été ontourné en mettant en œuvre une battere d observateurs. L'estmaton des paramètres relatfs à l'enrassement est effetuée par nterpolaton. La métode de ette battere d'observateur est détallée en premère parte. Pour ontnuer ave l'applaton de ette métode adaptée au modèle de l'éangeur termque. Une trosème parte montrera les résultats de smulatons ans que l'nfluene du nombre d'observateurs dans la battere. Un observateur polynomal de type akag-sugeno est réé au aptre 4. Le prnpe est le même qu un observateur lassque mas toutes les matres utlsées seront polynomales. Les solveurs de LMIs renontrant de nombreux problèmes numérques, l ntérêt de travaller ave des polynômes revent à smplfer l érture du modèle en rédusant le nombre de non-lnéartés qu dovent être déomposées dans l approe de déoupage par seteurs non lnéares. Les polynômes postfs sont don réért sous forme de 7

10 Introduton générale somme de arrés (ou SOS pour Sum Of Squares ), e qu permet de trouver des solutons numérques plus falement et rédut le onservatsme lé à l approe lassque par modèle de akag-sugeno. De plus, un ertan nombre de ontrantes peuvent être ajoutées aux problèmes SOS e qu permet de rajouter toutes les onnassanes telles que les bornes. Nous verrons la résoluton de système non lnéare dans le as ertan mas auss de système non lnéare dans le as nertan. Pour fnr au aptre 5, nous avons applqué une métode d observateur de type akag-sugeno en onsdérant les termes affetés par les paramètres d'enrassement omme des entrées nonnues Ans une approe d'observateurs à entrées nonnues se basant sur l'emplo d'un modèle dynamque de es entrées nonnues est utlsée pour reonstrure l'état ans que les perturbatons. La métode de D-stablté omplétera l observateur afn de pouvor agr sur les performanes dynamques de l observateur. Enfn, pour onlure, nous verrons un tableau omparatf des dfférentes métodes exstantes et elles que nous avons développées dans le adre de ette tèse et termnerons sur quelques perspetves onernant e projet. 8

11 Enrassement et éangeur termque CD CDDCD D. INRODUCION.... GENERALIES SUR LES ECHANGEURS DE CHALEUR E ENCRASSEMEN..... Le prnpe de fontonnement..... Dfférents types d'éangeurs termques L'enrassement MODELISAION D UN ECHANGEUR HERMIQUE Modèle ave une seton Modèle général Améloraton du modèle et prse en ompte de l enrassement Coeffent de transfert termque global Effet de l enrassement sur les paramètres du modèles Modèle de l éangeur retenu....4 CONCLUSION

12 Enrassement et éangeur termque DFBBD Dans e aptre, nous allons aborder l'éangeur termque et le pénomène d'enrassement. En premer leu, nous aborderons le dspostf de l'éangeur termque, son prnpe de fontonnement et les dfférents éangeurs termques exstants. Nous détallerons ensute le pénomène de l'enrassement et terons les dfférents aspets ndésrables de l'enrassement pour un éangeur termque, e qu nous amènera à l'mportane de la déteton d'enrassement dans les éangeurs termques. La modélsaton pysque de l'éangeur y sera ensute exposée. DCDDDCDDCDDCD DDDDBBD Un éangeur de aleur est un dspostf permettant la réupératon de l'énerge termque d'un flude par un autre. Le flux termque traverse la paro de séparaton des dfférents fludes. En effet, la aleur peut être aratérsée omme un transfert d'énerge d'un système à un autre dû à une dfférene de température (Cengel ). Selon la deuxème lo de la termodynamque, e transfert d'énerge s'effetue de la température la plus mportante vers la plus fable. Il s'arrête don lorsque les deux mleux sont de températures dentques. La aleur peut être transférée par tros modes dfférents : la onduton, la onveton et le rayonnement. - La onduton est un mode de transfert de aleur dû à une dfférene de température entre deux mleux en ontat. A l nverse de la onveton l s'effetue sans déplaement global de matère. C'est le transfert d'énerge des partules les plus énergétques aux partules les mons énergétques qu leur sont adjaentes. La onduton peut s'effetuer dans les soldes, les lqudes ou les gaz. La grandeur pysque aratérsant le omportement des matéraux lors de e pénomène est la ondutvté termque. Dans les éangeurs termques, la onduton apparaît prnpalement dans la paro séparant les deux fludes. Cette paro est généralement métallque et de fable épasseur, elle a don une résstane termque fable. - La onveton s'effetue par un déplaement de matère dans le mleu. C'est le transfert d'énerge entre une surfae solde et un lqude ou un gaz adjaent. C'est le mode le

13 Enrassement et éangeur termque plus mportant pour les éangeurs de aleur mas auss le plus dffle à estmer, l dépend du type de flude, des vtesses et du type de l'éangeur. - Le rayonnement est un transfert d'énerge sous forme d'ondes életromagnétques résultant des angements dans les onfguratons életronques des atomes ou des moléules. Au nveau des éangeurs termques, 'est le mons prépondérant des modes de transfert termque, néanmons l n'est pas néglgeable lors de ertanes applatons telle qu'une audère ave brûleur. Les éangeurs termques sont utlsés dans un grand nombre d'applatons. Vo une pette lste où l'on peut trouver es éangeurs de aleur : système à ar ondtonné d'un abtat, radateurs de voture, planers auffants, audères, dstllere, réauffement d une psne, entrale termque... Le fat d avor une paro qu sépare les fludes permet à eux- de ne pas se mélanger et, ans, l un des fludes pourra, suvant l applaton, subr un angement d'état (ondensaton, vaporsaton, ébullton). Les éangeurs permettent auss de réauffer ou refrodr un lqude ou un gaz lorsque ette opératon ne peut s effetuer dretement (par exemple : l'eau d'un rut de refrodssement d'une entrale nuléare). DDDCDD On peut lassfer les éangeurs termques selon le sens de l éoulement des fludes. On dstngue alors les éangeurs - à ourants parallèles : les deux fludes rulent parallèlement et vont dans le même sens (Fgure -) - à ontre-ourants : les deux fludes rulent parallèlement mas vont dans le sens opposé (Fgure -). - à ourants rosés : les deux fludes rulent perpendularement. - à tête d'épngle : un des fludes fat dem-tour dans un ondut plus large tands que le deuxème le traverse. On peut onsdérer que ela orrespond à un ourant parallèle sur une moté de la dstane de l'éangeur et sur l'autre moté à un ontre-ourant. - à ontat dret ou à mélange : les deux fludes sont ms en ontat, (tour de refrodssement, par exemple). On peut également les lasser selon leurs géométres :

14 Enrassement et éangeur termque - Eangeurs à tubes : et éangeur étant le plus smple, l est omposé d'un tube à l'ntéreur d'un autre tube où des fludes traversent les deux tubes. Les deux types de déplaement à ourant parallèle ou à ontre-ourant exstent. (f. Fgure - et Fgure -). Fgure - : Eangeur à tube à ourant parallèle (Cengel ) Fgure - : Eangeur à tube à ontre ourant (Cengel ) - Eangeurs ompats : es éangeurs sont abtuellement à ourants rosés, les mouvements des deux fludes sont perpendulares l'un à l'autre. Nous en retrouvons dans les radateurs de votures (f. Fgure -3). Fgure -3 : Eangeur ompat à ourant rosé (Cengel 6) - Eangeurs à faseau tubulare : l'éangeur est onsttué d'un faseau de tubes, se trouvant à l'ntéreur d'une arasse (l'éangeur est auss appelé tubes et alandre ou par l expresson anglase «sell-and-tube». L'un des fludes rule à l'ntéreur des tubes et l'autre dans la arasse, autour des tubes. A l'ntéreur de la arasse sont rajoutés des anes afn d'nfluener l'éoulement du flude dans la arasse. Cela permet d'amélorer le transfert de aleur et de mantenr un espaement unforme entre les tubes (f Fgure -4).

15 Captre : Enrassement et éangeur termque Fgure -4 : Eangeur à faseau tubulare (Guo, Xu et al. 9) - éangeurs à plaques : eux sont des éangeurs omposés d'un nombre varant de plaques dsposées les unes à oté des autres et séparées par un espae. Les fludes auds et frods rulent en passages alternés, aque flude frod est entouré par deux fludes auds et nversement. Du fat de leur ompaté, es éangeurs permettent une grande surfae d'éange dans un volume lmté (f. Fgure -5). Fgure -5 : Eangeur à plaques (Lund 998) Il exste enore ben d'autres types d'éangeurs termques, ertans omportent des aratérstques ommunes à eux dérts préédemment, tels que les éangeurs à serpentns, les éangeurs à double enveloppe, les éangeurs à sprales, les éangeur à surfae ralée, les éangeurs en grapte (éangeurs à blo), les aéroréfrgérants ou tours de refrodssement, les éangeurs à alettes, les régénérateurs, (Fraas 989; Sou, Deans et al. 997; Mabt, Losel et al. 4; Sao, Yang et al. 9). 3

16 Captre : Enrassement et éangeur termque DCD Les transferts termques dans les éangeurs termques sont favorables au développement de pénomènes d'enrassement dans les lqudes et sur les paros termques. Ils se tradusent par l aumulaton d éléments soldes ndésrables sur les surfaes d éange (Bell and Mueller ; Cengel ). Il exste dfférents types d enrassement omme, par exemple, l enrassement partulare dû aux partules telles des oxydes et ydroxydes de fer transportés par les fludes en mleu ndustrel, la orroson, l entartrage, l enrassement bologque dû aux algues ou ampgnons, (Marvllet, Bontemps et al. 995). Cette oue représente une résstane addtonnelle au transfert termque. Le produt de ette résstane termque par la surfae d éange termque est appelé fateur d'enrassement. Le fateur d'enrassement pour un nouvel éangeur termque sera égal à et augmentera ave le temps lorsque les dépôts soldes s aumuleront sur les paros de l'éangeur, et e, jusqu au nettoyage de l éangeur. L'enrassement s'aentuera d'autant plus s la température augmente et la vtesse des fludes dmnue. Il exste des tables donnant des valeurs représentatves du fateur d enrassement reommandées par la EMA (ubular Exanger Manufaturers Assoaton) pouvant servr au dmensonnement des éangeurs (f. (EMA 988) par exemple). La plupart de es valeurs ont un ordre de grandeur de -4 m. C/W, e qu orrespond à la résstane termque d une oue de alare de, mm d épasseur et d un mètre arré de surfae. L enrassement des éangeurs termques ndut un ertan nombre d effets ndésrables ayant un oût éonomque ou envronnemental non néglgeable, ans : - L enrassement dmnuant le oeffent de transfert termque, le oût pour obtenr un oeffent de transfert termque voulu augmente. - L enrassement peut provoquer un éart de température supéreur à la normale et ans augmenter les onsommatons énergétques. Ce peut auss engendrer des pannes des équpements (surauffe des ompresseurs). - Les oûts d entreten sont plus élevés afn de supprmer les dépôts d enrassement ave des produts mques et des dspostfs antsalssure ou méanque ou enore le remplaement des équpements orrodés. - Les oûts de onsommaton d eau, d életrté et de arburant augmentent pour ompenser les effets de l'enrassement. - Des pertes de produton lées aux arrêts d'explotaton planfés ou non ausés par l'enrassement entraînent une augmentaton des oûts d explotaton. 4

17 Captre : Enrassement et éangeur termque - L enrassement apporte auss un rsque envronnemental. En effet, dans la référene (.Casanueva-Robles and Bott 5), l est montré que, lorsqu l y a de l enrassement, pour ompenser la perte d effaté des éangeurs, la produton est atvée entranant ans une augmentaton de l émsson de doxyde de arbone. Ans, l exstene d un bo-flm mroben d une épasseur de 3m dans les ondenseurs d une staton termque au arbon de 55MW peut entraner une produton supplémentare de 97 kg par eure de doxyde de arbone. Les onséquenes de l enrassement sont don nombreuses et l s avère ndspensable de lutter ontre e pénomène. En effet, dfférentes métodes exstent afn de lmter l enrassement des éangeurs. On peut ter, à ttre d exemple, le tratement des fludes (fltrage, tratement mque, ) ou également le nettoyage des paros pendant les pases de fontonnement par proédé méanque (brossage, njeton de boules en aoutou spongeux, ) ou par tratement mque (détartrant, ), f. (Marvllet, Bontemps et al. 995; Kuppan ). Ces métodes ne font que ralentr l enrassement et un nettoyage omplet des nstallatons reste ndspensable. Cela néesste ben souvent l arrêt omplet de la produton entranant un oût non néglgeable. Afn de rédure es oûts de mantenane, l est ntéressant de pouvor déteter en temps réel l état d enrassement des dspostfs. Les métodes lassques de déteton sont basées sur le pesage de l éangeur ou d une de ses partes, sur l examen du oeffent d éange termque ou de l effaté, sur l observaton smultanée des utes de presson et du taux de débt massque, sur la mesure de la varaton de température en entrée et en sorte d un des deux fludes, sur l utlsaton d outls de mesure à ultrasons ou életrques (Jonsson, Lalot et al. 7). Auune de es solutons n est parfate et toutes exgent des ondtons d emplo partulères. Ans, la premère néesste l arrêt de fontonnement du proessus, les tros suvantes néesste un fontonnement en régme statonnare (les débts massques des fludes ne dovent pas trop varer). De même, outre leurs oûts, l utlsaton de apteurs ne onsttue qu une soluton loale, l effaté dépendant fortement de leur plaement. Une autre lasse de métodes repose sur une modélsaton du proessus et de l utlsaton de tenques d estmaton en temps réel des paramètres ou des varables d état du modèle retenu. Dfférentes métodes de dagnost, de lassfaton ou d observaton sont possbles afn de déteter l'enrassement. Ans, l utlsaton de modèles type bote nore tels que les réseaux de neurones a été proposée dans (Lalot, Palsson et al. 7) ; la référene 5

18 Captre : Enrassement et éangeur termque (Jonsson, Lalot et al. 7) est basée quant à elle sur la modélsaton pysque du proessus et de l emplo d un fltre de Kalman étendu. Cette tenque néesste un modèle que nous allons déouvrr et utlser dans la sute de e mémore afn de pouvor onstrure des observateurs permettant de déteter l enrassement. DBCBDDCDD Nous onsdérons un éangeur tubulare ave une rulaton à ontre-ourant des deux fludes et représenté sur la Fgure -6. Dans l'éangeur, un transfert termque s'effetue entre un lqude aud et un lqude frod sans ontat entre es deux lqudes qu rulent le long d'une paro de séparaton métallque. Le lqude des deux fludes pour notre éangeur est de l eau., n, m, n, m flux eau aude flux eau frode Fgure -6 : Représentaton du système réel : éangeur termque Nous reprenons la modélsaton de l éangeur proposée dans (Jonsson 99; Jonsson, Lalot et al. 7). Il néesste les ypotèses suvantes : le transfert termque vers l envronnement extéreur est néglgeable ; les pénomènes de onduton termque dans la paro métallque et dans les fludes sont néglgés ; les apatés termques massques sont onstantes ; les deux fludes sont supposés nompressbles. 6

19 Captre : Enrassement et éangeur termque L éangeur est déomposé en un nombre N de setons supposées dentques. Les températures des fludes aud et frod seront supposées unformes dans aque seton. Elles seront ndexées dans le sens du flude (f. Fgure -7)., n,,, N, out, out, N, j,, n Fgure -7 : Représentaton d un dem-éangeur ave N ellules Par la sute, les ndes et seront employés pour représenter, respetvement, les proprétés des fludes aud et frod (ot, old). Les notatons suvantes seront utlsées :, n,, n : températures des fludes en entrée de l'éangeur ;,,, N + : températures des fludes dans la -ème seton ;,out,,out : températures des fludes en sorte de l'éangeur (et don *,out = ) ; *,N m, m : débts massques ; A et A : ares des surfaes d éange termque ; et : apatés termques massques ; M et M : masses des fludes dans l éangeur ; U le oeffent de transfert termque global. Nous ommenerons par le as d une ellule élémentare (N = ), le as général orrespondant à l assoaton en sére de N ellules élémentares. DBDCDDBD Le blan énergétque s ért ( t ) d, M = m t, n t, t AU t t dt d, ( t) M = m t, n t, t + AU t t dt (.) 7

20 où A U ( t ) ( t) et A U ( t) ( t ) Captre : Enrassement et éangeur termque représentent le transfert d'énerge entre les setons audes et frodes. La quantté ( t) représente la dfférene moyenne de température entre le flude aud et le flude frod. Il exste dans la lttérature dfférentes défntons de ( t) : la plus smple onsste en la dfférene des températures dans aque seton : t = t t, (.) D,, la dfférene de températures artmétque moyenne: + + [ t t ] [ t t ], n,, n, t =, (.3) AMD et enfn la dfférene de températures logartmque moyenne : t = LMD ln (, ( t ), ( t) ), n ( t ), n ( t ) ( t ) ( t) t t ((,, ) (, n, n )) Cette dernère se justfe dans le adre d un régme statonnare obtenu pour des débts massques des fludes onstants. D après (Jonsson 99), la premère expresson ondut à des (.4) valeurs trop fables de ( t) e qu entraîne sot une surestmaton du oeffent de transfert termque global va une métode d dentfaton, sot une mauvase préson du modèle en régme statque en utlsant des valeurs tabulées des paramètres. Les deux dernères expressons sont d une préson équvalente. Du fat de sa smplté, l expresson (.3) de ( t) sera utlsée par la sute. Le modèle (.) peut être reformulé en ntrodusant le veteur de paramètres suvant : où : Les paramètres ( t ), ( t) [ ] θ ( t) = α( t) β ( t) τ ( t) τ ( t), (.5) α AU t AU t M M ( t ) =, ( t), ( t), ( t ), m t β = m t τ = m t τ = m t (.6) α β sont sans dmenson et orrespondent au nombre d untés de transfert lorsque la valeur mnmale de m ( t ) et m ( t) et ( t ) t est attente. Les paramètres τ τ sont omogènes au temps. Sous l ypotèse (.3), le modèle préédent peut s érre sous la forme de la représentaton d'état d un système lnéare à paramètres varants : ( t) ( t),, t, n t A A( θ ( t) ) A B( θ( t) ) A B C = B C + B C D, E D, t E D, n t E (.7) 8

21 Captre : Enrassement et éangeur termque ave ( α ( t) ) β ( t) ( t) ( t) ( α ( t) ) β ( t) + / α A / α A B C B C B τ t τ t C B τ t τ t C A( θ( t) ) = B C, B( θ( t) ) = B C. B ( + β / ) C B ( β / ) C B τ t τ t C B τ t τ t C D E D E Il est à noter que le même modèle serat obtenu dans le as d un éoulement à ourant parallèle. ( t) ( t) DBDCD Le as général s obtent en assoant en sére N ellules élémentares. En notant A / *, = A* N l'are de la surfae d éange termque, M / *, = M * N la masse du flude * pour aque seton, l vent le modèle général sous forme d'un système d équatons dfférentelles : N N + ( t) ( t) d, t, t, t, j +, j A M, N = m ( t), ( t), ( t) A, NU ( t) dt B C D E d, j ( t), ( t) +, ( t), j ( t) +, j ( t) A M, N = m ( t), j ( t), j ( t) + A, NU ( t) B C dt D E (.8) ave j = N + et la onventon *, = (pour * {, } ). Ces ndes varent de à n *,n ave représentant la température d entrée et n la température de sorte. On peut reformuler e système sous forme matrelle. Pour ela, notons X ( t) x x x N ave x[ ]( t) =, ( t), N ( t) +, θ ( t) θ ( t) / N N = ans que = [ ] [ ] [ ] A B ( θ ( t) ) = B( θ ( t) ) B C D E A = B C D E et B ( θ ( t) ) B( θ ( t) ) (.9) Notons que B est dédute de B en remplaçant sa deuxème olonne par un veteur nul, tands que B s obtent en remplaçant la premère olonne. Une représentaton d état du système s ért alors : 9

22 Captre : Enrassement et éangeur termque ( ) ( ) ( θ ) ( θ ) ( ) A θn t B θn t B θn t F F B t A t X = + F F B ( θn ( t) ) F F F B ( ) ( ) B ( θn t A θn t θn t F F ),out y = F = X F,out F N N F F,n X F F F,n (.) Remarque : lorsque N, on obtent le modèle de dmenson nfne dért par les équatons à dérvées partelles : (, ) (, ) d t x t x ρ A + ρ A v = PU ( t) ( t, x) ( t, x) dt x d ( t, x) ( t, x) ρ A + ρ A v = PU ( t) ( t, x) ( t, x) dt x t, = ; t, = et, n, n (.) où : P et P : pérmètres termques, A et A : ares de la seton traversée par aun des flux, v la vtesse du flux ρ la densté DBCBDDBDDDDBDDCD DBDDCDDBCD Le oeffent de transfert termque global orrespond à la mse en sére des résstanes termques assoées aux deux pénomènes de onveton flude/paro. Il est don défn par la relaton : = + (.) U t A A A,,, N N N Il a été montré dans (Jonsson and Palsson 994) que la prse en ompte de la dépendane du oeffent de transfert global vs-à-vs des débts massques permet d amélorer sgnfatvement la préson du modèle. À partr de la formule emprque de Dttus-Boelter (f. (Cengel ) p 44), l est possble de dédure l expresson des oeffents de transfert termque : = y { } * t K* m * t, *, (.3)

23 Captre : Enrassement et éangeur termque ave K, K et y onstants. L éoulement étant turbulent, la valeur de l exposant y pourra être prse égale à,8. En substtuant (.3) dans (.), nous pouvons érre : De plus, en posant U t e A t t y ( ) y A K K m t m t, N, N = = y, N +, N, N +, N A A t A t A K m t A K m t =, N, l vent A, N K K y ( m ( t) m ( t )) + U t = K m t e m t y y * * Consdérons des valeurs de référenes (onstantes) m et m pour les débts massques des fludes aud et frod. Pour es débts massques, le oeffent de transfert termque global vaut : * * ( m m ) * U = K m * y * y + e m Nous pouvons ans réérre les paramètres (.6) sous la forme suvante : ( t) ( t) U t α = α α = * * * m *, N ave * * m ( t) U m m M τ = τ τ = m t m * * * ( t) ave U t β = β β = y, N * * * * m *, N ave * * m ( t) U m m M τ = τ ave τ =. m t m * * * ( t) A A U U, N * (.4) (.5) (.6) (.7) Ce modèle peut enore être améloré en prenant en ompte l nfluene de la température sur les oeffents de transfert termque. Cependant, l expérene (f. (Jonsson and Palsson 994)) montre que, du fat de l augmentaton du nombre de paramètres à dentfer, le gan en préson n est pas auss sgnfatf que elu obtenu en prenant en ompte seulement l nfluene des débts massques et, par onséquent, ne justfe pas forément l utlsaton de e modèle plus omplexe.

24 Captre : Enrassement et éangeur termque DDDCDDDCCDDBD La modélsaton prése du pénomène d enrassement est délate. Elle dépend du type d enrassement et fat l objet de nombreux travaux de reere atuels (Müller-Stenagen, Malayer et al. 9). Lorsque l enrassement est présent, la résstane termque de la paro augmente et ondut à une dmnuton du oeffent de transfert termque global. Cette augmentaton de la résstane termque est mesurée au travers du fateur d enrassement ) :,,,, R défn par (Cengel f Rf = + +. (.8) U t A A A A N N N N Le oeffent termque global U dépend don de l état d enrassement de l éangeur, mas auss des débts massques. Nous avons don os dans ette tèse de aratérser * * l enrassement à travers l évoluton des paramètres α et β. Ce ox a également été fat dans les travaux (Jonsson, Lalot et al. 7; Lalot, Palsson et al. 7) et nous permettra don de omparer les résultats de nos approes ave les leurs. DBDDCDDD Dans le adre du projet DESURENEIR (DEteton et SURvellane de l'enrassement dans les Eangeurs de aleur Isolés ou en Réseau) du programme nterdsplnare Energe du CNRS, nous avons retenu omme ban d essa un éangeur tubulare à ontre ourant. Le flude onsdéré est de l eau en pase lqude. Les dmensons du tube en aer noxydable séparant les deux fludes sont de 4 mm pour le damètre ntéreur et de 8 mm pour son damètre extéreur. Le damètre ntéreur du tube extéreur est de 6 mm. Pour fnr la longueur de l'éangeur de aleur est de m. Au moment de l érture de e mémore, le proédé expérmental n avat pas enore été dsponble. Nous travallerons don ave des données ssues d une modélsaton fne du proédé et basée sur l utlsaton d un logel CFD professonnel (Fluent de Ansys) et fournes par M. Lalot, professeur à l UVHC et membre du laboratore EMPO. Ces données ont été également utlsées dans des travaux antéreurs de ertans membres du projet DESURENEIR (Jonsson, Lalot et al. 7; Lalot, Palsson et al. 7), e nous permettant ans d effetuer un blan omparatf de métodes d estmaton en lgne de l enrassement.

25 Captre : Enrassement et éangeur termque Pour la modélsaton, l a été montré (Jonsson 99) que, pour e type d éangeur de dmenson relatvement modeste, l est suffsant d effetuer une dsrétsaton en deux setons du proédé (Fgure -8)., n,,,,, n Fgure -8 : Éangeur termque ave setons En utlsant les résultats des paragrapes préédents, le modèle du système peut être ért sous la forme suvante : ave : l'état du système x défn par : ( θ, ) ( θ, ) x = A u x + B u y = Cx ( ),,,,, (.9) x = (.) les varables d'entrées orrespondant aux températures d entrées ans qu'au débts des fludes aud et frod : =, n, n u m m (.) le veteur des mesures au sen duquel on supposera que, outre les entrées préédentes, seules les températures en sorte sont mesurées, =,, y le veteur de paramètres relatf à l enrassement θ ( t) donné par : θ α β * * =, (.) les matres du système défnes par : 3

26 Captre : Enrassement et éangeur termque A ( θ, u) * * * m α α α F γ * * * U γ * U γ * U τ m F τ τ τ F * * * m α m α α F γ * * * U γ * * * U γ * U F τ m τ τ m τ τ = F * * * β β m β, F γ * U γ * U γ * * * U F τ τ τ m τ F * * * F β m β m β γ * U γ * * * U γ * * * U F τ τ m τ τ m τ * m α F * * * γ U τ m F τ F * α F * γ U τ B ( θ, u) = F F, C = * F m β F * * * γ U F τ m τ F * F β * γ U F τ où γ ( m m ) * * ( m m ) * * ( m + em ) ( + ) y y y U t U = γ U ( m, m ) = = * y y y omme au paragrape.3.3. U m em. Les autres paramètres sont défns Nous prendrons dans les aptres suvants les valeurs suvantes : m =,83 kg. s * ; m =,83 kg. s ; * * τ = 7, 739s ; τ = 8, 35s ; * e =, ; y =,8. DBBD Dans e aptre, nous avons présenté dfférents types d éangeurs termques, ans que leur prnpe de fontonnement. Nous avons énuméré les problèmes envronnementaux ou éonomques qu peuvent être engendrés par l enrassement dans les éangeurs de aleur. La déteton de l'enrassement est un problème atuel et fasant l objet de nombreuses reeres. Dans e mémore, nous voulons trater la déteton en temps réel et ans pouvor 4

27 Captre : Enrassement et éangeur termque estmer son évoluton au ourt du temps. Pour ela, le modèle d un éangeur termque tubulare a été onsdéré dans e aptre et sera utlsé tout au long de e mémore. Nous avons pu vor dans e modèle que l'enrassement est lé à deux paramètres prnpaux. Des métodes permettant de les estmer seront proposées dans les aptres suvants. Celles- seront basées sur la reonstruton d état et utlseront des observateurs non lnéares. Nous allons présenter dans le aptre suvant un état de l'art sur la téore de l observaton. 5

28 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques D CD DDDCDDCDD BCBDDDCD. INRODUCION OBSERVABILIE Défntons est d observablté loale fable QUELQUES RAPPELS SUR LES OBSERVAEURS OBSERVAEURS DE YPE AKAGI-SUGENO Généraltés sur les modèles flous de type akag-sugeno Construton d'un modèle akag-sugeno Cas d'une seule non-lnéarté Cas général Les observateurs de type akag-sugeno ave prémsses mesurables Les observateurs de type akag-sugeno ave prémsses non mesurables Les observateurs à entrées nonnues CONCLUSION

29 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques DFBBD Il exste de nombreuses métodes dédées à la déteton de défauts. Certanes utlsent des tenques de reonnassane de formes, de lassfaton,, d autres néesstent la onnassane d un modèle du proessus ou du sgnal (f. (Isermann 6)). Dans ette tèse, nous nous plaçons plus partulèrement dans le adre de ette deuxème lasse de métodes et avons os pour la déteton de l enrassement d estmer en lgne les paramètres α et β défns au premer aptre ette dentfaton se fera à l ade d observateurs non lnéare que nous allons développer dans les aptres suvants. Lorsque l'état d'un système n'est pas entèrement mesurable, on peut arrver - sous ertanes ondtons dtes d'observablté - à le reonstrure à partr des entrées et sortes onnues par l'ntermédare d'un observateur. Preuve de l mportane pratque et téorque, ans que de la omplexté du sujet, la lttérature sur le domane est abondante. Auss, sans vser à l exaustvté, e aptre fat un réaptulatf des prnpaux types d observateurs exstant. Il est déomposé en tros partes prnpales. La premère parte aborde la proprété d observablté des systèmes. La deuxème parte, quant à elle, présente dfférents types d observateurs en ommençant par le adre plus smple des systèmes lnéares, pus elu des systèmes non lnéares. La trosème et dernère seton de e aptre est dédée à la syntèse d'observateurs de systèmes non lnéares représentés par un modèle de type akag-sugeno qu est l objet prnpal des travaux de ette tèse. Après avor défn e type de modèles non lnéares, nous rappelons omment obtenr un modèle sous ette forme à partr de la représentaton d état usuelle d un système non lnéare. Enfn, nous présentons quelques résultats onernant la syntèse d observateurs utlsant e formalsme. DCD DBD Prenons un système sous la forme suvante : (, ) x = f x u y = x (.) 7

30 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques n m p où x( t) X, u( t) et y( t). Les entrées u admssbles seront des fontons mesurables bornées à valeur dans un ensemble m Ω. Les applatons f et seront supposées suffsamment dérvables afn de garantr l exstene et l unté de solutons défnes sur. Nous noterons x( t, x, u ) et y( t, x, u ) l état et la sorte du système (.) pour une entrée u( t ) et une ondton ntale x. La proprété d observablté orrespond à la possblté de pouvor reonstrure l état x( t ) du système (.) à partr de l'observaton des entrées et sortes du système sur un orzon de temps fn. Pour une entrée donnée, la soluton x( t ) est défne de manère unque par son état ntal. Ce fat essentel a ondut (Hermann and Krener 977) aux défntons suvantes (f. auss (Bornard, Celle-Couenne et al. 993) et (Besançon 7)). Indsernablté : Sot U un sous-ensemble de n. Deux états ntaux x et x de U sont dts ndsernables sur U s, pour toute entrée admssble u, et pour tout nstant t tel que les états x( t, x, u) et x( t, x, u) restent dans U, alors les sortes y( t, x, u) et y( t, x, u) sont dentques. Nous noterons I ( x ) l ensemble des états ndsernables sur U de x. Observablté : Le système (.) est dt observable en U x s I ( x ) { x } X = et s l n'exste auune pare ndsernable sur l espae d état X, est-à-dre, I ( x) { x} X = pour tout x X ; l est dt loalement observable en x s, pour tout vosnage ouvert U de x, U { } I x = x ; l est dt loalement observable s l est loalement observable en tout pont x de X. Observablté fable : Le système (.) est dt fablement observable en x s, dans un vosnage de x, l n exste pas d'état ndsernable de x ; l est dt fablement observable s l est fablement observable en tout pont x de X. Observablté loale fable : Le système (.) est dt loalement fablement observable en x s'l exste un vosnage U de x tel que, pour tout vosnage V de x ontenu dans U, on a I ( x ) { x } V = ; l est dt loalement fablement observable s l est fablement loalement observable en tout pont x de X. 8

31 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques Remarquons que, dans les défntons préédentes, le ox de l entrée permettant de dserner deux états ntaux peut dépendre de es états ntaux, e ondut à la noton d entrée unverselle (Bornard, Celle-Couenne et al. 993) et à la nouvelle noton d observablté dte unforme. Entrée unverselle : une entrée u est unverselle sur [, ] s pour tout ouple d'états ntaux x x, l exste t [, ] tel que y t x u ( t) unverselle est dte sngulère. (,, ) y( t, x, u ( t) ). Une entrée non Observablté unforme : le système (.) est dt unformément observable s toute entrée admssble est unverselle. DDBCDBCDCD L observablté est une proprété dffle à analyser dans le as des systèmes non lnéares du fat qu elle dépend de l entrée applquée. Cependant, pour la proprété d observablté loale fable, l exste un rtère analytque appelé ondton du rang et basé sur la détermnaton de la dmenson d un sous-espae vetorel de fontons partuler nommé l espae d observaton. Défnton (Espae d observaton) : L espae d observaton du système (.) est le plus pett -espae vetorel de fontons défnes sur X à valeurs réelles ontenant les fontons,, (fontons omposantes de ) et fermé pour la dérvaton de Le par rapport à tous p les amps de veteurs de la forme f ( x) = f ( x, u) où u est une entrée onstante à valeur dans Ω. u On notera également d l espae des dfférentelles des fontons dans et d(x) l espae des veteurs obtenus en évaluant les éléments de d en x. On a alors le résultat suvant : éorème (Hermann and Krener 977) : S dm d(x ) = n, alors, le système (.) est fablement loalement observable en x. 9

32 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques - Cas partuler des systèmes lnéares statonnares Dans le as des systèmes lnéares de représentaton d état = + = + x t Ax t Bu t y t Cx t Du t (.) où A, B, C et D sont des matres de talles approprées, en applquant le rtère préédent, on montre que le système est fablement loalement observable s et seulement s C A B C CA rangb C = n. B C B n C DCA E Remarquons que pour ette lasse de systèmes, la proprété d observablté fable loale est équvalente à elle d observablté. La ondton (.3) est appelée rtère d observablté de Kalman. - Applaton au modèle de l éangeur termque Reprenons le modèle de l éangeur termque vu au aptre et mettons le sous la forme suvante afn de vérfer son observablté. Ave u m =, u = τ * * * * m τ m γ γ =, = τ m U U * * τ α α + β ( + ) β ( + ) = u + + = u = u = u + + y =, y =,,, n,,,,, n,,,,,,, n,, n,,,,, n,,,,,,, n Cerons la matre d observablté en prenant rang ( O) Nous avons d A B C d = rangb C. B d C B C D de (.3) (.4) 3

33 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques d = B C = x x x3 x4 ( ) L = L L L A = D E (,, ) + α (, +,, +, n ) ( α α α ) f + gu f + gu f + gu f + gu d u u B,,, C, L = u f + gu d A D A = D E =B C x x x3 x4 E ( ) L L L L A (,, ) β (,, +, + n ) ( β β β ) f + gu f + gu f + gu f + gu d = = u u B,,, C, D L = u + f + gu, Ans la matre d observablté est de la forme suvante : E (.5) A B C u α u α α O = B C B C B C D β u β u βe (.6) Nous pouvons falement vor que lorsque les paramètres de α et β sont fxés à une ertane valeur (pérode lean de l'éangeur termque), l exste au mons une entrée u unverselle où l'on obtent la matre d observablté de rang 4. Ce qu permet de dre que lorsque le modèle de l'éangeur est dans la pérode d'enrassement (α et β varent), l exstera auss une entrée u où l'on obtendra la matre d observablté de rang 4. On peut quand même vor que pour ertanes valeurs e modèle admet auss des entrées sngulères. Nous pouvons ans onlure d'après les défntons d'observablté que le système est loalement fablement observable. DDCDDDBCD Un observateur ou reonstruteur d'état est un système dynamque permettant de reonstrure en temps réel l'état ourant d'un système à partr de ses entrées et sortes. Ce est llustré à travers la fgure suvante où le veteur d'état estmé est noté ˆx. 3

34 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques u = (, ) = ( x ( t) ) x t f x t u t y t Système y xˆ t f xˆ t, u t, y t = ˆ ˆx Observateur Fgure - Représentaton d'un observateur On souate en général les aratérstques suvantes : - la onvergene asymptotque de xˆ( t ) vers x( t ) (globalement ou loalement) : xˆ ( t) x ( t) lm = t - une estmaton exate lorsque l'ntalsaton est dentque : = ˆ = s xˆ x alors t, x t x t Ces aratérstques sont elles d'un observateur asymptotque. La dynamque de l observateur est en général fxée de la façon suvante : f ˆ ( x ˆ, u, y) = f ( x ˆ, u) + G( t, u, y) y( t) ( x ˆ ( t)) (.7) où le gan d observaton G( t, u, y ) est détermné afn d assurer la onvergene de l'état estmé vers l état réel. - Cas des systèmes lnéares : Lorsque le système est lnéare et statonnare, l est possble de osr un gan d observaton onstant G( t, u, y) = K ondusant à un observateur dt de Luenberger. S le système est observable, le gan K peut être réglé de façon à avor une onvergene exponentelle ave un taux de onvergene arbtrare. (Luenberger 964; Bonnans and Rouon 3). Dans le as des systèmes lnéares non statonnares, l exste, sous ertanes ondtons d observablté, des observateurs asymptotques de type Kalman où le gan d observaton est obtenu en résolvant en lgne des équatons dfférentelles de type Rat ou Lyapunov (Besançon 7). 3

35 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques Le as des systèmes non lnéares est ben sur plus omplexe. Il n'exste pas à l eure atuelle de métode unverselle de syntèse d observateurs pouvant être applquée à tous les modèles non lnéares et garantssant la onvergene vers zéro de l erreur d observaton. Par ontre, dfférents auteurs ont ms en évdene des strutures de modèles pour lesquelles, moyennant ertanes ondtons, des observateurs asymptotques peuvent leur être assoées. - Fltre de Kalman étendu Le fltre de Kalman étendu est une extenson drete du fltre de Kalman lassque aux as des systèmes non lnéares : l est basé sur la struture (.7) où le gan d observaton se alule en applquant les tenques du fltre de Kalman lassque en remplaçant le système non lnéare par son lnéarsé tangent évalué le long de la trajetore estmée. Il est très utlsé en pratque, ben que la onvergene de l'observateur ne sot prouvée que loalement ou pour des strutures spéfques (Besançon 7). Dans le adre de la déteton d'enrassement dans les éangeurs termque, les auteurs de (Jonsson, Lalot et al. 7) ont utlsé le fltre de Kalman étendu dans un adre stoastque. Cette métode néesste un grand nombre d'essas lors de la parte apprentssage pour que le fltre de Kalman étendu fontonne. Observateur à dynamque de l erreur lnéare La syntèse d un observateur peut être partulèrement smplfée s le système possède une struture adaptée, ans, pour tout système s érvant sous la forme (, ) x = Ax +ϕ y u y = Cx où la pare de matres (A,C) est observable, l est asé de vor qu en utlsant un observateur de Luenberger de gan K, la dynamque de l erreur d observaton peut s'érre sous la forme e = ( A KC) e (.9) Le gan de l observateur peut alors être alulé en utlsant les tenques du lnéare. L exstene d un angement de varable permettant de passer d une représentaton générale (.) à la forme (.8) a été étudée par pluseurs auteurs (Bestle et Zet, 983), (Krener et Isdor, 983). S des ondtons néessares et suffsantes de l exstene de e angement de varables sont dsponbles (Krener et Respondek, 985), ette métode est ependant dffle (.8) 33

36 Captre : Un bref état de l'art sur l'observaton des systèmes dynamques à utlser en pratque, ar elle néesste la résoluton d équatons aux dérvées partelles et la résoluton de systèmes d équatons non lnéares (Zetz, 987). Observateur de au-luenberger Il est auss possble d utlser un observateur de Luenberger à gan onstant pour reonstrure l état d un système non lnéare. Ans, dans les travaux (au, 973), (Kou, Ellott et al. 975), les auteurs onsdèrent les systèmes de la lasse (.) s érvant sous la forme : (, ) x = Ax +φ x u y = Cx, (.) où la pare de matres (A,C) est observable et la fonton φ est unformément lpstzenne en x. S la onstante de Lpstz de ette fonton n est pas trop grande, alors l est possble de détermner un observateur pour le système (.) de la forme xˆ = Axˆ + φ xˆ, u + K y yˆ. (.) On pourra également se référer aux publatons (Levne 9), (Robertsson 999) pour plus de détals onernant ette tenque. - Observateurs à grand gan Il exste de nombreux travaux onernant une lasse partulère de systèmes (.8) dts à struture trangulare. Dans le as mono-sorte, es systèmes peuvent s érre sous la forme : (, ) (,, ) x A x + g x u A B C B C B x C B x3 + g x x u C B C = B C B C B C B x n C B xn + gn ( x,, xn, u) C B x C B n fn ( x) + gn ( x, u) C D E D E (.) ave y = x. Il est possble de trouver (Gauter, Hammour et al. 99) une famlle de gans d observateur K paramétrée par un salare θ telle que l observateur (.7) assoé est exponentellement onvergeant s e paramètre θ est os suffsamment grand. De plus, le taux de onvergene exponentelle peut être os arbtrarement. Un tel observateur est dt à grand gan. Des extensons aux as mult-sorte exstent (Busawon, Farza et al. 996; Farza, Busawon et al. 998). Notons que ette struture trangulare a auss été explotée pour la syntèse d observateurs à modes glssants (f. (Barbot, Boukobza et al. 996; Boukobza, Djema et al. 3; Floquet and Barbot 7). 34

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