Mathématiques : statistiques et simulation

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Mathématiques : statistiques et simulation"

Transcription

1 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 Uiversité de Picardie Jules Vere 0-0 UFR des Scieces - LAMFA CNRS UMR 640 PAF Amies - Formatio Eseigemet des Mathématiques - 0 javier 0 Mathématiques : statistiques et simulatio Itroductio : échatilloage et proportio (Extrait du documet ressource pour la classe de secode) Das le ses commu des sodages, u échatillo est u sous-esemle oteu par prélèvemet aléatoire das ue populatio. E statistique, u échatillo de taille est est la liste des résultats oteus par répétitios idépedates de la même expériece. Par exemple : - 00 lacers d ue pièce, e oservat les apparitios de Pile ; - 00 lacers d u dé à 6 faces, e oservat les apparitios du 4 ; - 00 tirages succcessifs avec remise d ue oule das ue ure coteat oules laches et oule verte, e oservat les apparitios d ue oule lache. Ces trois exemples relèvet du modèle de Beroulli qui affecte la proailité p au omre, et la proailité pau omre 0. Das les deux premiers exemples, p peut être vue "directemet" comme ue proailité. Das le derier cas, p pourrait être d aord vue comme la proportio de oules laches das l ure, mais c est aussi la 3 proailité d oteir ue oule lache lors d u tirage. Das les trois cas, ce calcul de proailité (sur u esemle fii) relève du programme de secode. Le résultat d ue expériece aléatoire à issues peut être représeté par la Loi de BeroulliBp Soit,A,P u espace proailisé. Ue variale aléatoire X suit la loi de Beroulli de paramètre p 0,, que l o otebp, si et seulemet si X est à valeurs das0;, et PX p et PX 0 p. O a alors EX p et VarX pp. Exemple d ue ure coteat ue proportio p de oules laches 3 O tire ue oule au hasard das l ure : le omre de "oule lache" oteu e u tirage est ue variale aléatoire X de loi de BeroulliBp : PX p 3 et PX 0 p 3. O a EX 3 et VarX Si o effectue 00 tirages avec remise d ue oule, o oserve la réalisatio de X, X,..., X, variales aléatoires idépedates de même loi que X. O dit que l o a u échatillo aléatoire simple de taille 00 de loi de Beroulli de paramètre p 3. Le omre de "oules laches" oteues e 00 tirages est la variale aléatoire X i. La fréquece de "oules laches" oteue est la variale aléatoire : F X i i C est ce poit de vue qui est suivi pour le travail de simulatio de ces situatios. Remarquos qu à ce stade, il est pas écessaire de coaître les lois de proailité de ces variales aléatoires. Il faut seulemet savoir simuler des et des 0, avec proailité p et p.. i Stéphae Ducay

2 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 Ayat procédé par répétitios idépedates d expérieces, F X i suit la loi Biomiale i B,p B 00; 3. Loi BiomialeB,p (vue e première) Soit,A,P u espace proailisé. Ue variale aléatoire X suit la loi de Biomiale des paramètres et p 0,, que l o ote B,p, si et seulemet si X est à valeurs das0,,...,, et pour tout PX k k p k p k. O a alors EX p et VarX pp. Reveat à F, o a alors EF EF p et VarF VarF pp, d où EF p 3 et VarF pp 9. O costate doc que lorsqu o augmete la taille de l échatillo, l espérace de F reste costate, alors que la variace dimiue. Ce que l o peut oserver sur les simulatios (e secode), et qui est cofirmé par la otio de variale aléatoire (e première et termiale), c est que pour répétitios idépedates d expérieces de Beroulli : - différets échatillos de taille peuvet doer différetes fréqueces f d apparitio du omre ; - ces différetes fréqueces f fluctuet autour de la valeur p, e restat "presque toutes" das u itervalle cetré e p.. Itervalle de fluctuatio : e secode, e première, e termiale.. E secode : simulatios et prise de décisio Cojecture à partir des simulatios : F appartiet à l itervalle de fluctuatio p ; p avec ue proailité d au mois 0,95. Coditios d applicatio : 5, p compris etre 0, et 0, 8, seuil 95%. Sur les simulatios, o oserve que f est das l itervalle échatillos. Utilisatio de l itervalle de fluctuatio pour la prise de décisio : p ; p pour eviro 95% des - si p est coue, et que f appartiet pas à p ; p, o cosidère que l échatillo est pas représetatif ; l oservatio de f est pas compatile avec la valeur de p, au ses où ue oservatio e dehors de l itervalle de fluctuatio e s otiet que pour eviro 5% des échatillos. - si l o fait ue hypothèse sur sa valeur de p, disos p p 0, et que f appartiet pas à p 0 ; p 0, o cosidère que l oservatio de f est pas compatile avec la valeur p 0 supposée de p, que l o rejettera avec u risque d erreur de 5%. Exemple d applicatio de l itervalle de fluctuatio Das ue certaie espèce de rogeur, o a compté 06 mâles sur 400 aissaces. Cela est-il coforme à l hypothèse d équiproailité male/femelle à chaque aissace? O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio : les rogeurs d ue certaie espèce. Variale : le sexe, à deux modalités (mâle et femelle), représeté par ue variale aléatoire de loi de BeroulliBp, où p est la proportio de mâles das la populatio ; o a aisi PX p et PX 0 p. Stéphae Ducay

