DICHOTOMIE OUTIL DE CALCUL ET DE DEMONSTRATION EN TERMINALE S

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1 DICHOTOMIE OUTIL DE CALCUL ET DE DEMONSTRATION EN TERMINALE S essai édagogique J.P DAUBELCOUR I.R.E.M. de LILLE

2 LA DICHOTOMIE OUTIL DE CALCUL ET DE DEMONSTRATION EN TERMINALE S PRESENTATION age Chaitre Le théorème de BOLZANO age9 I Problématique (ACTIVITE) II Le théorème de Bolzao ( COURS) Chaitre Le théorème des valeurs itermédiaires: age 5 I Evideces grahiques et aroximatio des solutios. (ACTIVITE), II Démostratio du théorème des valeurs itermédiaires (COURS), III Foctios cotiues et strictemet mootoes sur [ab] (COURS) IV Isoler les zéros d ue équatio du troisième degré. (T.P.) V Théorèmes admis sur les foctios cotiues, VI Foctios racies -ièmes (COURS) Chaitre Discussio de l équatio x + x + q = (TP) age Chaitre4 Comlémets sur les dérivées e TS. Page Formulatio du roblème sur exemles. Piste ( ACTIVITE ET COURS) I Pricie de Lagrage age 6 II Iégalité des accroissemets fiis Piste(COURS) I Théorème de Rolle age II Théorème des accroissemets fiis et Pricie de Lagrage Chaitre 5 I Eocé du roblème: «Existece d u oit fixe» age II Travaux ratiques: rerise des exemles (cha4 Activité) ANNEXES Aexe Elémets de solutios du I et II, chaitre age 7 Aexe Elémets de solutios du roblème, chaitre age 9 Aexe Elémets de solutio de l'activité et du I A, chaitre 4 age 4 Aexe 5 Elémets de solutio du roblème, chaitre 5 age 4

3 PRESENTATION Deuis le début du XX siècle, l eseigemet de l Aalyse au lycée a subi bie des évolutios, et des éclises et des retours. Deuis 98 le corus d Aalyse est deveu réodérat e classe termiale scietifique; e même tems que s affirmait ue voloté d ouverture des Lycées d'eseigemet gééral au lus grad ombre. Cojoitemet à cette ouverture du Lycée, o costate ue lete érosio des coteus et la disaritio rogressive de la ratioalité das l'eseigemet de cette discilie. Ces évolutios sot ettes à artir de 99 e termiale comme je le récise ci-dessous. a) L'état des lieux. E Termiale scietifique, le lycée admet quasimet tous les théorèmes d'aalyse. Les éocés des théorèmes sot récédés d'exemles d'itroductio, et suivis d'exercices d'alicatios aelés "travaux ratiques". Le rocessus systématique qui asse directemet de l'éocé des théorèmes à leur utilisatio das u rocessus déductif, lors des " Travaux ratiques", est-il efficace our l'acquisitio d'u savoir? Est-ce raisoable d'aliquer systématiquemet des roriétés ou des cocets dot très souvet l'élève 'a as saisi le ses, la fialité? Certais assuret qu'à l'occasio de ces T.P, il " Démotre" et "Déduit". Mais alors commet exliquer ses difficultés à raisoer, à suivre ue démostratio, à e recoaître la légitimité même, raisoer,costatées e termiale et das les cursus scietifiques ost-bac? Si o veut bie recoaître qu'il y a là u roblème, qu'il se ose bie avat la termiale, que les eseigats ost-bac e sigalet les effets éfastes; ue réflexio s'imose. Certes les raisos e sot multiles, cojocturelles, our éclairer le sujet, faisos u bref retour e arrière. - Das les aées 97-8, les coceteurs affirme leur voloté d'ue costructio de tye "Bourbakiste" au travers d'ue gééralisatio excessive du vocabulaire de la théorie des esembles associée à l'abus des structures algébriques. Ce bouleversemet, de la materelle à l'uiversité, coduit à u eseigemet des mathématiques tro formel our les lycées et coué des utilisateurs des mathématiques. Je 'y revies as, le sujet a été très bie et très souvet traité. U chagemet s'imosait, il se fit de faço restrictive et égalemet excessive ar réactio : la "cotre-réforme" au début des aées 8. Bie que ce soit au détrimet de la géométrie et ar la suressio radicale de toutes les structures, la réodérace doée à l'aalyse est accomagée d'ue grade cohérece, teat comte des ouveaux outils, l'ordiateur ou la calculatrice rogrammable. Les argumets avacés ar les coceteurs de ces ouveaux rogrammes ( 98 our la termiale scietifique) sot très ertiets. Mais hélas, as lus tard o e eut que costater u aauvrissemet cosidérable des exigeces : o eut dire, e caricaturat,que le rogramme de 94 'est que le squelette de celui de 8. Je veux d'abord reteir, das le rogramme de jui 94, cette oositio à toute formalisatio de l'aalyse, ce refus quasi systématique de toute "Démostratio" de théorème imortat, e Termiale scietifique. Ceci coduit à u assage, quasi direct, de l'activité réaratoire à l'alicatio des roriétés admises. Ce costat soulève le bie fodé d'u tel eseigemet : les élèves qui se destiet à ue formatio de mathématicie, de hysicie ou lus gééralemet à u eseigemet scietifique y sot-ils suffisammet réarés? Argumetos avec l'esrit d'ouverture qui 'écarte as la covictio. - Beaucou d'eseigats de Lycée ot comris très tôt, que la termiale C qui teait ce rôle était codamée à terme. E effet, arès "le Collège uique", l'ouverture du "savoir" au lus grad ombre, objectif de toute véritable démocratie, s'est faite e grade artie ar l'augmetatio des effectifs des classes de secode des Lycées d'eseigemet Par exemle, le calcul itégral, aaru au Lycée vers le début du siècle, avec des romoteurs comme H. Lebesgue, a esuite disaru das les rogrammes 947; our reveir e 96.

