LEÇON N 40 : Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l ordre que l on voudra).

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1 EÇN N 40 : Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle (dans l ordre que l on voudra) Pré-requis : Notions de groupes, groupes finis (table, ordre d un élément) ; Isométries affines d un plan P (elles forment un groupe, elles conservent le barycentre et sont déterminées par trois points non alignés) ; Notions de déplacements (isométries positives) et d antidéplacements (isométries négatives) ; Polygones convexes : définition et propriétés (en particulier, les sommets d un polygone convexe P sont les seuls points de P à ne pas être milieux de deux autres points distincts de P n se place dans un plan affine euclidien orienté P n note Id l identité sur P, s la symétrie d axe, s I la symétrie de centre I, et r,α la rotation de centre et d angle α (mod π) 401 Généralités Soient P et P un polygone convexe de centre Théorème 1 : ensemble Is() des isométries conservant muni de la loi de composition est un groupe démonstration : Id Is(), donc Is() Soient f, g Is() Il s agit de montrer que f g 1 Is() éjà, puisque les isométries du plan forment un groupe, f g est une isométrie e plus, f g() = f() = En composant par g 1 à droite, on trouve f() = g 1 (), c est-à-dire g 1 () = Il s en suit que f g 1 () = f() =, et f g 1 Is() n en déduit que Is() est un sous-groupe des isométries du plan, c est donc en particulier un groupe Proposition 1 : Soit f une isométrie conservant P lors f transforme tout sommet de P en sommet de P, et conserve l isobarycentre de P démonstration : es sommets de P sont les seuls points de P qui ne sont pas milieux de deux autres points distincts de P r toute isométrie conserve les barycentres, donc f envoie un sommet de P sur un sommet de P Notons alors I l isobarycentre de P lors f(i) est l isobarycentre des images des sommets de P, qui sont donc les sommets de P (puisque f conserve P ), donc f(i) = I

2 Isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle onséquence : Si I désigne l isobarycentre de P, les isométries conservant P sont nécessairement celles qui laissent I invariant : l identité, les rotations de centre I ou les réflexions d axe contenant I 40 as du parallélogramme ans cette partie, P désigne un parallélogramme de centre (qui est aussi l isobarycentre) Théorème : e groupe des isométries conservant un parallélogramme (non carré, rectangle ou losange) est constitué de Id et s démonstration : après la conséquence ci-dessus, toute isométrie conservant P est soit l identité, une rotation de centre ou une symétrie d axe contenant Rotation : Par conservation des distances, [] sera transformé en [] ou [], de sorte que l image de soit ou Si c est, alors l isométrie est l identité Si c est, alors l isométrie est la symétrie de centre s (rotation d angle plat) Réflexion : Son axe passe alors par Par conservation des distances, cette réflexion conserve {, } et {, }, donc l image de est soit ou Si c est, alors l axe de symétrie est la droite () et l image de est nécessairement (car cette symétrie conserve P ) Par suite, () (), ce qui est absurde puisque P n est pas un losange Si c est, alors l axe de symétrie est la médiatrice de [] r l image de est, ce qui impliquerait () et () parallèles, ce qui est aussi absurde Réciproquement, Id et s conservent bien P, d où le résultat 403 as d un losange Théorème 3 : e groupe des isométries conservant un losange P (non carré) est constitué de Id, s, s () et s () démonstration : Un losange étant un parallélogramme particulier, le théorème précédent nous assure que Id et s conservent le losange P e sont les seules rotations car sinon P serait un carré e plus, si une réflexion conserve P, alors elle conserve ses diagonales (car P n étant pas un carré, ses diagonales ne sont pas de même longueur) : les deux seules réflexions le premettant sont s () et s () Réciproquement, ces deux réflexions conservent bien le losange P 404 as du rectangle Théorème 4 : e groupe des isométries conservant un rectangle P (non carré) est constitué de Id, s, s et s, où et sont les deux médianes de P

3 Isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle 3 démonstration : Soient, N, P, Q les milieux respectifs de [], [], [] et [], de sorte que NPQ soit un losange noté P après le théorème précédent, Id, s, s (P) et s (NQ) conservent P ( est aussi le contre de P, et [P], [NQ] en sont les diagonales, donc les médianes et de P ) r toute isométrie conserve les milieux, donc Id, s, s (P) s = s (P) et s = s (NQ) conservent P Réciproquement, ces isométries conservent bien le rectangle P onséquence : e groupe des isométries conservant un rectangle et un losange (respectivement) sont isomorphes Remarques 1 : 1 Z/4Z et le groupe de Klein Z/Z Z/Z sont les seuls groupes (à isomorphisme près) possédant quatre éléments es groupes des isométries conservant un rectangle et un losange possèdent aussi quatre éléments d ordre (si f est un élément distinct de l identité, f = Id), ils sont donc isomorphes au groupe de Klein 405 as du carré Théorème 5 : e groupe des isométries conservant un carré P est constitué de où et sont les deux médianes de P Id, s, s, s, s (), s (), r, π et r, π, démonstration : Un carré étant à la fois un losange et un rectangle, les isométries Id, s, s, s, s (), s () conviennent e plus, les réflexions échangeant ou conservant les diagonales, seules s, s, s () et s () conviennent Par contre, Id et s sont les seules rotations conservant les diagonales elles qui les échangent transforment,,, en,,, (ou,,, ), c est-à-dire r,± π Réciproquement, toutes ces isométries conservent le carré Remarques : 1 e groupe n est pas abélien En effet, r, π s ()() = et s () r, π () = En notant r = r, π et s = s (), le groupe précédent s écrit {Id, r, r, r 3, s, r s, r s, r 3 s} n peut ainsi "généraliser" le résultat précédent aux polygones réguliers P n à n 3 côtés, de centre noté : n pose r = r, π et s = s () où est un sommet de P n lors n Is(P n ) = {Id, r, r,,r n 1, s, r s, r s,,r n 1 s} 406 ivers 4061 Un théorème utile Théorème 6 : Si f est une isométrie telle que l image d un parallélogramme P est un parallélogramme P, alors l ensemble des isométries telles que l image de P soit P est {f i, i Is(P)}

4 4 Isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle démonstration : Évident 406 Illustrations des différents cas ci-dessus Q P N 4063 Exercices Exercice : Inscrire un carré dans un parallélogramme donné Solution : est un parallélogramme donné S il existe un carré JK inscrit dans, et si en est le centre, alors s envoie chaque sommet du carré sur le sommet opposé Par conservation du barycentre, chaque côté de est envoyé sur le côté opposé, donc est aussi le centre de lors K J = r, π () () r, π ( () ) J d Notons d = r, π ( () ) es autres points s en déduisent alors par r, π Voyons encore pour quels parallélogrammes cette construction est possible : Si est un carré, alors () = d et J quelconque sur () suffit à construire le carré recherché Si est un rectangle, alors () et d sont parallèles, impliquant () d =, donc la construction est impossible Si est un parallélogramme quelconque (non carré et non rectangle), alors () et d se coupent en un unique point, qui apporte la solution recherchée, comme détaillée ci-dessus Remarque 3 : Il existe des parallélogrammes pour lesquels les points du carré ne sont nécessairement sur [], [], [] et [] a figure peut donc paraître trompeuse (voir page suivante pour une figure) Exercice : Suite à cette remarque, existe-t-il une condition telle que chaque sommet du carré soit sur un côté du parallélogramme (et non à l extérieur)? Solution : Pour cette question un peu plus délicate, nous aurons besoin de certaines notations : soient a l angle, = = et l = = Quitte a échanger les lettres du parallélogramme, on peut considérer que a est aigu et que l n construit alors un repère orthonormé (, ı, j) n note encore H le projeté orthogonal de sur l axe des abscisses, 1 celui de sur [] (existe car a est aigu et l) et I le point d intersection des segments [] et [H] : l a j ı 1 I H

5 Isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle 5 Nous notons enfin α 1 = cos a et α = sin a ans le triangle 1, on a que α = 1 1 = α = α H = α e même, dans le triangle IH, on a que α 1 = IH I IH = Iα 1 = α 1 n en déduit les coordonnées des quatres points,, et : ( l + α 1, ) ( α, l + α 1, ) ( α, l α 1, ) ( l α, α 1, ) α Soient et les images respectives des points et par la rotation de centre et d angle π n détermine alors très facilement que ( α, l + ) α 1 et ( α, l + ) α 1 après ce qui précède, le carré est totalement inscrit dans le parallélogramme si et seulement si les segments [ ] et [] se coupent r [ ] [] = Ω Ω [ ] et Ω [] x, y [0, 1] Ω = bar{(, x),(, 1 x)} et Ω = bar{(, y), (,1 y)} x, y [0, 1] Ω = x + (1 x) et Ω = y + (1 y) x, y [0, 1] x + (1 x) = y + (1 y) { xx + (1 x)x x, y [0, 1] = yx + (1 y)x xy + (1 x)y = yy + (1 y)y { x(α1 ) = l + α 1 α x, y [0, 1] y(lα 1 ) = lα + lα 1 x = 1 l + α 1 α x, y [0, 1] α 1 y = 1 lα + lα 1 lα 1 Remarquons au passage que si a = π (angle droit), ces deux équations se réduisent à l = 0, amenant une infinité de solutions si l = (cas du carré) et aucune solution si l (cas du rectangle non carré) es conditions 0 x 1 et 0 y 1 donnent respectivement : 0 x 1 0 l + α 1 α α 1 l α 1 α α 1 l α 1 l α 1 α l + α 1 0 y 1 0 lα + lα 1 lα 1 lα 1 lα lα 1 lα 1 + lα 1 lα + lα 1 es deux nouvelles conditions peuvent être réduites à l aide des hypothèses l, α 1 = cos a [0, 1] et α = sin a [0, 1] (car a est aigu) En effet, 0α 1 α 1 >0 α lα l l + α 1, et α 1 + α 1 l(α 1 + α ) l lα 1 lα es conditions sont donc réduites aux deux inégalités : l α 1 α et lα + lα 1 Remarquons ensuite que : α α 1 < 1 (α α 1 )(α + α 1 ) < 1 α 1+α >0 1 α α 1 < α + α 1 e résultat nous permet de montrer cette que la première inégalité implique la seconde : l α 1 α l (α 1 + α ) α 1 +α >0 1 α 1 + α l α α 1 l l(α α 1 ) lα + lα 1 a condition pour que le carré soit inscrit dans le parallélogramme est donc finalement la suivante : l cos a sin a

6 6 Isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle Figures : J H d K K H J d c 011 par artial ENZEN ucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l article 1-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite sans l autorisation expresse de l auteur

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