3 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 i EchatilloX,X,...,X de taille 400 de X. Oservatio de l échatillo : x,x,...,x,,0,,...,0. X i i Estimateur de la proportio p : F, proportio (ou fréquece) de mâles das l échatillo, où X i représete le omre de mâles de l échatillo. x i i Estimatio poctuelle de la proportio p : f mâles das l oservatio de l échatillo. Supposos l équiproailité male/femelle à chaque aissace, autremet dit que p 0,5. Pour u échatillo de 400 aissaces, l itervalle de fluctuatio de F est 0.55, fréquece (ou proportio) de p ; p ; ; Notre oservatio f 0.55 appartiet à l itervalle de fluctuatio : elle est doc coforme à l hypothèse p 0,5, qui est doc pas rejetée au rique 5%... E première : avec la loi Biomiale O s appuie ici sur le documet d accompagemet qui précise le coteu «Utilisatio de la loi iomiale pour ue prise de décisio à partir d ue fréquece» et la capacité correspodate, «Exploiter l itervalle de fluctuatio à u seuil doé, détermié à l aide de la loi iomiale, pour rejeter ou o ue hypothèse sur ue proportio», des programmes du lycée. Cosidéros ue variale aléatoire X de loi BiomialeB,p. Cette variale aélatoire est à valeurs etières das l itervalle 0,. O cherche à partager l itervalle 0,, où X pred ses valeurs, e trois itervalles0,a,a, et, de sorte que X pree ses valeurs das chacu des itervalles extrêmes avec ue proailité proche de 0,05, sas dépasser cette valeur. E taulat les proailités cumulées PX k, pour k allat de 0 à, il suffit de détermier le plus petit etier a tel que PX a 0,05 et le plus petit etier tel que PX 0,975, c est-à-dire PX 0,05. Autremet dit, a est le plus grad etier tel que PX a 0.5. O oserve aussi que a. O a aisi PX a X PX a PX 0.05 et doc Pa X P X a X 0.95, e état "assez proche" de Comme F X, o a aisi P a F 0.95, e état "assez proche" de La règle de décisio est la suivate : si la fréquece oservée f appartiet à l itervalle de fluctuatio à 95 % a,, o cosidère que l hypothèse selo laquelle la proportio est p das la populatio est pas remise e questio et o l accepte ; sio, o rejette l hypothèse selo laquelle cette proportio vaut p. Pour 30, p 5 et p 5, o oserve que l itervalle de fluctuatio a, est sesilemet le même que l itervalle p, p proposé das le programme de secode. Utilisatio pour la prise de décisio : aalogue à ce qui est fait e secode.3. E termiale : avec la loi Normale F O s appuie sur le fait que si est suffisammet grad, U p suit approximativemet la loi pp ormalen0;. O détermie le réel u tel que Pu U u. Pour 5%, o a u Stéphae Ducay 3

4 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 O e déduit l itervalle de fluctuatio asymptotique IF p p iveau. Coditios d applicatio : 30, p 5 et p 5, seuil. pp u ; p pp u au Utilisatio pour la prise de décisio : aalogue à ce qui est fait e secode et première. Lie avec l itervalle de fluctuatio au seuil 95% doé e secode : - pour tout p 0,, o a 0 pp 4, 0 pp, pp u.96 IF p IF p p ; p et doc o a l iclusio d évéemets et doc PF IF p PF IF p 0.95 : IF p p ; p est u itervalle de fluctuatio de F de iveau (supérieur ou égal à) pour tout p 0.,0.8, o a 0.6 pp 0.5, 0.4 pp 0.5 et doc pp u Itervalle de cofiace : e secode et e termiale.. E secode L apparteace de F à l itervalle de fluctuatio p ; p équivaut à l appartece de p à F ; F. Aisi, l itervalle de cofiace F ; F 0,95. Sur les simulatios, o oserve que p est das l itervalle échatillos. cotiet p avec ue proailité d au mois f ; f pour eviro 95% des Utilisatio de l itervalle de cofiace pour l estimatio de p icoue : à partir de l oservatio f, o otiet ue fourchette coteat p au iveau de cofiace 0,95. Exemple d itervalle de cofiace Repreos l exemple précédet, pour lequel o a oservé f 0.55 sur u échatillo de taille 400. Itervalle de cofiace de la proportio p : f ; f ; ; E termiale Le résultat vu e secode est validé par le calcul de l itervalle de fluctuatio IF p vu ci-dessus. L itervalle de cofiace f f f f u, f f u vu das le supérieur est pas au programme. Stéphae Ducay 4

5 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 3. Nouvelles otios e termiale 3.. Variale cetrée réduite Ue variale aléatoire X est dite cetrée réduite si so espérace est ulle et so écart-type vaut, ce qui s écrit EX 0 et X Soit maiteat ue variale aléatoire X telle que EX m et X 0 ; o a doc 0. La variale aléatoire X m a ue espérace ulle. La variale aléatoire X a u écart-type égal à. La variale aléatoire Z X m a ue espérace ulle et u écart-type égal à. O dit que Z est la variale aléatoire cetrée réduite associée à X. Valeurs de X et valeurs de Z. Si X pred ses valeurs etre a et, X m pred ses valeurs etre amet met Z X m pred ses valeurs etre am et m. O a alors, pour toute valeur k de X, PX k P Z k m. Z Exemple avec X de loi BiomialeB; p, avec p 0, O a EX p et X pp. Comme X pred ses valeurs etre 0 et, X p pred ses valeurs etre p et p et X p pred ses valeurs etre p p p et p p p. pp pp pp O a alors, pour tout etier k compris etre 0 et, PX k P Z k m k p k p k. O a EZ 0 et Z. Visualisatio graphique sur la feuille Excel. Itérêt de cetrer et réduire : l espérace et l écart-type de Z e dépedet plus de ceux de X. 3.. Loi ormale cetrée réduiten0; Cosidéros ue variale aléatoire X de loi BiomialeB; p, avec 00 et p 0,5, et la variale aléatoire Z X 50 cetrée réduite associée à X 5. Costruisos le diagramme e âtos de la loi de proailité de Z. Costruisos u histogramme associé : à chaque valeur k o fait correspodre u rectagle dot l aire est égale à PX k P Z k 5 50 et de ase de logueur cetrée sur k Les sommets des âtos, comme les ords supérieurs des rectagles, fot apparaître ue coure e cloche, l aire située sous cette coure état voisie de l aire de la réuio des rectagles. x De Moivre a découvert que cette coure représete la foctio défiie par fx e. O otiedrait par exemple : 60 P45 X 60 k45 P X 50 5 e x dx PX k k k P Z k45 P Z k 50 5 Stéphae Ducay 5

6 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 Cojecture. Lorsque deviet grad, à p fixé, la largeur des rectagles est de plus e plus petite. pp L aire correspodat à Pa Z semle se rapprocher de l aire située sous la coure e cloche, x c est-à-dire de e dx. a Théorème de Moivre-Laplace O suppose que pour tout etier, la variale aléatoire X suit la loi BiomialeB,p. X O pose Z p pp, variale cetrée réduite associée à X. Alors, pour tous réels a et tels que a, o a : lim Pa Z a e x dx. Défiitio. Loi ormale cetrée réduiten0;. x Posos fx e pour tout réel x Ue variale aléatoire X suit la loi ormalen0; si, pour tous réels a et tels que a, o a : x e dx. La foctio f est appelée foctio de desité (ou desité de proailité) de la loin0;. Pa X a fxdx a O a EX 0, VarX et X. Coséquece sur la loi de F. Rappelos que F X. O a alors Z X p pp F p pp Le théorème de Moivre-Laplace idique alors que, pour assez grad, Z approximativemet la loi ormalen0;.. F p pp suit Théorème Si X est ue variale aléatoire suivat la loi ormalen0;, alors, pour tout 0,, il existe u uique réel positif u tel que Pu U u Lois ormalesn; Défiitio. Ue variale aléatoire X suit la loi ormalen; si la variale aléatoire Z X suit la loi ormale N0;. C est ue loi à desité, e ce ses qu il existe ue foctio g défiie sur telle que, pour tous réels a et tels que a, o a : Pa X a gxdx. O a EX, VarX et X. Stéphae Ducay 6