4 gééral. Cette évolutio brutale à coduit la classe de TC a deveir, rogressivemet, ar la force des choses, ue classe refuge des "bos élèves", quelques soiet ar ailleurs leurs atitudes e Mathématiques ou e Physique. Elle fut taxée d'élitisme, aelée "voie royale" et sa suressio e 994 aarut alors comme ue écessité. Pouvait-o l'éviter? Etait-il ossible d'accomager cette démocratisatio du Lycée d'ue lus grade diversité des filières du baccalauréat lus adatées aux talets et aux besois de l'esembles des lycées? La restructuratio des sectios se réalise deuis le début des aées 99 das le cadre de " la Réovatio des Lycées "; ue grade réforme qui a mobilisé bie des législateurs successifs. Cette réforme a gééré ue série L, bie coçue et équilibrée, qui ermet à u bo élève "littéraire" d'atteidre u excellet iveau de savoir, qu'il soit scolaire ou acquis das so milieu d'origie. E scieces, sous le rétexte de retarder le lus ossible l'orietatio des élèves, la diversificatio des filières red la forme erverse de l'uiformité. Deuis la suressio de la TC e 994, l'élève de TS(termiale scietifique regrouat les aciees TC et TD ), our atteidre u iveau de cométece idetique das les trois grades discilies scietifiques: S.V.T., Physique-Chimie et Mathématiques, est codamé au " bachotage". Ajoutos à cela que sa cométece doit égaler ratiquemet celle de so collègue de la série L das la luart des discilies littéraires: Fraçais e remière; uis, e termiale, dissertatio e Philosohie, dissertatio e Histoire-Géograhie (même rogramme que les TL mais avec ue heure de cours e mois bie sûr), efi Première Lague étragère à l'écrit. Où trouvera-t-il, etre deux "devoirs surveillés ", le tems de lire u article, de "réfléchir" tout simlemet? Il est alors évidet que l'eseigemet de sécialité e mathématiques de heures ar semaies e eut chager la doe iitiale : l'acquisitio d'u savoir mathématique est remlacée ar u aretissage ; qui lus est souvet réduit à des "recettes". Quat aux élèves de TSE série destié aux futurs étudiats e scieces écoomiques, leur bagage mathématique se révèle isuffisat lors des études suérieures. Cela dit, o seulemet je suis très cosciet que le roblème de l'eseigemet etre 6 et 8 as, et au lus grad ombre, est difficile et déasse de beaucou l'hiatus que je vies de déocer etre les séries L et S. Il se ose das la luart des ays déveloés. Pour la charière Termiale-Postbac, je revoie à l'ouvrage de Pierre LEGRAND : "Le Bac chez ous et ailleurs" où l'o trouvera des réoses lus globales sur cette grade questio. b) Le domaie des ossibles. Si la raiso d'u cours d'aalyse réduit our l'essetiel à ue démarche algébrique 4 est "la difficulté des cocets recotrés", je suis bie cosciet que c'est ue "laalissade" de le dire. Das l'eseigemet de l'aalyse, est-il ossible au Lycée, das ue termiale scietifique qui devrait s'adresser aux futurs étudiats des uiversités e scieces hysiques, e mathématiques ou aux futurs igéieurs de rétablir ue certaie ratioalité? Si l'o désire cojuguer les déveloemets algorithmiques et les démostratios, il est écessaire de disoser d'ue "défiitio simle" mais oératoire des réels. Pour cela je choisis la limite commue de deux suites adjacetes qui est e accord avec le rogramme actuel(jui94) 5. L'exériece m'a motrée que l'élève accete bie cette E termiale D l'eseigemet s'adresse aux élèves désireux de se diriger vers les scieces exérimetales ; les mathématiques eseigées sot adatées à cette orietatio. Cette ratique se gééralise, suite à la mise e cométitio de os établissemets avec l'eseigemet Privé. P. Legrad fut doye de l'isectio Géérale das les aées 8 et au début des aées 9. 4 Calcul des dérivées, des rimitives ar lecture iverse; calcul des termes cosécutifs d'ue suite récurrete... 5 E effet, le rogramme de sécialité admet que toute suite mootoe et borée coverge; artat de là, il est aisé de démotrer que deux suites adjacetes ot même limite. Das la suite de leurs études certais costruiros les réels ar les suites de Cauchy, ou les couures das Q; alors la roriété admise ici sera démotrée. C'est ue démarche courate das l'acquisitio des savoirs sur la durée.

5 4 roriété, alors que la roriété de la bore suérieure e asse as, our avoir essayé celle ci, il y a quelques aées, lorsqu'o défiissait l'itégrale de Riema e TC. c) Partat de là, j'essaie de motrer das ce travail, déjà exérimeté artiellemet ou totalemet, selo les aées, avec mes élèves (TC ou sécialité Math), que l'o eut démotrer certais résultats imortats du cours d'aalyse élémetaire et o les admettre systématiquemet. Je reste bie etedu fidèle à l'esrit et à la lettre des rogrammes actuels ( Jui94). α- Pour ce travail de démostratio, cela suose u tems de la classe edat lequel le maître exlique, démotre au tableau, il tiet la arole et la doe et la rered, "il fait cours". Pour certais, ce tems est désormais iutile ou mieur; je e suis as d'accord. Il est vrai que l'eseigat est e recherche ermaete d'u équilibre etre d'ue art, l'actio de commuiquer u savoir, ar les exlicatios, les démostratios qu'ils déveloet devat ses élèves, et d'autre art l'activité que géère chez l'élève l'acquisitio de ce savoir et des savoir-faire qui e découlet. Ce travail est difficile, il 'y a as de véritable recette, le" ublic" chage hysiquemet chaque aée, mais aussi évolue avec so éoque. Avec chaque ouveauté techique, o a essayé de trouver "u système" our eseiger: le rétrorojecteur, les cours à la télévisio, la télévisio das la classe, la calculatrice, l'ordiateur; mais ces moyes sot aarus assez raidemet comme des aides, itéressates certes, facilitat certaies tâches, arfois idisesables, mais le maître est toujours das la classe. Lorsque l'élève s'exrime, et il doit le faire, se setir libre de le faire our soulever les questios, le maître reste so iterlocuteur rivilégié, car il détiet le savoir, avec la resosabilité que cela icombe. Tomber das l'excès de l'u de ces deux asects de otre tâche a été, et sera toujours, à mo ses, réjudiciable à l'élève. L'activité écessaire de l'élève, même sous cotrôle d'u eseigat, ou l'aide d'ue machie, e saurait résumer à elle seule l'actio d'eseiger. β- Démotrer oui, mais démotrer quoi? Il est bie certai qu o e eut traiter de l Aalyse défiitive das le secodaire. Les cocets, souvet difficiles, doivet être dégagés rogressivemet ; e méageat des étaes au-delà desquelles, l élève, fut-il excellet, erdrait le ses. Ces erreurs ot été faites ar le assé; ar exemle avec les limites e ε, η,ou l itégrale de Riema... et la bore suérieure. Ceedat, e TS, ( Sécialité-Math ), je ese qu il est tems d amorcer certaies «rutures» avec la ratique de l'eseigemet de l'aalyse e termiale Scietifique. La difficulté des cocets exosés, de toute faço, demeurera logtems ecore sur de ombreux oits; mais est-ce vraimet dramatique? Qui a saisi tout de suite, arès leur costructio e Bac+, toute la richesses et la comlexité des réels? U autre grad roblème: das le cursus scolaire, ue difficulté est de trouver le bo momet our arler des limites et avec quel degré d'arofodissemet? Mais e arler au Lycée sas ouvoir les utiliser das le cotexte d'ue démostratio e TS, comme c'est le cas uisque ous e disosos que de coditios suffisates 4, c'est certes resecter ue rogressio rudete, mais e créat des comortemets qui vot erdurer das l'arès bac. O ourrait au Lycée doer ue défiitio de la limite d'ue suite ou d'ue foctio e termes de valeurs arochées 5 à. Les difficultés réercutées e D.E.U.G. ar Mais les ouvrages scolaires? Il faut bie recoaître que les élèves les liset de mois e mois; ils sot lutôt ue baque de doées our exercices et roblèmes. Par exemle: u logiciel qui ermet à l'élève de "s'autoformer; il e existe de lus e lus. L'aalyse telle qu'elle est eseigée das le Suérieur, das les filières de Mathématiques ures. 4 Il 'est as certai, l'exériece le motre, qu'il soit lus facile our l'élève de réaliser les majoratios que écessitet ces coditios suffisates, que de résoudre des iéquatios du tye: f( x) l sur u itervalle cetré. 5 C'est l'objet actuel d'ue autre étude du groue Aalyse à l'irem de Lille. 4

6 5 les ratiques actuelles e TS, fot que, très souvet, l'étudiat cotiue d'admettre tout ou artie des théorèmes imortats sur les limites; selo de ombreux eseigats du Suérieur, il e costruit as toujours l'esemble R, alors que le terrai "devrait" être réaré avec les suites étudiées au Lycée; arfois il 'e coaît as les roriétés caractéristiques; les décimaux de sa calculatrice boret so horizo our ecore logtems. Je crois qu'e T.S, certais résultats, admis actuellemet, euvet faire l objet d ue démostratio; certais théorèmes, cosidérés jusqu à réset comme évidets ar l iterrétatio grahique, et ils le sot très souvet, euvet etrer das u rocessus déductif. Bie etedu, u tel discours e eut être teu das toute les séries termiales au Lycée, mais 'oublios as que cette série S doit réarer certais de ses élèves aux discilies scietifiques de haut iveau. Cette démarche eut être " volotariste": le " ça se voit sur le grahique " 'est lus déclaré suffisat our tous les éocés; mais il est référable, lorsque c'est ossible, et c'est arfois le cas, de justifier la écessité d'ue démostratio, das cette ériode où l'élève admet beaucou de roriétés. Efi, ecore faut-il que la motivatio our établir ces démostratios, soit forte ar l'imortace des coséqueces, et ces ouveaux résultats établis suffisammet riches e retombées our la résolutio des roblèmes. γ-la rudece et la modératio demeuret la règle; le tems limité et la voloté de e as retomber das l'excès de formaliste des aées 7 sot des garde-fous suffisats. Il imorte doc que ces «rutures» avec l ituitio soiet limitées e ombre et situées das le cotexte des «objectifs gééraux du rogramme»; ces deriers état aréciés uaimemet me semble-t-il. Das le travail qui suit ici, l objectif est de démotrer quelques Théorèmes imortats d'aalyse élémetaire e TS (Sécialité-Math). Le cocet de limite de suite ou de foctio est suosé avoir été abordé au réalable. Pour les démostratios, je m'auie, our l essetiel, sur les suites adjacetes. Le thème est la résolutio des équatios du troisième degré. Efi, le moye est la dichotomie. Résumos brièvemet l'essai. ) La recherche de coditios d existece et d uicité d ue solutio d'ue équatio de degré trois me coduit à démotrer le théorème dit de «Bolzao». Arès le déveloemet de so asect calculatoire ar dichotomie, sa démostratio, das la foulée, est riche e rocédés: raisoemet ar récurrece; ar disjoctio des cas; efi la roriété que deux suites adjacetes défiisset u réel uique. Cette étude est facilitée ar l'utilisatio de la dérivée our e déduire le ses de variatio; ce résultat admis e S, je le démotre das la suite de cette même étude. Il e s'agit as là d'u cercle, mais d'ue démarche souvet utilisée das le cadre de l'aroriatio rogressive de la coaissace ar l'élève; raelos qu'e DEUG, l'étudiat admet le théorème de d'alembert, our lui ituitif et sigifiat, et il le démotre lus tard e Licece. C est l occasio, de se familiariser avec des orgaigrammes our quelques routies sur les calculatrices rogrammables; e accord avec les ouvelles exigeces du rogramme de Jui 94 sur cette questio: justifier et utiliser tests et boucles. A ce sujet, l'élève de T.S. e saurait être u "cosommateur λ" de la calculatrice, il doit être à même de comredre les logiciels les lus simles; ce qui ermet de démystifier l'outil et d'e relativiser les ossibilités. ) Les coséqueces de ce théorème sot ombreuses et accessibles: le théorème des valeurs itermédiaires bie sûr, mais surtout le cas des foctios cotiues et strictemet mootoes au coeur de otre cotrat e TS, avec, au assage, la défiitio des foctios racies -ièmes comme foctios réciroques. Tout cela costitue ue séquece déductive qui justifie la démarche de«ruture» Voir le Chaitre II de cette étude. 5

7 6 Bie etedu, il est as questio de démotrer que l image d u segmet ar ue foctio cotiue est u segmet; la roriété de la bore suérieure ose tro de difficulté à l'élève débutat e Aalyse élémetaire. Bie que cette roriété soit équivalete, das R, à la défiitio d'u réel ar deux suites adjacetes, elle asse très mal aurès des élèves comme je l'ai dit lus haut. ) Avec des outils ouveaux, je revies, sous la forme d u roblème osé aux élèves, à la discussio de l existece et du ombre de racies réelles de l équatio du troisième degré; mise, our simlifier, sous la forme x + x + q =. Das la ratique édagogique, j utilise souvet la démarche de Bruer : stades maiulatoire (ici, calculatoire) icoograhique et formalisatio. L usage des calculatrices rogrammables trouve aturellemet sa lace das ce rocessus, our ermettre à l'élève d'avacer ar lui même des "cojectures"; le calcul deviet u argumet imortat, au même titre que le grahe, our justifier et arfois doer l'ituitio de la démostratio. Je ese à des routies telles: dichotomie, suites récurretes, valeurs d ue foctio. De lus, cette stratégie est e accord avec le trityque e usage actuellemet dès la classe de secode:«activité, cours, travaux ratiques». 4) Efi, l aroche d ue solutio ar dichotomie motrat sa «leteur» relative, il imorte de rechercher des suites covergeat «lus raidemet» vers la solutio de l équatio. Je ese à la méthode du oit fixe qui exige des coaissaces comlémetaires à celles acquises e S, sur les dérivées. C'est l'occasio d'ue ouvelle séquece déductive où je déveloe deux istes ossibles coduisat à ue ouvelle ruture. O eut, e TS, admettre, ou démotrer simlemet, le théorème de Rolle, uis démotrer l iégalité des accroissemets fiis (c était le cas il y a quelques aées). Efi, ouvelle ruture, démotrer le «ricie de Lagrage» admis e S. C est l ordre habituel. Désirat exlorer lus avat la dichotomie comme méthode de démostratio, je déveloe ue autre iste; d abord la démostratio du«pricie de Lagrage» d où l o déduit l iégalité des accroissemets fiis. Raelos que ce derier résultat est u outil remarquable our majorer «Majorer, miorer, ecadrer...». Doc, le choix de cette «ruture» e TS, le déveloemet de cette deuxième séquece déductive, me arait largemet justifié, quel que soit la iste utilisée. La stratégie de Bruer que j ai raelée au ), utilisée souvet das cette étude, motre, je l esère, qu o eut équilibrer le discours du maître et l'activité de l'élève. Efi, remarque imortate: à coditio de situer cette étude e TS (Sécialité-Math), à l'heure où j'écris, tous les rérequis sot coformes au rogramme de jui 994. C est l uique raiso de cette restrictio à la sécialité; das cette ériode qui aaraît de lus e lus "e attete d'ue remise à lat de l'eseigemet de l'aalyse ", aussi bie das le secodaire qu'e Bac +. Pour coclure; essayos d'éviter l'exemle américai, où l'école ublique a cédé, our les études de qualité, tout le terrai au " collège " rivé et ayat. J.P. Daubelcour. Aimateur à l'i.r.e.m. de Lille. Remarque Das cette essai, je e reds as e comte les modificatios des rogrammes qui serot e alicatio dès Setembre 98. Das ce ouveau cotexte, avec la disaritio de la cotiuité et des suites mootoes et borées, l'aalyse e TS deviet radicalemet algébrique et le Pédagogue allemad qui s'est itéressé à l'eseigemet de l'aalyse, etre autre. Ce 'est eut-être as our demai, mais cette reflexio aura lieu, à mo ses, à moye terme ; car das le cotexe actuel le tems assé ar l'élève e et TS au travail de "l'aalyse algébrisée" 'est lus justifié ar raort à la faiblesse des acquis. 6

8 7 travail qui suit 'y a lus sa lace. Je ese qu'il s'agit d'ue éoque de trasitio, e attete d'ue remise à lat des objectifs de l'eseigemet au Lycée. Remarque Le lecteur eut faire remarquer, que ar le assé, il 'a jamais été questio de démotrer des théorèmes d'aalyse élémetaire. J ai suivi ue classe de Mathématiques élémetaires; l Aalyse, uremet algébrique, se réduisait à l étude des foctios olyômes, ratioelles, et irratioelles. Mais, à l éoque, l imortat rogramme de géométrie ermettait à l élève de s iitier à l hyothético-déductif (deuis la 4 ), à l aalyse-sythèse, e fait, au raisoemet scietifique. Ce qui est lus le cas aujourd hui, force est de le costater. Ceci dit, sas esrit asséiste, eut-o redre lus résete, aujourd'hui, la ratioalité das la démarche des élèves, otammet e TS (Sécialité-Math)? Remarque J ai été isiré, our le choix de la dichotomie, ar l article de J.L. OVAERT «Dichotomies et variates» das le bulleti Iter-IREM d Aalyse XX aru e 98. Remarque4 Les élémets de solutio e aexe ot our seul objet de ermettre au lecteur d'évaluer raidemet le degré de difficulté. Remarque 5 Je récise,, s'agissat d'u essai édagogique, ce qui tiet d'ue activité, d'u cours ou de travaux ratiques. Pour ue lus grade clarté, j'ecadre tous les textes destiés à l'attetio des élèves our ue mémorisatio ou u travail ersoel : éocés, défiitios, activités et travaux ratiques. CHAPITRE I LE THEOREME DE BOLZANO 7

9 8 I Problématique (ACTIVITE): Résoudre x + x = II Théorème de Bolzao.(COURS) Démostratio Voir e Aexe Elémets de solutio des I et II I PROBLEMATIQUE Résoudre das R l équatio: x + x = () Stade grahique Soit la foctio f défiie sur R arf( x) = x + x questio Démotrer que f est strictemet croissate sur R. Tracer sa courbe rerésetative Cf. questio Que eut-o coclure sur l équatio ()? Stade du calcul Objectif: Calcul de valeurs arochées de α, la solutio aarteat à [,], dot l existece est acquise au I. O ose: a=, b= et m = (a+b)/ = /. Trois cas sot ossibles, illustrés ar les figures ci- dessous. Das le remier cas, (fig), f(/)<. Das le secod cas, f(/) = (fig). Efi das le derier cas, f(/)>, (fig) m α α = m α m fig fig fig Si f(/) < : a < < = + b α ; osos a = ; b = b = ; doc a α b Si f(/) = : α = / est la solutio cojecturée. a Si f(/) > : < < = = = + b α ; osos a a et b ; Doc a α b. Aisi α est situé das u itervalle de logueur / Réitéros sur l'itervalle a, b. Si f( a ). f( a b + ) < alors < α < ; ososa a et b a + b = = ;doc a < α < b Si f( a ). f( a b + ) alors a + b < α < ; osos a = et b = b ; doca α b. Aisi α est ecadré das u itervalle de logueur moitié /4, dot les bores sot détermiées de faço uique. E réitérat ce raisoemet, o costruit aisi, termes arès termes, deux suites ( a ) et ( b ) telles que : a a... a α b... b b avec a = et b =. Comme aocé das la résetatio, j'admets our l'istat, comme e e S, le ricie de Lagrage. 8

10 9 Orgaigramme relatif au rogramme de la questio Y X +X- A : B P -6 : K K ; A ; B B-A < P C (A+B)/ D f(c) E f(a) K K+ D= ED < fi VAL.EXT iitialisos les doées. f va e Y, das A, das B, et la récisio das P. Efi va das K. Afficher: K, A, et B Si B-A<P, arrêt des calculs Sio faire les actios cicotre. Si D=, C est valeur exacte de α. Sio, comarer ED à.si ED <, alors C va das B ; sio C va das A uis das les deux cas, o réète la séquece à artir de: afficher K, A et B. B C A C questio Suivre l orgaigramme ci-joit, et réaliser sur votre calculatrice le rogramme ermettat de calculer les remiers termes des suites ( a ) et ( b ) ; et ceci de = à =. questio Que eut o déduire our chacue des suites ( a ) et ( b )? questio Démotrer que le rocessus e s arrête as: c est à dire que f a b + ( ) = est imossible. O raisoera ar l'absurde e motrat que α e eut-être u ombre ratioel. Coclusio de l'activité a) La courbe rerésetative motre très bie que l'équatio () a ue solutio uique α. b) Cette solutio 'est as u ombre ratioel. c) Mais alors quelle est sa ature? Peut-o le défiir, le caractériser avec lus de rigueur? Ces questios légitimet le stade formel, celui de la démostratio, qui e doat u statut, certes o défiitif, mais lus récis à ce ombre, doera e même tems les raisos de la roriété que ous aelleros " Le théorème de Bolzao". 9

11 II DEMONSTRATION DU THEOREME DE BOLZANO Formulatio du roblème. Soit f, défiie et cotiue sur [a,b], et f(a) et f(b) de siges cotraires. L'équatio f(x) = (i) admet-elle des solutios das [a,b]? A Dichotomie Suosos f(a) > et f(b) < ; ososm f a + = ( b ). fig m = fig m > fig m < Ou bie f(m) ; osos a = a et b = m voir fig,. Si f(m) =, b est solutio de l'équatio (); la recherche est termiée. Ou bie f(m) < ; osos a = m et b = b. (voir fig) Aisi f est défiie sur a b de logueur b a, ; f( a) < et f( b) > et de lus a a b b. O dit que a, b est emboîté das l'itervalle [a,b]. Puisque f( a) et f( b ) sot de siges cotraires, o eut refaire le même raisoemet sur a, b : Ou bie f a + b alors a + ( b ) =, est solutio de ( ). Ou bief( a b + ), alors o détermie u itervalle a, b tel que f( a ) <, f( b ) > b a De lus a a a b b b et b a = B Récurrece Soit u etier fixé, suosos que ous ayos détermié ar la méthode ci-dessus, our tout etier k,,...; u it ervalle a k, b k tel que: a = a a... a b... b b ( ) k k b a bk a k = ( ) k f( a k ) < et f( b k ) > ( ) Cosidéros f( a )f a b + ( ), deux cas sot ossibles:

12 f a f a b + a + b ( ). ( ) ; osos a + = a et b+ =. f a f a b + a + b ( ). ( ) < ; osos a + = et b + = b Alors les roriétés () () et () ci-dessus sot ecore vraies au rag +. Lorsqu'il existe u etier tel que f a b + ( ) =, alors la solutio α est u ombre décimal, uisque qu'e gééral a et b le sot. Sio, ous avos costruit deux suites ( a ) et ( b ) telles que: La suite ( a ) est croissate et majoree ar b La suite ( b ) est decroissate et mi oree ar a b a N a a b b ; b a = doc lim = et lim( b a ) = Les suites ( a ) et ( b ) sot adjacetes. Leur limite commue l vérifie l = lim( a ) = lim( b ) ; telle que: N a l b ; doc l [ a, b ] Suosos alors f cotiue sur [a,b]; doc e articulier e l. Par comositio des limites : lim( f ( a )) = lim( f ( b )) = f ( l ) N f ( a ) < alors lim( f ( a )) doc f ( l ) et N f ( b ) > alors lim( f ( b )) doc f ( l ) Doc écessairemet f(l)= et l est ue solutio de (i). Posos l = α. f( a ) < f( ) f( b ) > a a b b Quelles sot les raisos de cette roriété? La démostratio ous les a motrées. a) Deux suites adjacetes ot même limite. Proositio admise e T.S qui doet u statut récis aux ombres qui sot des limites de suites obteues de cette faço. b) La cotiuité de f sur [a,b], e articulier e l. Ces roriétés tieet, d'ue art au statut que l'o a adoté our les ombres réels; d'autre art aux roriétés des foctios, ici la cotiuité..théorème (de BOLZANO) Soit f cotiue sur [a,b] ; si f(a) et f(b) sot de siges cotraires, alors l équatio f(x)= admet au mois ue solutio α aarteat à l itervalle [a,b]. (le réel α est défii comme la limite commue de deux suites adjacetes costruites ar dichotomie). Alicatios Das les exercices suivats, il imorte de bie mettre e évidece les hyothèses du théorème de Bolzao Résultat admis e T.S

13 Exercice : a) Soit l équatio x + x + = (i) sur R, démotrer que l équatio (i) admet ue solutio et ue seule α [-,]. Costruire, ar dichotomie, deux suites adjacetes de ombres décimaux arochat α. 6 Détermier le lus etit etier tel que a α b et b a. Calculera et b. b) Mêmes questios our l équatio x + x + = sur R. Exercice : a) Soit l équatio: x ] π, π [ ta x x = (i) Démotrer que l équatio (i) admet ue solutio et ue seuleα ] π, π [. Costruire, ar dichotomie, deux suites de ombres décimaux arochat α. Détermier le lus etit etier 6 tel que a α b et b a. Calculer a et b 5x b) Mêmes questios our :e x =. CHAPITRE LE THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES I Evideces grahiques et aroximatio des solutios II Démostratio du théorème des valeurs itermédiaires III Cas des foctios cotiues et strictemet mootoes IV Alicatio : Commet isoler les zéros d ue équatio V Alicatio : Foctios racie -ièmes I Evideces grahiques et aroximatio des solutios Soit l équatio : x, x x + = ( ) o défiit sur, + g ar g( x) = x x + GRAPHIQUEMENT: Soit C g la courbe rerésetative de g ; o eut la tracer suffisammet roremet our isoler les solutios de l'équatio (). Les limites de g e + et, le résultat, ituitif selo lequel ue équatio olyôme de degré trois e saurait avoir lus de trois solutios réelles ; tout ceci ous ermet de coclure qu'il 'y aura as d'autre solutio à l'équatio () que celles observées à artir du grahe. O costate que Cg coue la droite (D) e trois oits ; il est doc légitime de coclure que l équatio () admet solutios distictes α, β et γ. L'existece de ces solutios our ue équatio de degré teat à l'observatio de la courbe rerésetative; il reste à e réaliser u calcul aroché our chacue d'elles ; et ar dichotomie, seule méthode à otre disositio our l'istat. Soit doc l'équatio: x, g( x) = ( ).Géométriquemet, il est clair qu'e aliquat au

14 grahe ci-dessus la traslatio de vecteur j, o est rameée à ue foctio vérifiat, sur des itervalles à détermier, les hyothèses du théorème de Bolzao. Aisi, l'équatio () équivaut sur [-,] à : x x = ( ) Soit la foctio h défiie sur I = [-,] ar h( x) = x x. Le grahe de h ci-cotre ermet de localiser les trois solutios : α,, β, et γ,. Qui lus est, les hyothèses du théorème de Bolzao sot réalisées sur chacu des trois itervalles cidessus our la foctio h. L'utilisatio du rogramme mis au oit au chaitre I doe : -,589 < α <-,588 -,4796 < β < < γ < la récisio ayat été fixée à 6. REMARQUE Pour démotrer que la roriété ci-dessus est gééralisable, l'étude grahique et géométrique ous iclie à aliquer le théorème de Bolzao à la foctio : x f( x) k. II Théorème des valeurs itermédiaires théorème Si f est ue foctio cotiue sur [a,b], ALORS our tout réel k de l itervalle [f(a),f(b)], il existe au mois u réel c de l itervalle [a,b] tel que f(c) = k fig (f o cotiue e u) fig Preuve Si k = f(a) ou f(b), alors c = a ou b. Si k f(a) et k f(b), suosos f(a) < f(b) (si f est costate sur [a,b],la reuve est évidete) et dock f( a), f( b). Posos g la foctio défiie ar :x a, b ; g( x) = f( a) k. La foctio g est cotiue sur [a,b] ;de lus, g(a) =f(a) -k : g(a) < ; g(b) = f(b) - k : g(b) > Les hyothèses du théorème de Bolzao sot réalisées our g : il existe doc au mois u réel c de [a,b] tel que g(c) =. De lus: c a, b car f( a) k et f( b) k.aisi f(c) = k. Iterrétatio : tout réel comris etre f(a) et f(b) est ue valeur rise ar f ; d où le om doé à ce théorème. Sur la fig, f 'est as cotiue e u, doc sur [a,b], et le réel k 'est as toujours ue valeur rise ar f.

15 4 APPLICATION Exemle Discutos, selo les valeurs du réel k, le ombre de solutios de l équatio x x + = k ( ). Mais cette fois ous disosos du théorème. La foctio g défiie sur I = [-,] ar: g(x) = x -x+ est cotiue sur I ; g(-) = -7, g() = 9. Doc our tout réel k de [-7,9],l équatio () admet au mois ue solutio. Reveos à l équatio : x x + = ( ). Sur chacu des itervalles [-,-], [-,] et [,], g est strictemet mootoe. Soit g la restrictio de g à l itervalle [-,-] ; elle est cotiue et strictemet croissate ; suosos qu il existe deux atécédets α et β du réel ar g das l'itervalle [,-].; ce qui cotreditg( α) = g( β) =. Aisi α est l uique atécédet de ar g. O rocède de même sur les autres itervalles [-,] et [,]. E coclusio, l équatio du I admet trois solutios réelles distictes : α, β, et γ telles: < α < < β < < γ < Remarquos que our isoler chacue des solutios, ous cosidéros des itervalles sur lesquels la foctio est strictemet mootoe; il est tat de statuer das le cas gééral. III Cas de foctios cotiues et strictemet mootoes - Si f est cotiue et croissate sur I = [a,b] (a<b) ; x a, b ; f( a) f( x) f( b) Aisi f(a) et f(b) sot resectivemet le miimum et le maximum de f sur [a,b]. - Si de lus f et strictemet croissate sur [a,b] ; our tout réel k de [f(a),f(b)], cosidéros l'équatio : f(x) = k Elle admet au mois ue solutio d arès le thm Suosos qu il y ait deux solutios distictes c et d; rereos le raisoemet ci-dessus: avec c < d alors f(c) < f(d). Ceci cotredit l assertio "f(c) = f(d) = k " ; doc c est uique. O dit que f réalise ue bijectio de [a,b] sur [f(a),f(b)] Théorème Si f est cotiue et strictemet croissate (res. décroissate) sur [a,b], ALORS f est ue bijectio de [a,b] sur [f(a),f(b)]. (res. sur [f(b),f(a)] ). Corollaire Si f est cotiue et strictemet mootoe sur [a,b] et de lus f(a)f(b) < ALORS l équatio: f(x) = admet ue solutio uiqueα a, b. III BIS Théorèmes admis sur les foctios cotiues Notre coaissace des ombres réels est très largemet icomlète e TS, c est ourquoi ous admettros les théorèmes suivats qui demeuret sigifiats our l'élève: Le fait d'avoir admis la covergece des suites mootoes et borées ous a ermis de dire que deux suites adjacetes défiissaiet u réel et u seul. Pour imortate et utile que soit cette roriété, elle 'est qu'u remier as das la coaissace des ombres réels. 4

16 5 Théorème 4 Si f est cotiue sur u segmet [a,b] de R, ALORS l image de [a,b] est u segmet [m,m] de R. m et M sot resectivemet le miimum et le maximum de f sur [a,b]; et ces bores sot effectivemet atteites. E d'autres termes : " k [ m, M] c [ a, b] tel que : f( c) = k" exemle : Soit f : x six, défiie sur [,π] ; l image de cet itervalle est le segmet [-,]. attetio : La réciroque du théorème4 est fausse. Voyos u cotre-exemle sur la figure cidessous: Ici f 'est as cotiue sur [,], ceedat c'est ue bijectio de cet itervalle sur lui même y. x, f( x) = x x, f( x) = x x, f( x) = x x O Théorème 5. Si f est cotiue sur u itervalle I de R (fermé ou o),alors l image de I ar f est u itervalle de R (fermé ou o ). Corollaire. Si f est cotiue et strictemet mootoe sur l itervalle I de R ALORS f est ue bijectio de I sur f(i). La démostratio du corollaire est aisée. Suosos que le réel k de l'itervalle f(i) soit l'image ar f de deux réels disticts; ceci cotredit la stricte mootoie de f. Exemles de situatios où s'alique le Corollaire ci-dessus : f est suosée cotiue et strictemet croissate sur I. I = a, b ; lim f( x) = : f est ue bijectio de I sur, f ( b ) x a I =, b ; lim f( x) = : f est ue bijectio de I sur, f ( b ) x I =, + ; lim f( x) = etlim f( x) = : f est ue bijectio de I sur, x x + exercice Soit f défiie sur I= [,6] ar f( x) = x 4 x ;détermier l itervalle image ar f de I. Discuter, selo les valeurs du réels k le ombre de solutio de l équatio : f(x) = k. x exercice Soit f défiie sur R ar f ( x) = ; démotrer que f est ue bijectio de R sur + x u itervalle que l o détermiera. IV Alicatio : Commet isoler les zéros d ue foctio Exemle. Soit l équatio : x R, 4x x = ( E) questio Etudier de faço sommaire le ses de variatio de la foctio f : x 4x x, défiie sur R. questio Démotrer que l équatio (E) admet trois solutios réelles α, β et γ, aarteat à trois itervalles de logueur,5. 5

17 6 questio Calculer, ar dichotomie, u ecadremet de chacue des solutios à la récisio 6. Elémets de solutio questio questio a) la restrictio f de f à I =, est cotiue et strictemet croissate,d arès le corollaire du th5 ci-dessus,c est ue bijectio de I sur,. aartiet à l itervalle image,doc admet u uique atécédet α ar f, de lus f( ) f( ) < ; docα,. b), c) O rocède de même sur les itervalles, et, +. questio Avec le rogramme réalisé au chaitre II, o trouve les ecadremets:, α, 76644, 7649 β, 7648, 9969 γ, 9969 EXERCICES Mêmes questios our les équatios suivates: Isoler et calculer u ecadremet de logueur -6 des solutios évetuelles des équatios suivates: x R ; x x = x R ; x 6x 5x + 5 = V Foctios racie -ièmes Foctio racie carrée f R + R est cotiue et strictemet croissate x x sur [, + [, f( ) =, lim f( x) = + 6 x + D arès le corollaire du th5, f est ue bijectio de [, + [ sur [, + [. Elle admet ue bijectio réciroque, otée f -, qui est aussi cotiue et strictemet croissate sur [, + [, ces deux roriétés our f - état admises.

18 7 y = f ( x) x = f( y) x [, + [ y [, + [ O ote f ( x) = x doc y = x x = y x [, + [ x [, + [ y= x Proriété C et C sot symétriques ar raort à la remière bissectrice du reère. f f Exercice Calculer u ecadremet de de logueur 6 x = x x = x ar dichotomie: Utilisos le rogramme dichotomie du chaitre II e iitialisat aisi : 6 Y = X, A =, B = ; P = Y = X, A =, B = ; P = 6 a =, 448 b =, 4444 a =, 448 b =, 4444 Doc dichotomies sot écessaires our arocher à mois de 6. Le roblème se ose d étudier des méthodes d aroche lus raides que celle-ci. Foctio racie cubique f R + R est cotiue et strictemet croissate sur[, + [, f( ) = et lim f( x) = +. x x x + D arès le corollaire c est ue bijectio, elle admet doc ue bijectio réciroque otée f, ous admettros qu elle est aussi cotiue et strictemet croissate sur [,+ [. y = x x y = O ote: x y 7 = ; 5 = 5, o ote aussi: x = x Exercice Calculer u ecadremet de de logueur x = x x f( ) = ; lim f( x) = + x + = x 6 ar dichotomie: a =, 599 b =, foctio racie -ième f R + R + + etier est cotiue et strictememet croissate sur R. x x. Doc, f admet ue bijectio réciroque égalemet cotiue et strictemet croissate sur R +. y = x x y O ote: = x y La réflexio d'axe D(y = x ) trasforme M(x,y) e M'(y,x). 7

19 8 5 6 Exercice Détermier u ecadremet de ar dichotomie de logueur O trouve a = 48697, et b = 48698,. CHAPITRE DISCUSSION DE L EQUATION X + X + q = I Forme réduite de l équatio du troisième degré II Nombre de solutios de x + x + q = ( q < ) III Cas de trois solutios distictes. Voir e Aexe des élémets de solutio des roblèmes. Disosat désormais des théorèmes sur les foctios cotiues sur u itervalle, il est ossible de statuer sur l existece et le ombre de solutios réelles das le cas gééral: ax + bx + cx + d = ( a ) O eut le faire sous la forme d u roblème roosé aux élèves das la rubrique: travaux ratiques. TRAVAUX PRATIQUES I Formes réduites de l équatio du troisième degré: Soit P u olyôme de degré, à coefficiets réels tel que: P( X) = ax + bx + cx + d questio a) O ose X= x+h. Motrer que l o eut trouver ue valeur de h our laquelle P(X) s écrive: a.q(x), où Q est u olyôme de la forme suivate : Q( x) = x + x + q ; R; q R. Motrer que P et Q ot le même ombre de racies réelles. O dira que Q est la forme réduite de P. b) Détermier la forme réduite des olyômes suivats: P( X) = X 6X + 5X 5 P( X) = X 5X + X + questio a) Das la suite, o désigera ar (E) l équatio réduite : x + x + q = Résoudre (E) das le cas =, ou q=. b) O suose désormais. Démotrer que : x + x + q = α solutio de ( E) α solutio de x + x q = O suosera désormais das la suite du roblème que q <. II Nombre de solutios de l'équatio x + x + q = ( q < ) questio a) Soit f défiie sur R ar f( x) = x + x + q, >, et q <. Etudier les variatios de f, e déduire que l équatio (E), das ce cas, admet ue solutio uique. b) Démotrer que l équatio: x + x = admet ue solutio uique que l o isolera das u itervalle d amlitude. questio Soit l équatio (E) :x + x + q = avec q <. O suose désormais <. a) Etudier les variatios de f. O ose M=f( ) et m = f( ). b) Démotrer que M a le sige du réel ( 4 + q ) c) Démotrer les roositios suivates: 4 + q > ( E) admet ue solutio uique 4 + q = ( E) admet deux solutios dot 4 + q < ( E) admet trois solutios distictes De lus, ous utilisos le ricie de Lagrage admis e S; lequel ricie est démotré au chaitre 4 de cet essai. Il serait eut-être lus aturel de lacer l'étude qui suit arès ce cha.4; ar soucis d'echaîemet avec les Théorèmes démotrés au cha., je le lace ici. 8

20 9 d) E déduire le ombre de solutios des équatios suivates: x x = ; x x = ; x x + 5 = E résumé: si l o ose = 4 + q. La discussio du ombre de solutios de l équatio réduitex + x + q = avec q < s' ecrit : > solutio uique > ue solutio uique < = deux solutios dot III Cas de trois solutios distictes < trois solutios distictes questio Etude d u exemle. Soit l'équatio das R : 4x x = ( ) a) Démotrer que () admet trois solutios réelles distictes aarteat à [-,]. Doer u ecadremet de logueur ½ our chacue d elles. b)démotrer la formule cos θ = 4 cos θ cos θ o osera x = cos θ das l équatio (). E déduire les valeurs exactes des trois solutios réelles (à l aide de la foctio cosius); doer des valeurs arochées de chacue d elles à 8 rès. questio Soit l équatio réduite x + x + q = ; < ; q < ; et 4q + q Nous savos qu elle admet trois solutios réelles distictes (II). a)démotrer que les solutios aartieet à l itervallei = [, ]. Re soudre ( E) si =. b) O suose alors <, motrer qu il existe deux réels q π θ et ψ tels que : x I, x = cos θ et cos ψ = ; ψ, c) Exrimer cosθ e foctio de cosθ et e déduire e foctio de ψ les racies de l équatio (E). questio Alicatio : résoudre das R x x = ; o doera les valeurs exactes des solutios. Remarque Cette méthode a l itérêt de coduire à des valeurs exactes des solutios lorsque cosψ doe u agle remarquable, π, π, π. Sio, la foctio Arccos, sur la calculatrice, 6 4 doe des valeurs arochées de ψ et ar suite des trois solutios. 9

21 CHAPITRE 4 COMPLEMENTS SUR LES DERIVEES EN TS Formulatio du roblème à artir d exemles.(activité réaratoire) iste (Cours) I Pricie de Lagrage II Iégalité des accroissemets fiis iste (Cours) I Théorème de Rolle II Théorème des accroissemets fiis et Pricie de Lagrage Voir e Aexe des élémets de solutio de l activité iitiale. PREAMBULE L aroche d ue solutio d ue équatio du troisième degré, ar dichotomie, coduit à la recherche de suites covergeat lus raidemet. C est le cas de la méthode du oit fixe, ou des tagetes (Newto) qui écessitet des savoirs comlémetaires sur les dérivées e TS. - dérivées et ses de variatio ; bie qu'admis e S, ous le démotros ici comme je l'aoce das la résetatio, avec le soucis de e as faire de cercle. - iégalité des accroissemets fiis. L'objectif reste le même : comme au chaitre récédet, das le trityque habituel: activité réaratoire, formalisatio (cours), et travaux ratiques, est-il ossible de rooser aux élèves de TS (Sécialité-Math) des démarches qui coduiset à démotrer, ar des moyes simles, quelques us des théorèmes imortats de l'aalyse élémetaire. Je distigue our cela deux istes. La remière rered la méthode ar dichotomie our démotrer le Pricie de Lagrage, avec our rérequis les suites adjacetes comme au chaitres récédets. Ce déveloemet reforce ecore l imortace théorique de la dichotomie e Aalyse, et coduit raidemet à l iégalité des accroissemets fiis. L uité des quatre chaitres est aisi réalisée. La secode iste, lus traditioelle, déjà exérimetée ar le assé e termiale, cosiste à admettre le théorème de Rolle (ou le démotrer simlemet) et à démotrer le théorème des accroissemets fiis et l iégalité du même om. O déduit efi de ceci le Pricie de Lagrage. Le réalisme et la simlicité sot les atouts de cette deuxième iste. FORMULATION DU PROBLEME A PARTIR D EXEMPLES (ACTIVITE PREPARATOIRE) Exemle Soit l équatio: x, x 6x 6 = ( ) questio Démotrer que l équatio () admet ue solutio et ue seule α,. Détermier, ar dichotomie, u ecadremet de α de logueur 6. Combie de dichotomies sot-elles écessaires? (Voir rogramme chaitre, II) questio a) Démotrer que l équatio () équivaut sur [,] à l équatio: x, ϕ( x) = x ( ) où ϕ ( x) = 6x + 6 ; x, +

22 Motrer que le réel α est l uique solutio de l équatio (). Le réel α vérifiat ϕ(α) = α est aelé u oit fixe de ϕ sur l itervalle I = [,]. b) Démotrer que l équatio () est l équatio aux abscisses des oits d itersectio de C ϕ et de la droite ( y = x). A( α, α) est l' uique oit d itersectio. A A C ϕ α u u u α (figure) (figure ) questio Itératio ar escalier motat (figure ). Soit la suite umérique défiie ar: u = N u + = ϕ( u ) a) Démotrer que ϕ( I) I, aisi la suite ( u ) est défiie our tout etier. Motrer que N u I. b) Reréseter géométriquemet u, u, u, et u. Voir idicatio cicotre. Que eut-o cojecturer our la suite ( u )? c) Démotrer que la suite ( u ) coverge vers α l uique oit fixe de ϕ sur [,]. O utilisera la cotiuité de ϕ sur [,] et e articulier e α. 4 questio A artir de l orgaigramme roosé ou d u autre (de votre iitiative), calculeru, u,..., u. Que eut-o coclure? (Voir orgaigramme e aexe ). Exemle Soit l équatio x, ; x + x = ( ) questio Démotrer que () admet ue solutio uique α [,/]. Détermier ar dichotomie u ecadremet de α d amlitude 6. Combie de dichotomies sot-elles écessaires? questio a) Démotrer que l équatio () équivaut sur I = [,/] à : ϕ( x) = x ( ), où ϕ est defiie sur, / ar ϕ( x) = x. Le réel α est doc l uique solutio de (), doc l uique oit fixe de ϕ sur [,/]. b) Démotrer que () est l'équatio aux abscisses des oits commus à C ϕ et (y = x).

23 y (y = x) A O / x questio Comme our l exemle récédet, o ose u = et u + = ϕ( u ). Calculer u, u,..., u. Que eut-o coclure? Pour la foctio ϕ, rechercher les roriétés qui diffèret etre les exemles et. Aisi, il est toujours ossible de rameer la résolutio et l aroche d ue solutio de l équatio du troisième degré à ue équatio à oit fixe ϕ(x) = x. L aroche de α se fait alors ar itératio du tye: u = + ϕ( u ). - Lorsque la méthode foctioe, la covergece semble lus raide que ar la dichotomie. Pourquoi? O e eut réodre dès maiteat. - Parfois, le oit fixe α e eut être aroché ar itératio( exemle ). Pourquoi? Commet faire das ce cas our accélérer la covergece vers α. Nous essaieros de réodre, e artie, au chaitre 5.

24 I LE PRINCIPE DE LAGRANGE EN TS (SPECIALITE MATH) ( iste) Les rérequis: Suites mootoes et borées, suites adjacetes et les Théorèmes admis sur les limites de suites et de foctios, coformémet au rogramme de Jui 994. ACTIVITE LIMINAIRE -A- Lige droite et liges brisées fig Le la est raorté à u reère orthoormal R( O, i, j ). Soit trois oits A, B et C disticts deux à deux, dot les coordoées sot resectivemet : (a,a ), (b,b ) et (c,c ). O désige ar W,U, et V les coefficiets directeurs resectifs des droites (AB), (AC) (CB). Das ce reére ous diros, ar commodité" ete" d'ue droite our coefficiet directeur. a) Démotrer que U,V et W vérifiet la relatio suivate : (b-a)w = (c-a)u + (b-c)v E d autres termes, ous diros que, sur la droite réelle, W est le barycetre du système : {(U,(c-a));(V,(b-c))} b) Que eut-o dire de W si c= a + b? c) A quelle coditio ortat sur a,b et c, le réel W est-il comris etre U et V? Das la suite, o éocera ce résultat sous la forme suivate: lemme Si a < c < b, alors la ete de (AB) est comrise etre celle de (AC) et celle de (CB). -B- Petes des sécates à Cf Soit ue foctio f défiie et dérivable sur le segmet [a,b], sa dérivée état ositive; c'est à dire: x a, b f'( x). Doc la ete de la tagete e tout oit du grahe est toujours ositive; il est raisoable de cojecturer à artir du grahe Cf que f est croissate sur [a,b]. Raisoos ar l'absurde e suosat qu'il existe deux oits C et D de Cf, d'abscisses c et d, c < d, tels que la sécate (CD) ait ue ete égative. Voyos les coséqueces de ceci. Je remercie Sylviae Gasquet (Auteur de " Feêtres sur courbes" )de m'avoir raelé cette roriété qui simlifie la rédactio de ce lemme.

25 4 HYPOTHESE Aisi, il existe c et d tels que: a c < d b et f( d) < f( c) INTERPRETATION GEOMETRIQUE O désige ar C, D et E les oits de Cf d abscisses resectives c, d et (c+d)/.(voir figures, et 4 ci-dessous ) ;O rered les otatios du A our U,V,et W. fig fig fig 4 Si la ete de la corde (CD) est égative, les figures ci-dessus motret que écessairemet l'ue des etes des cordes (CE) ou (ED) est égalemet égative. Aisi o costruit ue suite de cordes de Cf telles que: les etes des cordes sot égatives, et ous verros, décroissates. Il est doc légitime de se oser la questio; ces cordes ot-elles our ositio limite ue tagete à Cf, de ete égative, e u oit dot l'abscisse est défii ar deux suites adjacetes? D'ou la cotradictio. C Formalisatio des cosidératios géométriques (ACTIVITE) ENONCE questio E utilisat le A démotrer la roriété P suivate : «Si f est défiie sur [a,b] et s il existe deux réels c et d de [a,b] tels que c < d et f(d) < f(c) alors il existe deux réels c et d aarteat à a, b tels que : d c f( d) f( c) f( d) f( c) c c < d d ; d c = ; < ; l u des réels d c d c c + d c ou bie d état égal à.» questio Démotrer, ar récurrece sur l etier, que la roriété P suivate, est vraie our tout etier.o osera c = c et d = d. P «si f est défiie sur [a,b] et s il existe c et d de [a,b], tels que : c < d et f(d) <f(d) ALORS IL EXISTE deux suites ( c ) et ( d ) de réels de [c,d] tes d c que:c c... c < d... d d ; d c = et f ( d f c ) ( ) f( d) f( c) <.» d c d c questio E déduire que les réels c et d défiisset deux suites adjacetes dot la limite commue sera aeléeα, α c, d. 4

26 5 COURS D Etude de la ositio limite des sécates ( C D ) La roriété du B ous ermet d affirmer qu il existe u réel α de l itervalle [c,d] ; limite commue de deux suites adjacetes( c ) et ( d ), costruites ar dichotomie au B. O aelle F le oit de Cf d abscisse α, et our tout etier aturel, o désige ar W, U, et V les coefficiets directeurs des droites ( CD ), ( CF) et ( FD ). Eclairage géométrique Voir figures (5) et (6) ci-dessous C C U F W U D W V F V D c α d c α d fig5 fig6 lorsque ted vers l ifii, ( c ) coverge versα et le o it C ted vers le o it F sur la courbe Cf ; de même ( d ) coverge vers α et D ted vers le o it F sur Cf. O eut doc cojecturer que les cordes ( FC ) et ( FD ) ot our ositio limite la tagete e (F( α, f( α)) de coefficiet directeur f ( α). Soit (t Ft) cette tagete, ar hyothèse f ( α) la ete de cette droite est doc ositive ou ulle. Or d'arès le lemme (au A) (voir fig5 et 6) f( d) f( c) est comris etreu et V. Que deviet W la ete de la droite ( C D ) quad d c ted vers l ifii? démostratio: le lemmedit: la ete de( CD ) est comrise etre celle de ( CF) et celle de ( FD ).E d'autres termes, o eut éocer: W est le barycetre du système( U, α c );( V, d α) ; les coefficiets α c et d α état ositifs, N W U, V ou V, U ( ) Soit l alicatio "taux d accroissemet etre α et x" défiie ar f( x) f( α) x a, b α ϕ( x) = x α ϕ( c ) = U et ϕ( d ) = V. Puis lim( c ) = lim( d ) = α et lim ϕ( x) = f ( α) Par comositio des limites il viet doc : lim( ϕ( c )) = lim( U ) = f ( α) () et lim( ϕ( c )) = lim( V ) = f ( α) () x α 5

27 D arès les relatios (), W U U V ; uisque lim( U V ) = alors lim( W U ) = ; uisque (U ) coverge vers f ( α ),la suite( W ) coverge aussi vers f ( α ): lim( W ) = f'( α) ( 4 ) d'où le résultat: Lemme Si f est dérivable e u oit α, si ( c ) coverge vers α e croissat f d f c et ( d ) coverge vers e decroissat, alors ( ( ) α ( ) ) coverge vers f'( α). d c 6 Par ailleurs, raelos la roriété démotrée au B, elle etraîe : N W f ( d ) f ( c ) f( d) f( c) < lim( W ) < d c d c f( d) f( c) Aisi f ( α) <, soit f ( α) < d c Ce résultat cotredit l hyothèse, doc écessairemet si c < d alors f(c) f(d). Aisi f est croissate sur [a,b]. Si our tout x de [a,b], f ( x), e aliquat le résultat récédet à -f, o obtiet : si f ( x) sur [a,b] alors f est décroissate sur cet itervalle; cocluos: théorème ( ricie de Lagrage) Si f est dérivable sur [a,b] et f ( x) sur [a,b](res. f ( x) sur [a,b] )alors f est croissate ( res décroissate ) sur cet itervalle. Corollaire Si f est dérivable sur [a,b] et sa dérivée ulle sur [a,b] alors f est costate sur cet itervalle. Preuve du corollaire: x [ a, b] f'( x) et f'( x). Doc le théorème imlique: f est croissate et décroissate sur [a,b]. Soir u réel fixé x [a,b]. Pour tout x [a,b]: si x < alors f( x) f( x ) et f( x) f( x ) doc f( x) = f( x ). De même si x > x alors f( x) = f( x ). Remarque : Si f (x) sur u itervalle I qui est as u segmet (fermé boré) les démostratios ci-dessus restet vraies. O éocera le théorème et so corollaire e remlaçat au besoi [a,b] ar: ]a,b[, [a,b[, ]a,b] où a et b sot des réels, ou +, ou. Remarque : Si f (x) sur u itervalle I de R et e s aule sur aucu sous-itervalle de I, o eut e déduire que f est strictemet croissate sur I. Preuve: Suosos qu il existe c et d de l itervalle I tels que: f (x) sur I et f(c) = f(d) Alors le théorème imlique: f est croissate (au ses large) sur [c,d]. Pour tout x de [c,d], o a doc: f(c) f( x) f( d); doc f(x) = f(d) et f est costate sur l itervalle [c,d], ce qui est cotraire à l hyothèse. Corollaire : E termiale S (SécialitéMath) il suffit d éocer our les besois: Si f est dérivable sur l itervalle I de R et f (x) sur I, f s aulat seulemet e u ombre fii de oits, alors f est strictemet croissate sur l itervalle I. 6