MAT902 - Algèbre linéaire et géométrie vectorielle
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- Edgar Noël
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1 Département de mathématiques MAT902 - Algèbre linéaire et géométrie vectorielle Plan de cours Enseignant : Olivier Godin Courriel : olivier.godin2@usherbrooke.ca Local : D Téléphone : (819) , poste Site Web : http :// Description officielle de l activité pédagogique Objectifs : Appliquer les méthodes de l algèbre linéaire et de la géométrie à la résolution de problèmes Contenu : Matrice et déterminant : définitions, propriétés, opérations, applications. Méthodes de Gauss- Jordan et de la matrice inverse pour résoudre des systèmes d équations linéaires. Vecteurs géométriques et algébriques : définition, représentation, propriétés, opérations, applications. Produits de vecteurs : scalaire, vectoriel et mixte. Espace vectoriel : repère, base, dimension, combinaison linéaire, indépendance linéaire. Applications géométriques : droites et plans, intersections de lieux, calculs d angles et de distances. Démonstration de propositions se rattachant à l algèbre linéaire ou à la géométrie vectorielle Crédits : 3 Organisation : Cours : Exercices : Travail personnel : Préalable : Aucun. 0 heure par semaine 2 heures par semaine 7 heures par semaine Horaire : Le cours est offert de façon autodidacte en formation à distance. Les étudiantes et les étudiants sont les principaux responsables de leurs apprentissages. Le professeur est disponible quelques heures par semaine en vidéoconférence pour reprendre l explication de certaines notions, pour répondre aux questions ou pour compléter des exercices en collaboration avec les étudiantes et étudiants. Durée : L étudiant dispose d un maximum de six mois pour compléter le cours et s inscrire à la passation d un examen final. Échéances : Le délai pendant lequel il est possible d annuler (sans frais) son inscription au cours MAT902 est fixé à deux semaines suivant l obtention de l accès au site Web du cours. Le délai maximum pour abandonner le cours est fixé à trois mois suivant l obtention de l accès au site Web du cours. 1
2 Présentation du cours Le cours d algèbre linéaire (201-NYC-05) est un cours de premier ou de deuxième trimestre prescrit par le programme des sciences de la nature. Au même titre que les autres cours de mathématiques (calcul différentiel, calcul intégral, calcul avancé, probabilités et statistiques) de ce programme, le cours d algèbre linéaire vise à développer la capacité d utiliser adéquatement le vocabulaire et le symbolisme mathématiques, ainsi qu à accroître les habiletés suivantes : manipulation d expressions symboliques ; réflexion ; formalisation ; conceptualisation ; modélisation mathématique ; élaboration de stratégies de résolution de problèmes (formels ou concrets) ; interprétation de résultats. L algèbre est habituellement considérée comme l arithmétique littérale, c est-à-dire la branche des mathématiques qui traite des opérations arithmétiques sur des quantités inconnues ou variables désignées par des lettres, des équations comportant de telles inconnues ou variables, et de la solution de telles équations. L algèbre linéaire est la partie de l algèbre qui a pour objet l étude des matrices, des équations linéaires, des vecteurs et des espaces vectoriels. Le qualificatif linéaire ajouté aux mots algèbre et équation tire son origine du terme latin linea (ligne) du fait que l équation «linéaire» la plus simple est celle d une droite, qu on qualifie de ligne dans la langue courante. L algèbre linéaire traite donc des généralisations et des extensions de ce qu on peut associer à l idée de droite et, par conséquent, de certains aspects de la géométrie analytique. L étude de l algèbre linéaire fait partie de plusieurs programmes, parce que peu de sujets sont aussi utiles à autant de disciplines (biologie, physique, chimie, sciences économiques et administratives, nutrition, démographie, etc.). En plus des nombreuses applications qu elle présente, l algèbre linéaire sert à illustrer l axiomatique, parce qu elle a aussi pour objet l étude de structures mathématiques. Dans le cours d algèbre linéaire, on traite des notions de matrice, de déterminant, de système d équations linéaires, de nombre complexe, de vecteur, d espace vectoriel, de droite et de plan. Tout au long du cours, les étudiantes et les étudiants seront appelés à comprendre ou à produire des démonstrations, et à appliquer des algorithmes de calcul. Au terme du cours, les étudiantes et les étudiants auront développé la capacité de représenter sous forme mathématique (équations linéaires, graphique), des informations données sous forme littérale. Les étudiantes et les étudiants devront également résoudre les modèles ainsi posés, notamment des systèmes d équations linéaires de manière graphique, en recourant à des algorithmes ou encore au logiciel de calcul symbolique Maple. 2
3 Texte ministériel Activité d apprentissage Champ d étude : Sciences de la nature Discipline : Mathématiques Pondération : Nombre d heures-contact : Ce cours représente une charge de travail de 135 h. Compétences Énoncé de la compétence à atteindre Appliquer les méthodes de l algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes. Énoncé des éléments de compétence à atteindre À la fin du cours, les étudiantes et les étudiants devront avoir acquis des connaissances déclaratives (décrire un contexte historique, utiliser un vocabulaire approprié, définir correctement des termes ou des expressions, énoncer des théorèmes, énoncer des formules, etc.), des connaissances procédurales (manipuler des expressions symboliques, effectuer des calculs, appliquer une technique, etc.) et des connaissances conditionnelles (formuler un problème en langage mathématique, choisir une stratégie de résolution de problèmes, etc.). Plus précisément, les étudiantes et les étudiants devront être capables d effectuer les opérations suivantes : traduire des problèmes concrets sous forme d équations linéaires ; résoudre des systèmes d équations linéaires à l aide de méthodes matricielles ; établir des liens entre la géométrie et l algèbre ; établir l équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer, s il y a lieu, leur intersection ; calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes ; démontrer des propositions ; construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et dans l espace ; résoudre des problèmes reliés au domaine des sciences de la nature (physique, biologie, chimie, etc.) en recourant aux méthodes de l algèbre linéaire ; utiliser le logiciel Maple pour résoudre des problèmes d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle. 3
4 Contenu détaillé Chapitre 1 - Langage matriciel Approche intuitive Lexique matriciel Matrices particulières Objectif terminal 1 Vous devrez être capable d utiliser le langage matriciel de base. Chapitre 2 - Opérations sur les matrices Addition de deux matrices Multiplication d une matrice par un scalaire Transposition d une matrice Multiplication de deux matrices Propriétés des opérations matricielles Multiplication de matrices et systèmes d équations linéaires Notation sigma Matrices particulières Chaîne de Markov Objectif terminal 2 Vous devrez être capable d effectuer les principales opérations matricielles. Chapitre 3 - Déterminants et inversion de matrices Algorithme de calcul d un déterminant Définition formelle du déterminant Propriétés des déterminants Calcul d une matrice inverse Propriétés de la matrice inverse Résolution d un système d équations linéaires par la méthode de la matrice inverse Objectif terminal 3 Vous devrez être capable de calculer des déterminants et d inverser des matrices. Chapitre 4 - Résolution de systèmes d équations linéaires Importance de la résolution de systèmes d équations linéaires Règle de Cramer Interprétation géométrique d un système d équations linéaires de deux équations à deux inconnues Types de solution d un système d équations linéaires (aucune solution, solution unique ou infinité de solutions) Résolution de systèmes d équations avec paramètres Méthode d élimination gaussienne Opérations élémentaires de ligne Calcul du rang d une matrice Méthode de Gauss-Jordan (résolution d un système d équations linéaires et inversion d une matrice) Stratégie de formulation d équations Interprétation contextuelle de la solution d un système d équations linéaires 4
5 Chaîne de Markov Objectif terminal 4 Vous devrez être capable de résoudre (Cramer, élimination gaussienne, Gauss- Jordan) des systèmes d équations linéaires, d interpréter la réponse selon le contexte et d inverser des matrices avec la méthode de Gauss-Jordan. Chapitre 5 - Vecteurs du plan Utilité des vecteurs Vecteurs géométriques du plan (terminologie, opérations, propriétés) Combinaison linéaire et indépendance linéaire Produit scalaire et angle entre deux vecteurs vectorielles en géométrie Vecteurs algébriques (terminologie, opérations, propriétés) Lien entre les vecteurs algébriques du plan et les matrices Projection orthogonale d un vecteur sur un vecteur non nul Barycentre et centre de masse Objectif terminal 5 Vous devrez être capable de recourir aux propriétés des vecteurs du plan pour résoudre des problèmes de géométrie plane, des problèmes de nature scientifique (physique, biologie, chimie) ainsi que des problèmes relatifs aux notions de combinaison linéaire, de dépendance et d indépendance linéaire, de système générateur et de base. Chapitre 6 - Droite du plan Terminologie Formes de l équation d une droite du plan Caractéristiques d une droite du plan Droites parallèles et droites concourantes Intersection de deux droites concourantes du plan Distances Angle déterminé par deux droites Objectif terminal 6 Vous devrez être capable de résoudre des problèmes relatifs à la droite du plan. Chapitre 7 - Nombres complexes Terminologie Représentation vectorielle des nombres complexes Formes des nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Formule de Moivre et racine n-ième d un nombre complexe Objectif terminal 7 Vous devrez être capable d effectuer les principales opérations dans C. 5
6 Chapitre 8 - Vecteurs de R 3 et de R n Système de coordonnées de l espace Combinaison linéaire, indépendance linéaire, système générateur, base Vecteurs géométriques et algébriques de R 3 (terminologie, opérations, propriétés) Espace euclidien de dimension n (R n ) Opérations et relations sur des vecteurs de R n Comparaison des vecteurs du plan et des vecteurs de R 3 et de R n Projection orthogonale d un vecteur de R 3 sur un vecteur non nul Problèmes de géométrie Objectif terminal 8 Vous devrez être capable de recourir aux propriétés des vecteurs de l espace pour résoudre des problèmes de géométrie, des problèmes de nature scientifique (physique, biologie, chimie) ainsi que des problèmes relatifs aux notions de combinaison linéaire, de dépendance et d indépendance linéaire, de système générateur et de base. Chapitre 9 - Droite et plan de l espace Terminologie Caractérisation de la droite et du plan de l espace Représentation algébrique de la droite et du plan de l espace Intersection (droites, plans) Distances (point, droites, plans) Angles (droites, plans) Objectif terminal 9 et au plan de l espace. Vous devrez être capable de résoudre des problèmes de géométrie relatifs à la droite Chapitre 10 - Programmation linéaire Terminologie Représentation graphique d inéquations linéaires Formulation d un programme linéaire Résolution graphique d un programme linéaire Résolution d un problème de maximisation standard par la méthode du simplexe Dualité Résolution d un problème de minimisation à l aide du principe de dualité Objectif terminal 10 simples. Vous devrez être capable de formuler et de résoudre des programmes linéaires Chapitre 11 - Espaces vectoriels Structure d espace vectoriel Sous-espace vectoriel Base d un espace vectoriel Objectif terminal 11 Vous devrez être capable de reconnaître et de décrire la structure d espace vectoriel ainsi que les propriétés de cette structure. 6
7 Méthodes pédagogiques Le cours est entièrement en ligne. Les étudiants pourront interagir avec le professeur au moyen de vidéoconférences. En plus du matériel de cours habituel, des captures vidéos d écran (screencasts) viennent reprendre l explication de matière ou d exercices plus difficiles. Les étudiants peuvent utiliser les tableaux blancs interactifs sur le Web pour résoudre en direct des problèmes de mathématique et ainsi obtenir une rétroaction immédiate sur leurs erreurs et sur la façon d écrire leurs solutions. Il sera aussi possible pour les étudiants du cours d échanger entre eux dans un forum de discussion sur la page Web du cours afin de s entraider et comparer leurs démarches et réponses. De plus, les solutions détaillées à plusieurs exercices seront fournies. Les étudiants cheminent à leur rythme. Toutes les leçons sont disponibles dans l environnement d apprentissage virtuel Moodle et, lorsqu il en ressent le besoin, l étudiant peut contacter le professeur par vidéoconférence. Modalités d évaluation L évaluation du cours prendra trois formes : 1. Questionnaires récapitulatifs (15 %) : À la fin de chaque leçon, l étudiant doit répondre à un bref questionnaire en ligne. À la fin du cours, les résultats aux questionnaires sont additionnés et ramenés sur Devoirs (45 %) : L étudiant aura à réaliser trois devoirs (15 % chacun). Ceux-ci devront être remis à l enseignant en utilisant la fonction de dépôt de fichiers sur la page Web du cours. 