7 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier Loi uiforme sur u itervalle a, Défiitio. Soiet deux réels a et tels que a. Ue variale aléatoire X suit la loi uiforme sur a, si pour tous réels c et d tels que a c d, o a Pc X d c d fxdx, avec fx pour tout x dasa,. a Ce qui doe Pc X d a dc. Propositio Si ue variale aléatoire X suit la loi uiforme sur 0,, alors la variale aléatoire Y ax a suit la loi uiforme sura,. Ce résultat motre que l o peut simuler la loi uiforme sur a, à partir la loi uiforme sur 0,. O a même u résultat plus gééral. Propositio Soit X ue variale aléatoire et F X sa foctio de répartitio. Si F X est cotiue et strictemet croissate, alors - Y F X X est ue variale aléatoire de loi uiforme sur 0,. - si U suit la loi uiforme sur 0,, alors Z F X U suit la même loi que X. O peut utiliser ce derier résultat pour simuler la loi expoetielle Loi expoetielle Défiitio. Soit u réel 0. Ue variale aléatoire X suit la loi expoetielle de paramère si pour tous réels c et d tels que 0 c d, o a : Pc X d c d fxdx, avec fx e x pour tout x 0. Ce qui doe Pc X d e c e d, et e particulier PX d e d. 4. Méthode de Mote Carlo et applicatios Voir [D-M]. La méthode de Mote Carlo peut être défiie comme toute techique umérique de résolutio de prolème au moye d u modèle stochastique das lequel o utilise des omres aléatoires. Développée vers 949, elle est attriuée à Joh vo Neuma et Staislav Ulam (mathématicie américai. La référece au casio rappelle que la roulette permet de géérer des omres aléatoires. Elle peut être utilisée pour : - l estimatio d ue surface - l estimatio d ue itégrale - les prolèmes de files d attete - la gestio des stocks, - le redemet d u ivestissemet. Stéphae Ducay 7

8 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier Estimatio d ue aire Exemple itroductif. Supposos que ous voulios estimer l aire d u carré de coté 0,5. Bie sûr, o sait que cette aire est 0.5. Commet trouver ue estimatio de ce résultat. Ce carré C 0,0.5 0,0.5 est évidemmet iclus das le carré 0, 0,. Si l o place poits aléatoiremet das le carré, certais serot das C, d autres o. Les coordoées d u poit aléatoire correspodet à deux variales aléatoires idépedates X et Y de même loi Uiforme sur0,. O a alors p PX,Y C P0 X Y aire de C. Aisi, lors de l expériece de Beroulli "placer u poit das", l évéemet A "le poit est das C" a pour proailité p aire de C. U échatillo de poits, oteu par répétitio idépedates de l expériece, ous fourira alors ue estimatio f de p. Simulatio Nous devos simuler deux échatillos de taille de la loi Uiforme sur 0,. Le premier doera les ascisses, le secod les ordoées des poits aléatoires. Pour chaque poit, o regarde s il est das C ou pas. O compte le omre C de poits das C puis o otiet f C. Il s agit de la méthode dite "du rejet" Cas gééral ) Si R est ue régio de 0, 0,, alors o a PX,Y R aire de R. O procède alors comme das l exemple précédet. aire de R ) Si R est ue régio de a, c,d, alors o a PX,Y R adc. O procède faço aalogue, e simulat deux échatillos de taille de la loi Uiforme sur a, et c,d. 4.. Estimatio d ue itégrale Si h est ue foctio positive, alors a hxdx est l aire située sous la coure représetative de f. O peut doc appliquer l estimatio précédete. Méthode de l espérace O peut estimer l itégrale a hxdx dès lors que h gf avec f desité de proailité. Cosidéros ue variale aléatoire X de desité f et posos gx O a alors E gx gxfxdx a gxfxdx a hxdx. Le prolème est doc d estimer E gx. gx si x a, 0 sio A partir d u échatillox,...,x de taille de X, o a l estimateur i gxi.. Exemple : estimatio de 0 xe x dx. Cette itégrale est autre que EX, avec X de loi expoetielle de paramètre. Pour la simulatio, o peut utiliser le fait que si U suit la loi uiforme sur 0,, alors X lu suit la loi expoetielle de paramètre. Stéphae Ducay 8

9 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 5. Applicatios diverses 5.. Marche aléatoire sur u graphe à trois sommets Voir exercice 8 de la deuxième liste d exercices. Ue puce se déplace idéfiimet etre trois poits A, B et C. Au départ (étape 0), elle est e A. A chaque étape, elle quitte sa positio et gage idifféremmet l u des deux autres poits. O suppose costruit u espace proailisé,a,p modélisat cette suite ifiie de déplacemets. Pour tout etier aturel, o cosidère l évéemet A (respectivemet B et C ) : la puce est e A (respectivemet B et C) à l issue de la -ème étape, et la proailité (respectivemet et ) de l évéemet A (respectivemet B et C ). O pose 0, 0 0 et 0 0. L ojectif est de calculer, et pour tout etier 0 ; autremet dit la proailité que la puce se retrouve e A, B et C au out de déplacemets. A l aide de la formule des proailités totales (utilisat des proailités coditioelles), o peut démotrer que pour tout etier 0,. Ce qui peut s écrire matriciellemet X M MX, avec 0 M 0. 0 Les termes de la matrice M sot les proailités de trasitio d u poit du graphe à u autre. Par exemple, PA /A 0 et PA /B. O démotre alors, par récurrece, que pour tout etier 0, X M X 0. O est doc rameer au calcul de M, ce qui utilise e gééral la diagoalisatio/trigoalisatio/... de M. Sur le cas étudié qui est relativemet simple, o ppeut repartir du système et trouver des relatios de récurrece vérifiées séparémet par chacue des trois suites. Ici, o a, pour tout etier 0, et. L étude de la suite 0, qui est arithmético-géométrique, coduit à l expressio 3. 3 O e déduit alors que Ue activité de simulatio pour estimer p N. O se fixe ue valeur de N, par exemple N 0. Utiliser le taleur ou la calculatrice pour : - pour simuler les N 0 déplacemets de la puce ; - répéter 00 fois les N 0 déplacemets ; - oteir la fréquece de réalisatio de l évéemet A N ; - comparer avec la proailité de l évéemet A N. Stéphae Ducay 9

10 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier Modèle de diffusio d Ehrefest Extrait de [M-B-J] sur Le modèle C est u modèle de diffusio d u gaz à travers ue paroi proposé par les physicies Ehrefest (Mr et Mme) au déut du siècle derier. Ue oite séparée e compartimets A et B cotiet au total N particules. A chaque top d ue horloge, ue particule et ue seule, choisie au hasard parmi les N, chage de compartimet. A l istat iitial toutes les particules sot e A. Das ce modèle il est importat de remarquer plusieurs poits : - la proailité pour ue particule doée de passer de A à B, ou de B à A est la même, égale à /N ; - cette proailité e déped pas du temps ; - le comportemet d ue particule est idépedat de celui des autres particules. L ojectif Etudier l évolutio de la répartitio des particules au out d u grad omre de déplacemets de particules. Pour les physicies Ehrefest l u des ojectifs était de lever le «paradoxe» de l irréversiilité. Ils voulaiet doc motrer commet, à partir de particules aux évolutios réversiles, o pouvait oteir, e comiat ces évolutios, ue situatio macroscopique irréversile. U exemple : N particules. p 0 p / Il y a N 3 états possiles : E 0 E E p 0 / p D où la matrice de trasitio 0 0 / 0 / 0 0 avec p i,j proailité de passer de l état i et à l état j. O peut procéder comme das l exemple précédet pour oteir les proailités d être das chacu des trois états après déplacemets. La simulatio La simulatio peut se réaliser avec le taleur Excel et le lagage de programmatio associé VBA (visual asic). Le graphique (uage de poits) et le choix aléatoire de la particule qui va se déplacer (par la foctio ENT(ALEA( )*N) peuvet se faire directemet sous Excel sas avoir recours à la programmatio. Par cotre, pour que la même opératio se répète u grad omre de fois, il est plus pratique de recourir à la programmatio (utilisatio d ue oucle : For i to.next i ). L aalyse des résultats L irréversiilité Il semle impossile, e regardat la simulatio pour N00, de reveir à l état iitial (toutes les particules das le compartimet A). Le système s équilire apparemmet autour de la positio 50/50. Cet état d équilire paraît ecore plus stale pour u omre de particules plus grad (N000). L évolutio de l ure d Ehrefest est irréversile puisque le système s équilire das u état différet de l état iitial. O peut remarquer toutefois que, lorsque le omre de particules est très faile (N, 3) le comportemet de l ure est totalemet réversile. Stéphae Ducay 0

11 PAF Amies - Eseigemet des Mathématiques : Statistiques et simulatio 8 javier 0 petit. Il faut doc l accumulatio d u grad omre de particules réversiles pour créer de l irréversiilité. La simulatio «tempsretour.xls» permet de costater le comportemet réversile de l ure pour N Le temps de retour U système tel que l ure d Ehrefest possède Nétats, chaque état correspodat au omre k de particules das le volume A, k 0,...,N, qui peuvet être choisies de faços. N Ce qui doe k0 N k N situatios possiles pour l ure, chaque situatio e coduisat pas forcémet à u état différet. Pour u omre N de particules très grad (ce qui correspod à la réalité), o coçoit aisémet, vu le grad omre de situatios possiles, que le retour à l état iitial sera extrêmemet rare puisqu ue seule situatio coduit à cet état. Quoiqu il e soit, o démotre das l étude des chaîes de Markov que le retour à l état iitial est quasi-certai pour u tel système. Nous avos étudié (et simulé iformatiquemet) le temps de retour pour l ure d Ehrefest. L espérace du temps de retour à l état iitial pour l ure d Ehrefest est N. Pour le omre de particules traitées das ue situatio macroscopique le temps de retour est doc quasimet ifii à otre échelle (et même par rapport à l âge de l uivers). L irréversiilité apparete de la physique statistique est doc e grade partie due à la différece etre l échelle de temps de l oservateur et celle du temps de retour. Coclusio sur l irréversiilité L irréversiilité de l ure d Ehrefest est doc qu ue illusio. D ue part elle déped du omre de particules mises e jeu, et d autre part elle disparaît si le temps d oservatio est illimité. Cepedat, pour les situatio macroscopiques usuelles (grads omres de particules, temps d oservatio limité), l ure présete u comportemet irréversile. La plupart des activités proposées permettet d évaluer le temps de retour pour se covaicre de l irréversiilité du phéomèe Etude du pricipe du calcul de la pertiece d ue page we (page rak google) Voir [RIG] sur : la matrice cachée de Google N k Référeces Référeces - Ouvrages [CHV] Gérard Chauvat et al, Mathématiques BTS/DUT, Proailités et statistique [C-T] Huert Carec et Marc Thomas, Itiéraires e Statistiques & Proailités [D-M] Yadolah Dodge et Giuseppe Melfi, Premiers pas e simulatio Référeces - E lige [M-B-J] Alai Marie-Jeae, Frédéric Beau, Michel Javier - Simulatio de l ure d Ehrefest - [RIG] Michel Rigo - La matrice cachée de Google - [SN] - Les techiques de la statistique - Stéphae Ducay

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

FLUCTUATION ET ESTIMATION

FLUCTUATION ET ESTIMATION 1 FLUCTUATION ET ESTIMATION Le mathématicie d'origie russe Jerzy Neyma (1894 ; 1981), ci-cotre, pose les fodemets d'ue approche ouvelle des statistiques. Avec l'aglais Ego Pearso, il développe la théorie

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire Séquece 9 Lois ormales, itervalle de fluctuatio, estimatio Sommaire 1. Prérequis. Lois ormales 3. Itervalles de fluctuatio 4. Estimatio 5. Sythèse de la séquece Séquece 9 MA0 1 Ced - Académie e lige Das

Plus en détail

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a.

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a. Échatilloage 9 Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Répose c. Répose a. Répose c. 3 Répose a. 4 Répose b. Répose c. Activité. La populatio étudiée est la productio d automobiles. Le caractère

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

Intervalles de fluctuation et de confiance

Intervalles de fluctuation et de confiance Chapitre 9 Itervalles de fluctuatio et de cofiace Sommaire 9.1 Itervalle de fluctuatio................................... 157 9.1.1 Quelques rappels..................................... 157 9.1.2 Itervalle

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression

1 Introduction. 2 Probabilités : Variables Aléatoires Continues. 3 Estimation. 4 Tests. 5 Régression Pla du cours Méthodes de statistique iféretielle. A. Philippe Laboratoire de mathématiques Jea Leray Uiversité de Nates Ae.Philippe@uiv-ates.fr 1 Itroductio 2 Probabilités : Variables Aléatoires Cotiues

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES. Loi de probabilité.. Exemple... Calcul de probabilités sur u uivers Ω... Variable aléatoire à valeurs réelles...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire..4.

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Statistiques C1

Lucyna FIRLEJ IUT Mesures Physiques Statistiques C1 1 Statistique iferetielle. Relatios Iteratioales Lucya Firlej Pl. E.Bataillo, Bat.11, cc.06 34095 Motpellier cedex 5 Frace lucya.firlej@umotpellier.fr S3. Statistics. 30 h d eseigemet: 10 cours, 10 TD,

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques Agrégatio extere de mathématiques, sessio 2008 Épreuve de modélisatio, optio (public 2008) Mots clefs : Loi des grads ombres, espace des polyômes, estimatio o-paramétrique Il est rappelé que le jury exige

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

Chapitre 3 Détermination de la taille de l'échantillon

Chapitre 3 Détermination de la taille de l'échantillon Chapitre 3 Détermiatio de la taille de l'échatillo Lorsqu o prélève u échatillo pour estimer u paramètre, o court toujours le risque de découvrir u peu trop tard que l'échatillo prélevé est trop petit

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

STATISTIQUES - ESTIMATION

STATISTIQUES - ESTIMATION STATISTIQUES - ESTIMATION I Echatilloage et estimatio : itroductio O se situe ici das 2 domaies des statistiques qui sot ceux de l «échatilloage» et de l «estimatio». Ces 2 domaies ot des cotextes d applicatio

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Classes de première générale et technologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

Classes de première générale et technologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Classes de première géérale et techologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Sommaire I. Itroductio...4 II. Statistique descriptive, aalyse de doées...4 III. Variables aléatoires discrètes...6 IV. Utilisatio

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Mathématiques : statistiques et simulation

Mathématiques : statistiques et simulation Université de Picardie - LAMFA CNRS UMR 6140 PAF Amiens - Formation Enseignement des Mathématiques - 20 janvier 2012 (Extrait du document ressource pour la classe de seconde) Dans le sens commun des sondages,

Plus en détail

Automates 1 Présentation

Automates 1 Présentation Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u

Plus en détail

Modélisation stochastique

Modélisation stochastique Uiversité de Lorraie Master 2 IMOI 2014-2015 Modélisatio stochastique Madalia Deacou 2 Table des matières Itroductio 5 1 Simulatio de variables aléatoires 7 1.1 Itroductio............................ 7

Plus en détail

CTU, Licence de Mathématiques Statistique Inférentielle. Jean-Yves DAUXOIS. Université de Franche-Comté

CTU, Licence de Mathématiques Statistique Inférentielle. Jean-Yves DAUXOIS. Université de Franche-Comté CTU, Licece de Mathématiques Statistique Iféretielle Jea-Yves DAUXOIS Uiversité de Frache-Comté Aée scolaire 2011-2012 Ce polycopié cotiet le cours, les sujets d exercice et leurs corrigés aisi que les

Plus en détail

1. Probabilités sur les ensembles finis

1. Probabilités sur les ensembles finis . Probabilités sur les esembles fiis.. RAPPELS ET COMPLEMENTS. VOCABULAIRE DES EVENEMENTS Das ue expériece aléatoire, l'uivers Ω est l'esemble des résultats possibles. U évéemet est ue partie de l'uivers.

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Estimation par vraisemblance

Estimation par vraisemblance Chapitre 4 Estimatio par vraisemblace Le procédé de costructio des estimateurs par isertio a été itroduit das le chapitre 2. L objectif de ce chapitre est d étudier ue autre méthode de costructio, basée

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique Uiversité de Picardie Jules Vere 006-007 Faculté de Mathématiques et d Iformatique Licece metio Mathématiques - Deuxième aée - Semestre 4 Probabilités Elémetaires Exame du ludi 4 jui 007 Durée h00 Documet

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

A RETENIR TERMINALE ES

A RETENIR TERMINALE ES A RETENIR TERMINALE ES Ce documet est destié à "résumer" le cours de termiale. Il e préted pas coteir tout ce que vous devez savoir pour réussir l épreuve. Il est coçu pour que vous puissiez l utiliser

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

TECHNIQUE: Distillation

TECHNIQUE: Distillation TECHNIQUE: Distillatio 1 Utilité La distillatio est u procédé permettat la séparatio de différetes substaces liquides à partir d u mélage. Les applicatios usuelles de la distillatio sot : l élimiatio d

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION Des PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jea-Marie MARION 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE (décrire ue populatio à l aide de caractéristiques et graphiques) STATISTIQUE INFERENTIELLE (étedre des résultats

Plus en détail

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Lorsque des doées umériques sot stockées ou trasmises, des perturbatios (par exemple électromagétiques) peuvet les edommager. Les codes détecteurs et correcteurs

Plus en détail

LO12. Chap 5. 5. Le fenêtrage. x r x w. y r y w. 5.1 Introduction. OpenGL. 1 x. Transformation de cadrage. glviewport();

LO12. Chap 5. 5. Le fenêtrage. x r x w. y r y w. 5.1 Introduction. OpenGL. 1 x. Transformation de cadrage. glviewport(); LO 5. Le feêtrage 5. Itroductio L affichage d u modèle implique la mise e correspodace des coordoées des poits et des liges du modèle avec les coordoées appropriées du dispositif où l image doit être visualisée.

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail

Utilisation du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimation des paramètres

Utilisation du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimation des paramètres B A S E Biotechol Agro Soc Eviro 00 6 (3) 43 53 Utilisatio du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimatio des paramètres Rudy Palm Uité de Statistique et Iformatique Faculté uiversitaire

Plus en détail

Aide Mémoire de Statistique

Aide Mémoire de Statistique Aide Mémoire de Statistique (E, E, P) modèle statistique (E, E, P) modèle probabiliste E probabilité, o coaît la loi P et o fait des calculs E statistique, o e coaît pas la loi (seulemet ue famille de

Plus en détail

Chapitre 3: Réfraction de la lumière

Chapitre 3: Réfraction de la lumière 2 e B et C 3 Réfractio de la lumière 16 Chapitre 3: Réfractio de la lumière 1. Expériece 1 : tour de magie avec ue pièce de moaie a) Dispositio Autour d'ue petite boîte coteat ue pièce de 1 de ombreux

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licence d économie et de gestion

COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licence d économie et de gestion COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licece d écoomie et de gestio Laurece GRAMMONT Laurece.Grammot@uiv-st-etiee.fr http://www.uiv-st-etiee.fr/maths/cvlaurece.html September 19, 003 Cotets 1 Rappels 5

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Probabilités et Statistiques MATH-F-315. Simone GUTT

Probabilités et Statistiques MATH-F-315. Simone GUTT Probabilités et Statistiques MATH-F-315 Simoe GUTT 2012 Das la vie, ous sommes cotiuellemet cofrotés à des collectios de faits ou doées. Les statistiques formet ue brache scietifique qui fourit des méthodes

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4 Atilles-Guyae septembre 5 EXERCICE 6 POINTS Commu à tous les cadidats 6 poits Soit u etier aturel o ul. O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l esemble des ombres réels par f (x) = x e x O ote

Plus en détail

Probabilités. Table des matières. Université Paris XI PCS0 Probabilités 2011/2012

Probabilités. Table des matières. Université Paris XI PCS0 Probabilités 2011/2012 Uiversité Paris XI PCS0 Probabilités 2011/2012 Probabilités Table des matières 1 Combiatoire 2 1.1 Choix............................................ 2 1.2 Les foctios cruciales du déombremet........................

Plus en détail

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation.

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation. Lois ormales. Itervalle de fluctuatio. Estimatio.. Loi ormale cetrée réduite... p. Théorème de Moivre-Laplace... p 3. Loi ormale (µ ; σ²)... p3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés

Plus en détail

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes.

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes. Chapitre 1 Nombres complexes Le buts du chapitres sot : Cosolider les aquis de termiale, Savoir maipuler les ombres complexes, e particulier la factorisatio par l agle de moitié. Avoir des otios sur le

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale www.mathselige.com STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (/5) Le travail sur les séries statistiques et les probabilités meé e classe de secode se poursuit avec la mise e place de ouveaux outils. Les scieces

Plus en détail

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Uiversité Paris Dauphie Départemet MIDO Cours de Mathématiques Itégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Table des matières 1 Espaces de probabilité et Itégratio 1 1.1 Présetatio..............................

Plus en détail

La Méthode de Monte Carlo

La Méthode de Monte Carlo La Méthode de Mote Carlo Etiee Pardoux UMR 6632 Laboratoire d Aalyse, Topologie, Probabilités et EA 3781 Evolutio Biologique Uiversité de Provece Etiee Pardoux (LATP) Marseille, 13/09/2006 1 / 33 Cotets

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i }

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i } Nom :........................ DS Préom :..................... Devoir o 7 Mars 6.../... Le soi et la rédactio serot pris e compte das la otatio. Faites des phrases claires et précises. Le barème est approximatif.

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

Amérique du Nord. Terminale S mai 2014

Amérique du Nord. Terminale S mai 2014 Termiale S mai 2014 Amérique du Nord 1 Exercice 1 (5 poits) Das cet exercice, tous les résultats demadés serot arrodis à 10 3 près Ue grade eseige de cosmétiques lace ue ouvelle crème hydratate Partie

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites.

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 0 ; + [ par : f (x) = 5 l ( x ± 3 ) x. 1. a. O appelle f ' la foctio dérivée de la foctio f sur

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance Chapitre 5 Itroductio aux théorèmes limites et aux itervalles de cofiace Objectifs du chapitre. Savoir approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso ou ue loi ormale. 2. Savoir approcher ue loi e appliquat

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen Uiversité Paris-Dauphie Aée 28-29 U.F.R. Mathématiques de la décisio L3 - Statistique Mathématique Exame Durée 2h. Le barême est doé à titre idicatif. Exercice : 5 poits) Soit X,...,X ) u échatillo de

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail