Exercices d Analyse IV. Solution: Une méthode relativement générale est de poser:

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Exercices d Analyse IV. Solution: Une méthode relativement générale est de poser:"

Juliette Lafond
il y a 4 ans
Total affichages :

1 Exercices d Anlyse IV Philippe Metener FSB-SMA-MATHAA SGM, SEL, S Corrigé de l série 4 1. Soit un ouvert D R et u C (D), hrmonique dns D: A prtir de u x et u y ; construire une fonction f H(D): Solution: Une méthode reltivement générle est de poser: f() = f(x + iy) = A(x; y) + ib(x; y) = u x + bu y + i (cu x + du y ) ; et de déterminer ; b; c et d vi les reltions de Cuchy-Riemnn: A x = B y () u xx + bu xy = cu xy + du yy =) c = b et d = A y = B x () u xy + bu yy = (cu xx + du xy ) qui est véri é. f() = f(x + iy) = ( + ib)(u x iu y ): Même plus; si g H(C); lors h() = g(f()) H(D): Pr exemple g(w) = e w et f() = u y + iu x =) h() = e f() = e uy+iux = e uy (cos u x + i sin u x ) : Solution générle: Posons f() = f(x + iy) = A(; b) + ib(; b); où = u x et b = u y ; trouver les équtions que stisfont A et B et si possible trouver l solution générle. Les reltions de Cuchy-Riemnn donnent: (A + B b ) u xx + (A b B ) u xy = ; (A b B ) u xx + (A + B b ) u xy = : i. e. : (A + B b ) + (A b B ) = () A + B b = ; A b B = : Conclusion: si grd u C 1 (D; ) et si h(w) = h( + ib) = B(; b) + ia(; b) H(); lors f() = i h grd u = A(u x ; u y ) + ib(u x ; u y ) H(D): 1

2 . Soit un ouvert D C et f H(D); existe-t-il F H(D) telle que F () = f() dns D? Solution: Soit f(x+iy) = u(x; y)+iv(x; y); existe-t-il F (x+iy) = A(x; y)+ib(x; y), vec: F () = A x + ib x = u + iv et F () = B y ia y = u + iv? Autre formultion: peut-on trouver A et B telles que: (u; v) = = grda et (v; u) = = grdb? Or rot = e (v x + u y ) = et rot = e (u x v y ) = pr Cuchy-Riemnn. En conclusion, si D est simplement connexe, A et B existent. 3. Soit un ouvert D C, F H(D) et D un rc lisse; si est d origine 1 et d extrémité I ; lors: F ()d = F ( ) F ( 1 ); si est un rc simple fermé, lors F ()d = : Solution: Notons pr P 1; ; les points de D R qui représentent les nombres complexes 1; ; puis écrivons F () = u(x; y) + iv(x; y) et: F ()d = (u x + iv x ) (dx + idy) = u x dx v x dy + i u x dy + v x dx = Cuchy Riemnn u x dx + u y dy + i v x dx + v y dy = grd u d r + i grd v d r = u(p ) u(p 1 ) + i (v(p ) v(p 1 )) = u(p ) + iv(p ) [u(p 1 ) + iv(p 1 )] = F ( ) F ( 1 ): Si I est un rc simple fermé; idem qu en nlyse vectorielle et F ()d = : 4. Soit le cercle = f C j jj = 1g, orienté positivement; sns utiliser le théorème de Cuchy, clculer les intégrles complexes ci-dessous: ) e + b + c d; b) d; c) + b + c d; d) + 1 d; ; b; c; w C; jwj 6= 1: w