3. Examen (40 %) : L étudiant devra réussir un examen final récapitulatif d une durée de 3 h. L examen aura lieu à des dates fixées à l avance, au moins deux fois par trimestre. Trois semaines avant la date choisie pour l examen, l étudiant recevra par la poste une tablette graphique (à temps pour faire le troisième devoir, afin de sa familiariser avec l outil). L examen se fera en ligne, à l aide de celle-ci. Pour la passation de l examen, l étudiant devra se procurer une webcaméra. Pour toute la durée de l examen, l étudiant sera surveillé par vidéoconférence. L étudiant aura accès à l énoncé de l examen à l heure et à la date convenue, sous la forme d un fichier informatique. À l aide de la tablette graphique, l étudiant inscrira ses réponses et devra soumettre électroniquement ledit fichier, aussitôt l examen terminé. L étudiant n aura ni à se présenter à l Université de Sherbrooke, ni à envoyer des documents par la poste. Après l examen, l étudiant devra nous retourner la tablette graphique au moyen d une enveloppe affranchie inclue dans l envoi de la tablette. Le cours de calcul différentiel porte sur un contenu qui se construit et s élabore de plus en plus tout au long de la session. Les notions apprises précédemment seront reprises dans des travaux ultérieurs et, en particulier, à l examen final. Dans les devoirs et examens, les étudiantes et les étudiants auront à appliquer les connaissances acquises précédemment, à expliquer les concepts importants et à mettre en oeuvre les méthodes vues au cours. Les critères de correction seront la pertinence et la cohérence de la démarche, la rigueur des raisonnements, la clarté, l exactitude et la précision des solutions aux problèmes et la justesse des calculs. De plus, tout texte devra être rédigé proprement et dans un français de qualité. En effet, il est possible de pénaliser jusqu à un maximum de 5 % tout travail rédigé dans un français incorrect. La note alphabétique est déterminée en fonction du résultat numérique. Si la note numérique est x/100, la note alphabétique est : 7
8 Particularités A+ si 100 x 90 A si 90 > x 85 A si 85 > x 80 B+ si 80 x 77 B si 77 > x 73 B si 73 > x 70 C+ si 70 x 67 C si 67 > x 63 C si 63 > x 60 D+ si 60 x 55 D si 55 > x 50 E si 50 > x 1. Si, après avoir dépassé la limite de 6 mois pour compléter le cours, vous omettez de vous inscrire à l examen final que vous deviez passer, vous obtiendrez la cote W. 2. Si vous vous inscrivez à un examen final et que vous «oubliez» de vous y présenter, vous obtiendrez la cote W. 3. Si vous vous inscrivez à un examen final et que la somme pondérée (selon les proportions définies dans le plan de cours) de vos notes ne permet pas de réussir le cours (résultat final inférieur à 50 %), vous obtiendrez la cote E. 4. Si vous obtenez la cote W et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous réinscrire auprès de la Faculté des sciences. Vos progrès dans le cours (devoirs, tests) seront conservés et vous continuerez au point où vous étiez rendu. 5. Si vous obtenez la cote E et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous réinscrire auprès de la Faculté des sciences. Vous devrez toutefois reprendre la matière du début. Bibliographie Manuel obligatoire (inclus avec l inscription) : AMYOTTE, Luc. Introduction à l algèbre linéaire et à ses applications, 3 e édition, Saint-Laurent, ERPI, Manuels de référence : ALRIC, Guy, et coll. Géométrie vectorielle, Montréal, McGraw-Hill, 1969, 596 p. ANTON, Howard, et Chris RORRES. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, Mississauga, John Wiley & Sons Canada, Inc., 2006, 420 p. CHARRON, Gilles, et Pierre PARENT. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 3e édition, Montréal, Beauchemin, 2005, 556 p. LACASSE, Raynald. Algèbre linéaire, 2e édition, Longueuil, Loze-Dion éditeur, 2002, 323 p. LEROUX, Pierre. Algèbre linéaire : une approche matricielle, Outremont, Modulo Éditeur, 1983, 500 p. LIPSCHUTZ, Seymour. Algèbre linéaire 1, Paris, McGraw-Hill, collection Maxi Schaum, 1990, 308 p. MARTEL, Paul A., et Ginette OUELLETTE. Introduction à l algèbre linéaire, Mont-Royal, Modulo Éditeur, 1991, 572 p. OUELLET, Gilles. Algèbre linéaire : vecteurs et géométrie, 2e édition, Sainte-Foy, Les Éditions Le Griffon d argile, 2002, 528 p. PAPILLON, Vincent. Vecteurs, matrices et nombres complexes, Mont-Royal, Modulo Éditeur, 1993, 387 p. ROSS, André. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences humaines, Mont-Royal, Le Griffon d argile, 2003, 417 p. ROSS, André. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Applications en sciences de la nature, Mont- Royal, Le Griffon d argile, 2003, 450 p. STEWART, James, et coll. Algèbre et géométrie, Montréal, Guérin, 1993, 503 p. 8
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