Opérations sur les matrices

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1 TS spé Opératios sur les matrices I Additio A et B sot deux matrices de format m p La somme de A et B est la matrice de dimesio m p, otée A + B, obteue e additioat deux à deux les coefficiets situés à la même place Pla du chapitre : I Additio II Multiplicatio par u réel III Multiplicatio de deux matrices () : produit d u vecteur lige par u vecteur coloe IV Multiplicatio de deux matrices () : cas gééral V Iverse d ue matrice carrée VI Utilisatio de la calculatrice VII Ue applicatio e géométrie L objectif du chapitre est de défiir les opératios sur les matrices (additio de deux matrices, multiplicatio d ue matrice par u réel, multiplicatio de deux matrices) et d étudier les propriétés algébriques Coditio importate sur les formats : Pour additioer deux matrices, il faut qu elles aiet le même format ) Exemple A et B A B ) Propriétés O retrouve les mêmes propriétés que pour l additio des réels A B B A (commutativité de l additio des matrices) A B C A B C A B C (associativité de l additio des matrices) 4 ) Soustractio A et B sot des matrices rectagulaires de même format A B A B O pose La soustractio de deux matrices s effectue exactemet de la même maière que l additio, e effectuat coefficiet par coefficiet O otera que pour toute matrice A, A A est égale à la matrice ulle, c est-à-dire la matrice dot tous les coefficiets sot égaux à 0 5 ) Équivalece fodametale A, B, X sot des matrices rectagulaires de même format A X B X B A

2 II Multiplicatio par u réel A est ue matrice de dimesio m p et k u réel Le produit de la matrice A par le réel k est la matrice de dimesio m p, otée ka, obteue e multipliat par k chaque coefficiet de A ) Exemple 3 A A ) Propriétés A et B sot deux matrices de dimesio m p, k et k ' sot deux réels O a : k A B ka kb k k 'A k k ' A ka k 'A kk 'A 4 ) Équivalece fodametale A et B sot deux matrices de même format k est u réel o ul ka B A B k III Multiplicatio de deux matrices () : produit d u vecteur lige par u vecteur coloe O appelle produit du vecteur lige a a b b a p par le vecteur coloe le ombre égal à b p ab ab apbp b b a a a a b a b a b b p p p p ) Exemple ) Remarque Le ombre de coloes du vecteur lige doit être égal au ombre de liges du vecteur coloe IV Multiplicatio de deux matrices () : cas gééral O appelle produit d ue matrice A de dimesio (, p) ( liges et p coloes) par ue matrice B de dimesio (p, q) (p liges et q coloes) la matrice otée AB de dimesio (, q) défiie de la maière suivate : Le coefficiet de AB situé sur la lige i et das la coloe j est obteu e effectuat le produit de la lige i de la matrice A par la coloe j de la matrice B ) Exemple de produit pour deux matrices carrées d ordre a, a, b, b, c, c, a a b b c c,,,,,, Coefficiet de la ère lige- ère coloe : c, a, b, a, b, ( ère lige fois ère coloe) Coefficiet de la ère lige- e coloe : c, a, b, a, b, ( ère lige fois e coloe) Coefficiet de la e lige- ère coloe : c, a,b, a, b, ( e lige fois ère coloe) Coefficiet de la e lige- e coloe : c, a,b, a, b, ( e lige fois e coloe) Les coefficiets sot des sommes de produits 3 ) Ue dispositio pratique sur u exemple 0 4 A 3 0 Effectuer le produit AB La matrice A a pour format ( ; 3) La matrice B a pour format (3 ; 3) B Le ombre de coloes de A est égal au ombre de liges de B Il est doc possible de calculer le produit AB La matrice AB a pour format ( ; 3) O peut oter au brouillo sous forme symbolique «, 3 3, 3, 3»

3 O peut adopter la dispositio suivate pour effectuer les calculs au brouillo (dispositio pratique au brouillo uiquemet) Pour obteir le coefficiet sur la ère lige et das la ère coloe, o calcule : 05 4 O otera que das otre exemple, les formats des matrices A et B e permettet pas de calculer le produit BA 4 ) Remarques AB est défii que si le ombre de coloes de A est égal au ombre de liges de B La règle cocerat les dimesios peut être schématisée de la faço suivate :, p p, q, q Quad les dimesios de deux matrices A et B permettet le calcul de AB, elles e permettet pas forcémet le calcul de BA Das le cas où les calculs sot possibles, e gééral les matrices AB et BA e sot pas égales Le produit d ue matrice de format, p par ue matrice de format q, r das cet ordre est possible que si p q O obtiet alors ue matrice de format, q O retiedra sous forme symbolique qu u produit du type «, p q, r Par voie de coséquece, u produit du type «, p q, r» avec p q Cas de matrices carrées :» est possible que si p q est impossible Il est importat de reteir que si A et B sot deux matrices carrées d ordre, alors les produits AB et BA sot possibles et doet des matrices carrée d ordre (différetes e gééral) Lorsque AB BA, o dit que A et B commutet (pour la multiplicatio des matrices) 5 ) Propriétés A, B et C sot trois matrices permettat les calculs idiqués et k est u réel O a : Commetaires : La propriété correspodat à l égalité ABC ABC ABC s appelle l associativité de la multiplicatio matricielle La propriété correspodat à l égalité AB C AB AC et A BC AC BC s appelle la distributivité de la multiplicatio à gauche ou à droite sur l additio 6 ) Remarques Si A est ue matrice carrée, la matrice A A est otée 3 A, A A A est otée A 3 O a A A A A A O otera que les matrices A et A commutet De maière géérale, pour tout couple k ; l d etiers k l l k lk aturels, o a A A A A A E gééral AB BA (la multiplicatio est pas commutative) 7 ) Propriété fodametale du produit d ue matrice par la matrice idetité (démostratio facile) Propriété : A est ue matrice carrée d ordre et I la matrice idetité d ordre O a : A I I A A Vocabulaire : O dit que la matrice I est élémet eutre à gauche et à droite pour la multiplicatio des matrices O otera l aalogie avec le ombre das l esemble des réels Gééralisatio : Si X est ue matrice avec liges, alors IX X Si X est ue matrice avec coloes, alors XI X 8 ) Utilisatio des propriétés La propriété A BC AB C ABC permet de faire le produit de 3 matrices Pour effectuer le produit de 3 matrices, o commece par faire le produit de deux matrices puis o multiplie le résultat par la derière matrice ABC ABC ABC AB C AB AC A BC AC BC ka B k AB A kb kab

4 La propriété de distributivité permet de factoriser des expressios matricielles Exemples de factorisatio : A et B sot des matrices carrées d ordre Factorisatio de A AB : A AB AI AB A I B (l étape «AI Factorisatio de A A : A A A I A A A I A AB» permet d effectuer la factorisatio) (factorisatio de l expressio par A à gauche) A A I A A A I A A (factorisatio de l expressio par A à droite) Il s agit d exemples fodametaux V Iverse d ue matrice carrée A est ue matrice carrée d ordre Dire que la matrice carrée B d ordre est l iverse de A reviet à dire que AB BA I où I désige la matrice idetité d ordre L iverse de A est otée A Ue matrice qui admet u iverse est dite iversible ) Remarques Nous admettros cette aée sas démostratio que la coditio " AB " est équivalete à la coditio " BA I " (De faço géérale, o a pas AB BA ) Si la matrice B est l iverse de la matrice A, alors la matrice A est l iverse de la matrice B O dit que les matrices A et B sot iverses l ue de l autre O a : AA A A I Ue matrice carrée admet pas forcémet d iverse Das ce cas, o dit qu elle est pas iversible Si ue matrice est iversible, alors l iverse est uique Il existe des matrices carrées o iversibles I O calcule le produit AB 0 AB I 0 O calcule le produit BA 0 BA I 0 AB BA I doc A est iversible et l iverse de A est B O écrit : A B (l iverse de A est égale à B) ou B A (l iverse de B est égale à A) O aurait pu se coteter de vérifier uiquemet que AB I puisque l o sait alors qu automatiquemet BA I Attetio : certaies matrices carrées e possèdet pas d iverse 4 ) Cas particulier : iverse d ue matrice carrée d ordre Propriété admise sas démostratio a b O cosidère ue matrice A où a, b, c, d sot des réels quelcoques c d O pose : det A ad bc (détermiat de A) A est iversible si et seulemet si det A 0 d b Das ce cas, A det A c a Attetio, le détermiat d ue matrice carrée d ordre 3 peut être défii mais la formule est beaucoup plus compliquée O e doe pas de formule pour l iverse d ue matrice carrée d ordre 3 e Termiale 5 ) Égalité fodametale A est ue matrice carrée d ordre O suppose que A est iversible O a AA I et AA I 3 ) Exemple O pose A et B 4 Démotrer que A et B sot iverses l ue de l autre

5 6 ) Équivaleces fodametales A est ue matrice carrée d ordre (doc de format ) iversible B et C sot des matrices de format p AB C B A C O multiplie les deux membres de l égalité par la matrice A à gauche O appuie esuite sur etrer Esuite, o retre les coefficiets u par u Attetio à utiliser le petit (celui qui est etre parethèses) Ue fois les coefficiets retrés, faire de mode O appuie esuite sur la touche matrice Sélectioer NOMS et le om de la matrice sur laquelle o désire faire des calculs A est ue matrice carrée d ordre (doc de format ) iversible B et C sot des matrices de format p BA C B CA O peut calculer les puissaces de la matrice Pour calculer l iverse (lorsque la matrice est carrée et iversible), taper matrice etrer [A] 3 e moye (pratique pour des programmes avec des matrices) x iverse O multiplie les deux membres de l égalité par la matrice VI Utilisatio de la calculatrice (modèle TI-83 Premium CE) ) Quelques gééralités La calculatrice permet d effectuer des opératios sur les matrices Elle fourit otammet l iverse d ue matrice carrée iversible A à droite Attetio, tout ce qui suit e foctioe que pour des matrices à coefficiets réels ) Différets moyes de retrer ue matrice et d effectuer des calculs er moye de [ de a, b [ de a, b O retre ue deuxième lige de la même maière a, b c, d Matrice lige : a, b Matrice coloe : ab 3 ) Ue précisio pour les matrices à coefficiets etiers alpha feêtre choix «MATR» O etre les coefficiets u par u e moye O appuie sur la touche matrice Pour retrer les coefficiets, aller das ÉDIT : [A] O appuie esuite sur etrer À l écra, o a alors MATRICE[A] O retre le format de la matrice e chageat les chiffres Pour ue matrice carrée iversible dot tous les coefficiets sot des etiers relatifs, les coefficiets de la matrice iverse sot des ombres ratioels Pour obteir les coefficiets sous forme de fractios, o taper sur la touche math puis MATH : Frac Ue autre méthode cosiste à multiplier la matrice obteue par le détermiat de la matrice que l o peut égalemet obteir avec la calculatrice VII Ue applicatio e géométrie ) Expressio aalytique du produit scalaire de deux vecteurs du pla Le pla est mui d u repère orthoormé O, i, j u x ; y et v x' ; y ' sot deux vecteurs quelcoques u i v xx' yy' Par exemple, si la matrice A est ue matrice carrée d ordre 3, o tape 3 3

6 x' i y' O peut écrire u v x y ) Expressio aalytique du produit scalaire de deux vecteurs de l espace L espace est mui d u repère orthoormé O, i, j, k u x ; y ; z et v x' ; y ' ; z ' sot deux vecteurs quelcoques u i v xx' yy' zz' x' u i v x y z y' z' O peut écrire