3 Solution (): F () = F () = e H(C) donc Solution (b): + b + c d = d + b e d = pr l ex.3. d d d + c = c ; cr seul le terme 1 n ps de primitive holomorphe dns un ouvert qui contient et pr un clcul direct: d c Solution (c): + b + c d = = c =e it ie it dt = ic: eit d d d d + b + c = b c ( 1 ) d = ib; cr 1 est holomorphe dns C fg : Solution (d): Pr division on obtient w d = w = + w + w + 1 ; pour écrire: w ( + w) d + w + 1 d w = w + 1 d w : () si jwj > 1; il existe une demi-droite, d; émnnt de w; telle que d \ = ;; insi Log ( w) H(C d) est une détermintion telle que (Log ( w)) = 1 w dns C d ; pr suite + 1 d = : w (b) si jwj < 1; il s git de clculer directement I = vient: d w ; en posnt w = rei ; r < 1; il I = e it I = i ie it dt re = i i dt 1 re it = i 1 r cos t ir sin t dt =) 1 + r r cos t les prités 1 r cos t 1 x dt; introduire cos t = 1 + r r cos t 1 + x vec x = tg t ; 3

4 1 1 r + (1 + r)x dx I = 4i (1 r) + (1 + r) x 1 + x = i x + 1 r (1 r) + (1 + r) dx; x r I = i rctn x + rctn 1 r x = i + = i: Conclusion: + 1 w d = i(w + 1): 5. Clculer les intégrles complexes ci-dessous, où les courbes sont orientées positivement: e e i) d et ii) d; où = f C j jj = 1g ; iii) d et iv) d; où = f C j jj = g : ( + 1) Solution (i): f() = e H(C) et l représenttion intégrle de Cuchy donne: f(w) = 1 i f() w d = 1 i e w d = ew ; 8w tel que jwj < 1: Si w = ; lors: e = 1 = 1 e i d, donc: e d = i: Solution (ii): L représenttion intégrle de Cuchy se générlise : f (k) (w) = k i f() k d = ( w) k+1 i e ( w) k+1 d = ew ; 8w tel que jwj < 1: Ici, k = et w = ; donc: e d = i: 3 Solution (iii): Division et éléments simples donnent: = = + + i + 4 i ; où = 1 ( 1 + i) :

5 Or i sont intérieurs à ; insi: d = d + d + i + d i = (i) + (i) = i( + ) = i: Solution (iv): Les éléments simples donnent: ( + 1) = + i + i + b ( + i) + b ( i) ; où = 1 + i 4 et b = 1 4 i 4 : Comme 1 = i ( i) dns f C j jj ; 6= ig ; nous vons: d ( i) = ; insi: ( + 1) d = d + i + d i = i: 6. (Exercice complémentire) Si f : [; b] C, continue, lors: b b f(t)dt jf(t)j dt: Solution: Ecrivons f(t) = u(t) + iv(t); où u; v C ([; b]) ; donc intégrbles u sens de Riemnn; insi: b b f(t)dt = lim M1 M f(t k ); où t k = + k (b ); k M: M b f(t)dt = lim b M1 M f(t k ) = lim b f(t k ) M1 M lim b M1 M jf(t k )j = lim M1 b M p u (t k ) + v (t k ) () = b p b u (t) + v (t)dt = jf(t)j dt: L églité () est obtenue, cr p u (t) + v (t) est continue sur [; b] : 7. (Exercice supplémentire) Soit le demi-cercle C R = C : = R e i ; ; R > ; e montrer que lim R1 CR i d = : + 1 5

6 Solution: CR e i + 1 d = ir e i exp ir e i (R e i i) (R e i + i) d = ir e i exp (R ( sin + i cos )) d (R e i i) (R e i + i) + 1 d = R CR e i e R sin e i ir cos e = ir (R e i i) (R e i + i) d: e R sin e i ir cos e (R e i i) (R e i + i) d (ex. 6) R Or e i e ir cos = 1 et e R sin 1; cr sin ; de plus si R > 1; R e i i "distnce minimum de i à C R " = R 1; e R sin e i e ir cos jr e i ij jr e i + ij d: R e i + i "distnce minimum de i à C R " = p R + 1 R: Conclusion: + 1 d R d R(R 1) = R 1 CR e i : R1 6

Documents pareils

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler