M : Zribi 4 ème Maths Exercices. Liste 34

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1 Exercice : soit f : x x 4x /a/ étudier les variations de f b/ construire sa courbe représentative / a/ soit la courbe représentative de g : x x+- 4x démontrer que et sont symétrique par rapport au point I(-,-) b/ comment obtient-on a partir de la courbe ={M(x,y) ;y²-(x+)y-x+=0} Exercice : soit f :x cos x sin x cos x sin x / déterminer l ensemble de définition E de f / établir que pour tout xe, f(x)=f(x+) 3/ étudier les variations de f sur ]-/,/[ 4/ montrer que A(/4,0) est un centre de symétrie de la courbe de f 5/ calculer f (0) et f (/4) 6/ construire (unité 3cm) Exercice 3: I/ on considère la fonction f : x x+ 4x ² / étudier la continuité et la dérivabilité de f aux points d abscisses / et ½ et déterminer la dérivée f sur les intervalles ou elle est définie / démontrer les équivalences suivantes : a/ 4x 4 0 x]-,-/] b/ 4x 4 0 x, 5 c/ en déduire le tableau de variations de f 3/ étudier les branches infinies de f et construire f dans un repère orthonormé 4/ soit h la restriction de f a l intervalle I=]-,-/] a/ montrer que h admet une réciproque h - et construire sa courbe b/ déterminer h - (0) et l équation de la tangente à II/ soit g la fonction définie sur [-,] par g(x)= cosxcosx / étudier la continuité et la dérivabilité de g sur [-,] et montrer qu on peut étudier g sur [0,] / calculer g (x) pour x]0,] ; résoudre dans ]0,] l inéquation 0 - cosx et déduire les variations de g sur [0,]

2 3/ construire g dans un repère orthogonal ( i 3; j 0) 4/ montrer que l équation g(x)=x admet une solution unique [0,/] Exercice 4: Soit la fonction f définie par f(x)= x ² x / dresser le tableau de variations de f / montrer que l'équation f(x)=x admet dans IR une solution unique et que ] 3,[ 3/ soit g la restriction de f à [-,] a) montrer que g réalise une bijection de [-,] sur un intervalle J que l'on précisera b) Déterminer le domaine de dérivabilité de g - c) Explicité g - (x), xj et (g - )'(x) d) Construire g et - g dans un repère orthonormé (O, i, j ) 4/ soit U la suite réelle définie sur IN par a) montrer que pour tout nin, 3 U n b) Montrer que pour tout x[ 3,], f'(x) 5 9 c) En déduire que U n U n- d) Montrer alors que U n ( 5 9 )n - e) En déduire lim U n n U 0 U n f ( U n), n IN x f tgx si x ( ) ( ) 5/ soit la fonction définie sur [-,0] par ( ) a) montrer que pour tout x[-,0], (x)= sin x b) Montrer que vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et déterminer x 0 ]-,0[ tel que '(x0 )=0 c) Etudier les variations de

3 Exercice 5: soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=+ x A/ / étudier les variations de f sur IR / soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) ; préciser les asymptotes de 3/a/ montrer que admet un point d inflexion I que l on précisera b/ écrire un équation de la tangente T à en I c/ préciser la position relative de T et 4/ a/ tracer et T dans le même repère (O, i, j) b/ que représente I pour? justifier 5/ a/ montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l on déterminera b/ calculer l expression de f - (x) pour xj c/ tracer la courbe de f dans (O, i, j) B/ / a/ montrer que l équation f(x)=x admet une solution réelle unique b/ vérifier que ],[ U 0 / soit la suite U définie sur IN par : U n f ( U n) n IN a/ montrer que pour tout nin ; U n b/ montrer que pour tout x [,+[ ; on a 0 f (x) c/ en déduire que pour tout n IN ; U n+ - Un - d/ montrer que pour nin ; U n+ - ( ) n U 0 - e/ en déduire que U converge et déterminer sa limite C/ soit g la fonction définie sur ]-, [ par g(x)=tgx; on pose h= fog et k= fog / expliciter h et k pour tout x]-, [ cos / montrer que k est dérivable sur ]-, [ et que k'(x)= x ( sin x )² 3

4 3/ en déduire que k réalise une bijection de ]-, [ sur un intervalle J' que l'on précisera 4/ étudier la dérivabilité de k - sur J' et calculer (k - )'(x) Exercice 6 : A/ soit f la fonction définie sur [-,[ par f(x)= x x et sa courbe représentative dans un repère orthonormé / a/ montrer que f est dérivable sur ]-,[ et que f (x)= ( x )² f ( x ) b/ étudier la dérivabilité à droite de f en et interpréter géométriquement le résultat obtenue c/ dresser le tableau de variation de f / a/ donner une équation cartésienne de la tangente T à la courbe au point A d abscisse 0 f( x) b/ vérifier que pour tout x[-,[; f(x)-(x+)= ; en déduire que la courbe est au dessus de T c/ construire et T 3/ a/ montrer que f réalise un bijection de [-,[ sur R + ; soit g la fonction réciproque de f b/ donner l expression de g(x) pour xir + c/ construire sa courbe dans le même repère que B/ soit h la fonction définie sur ]0,+ [ par h(x)=+ x / a) dresser le tableau de variations de h b) montrer que l'équation h(x)=x admet dans ]0,+ [ une unique solution et que ],[ U 0 3 / soit U la suite définie par U n h( Un), nin a) montrer que pour tout x ; h '(x) b) Montrer que U n+ U n c) En déduire que U est convergente et calculer sa limite g(0) C/ soit g la fonction définie sur [0, [ par 4 tgx g( x) h[( )²] si x 0 tgx 4

5 / montrer que pour tout x[0, [; g(x)= 4 tgx / montrer que g réalise une bijection de [0, 4 [ sur un intervalle I que l'on précisera 3/ montrer que g - est dérivable sur I et que pour tout xi; (g - )'(x)= x 5