Algorithmes de descente par blocs pour l apprentissage creux

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1 Algorithmes de descente par blocs pour l apprentissage creux Mehdi Meghzifene 11//211 1

2 Table des matières 1 Introduction Principe Résolution Minimisation selon α Reformulation sous forme d un problème quadratique Méthode Proximal-Gradient Descente par coordonnée Comparaison des algorithmes d optimisation selon α Comparaison selon λ Comparaison selon ɛ Comparaison selon la taille de la matrice D Conclusion Minimisation selon D Etude préliminaire Résolution avec descente par coordonnée Application Expériences et comparaison avec l ACP Observation de la parcimonie Comparaison avec l ACP

3 1 Introduction L apprentissage statistique est trs largement utilisé pour la reconnaissance d image, notamment dans sa forme supervisé. C est le cas de l analyse linéaire discriminante traité dans le cours d analyse statistique multidimensionnelle au deuxime semestre. L une des principale difficultés rencontrée lors de l utilisation d un tel algorithme est la taille de l échantillon d apprentissage et le nombre de paramtres utilisés. En reconnaissance d image, l échantillon comprend des vecteurs travers lesquels sont représentés les images elle-mmes. Ces vecteurs contiennent souvent trop d information, comparé ce qui est réellement utile pour la phase d apprentissage supervisé. C est pourquoi, un premier pas avant la mise en place d un tel algorithme, consiste réduire les vecteurs descripteurs. La méthode privilégiée en cours d analyse statistique multidimensionnelle est l analyse en composante principale. Celle-ci consiste transformer la famille des vecteurs descripteur en une famille non corrélée, soit orthogonale au sens de la covariance. Les nouveaux vecteurs descripteurs obtenus sont appelés composantes principales. Afin de réduire le nombre de ces derniers, il suffit de garder ceux dont la variance est la plus importante. Autrement dit, ceux qui expliquent le mieux la variance des prédicteurs de base. Une approche plus récente pour traiter le problme de réduction de paramtres, consiste relcher la contrainte d orthogonalité de la famille des nouveaux vecteurs descripteurs, cette contrainte étant jugée trop restrictive. Cette évolution se traduit dans plusieurs domaines, notamment le traitement du signal, o les bases de fonctions orthogonales comme celles de Fourier ont laissé place de nouvelles familles de fonctions L approche utilisée dans ce TER est encore plus récente. Elle consiste augmenter la taille potentielle des vecteurs descripteurs puis d annuler les coefficients les moins importants grce un critre de parcimonie d où le nom de l approche, le codage parcimonieux. 1.1 Principe Nous disposons d un nombre n de vecteurs descripteurs, correspondant seront notés : x i R m, i n Il s agit de trouver : 1. Une matrice D R m k. (1) D C = {M R m k / j = 1,..., k, d T j d j 1} En pratique k >> m. Cette matrice D sera appelée dictionnaire. des images, qui 2. Une famille de vecteurs α i R m, i n les plus creux possibles tels que Dα i soit proche de x i Le codage parcimonieux consiste trouver une telle solution en résolvant le problme de minimisation suivant : (2) min D C, α R k m x i Dα i λ α i 1 Où 1 et 2 représentent respectivement les normes 1 et 2 et C l ensemble défini en 1 Dans le problme deux termes peuvent être distingués : 3

4 1. Le terme x i Dα i 2 2 représente la reconstruction du vecteur x i par Dα i 2. Le terme α i 1 représente le fait que les vecteurs α i doivent être le plus creux possible. Le coefficient λ permet de donner plus ou moins d importance au deuxime terme. En fait, traduire le fait que le vecteur α i doit être le plus creux possible, reviendrait à substituer le deuxime terme par : α = 1 {αi,j } Cependant ce terme n est pas convexe et n est pas régulier, il est donc particulirement difficile minimiser. Ce terme est donc souvent remplacé par α p, p {1, 2}. Nous choisissons la norme 1 au profit de la norme 2 car celle-ci pénalise plus fortement les valeurs proches de pour α i,j et donne donc de meilleurs résultats lorsqu on veut annuler le plus de coefficients possible. 2 Résolution 2.1 Minimisation selon α On se propose afin de résoudre ce problème d optimisation, d appliquer un algorithme, qui consiste fixer D et minimiser selon α puis fixer α et minimiser selon D et ainsi de suite. Ceci nous donne donc l algorithme suivant : En notant α k et D k représentent respectivement les k ieme itérés de α et D. K est le nombre d itérations maximum. Algorithm 1 Descente coordonnées par blocs - Block Coordinate Descent Require: K N, α R k m, D C 1: for k = 1 to K do 2: D k arg min x i Dαi k D C 3: α k arg min x i D k α i λ α i 1 α R k m 4: end for : return (D K, α K ) Plusieurs algorithmes seront testés pour résoudre le problème de minimisation de α D fixé. Leurs avantages et défauts respectifs seront alors mis en avant. On peut séparer le problème d optimisation de la ligne 3 de l algorithme 1 en n problèmes. Pour cela, il suffit de considérer chaque terme séparément. Le problème à résoudre est donc, D C et x R k fixés : (3) min y R k x Dy λ y 1 Dans la suite, nous supposerons que λ >. Dans le cas où λ =, il s agît d un problème quadratique sans contrainte pour lequel il existe de nombreux solveurs Reformulation sous forme d un problème quadratique Le problème 3 peut se reformuler de la manière suivante : 4

5 Soit sous la forme standard : (4) avec min y R k,r R k Souscontraintes λy r Méthode Proximal-Gradient x Dy r r k r λy 1 min z R 2k 2 zt Qz + p T z Souscontraintes Cz ( D Q = T ) D () R 2k 2k () () ( D p = T ) x R 2k 1 2 I k ( ) λik I C = k R 2k 2k λi k I k Il s agit ici de calculer plusieurs itérés du minimum en remplaáant à chaque fois le terme x Dy 2 2 par un développement à l ordre 2. Ceci revient donc à calculer l itéré k + 1 à partir de l itéré k avec : () y k+1 = arg min y R k x i Dy k (y y k ) T D T (Dy k x) + 1 2t k y y k λ y 1 1 = arg min y (y k t k D T (Dy k x)) y 1 y R k 2λt k Or, l opérateur proximal défini par : est connu pour la norme 1. prox t,f (x) = arg min f(y) + 1 y 2t y x 2 2 Proposition 1. L opérateur prox pour la valeur absolue est défini par : x + t x < t prox t,. (x) = x [ t, t] x t x > t Démonstration. la fonction f définie par f x : y 1 2t x y 2 + y est convexe donc : prox t,. (x) = y f x (y ) On distingue alors 3 cas : f x (y) = { 1 t (x y) 1} y < [ x t 1, x t + 1 ] y = { 1 t (x y) + 1} y > On obtient alors le résultat en exprimant x en fonction de y

6 De plus, comme on peut récrire la norme 1 comme la somme de k valeurs absolue, on peut montrer facilement que : Lemme 1. L opérateur prox pour la norme 1 est défini par : (6) L équation devient donc : (prox t,. 1 (x)) i = (x i + t)1 {xi < t} + (x i t)1 {xi >t} y j+1 i =[(y j t j D T (Dy j x)) i + λt j ]1 {(y j t j D T (Dy j x)) i < λt j } + [(y j t j D T (Dy j x)) i λt j ]1 {(y j t j D T (Dy j x)) i >λt j } On en déduit donc l algorithme suivant pour résoudre le problème : Algorithm 2 Prox-Grad Require: J N, y R k 1: for j = to J 1 do 2: y j+1 prox λtj,. 1 (y j t j D T (Dy j x)) 3: end for 4: return y K Descente par coordonnée Il s agit ici de minimiser à chaque itération selon une seule coordonnée de y. Pour cela, nous devons, pour tout i k considérer le problème suivant : (7) arg min x Dy λ y i y i R Il suffit alors de considérer la fonction coordonnée : (8) f x,d,λ : y i x Dy λ y i Dans la suite, on notera d i R m la i eme colonne de la matrice D. ThÈorËme 1. Pour tout i, la i me fonction coordonnée admet un unique minimum sur R. Démonstration. Supposons que d i Soit i R, supposons que d i. Nous noterons, par souci de simplification, f i la i me fonction coordonnée. Cette fonction est convexe. Une condition nécessaire et suffisante pour que yi soit un minimum est : f i (yi ). Or : {2d T i (Dy x) λ} yi < f i (yi ) = [ 2d T i (Dy x) λ, 2d T i (Dy x) + λ ] yi = {2d T i (Dy x) + λ} yi > De plus, on peut réécrire Dy = D y + y i, oà D et y représentent respectivement les matrices D privée de la i eme colonne et le vecteur y privées de la i eme coordonnée. Finalement on obtient yi en fonction de x, d et λ. (9) yi = di T x di T D y + λ/2 d i 2 2 si 2(di T x di T D y ) + λ < di T x di T D y λ/2 d i 2 2 si 2(di T x di T D y ) λ > sinon 6

7 Les trois cas considérés sont bien disjoints, et la solution est unique sur chacun d entre eux. Ceci prouve donc le résultat énoncé. Si d i =, cela veut dire que x Dy ne dépend pas de y i. La fonction admet un unique minimum en. Il faut aussi à chaque itération choisir la coordonnée selon laquelle se fera la minimisation. Pour cela une des possibilités consiste à faire une rotation selon chaque coordonnée de y. L algorithme d optimisation est donc le suivant : Algorithm 3 Descente par coordonnée Require: J N, y R k 1: for j = to J 1 do 2: i choix_indice(y j ) 3: y j+1 [y j 1,..., (y i),..., y j k ] 4: end for : return (y J ) ThÈorËme 2. Pour toute entrée, l algorithme Coordinate Descent Rotation converge en image vers le minimum de la fonction. C est-à-dire que la suite (f(y j )) j N converge vers le minimum de f. Démonstration. La suite (f(y j )) j N, converge car elle est décroissante et minorée. Montrons que la suite (y j ) j N admet une valeur d adhérence. Comme la suite (f(y j )) j N décroît, on a les inégalités suivantes : Dy x λ y 1 Dy j x λ yj 1 λ y j 1 pour tout j. La suite (y j ) j N est donc bornée. Comme elle est à valeur dans R n, d après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une valeur d adhérence. Nous allons désormais montrer que chaque valeur d adhérence correspond à un minimum de f. Un fois ceci établi, on saura qu une suite extraite de (f(y j )) j N tend vers un minimum de f. On déduira alors le résultat énoncé, gràce à la convergence de f. Pour cela, notons z j+1 i = [y j+1 1,..., y j+1 i, y j i,..., yj k ]. Soit ȳ = [ȳ 1,..., ȳ k ] une valeur d adhérence de la suite (y j ) j N. Notons (y jn ) n N une suite extraite qui converge vers ȳ. Par définition de z jn+1 1, nous avons l inégalité suivante : On a donc en particulier : y 1 R, f(y j n+1 ) f(z j n+1 1 ) f(y 1, y jn 2,...yjn k ) y 1 R, f(y j n+1 ) f(y 1, y jn 2,...yjn k ) Comme f est continue, un passage à la limite donne : On en déduit que f 1 (y 1 ). y 1 R, f(ȳ) f(y 1, ȳ 2,...ȳ k ) 7

8 L idée de la preuve consiste à généraliser le résultat à tout i k. On en déduira alors que f(ȳ) et donc que ȳ est un minimum de f. Un raisonnement similaire au cas i = 1, n aboutit pas pour i > 1. En effet, pour i = 2, on a : y 1 R, f(y j n+1 ) f(z j n+1 2 ) f(y jn+1 1, y 2, y jn 3,...yjn k ). Cependant, rien ne garantit, à priori, la convergence de y jn+1 1 vers ȳ 1. Nous allons donc établir cette convergence. Pour cela nous allons raisonner par l absurde et trouver une contradiction gràce à l unicité du minimum des fonctions coordonnée. Supposons que y jn+1 1 ne converge pas vers ȳ 1. La suite σ n = y jn+1 1 y jn 1 ne converge alors pas vers. On peut donc trouver ɛ > tel qu il existe une suite extraite de (σ n ) n N qui soit strictement supérieure à ɛ. Cette sous-suite extraite étant bornée, on peut en extraire une suite qui converge vers σ ɛ >. Notons (σ φ(n) ) n N cette suite. Considérons alors la suite définie par 1 2 σφ(n) + y j φ(n) 1. Cette suite est toujours strictement comprise entre y j φ(n) 1 et y j φ(n)+1 1. Comme f 1 est convexe, on en déduit, lorsque toutes les autres coordonnées sont fixées à celles de ȳ, que : f 1 ( 1 2 σφ(n) + y j φ(n) 1 ) est compris entre les valeurs f 1 (y j φ(n) 1 ) et f 1 (y j φ(n)+1 1 ). Or lim n f 1(y j φ(n) 1 ) = lim n f 1(y j φ(n)+1 1 ) = f 1 (ȳ) En passant à la limite, on en déduit que f 1 ( 1 2 σ + ȳ 1) = f 1 (ȳ) = min y 1 R f(y 1). Donc que f 1 ( 1 2 σ + ȳ 1). Ce qui est absurde car 1 2 σ + ȳ 1 ȳ 1. Donc z jn+1 1 converge vers ȳ De ce résultat, on déduit donc que f 2 (ȳ 2 ). On peut alors montrer de même manière que f 3 (ȳ 3 ) ainsi de suite. Et donc en déduire le résultat final. On pourra aussi choisir la coordonnée qui correspond à la plus grande direction de descente. En d autres terme, on choisira i tel que min sup{ f(y i)} soit maximal (f est la fonction définie i k en 8). Ceci correspond changer la ligne 2 de l algorithme 3 par i arg min sup{ f(y i )} i k Enfin on considérera une dernière implémentation qui consiste à choisir un indice i aléatoirement en privilégiant les directions de descente les plus grandes. Pour cela on pourra introduire une loi de probabilité P, à l itération j sur l espace {i, 1 i k}. Un exemple d une telle loi peut-être représenter par le vecteur : (P(i = 1),..., P(i = n)) = ( inf{ f(y 1)} + inf{ f(y i )} +,..., inf{ f(y k )} + inf{ f(y i )} + ) i k i k 8

9 Où g + est la fonction définie sur l ensemble de définition de g et tel que : { g(x) si g(x) > g + : x sinon Ce qui consiste changer la ligne 2 de l algorithme 3 par i ALEA(P) 2.2 Comparaison des algorithmes d optimisation selon α Dans cette section, nous allons présenter des résultats correspondant la convergence des algorithmes cités précédemment. Afin de pouvoir comparer les méthodes entres elles, nous avons décidé de tracer l erreur quadratiques en fonction du nombre d opérations de base. La performance ainsi mesurée ne correspond pas réellement celle mesurée grce au temps de calcul. Cependant les algorithmes étant implémentés en MATLAB, les classes utilisées sont génériques et pas forcément adapté au types d accs mémoires effectués. Ainsi, avec relativement peu d opérations, nous atteignons des temps de calculs trs importants à cause des nombreux accs en mémoires non optimisés. Comme nous utilisons un solver quadratique disponible dans MATLAB, nous ne pouvons pas estimer le nombre d opérations effectué par celui-ci. Ainsi une comparaison en terme d opérations de base sera uniquement effectués sur l algorithme gradient-proximal et les trois variantes décrites de l algorithme de descente par coordonnée. Le but de cette étude est de comparer la performance des quatre algorithmes précités en faisant varier 4 paramtres : le nombre de colonnes de la matrice D le nombre de lignes de celle-ci le coefficient lambda la corrélation entre les différentes colonnes de D. Si les trois premiers paramtres paraissent naturels, le quatrime quant lui demande certaines explications. En effet, on peut penser que si la matrice D est fortement corrélée, en optimisant selon quelques directions particulire, une bonne partie du travail sera faite. On peut donc s attendre ce que la descente par coordonnée soit particulirement efficace lorsque c est le cas. Afin d avoir une matrices D corrélées, nous avons décidé de définir cette matrice en utilisant systématiquement deux colonnes prises aléatoirement et en calculant les autres colonnes comme la somme d une combinaison linéaire aléatoire des deux premires colonnes et d un vecteur bruit aléatoire. Nous introduisons alors un coefficient désignant l importance du bruit par rapport la combinaison linéaire. Ainsi, lorsque ce coefficient vaut, la matrice est compltement aléatoire et donc presque srement de rang égal son nombre de lignes. Lorsque le coefficient vaut 1, le rang vaut presque srement 2. En pratique : d 1 = RAND(k); d 2 = RAND(k); α = RAND(2); i m, d i = (ɛ)(α 1 d 1 + α 2 d 2 ) + (1 ɛ)rand(k); O RAND(k) désigne un vecteur aléatoire de taille k et d i la i eme colonne de la matrice D. 9

10 2.2.1 Comparaison selon λ Pour visualiser l influence du paramtre λ sur la vitesse de convergence des graphes, nous représentons la descente pour différentes méthodes en ne faisant varier que ce paramtre. Nous avons ici décidé de représenter les vitesses de descente pour m =, k =, ɛ = 1. Il faut noter que lorsque la courbe s arrte, cela signifie que le prochain résultat est trs proche de. Figure 1 Sensibilité des algorithmes λ Figure 2 λ = Figure 3 λ =, 2 Figure 4 λ =, Figure λ = 1 Figure 6 λ = 2 Figure 7 λ = On remarque que les méthodes de descente par coordonnée convergent plus rapidement lorsque λ est grand. Ceci est d autant plus vrai pour la sélection en prenant le gradient maximum.

11 2.2.2 Comparaison selon ɛ Il s agit maintenant de visualiser l impact du paramtre ɛ sur la vitesse de convergence pour les différents algorithmes. Nous représentons encore une fois avec des D R. Nous fixons λ = 1. Figure 8 Sensibilité des algorithmes ɛ Figure 9 ɛ = 1 Figure ɛ =, 8 Figure 11 ɛ =, Figure 12 ɛ =, 4 Figure 13 ɛ =, 2 Figure 14 ɛ = Encore une fois, on remarque que l algorithme le plus sensible ɛ est celui de descente par coordonnée avec le maximum du gradient. On remarquera particulirement que lorsque le niveau de bruit tombe en dessous de,2%, la convergence est immédiate (c est pourquoi aucune courbe n apparat). 11

12 2.2.3 Comparaison selon la taille de la matrice D Il s agt désormais de visualiser l impact de la taille de la matrice D sur la vitesse de convergence des algorithmes. Nous rappelons que dans le cadre de le codage parcimonieux, la matrice D admet un nombre de colonnes k beaucoup plus important que le nombre de lignes m. Nous ne considérons donc pas ici les cas o m > k. Nous choisissons λ = 1, ɛ =, 8. Figure Sensibilité des algorithmes la taille de la matrice Figure 16 m =, k = Figure 17 m=, k= Figure 18 m =, k = Figure 19 m =, k = Figure 2 m =, k = Figure 21 m =, k = On remarque que la performance de l algorithme grad-prox décrot considérablement lorsque le nombre de colonnes k augmente. Il devient pratiquement inutilisable lorsque le nombre de colonnes dépasse. Les algorithmes de descente par coordonnées avec choix aléatoire et rotations d indice sont également ralentis lorsque quant eux restent plutt inchangé par l augmentation de 12

13 k. On remarque que l algorithme de descente par coordonnée avec choix du gradient maximum est d autant plus rapide que le nombre m de lignes est petit Conclusion L algorithme qui semble particulirement adapté au situations rencontrées (k >> m) est celui de descente par coordonnée avec sélection du gradient maximum. De plus, cet algorithme peut converger quasi immédiatement si les colonnes de D sont fortement corrélées ce qui arrive souvent en pratique. 2.3 Minimisation selon D Le problme de minimisation traité ici s écrit : () min D C O l ensemble C est défini par : Etude préliminaire x i Dα i 2 2 C = {M R m k / j = 1,..., k, d T j d j 1} Remarquons que la fonction minorer est convexe pour α fixé. L ensemble C est également convexe. Nous avons donc la garantie qu un minimum local est global. De plus la fonction minimiser est différentiable. Nous sommes donc arms pour résoudre le problme. Fixons α et notons : f : D x i Dα i 2 2 g i : D d T i d i 1 D aprs le théorme de KKT dans le cas des problmes convexes. D vérifie des conditions de régularité, si et seulement si il existe λ 1, λ 2,..., λ k R tels que : f(d ) + k λ i g i (D ) = (11) i k, λ i g i (D ) = i k, g i (D ) i k, λ i Or f(d) = tr((x i Dα i ) T (x i Dα i )) = tr(αi T D T Dα i ) 2tr(x T i Dα i ) + tr(x T i x i ) On peut alors utiliser le fait que tr(ab) = tr(ba) pour exprimer f(d ) de manire pouvoir en calculer le gradient. f(d) = tr(α i αi T D T D) 2tr(α i x T i D) + tr(x T i x i ) 13

14 Ce qui permet d écrire : f(d) = 2α i αi T D T 2α i x T i Finalement en notant Λ la matrice telle que i, j k, (Λ) i,j = δ i,j λ i k f(d ) + λ i g i (D ) = 2α i αi T D T 2 α i x T i + 2ΛD T Le systeme 11 se réécrit donc : D ( n α i α T i + Λ) = n x i αi T (12) i k, λ i g i (D ) = i k, g i (D ) i k, λ i Il n est en général pas possible d obtenir directement la bonne matrice Λ afin de calculer D. En effet il faudrait effectuer une étude qui distingue pour chaque vecteur d i le cas o celui-ci est strictement réalisable (dans ce cas λ i = ) ou pas (alors λ i ) Résolution avec descente par coordonnée Une possibilité pour palier au problme mentionné précédemment consiste minimiser selon un seul vecteur de D la fois. Il s agit donc encore une fois d effectuer une descente par coordonnée. En reprenant les notations précédentes, on note f j la fonction coordonnée définie par f j : d j x i Dα i 2 2 On remarque dans un premier temps que f j peut tre réécrite f j : d i x i D j α j i + α i,jd j 2 2 O D j et α j i dénotent respectivement la matrice D privée de la colonne j et la colonne α i privée du j eme coefficient. Un calcul basique permet d obtenir : f j (d) = 2 (αi,j 2 + λ)d j α i,j (x i D j α j i ) Ainsi, en appliquant le théorme de KKT ce nouveau problme, nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour que d j soit solution (13) ( n αi,j 2 + λ)d j = n α i,j (x i D j α j i ) λ( d j 1) ( d j 1) λ 14

15 On remarque d abord que si αi,j 2 =, alors d j ne joue aucun rle dans la minimisation, le problme est donc absurde. On considérera donc, sans perte de généralité, uniquement le cas o αi,j 2 >. Deux possibilités s offrent alors nous 1. λ = et alors la solution est : 2. λ soit d j = 1 et alors d j = α i,j (x i D j α j i ) αi,j 2 d j = α i,j (x i D j α j i ) n α i,j (x i D j α j i ) Il suffit donc, pour déterminer le minimum de vérifier si la solution donnée par la premire possibilité est réalisable et dans le cas contraire de prendre la deuxime solution Application Voici la descente obtenue pour D avec k = et m =.

16 2 Descente en échelle logarithmique pour l optimisation du dictionnaire 2 4 D*alpha x Figure 22 Moyenne de descentes pour D R On remarque que la convergence la matrice D n est pas très couteuse en terme d opérations effectuées cette étape n est donc pas celle qui prend le plus de temps. 3 Expériences et comparaison avec l ACP Nous allons dans un premier temps nous assurer que la méthode développée permet effectivement de réduire le nombre de variables. Pour cela, il suffit de vérifier qu en faisant augmenter le paramètre λ, on annule effectivement petit à petit les composantes des vecteurs α i. Pour illustrer ceci, nous traçons les coefficients α i,j d un vecteur α i particulier en fonction de λ. 16

17 3.1 Observation de la parcimonie alpha i coefficients de alpha en fonction de lambda en échelle inversée alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha lambda 4 2 Figure 23 Coefficients de α i en fonction de λ On remarque non seulement qu il y a plus de coefficients α i nuls lorsque λ est grand, mais en plus qu à partir d un seuil atteint par λ, on peut garantir un nombre de coefficients qui resteront nul. Une preuve formelle de ce résultat dépasse le cadre de ce TER. 17

18 3.2 Comparaison avec l ACP Afin de comparer la méthode utilisée avec l analyse en composante principale, il faudrait comparer les erreurs au sens des moindres carrés obtenus avec chaque une des méthode en fonction du nombre de prédicteurs utilisés. Cependant, nous manquons de temps pour finaliser cette étude. 18

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